Bai tap on chuong luong giac.

BI TP CHƯƠNG LNG GIC 11
Bi 1.
Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A, B, C v cỏc cnh tng ng a, b, c. Chng minh:
1. sin(A+B) = sinC
2. cos(A+B) = - cosC
3. tan(A+B) = tanC
4. sin
2
A B+
= cos
2
C
5. cos
2
A B+
= sin
2
C
6. tan
2
A B+
= cot
2
C
7. a = b.cosC + c.cosB
8. a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
9. a
2
= b
2
+ c

2
2bc.cosA.
10. S = pr =
1
2
ab.sinC =
1
2
bc.sinA =
1
2
ac.sinB
Bi 2.
Cho tam giỏc ABC . Chứng minh các đẳng thức sau:
1. sinA + sinB + sinC = 4
os os os
2 2 2
A B C
c c c
2. cosA + cosB + cosC = 1 4
sin sin sin
2 2 2
A B C
3. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
4. cos2A + cos2B + cos2C = - 1 + 4cosA.cosB.cosC
5. sin
2
A + sin
2
B + sin

2
C = 2 + 2cosA.cosB.cosC
6. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
7. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ( tam giỏc ABC khụng vuụng)
8.
tan tan tan .tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
9.
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
10.cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.
Bi 3.
Chứng minh
1. tana + cota =
2
sin 2a
2. cota tana = 2cot2a
3. sinx + cosx =
2
sin

4
x


+
ữ

=
2
cos
4
x



ữ

4. sinx cosx =
2
sin
4
x



ữ

= -
2
cos

4
x


+
ữ

5. 3 sinx + cosx = 2sin
6
x


+
ữ

= 2cos
3
x



ữ


6. sinx - 3 cosx = 2sin
3
x

ữ

= - 2cos
6
x


+
ữ

Giáo viên: Trịnh Công Hải 1
7. sina.sin
1
sin sin 3
3 3 4
x x a


+ =
ữ ữ

8. cosa.cos
1
cos cos3
3 3 4
x x a


+ =
ữ ữ

9. cos
2
a + cos
2
3
a



ữ

+ cos
2
2 3
3 2
a


=
ữ

10. sin
2

2
2
sin sin 2
8 8 2
a a a

+ =
ữ ữ

Bài 4. Tính (không dùng bảng số hay máy tính)
A = cos
sin
8 8

+
B = cos
3 5
cos cos
7 7 7

C = sin6
o
.sin42
o
sin66
o
sin78
o
D = cos10
o
cos50
o
cos70
o

E =
1 3
sin10 cos10
o o

F = 8(sin
3
18
o
+ sin
2
18
o
)
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = sin
2
A + sin
2
B - sin
2
C, với A, B, C là ba góc của tam giác.
Bài 6. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C.
Biết (sinB + sinC)sin2A = (sin2B + sin2C)sinA. Chứng minh cosB + cosC = 1.
Bài 7. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu:
a) sin2A + sin2B = 4sinAsinB thì tam giác ABC vuông tại C.
b)
2 2
1 cos 2
sin

4
B a c
B
a c
+ +
=

thì tam giác ABC cân.
Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Chứng minh:
a) cosA + cosB + cosC

sin
sin sin
2 2 2
A B C
+ +
b) sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC)
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C, đờng cao AH. Gọi p, p
1
, p
2
lần lợt là nửa chu vi
của các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh nếu p
2
= p
1
2
+ p
2
2

thì tam giác ABC vuông
tại A.
Bài 10.
a) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện
cos2A + 2
2
cosB + 2
2
cosC = 3. Tính ba góc của tam giác.
b) Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn cos2A + cos2B + cos2C

-1. Chứng minh
sinA + sinB + sinC

1 +
2
.
Bài 11: Giải các phơng trình sau:
Giáo viên: Trịnh Công Hải 2
1. tan(x + 60
o
) = -
3
2. sin3x = cos4x 3. cot
5
7
x
π
 
