Bài giảng Giải tích hàm

Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm

Ngày 22 tháng 2 năm 2016


1
Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn Giải
tích hàm TTH104.
Biên soạn:
• Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Thành phố Hồ Chí Minh. Người biên tập hiện nay. Email:
• Đinh Ngọc Thanh, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Bài giảng và bản .doc
Giải tích hàm là một trong những môn quan trọng nhất cho sinh viên toán, nơi sinh viên
có những hiểu biết đầu tiên, cơ bản về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này
là không thể thiếu cho nhiều chuyên ngành toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi
mà khả năng tiếp thu và sử dụng các lí luận toán học trừu tượng và chính xác được rèn
luyện và kiểm tra.
Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc, không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến
tính liên tục cùng các định lí cơ bản về chúng, không gian Hilbert.


Mục lục
1

2

3

4

Không gian mêtríc
1.1 Đóng, mở, hội tụ, liên tục . .
1.2 Không gian mêtríc con . . . .
1.3 Không gian compắc . . . . .
1.4 Các kết quả khác . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3
3
5
6
7

Không gian định chuẩn
2.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . .
2.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . .
2.3 Không gian hữu hạn chiều . . . . . .
2.4 Không gian ℓ p . . . . . . . . . . . .
2.5 Không gian các hàm liên tục . . . . .
2.6 Không gian L p . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Tóm tắt về độ đo và tích phân
2.7 Các kết quả khác . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
10
11
13

13
15
15
15

Ánh xạ tuyến tính liên tục
3.1 Sự liên tục và chuẩn của ánh xạ tuyến tính
3.2 Tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính . . . .
3.3 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt
3.3.1 Toán tử tích phân . . . . . . . . .
3.3.2 Đối ngẫu của L p . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

19
19
20
22
22
22

Không gian Hilbert
4.1 Không gian với tích trong . . . . . .
4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . .
4.4 Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Hệ trực giao . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Không gian Hilbert tách được.
4.5.2 Không gian Hilbert bất kì . .
4.6 Một ứng dụng: Xấp xỉ Fourier . . . .

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

26
26
27
27
27
28
28
29
31

.
.
.
.

.

.
.
.

2

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 1

Không gian mêtríc
Ở đây mêtríc nghĩa là khoảng cách. Không gian mêtríc nghĩa là không gian có khoảng
cách. Ở chương này chúng ta khảo sát một số tính chất của không gian mêtríc có liên
quan tới giải tích hàm.
Định nghĩa 1.0.1. Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ
d : X×X
(x, y)

→ R
→

d(x, y)

được gọi là một mêtríc (khoảng cách) trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y, z ∈
X:
(a) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
(b) d(x, y) = d(y, x),
(c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Tập X với một mêtríc d được gọi là không gian mêtríc (X, d) hay vắn tắt là X khi mêtríc
d được ngầm hiểu và không gây nhầm lẫn. Mỗi phần tử của tập X còn được gọi là một
điểm.
Ví dụ 1.0.2 (không gian Euclid Rn ). Tập hợp Rn = {(x 1, x 2, . . ., x n ) | x 1 ∈ R, x 2 ∈
R, . . ., x n ∈ R} với mêtric Euclid
d((x 1, x 2, . . ., x n ), (y1, y2, . . ., y n )) =

(x 1 − y1 ) 2 + (x 2 − y2 ) 2 + · · · + (x n − yn ) 2

được gọi là không gian Euclid n-chiều. Đặc biệt không gian mêtríc Euclid R có mêtríc

thông thường d(a, b) = |a − b|.

1.1

Đóng, mở, hội tụ, liên tục

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian mêtríc (X, d), a ∈ X và số thực r > 0. Các tập
B(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) < r }
3


4

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
B ′ (a, r) = {x ∈ X | d(x, a) ≤ r }
S(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) = r }
lần lượt được gọi là quả cầu mở, quả cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r.

Định nghĩa 1.1.2. Với tập con A ⊂ X, ta nói A là một tập mở (trong X) nếu ứng với
mỗi x ∈ A, tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A. Nếu X \ A là một tập mở, ta nói A là một
tập đóng (trong X).
Mệnh đề 1.1.3. Cho là một không gian mêtríc (X, d) và ( Ai )i ∈I là một họ không rỗng
các tập con của X. Ta có
(a) Nếu Ai là các tập mở thì
(b) Nếu Ai là các tập đóng thì

i ∈I

Ai là một tập mở.

i ∈I

Ai là một tập đóng.

(c) Nếu Ai là các tập mở và I là tập hữu hạn thì là
(d) Nếu Ai là các tập đóng và I là tập hữu hạn thì

i ∈I
i ∈I

Ai một tập mở.
Ai là một tập đóng.