−

 ÷
 
=
1
3
4) tan3x.tanx = 1
5) sin2x = sin
3
4
x
π
 
+
 ÷
 
6) sin(2x + 50
o
) = cos(x + 120
o
)
7) tan
2
6
x
π
 
+
 ÷
 
+ 2cot

2
6
x
π
 
+
 ÷
 
- 3 = 0 8.
2
2
+ (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0
sin 2x
9) cot
2
x - 4cotx + 3 = 0 10) cos
2
2x + sin2x + 1 = 0 11) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0
12) 4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx +

3
= 0 13) 2sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
+ sin
4
x
π
 
−
 ÷
 
=
3 2
2
14)
2
3cos + 4sinx + = 3
3cos + 4sinx - 6
x
x
15) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0
16) cos7x - sin5x =

3
(cos5x - sin7x) 17) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0
18) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0 19) cos
2
x - sin
2
x -
3
sin2x = 1
20) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
- 9)cos
2
x = 0 21) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos
2
x = 4
22) sin
2

x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 23) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
24) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 25) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos
2
x + 1
26) tan
2
x - tanxtan3x = 2 27)
2
5 - 3sin x - 4cosx
= 1 - 2cosx
28) cos3xtan5x = sin7x 29) tanx + cotx = 4 30.
sin 2
1 + sinx
x
+ 2cosx = 0
31) 2tanx + cotx =
2
3 +
sin2x
32, tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
33) 2sin3x(1 - 4sin
2
x) = 1 34)
2 2
cot x - tan x
= 16(1 + cos4x)
cos2x
35) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
1
16

36) cos10x + cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
2
3x
37) sin
2
xcosx =
1
4
+ cos
3
xsinx 38) sin
6
x + cos
6
x = cos4x
39) sin
4
x + cos
4
x =
7
8
cot(x +
π
3
)cot(
π

6
- x) 40)
sinxcot5x
= 1
cos9x
41) sin
3
xcos3x + cos
3
xsin3x = sin
3
4x 42) 2sin3x -
1
sinx
= 2cos3x +
1
cosx
43) cos
3
xcos3x + sin
3
xsin3x =
2
4
Bµi 12. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sau:
1) sin3x +sin2x = 5sinx
2) sinx +
3
cosx = 2cos3x
3) 2(1-sin2x) – 5(sinx - cosx) + 3 = 0

Gi¸o viªn: TrÞnh C«ng H¶i 3
4) cotx = tanx +
2 cos 4
sin 2
x
x
5) sin
3
x cos
3
x = cos2x.
tan tan
4 4
x x


+
ữ ữ

6) 8sinx =
3 1
cos sinx x
+

7) tan
3
x

ữ

tan
3
x


+
ữ

.sin3x = sinx + sin2x
8) (cos
2
x
+sin
2
x
)
2
+
3
cosx = 2
9) cos
2
3x.cos2x cos
2
x = 0
10) 5sin3x = 3sin5x
11) tan
2

x - tanx.tan3x = 2
12) sinxcos4x - sin
2
2x = 4sin
2
7
4 2 2
x



ữ


13) 8cos
3
3
x


+
ữ

= cos3x
14) 4sin
2
2x + sin
2
6x - 4sin2xsin
2

6x = 0
15)
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2
x x x x
x x
+ +
=
+
16) (1+cosx)(1+cos2x)(1+cos3x) =
1
2
17) sin
2008
x + cos
2009
x = 1
18) tan
2
x =
1 cos
1 sin
x
x
+

19) sin
5

x + cos
5
x = 2 - sin
4
x
20)
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x


= +
ữ ữ

Bài 13. Giải và biện luận phơng trình: 2m(cosx + sinx) = 2m
2
+ cosx - sinx +
3
2

Bài 14. Tìm m để phơng trình: (2sinx -1)(2cos2x + 2sinx +m) = 3 - 4cos
2
x có đúng hai
nghiệm phân biệt thuộc [ 0 ;

] .
Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A =
sin 4cos 1
2 sin

x x
x
+ +
+
Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
B = sin
2
x + sin
4
y + sin
6
z khi sinx + siny + sinz = 0.
Giáo viên: Trịnh Công Hải 4