Định nghĩa 1.1.4. Tập con A ⊂ X được gọi là bị chận nếu tồn tại a ∈ X, r > 0, sao cho
A ⊂ B(a, r).
Chú ý rằng mọi quả cầu mở đều là một tập mở, mọi quả cầu đóng cũng như mặt
cầu đều là tập đóng. Ngoài ra, trong không gian mêtríc X, các tập ∅ và X là các tập vừa
đóng vừa mở (trong X).
Định nghĩa 1.1.5. Cho (x n )n ≥1 là một dãy các phần tử của một không gian mêtríc
(X, d). Ta nói (x n )n ≥1 là dãy hội tụ (trong X) nếu tồn tại x ∈ X sao cho limn→∞ d(x n, x) =
0, nghĩa là ứng với mỗi ϵ > 0, tồn tại n0 ∈ Z+ sao cho d(x n, x) < ϵ, với mọi n ≥ n0 .
Khi đó, phần tử x, nếu có, thì duy nhất và được gọi là giới hạn của dãy {x n }, ký hiệu
limn→∞ x n = x. Ta còn viết x n → x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.6. Cho A là một tập con của không gian mêtríc (X, d). Phần tử a ∈ X
được gọi là một điểm dính của A nếu mọi quả cầu tâm a đều có chứa ít nhất một phần
tử của A, nghĩa là
∀r > 0, B(a, r) ∩ A ∅.
¯ Phần tử
Tập các điểm dính của A được gọi là phần dính hay bao đóng của A, ký hiệu A.
được a gọi là một điểm trong của A nếu tồn tại một quả cầu tâm a chứa trong A, nghĩa

là
∃r > 0, B(a, r) ⊂ A.
◦

Tập các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu A hay intA.
Mệnh đề 1.1.7. Cho là A một tập con của một không gian mêtríc thì
(a) A¯ là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A,
◦

(b) A là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A.


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC

5

Mệnh đề 1.1.8. Cho là một tập con A trong không gian mêtríc X và x ∈ X. Ta có x là
một điểm dính của A, nếu và chỉ nếu tồn tại dãy (x n ) trong A hội tụ về x. Do đó A là
¯
một tập đóng nếu và chỉ nếu A = A.
Ta có thể đặc trưng tập đóng bằng dãy như sau:
Mệnh đề 1.1.9. Cho A là một tập con trong không gian mêtríc X. Ta có A là một tập
đóng (trong X) nếu và chỉ nếu với mọi dãy trong A hội tụ (trong X), giới hạn của nó
phải nằm trong A.
Định lí 1.1.10. Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X, d X ) vào không gian mêtríc
(Y, dY ). Điều kiện cần và đủ để f liên tục tại x là với mọi dãy (x n ) trong X, nếu
x n → x (trong X) thì f (x n ) → f (x) (trong Y ).
Định lí 1.1.11. Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X, d X ) vào không gian mêtríc
(Y, dY ). f liên tục trên X nếu và chỉ nếu ảnh ngược qua f của tập mở trong Y (tập đóng
trong Y ) là tập mở trong X (tập đóng trong X).

Định nghĩa 1.1.12. (a) (x n )n ≥1 là dãy Cauchy (trong X) nếu ứng với mỗi ϵ > 0, tồn
tại n0 ∈ Z+ sao cho d(x m, x n ) < ϵ, với mọi m, n ≥ n0 .
(b) (x n )n ≥1 là dãy bị chận (trong X) nếu ảnh của nó, {x n | n ∈ Z+ }, là một tập con
bị chận của X.
Mệnh đề 1.1.13.

(a) Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.

(b) Mọi dãy Cauchy đều bị chận.
Chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát.
Định nghĩa 1.1.14. Cho không gian mêtríc (X, d). Ta nói (X, d) là đầy đủ khi mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ (trong X).

1.2

Không gian mêtríc con

Cho không gian mêtríc (X, d) và Y là một tập con không rỗng của X. Ánh xạ dY ≡
d|Y ×Y , d y (x, y) = d(x, y) với mọi x, y ∈ Y , là một mêtríc trên Y mà ta gọi là mêtríc thu
hẹp của X lên Y . Không gian mêtríc (Y, dY ) được gọi là một không gian (mêtríc) con
của không gian mêtríc X.
Chú ý rằng với Y là một không gian con của X và A là một tập con của Y , ta cần
phân biệt các trường hợp A đóng/mở trong X với trường hợp A đóng/mở trong Y . Tương
tự, với dãy (x n ), ta phân biệt trường hợp (x n ) hội tụ trong X với trường hợp (x n ) hội
tụ trong Y .
Ta có sự liên hệ giữa tính đóng/mở trong một không gian với tính đóng/mở trong
một không gian con của nó như sau.
Mệnh đề 1.2.1. Cho Y là một tập con không rỗng của một không gian mêtríc X và
A ⊂ Y . Ta có:
(a) A mở trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại tập V mở trong X sao cho A = V ∩Y .

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC

6

(b) A đóng trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại tập F đóng trong X sao cho A = F ∩Y .
Cho Y là một tập con không rỗng của một không gian mêtríc (X, d). Khi đó Y trở
thành một không gian mêtríc, không gian mêtríc con của X. Ta nói Y là tập đầy đủ
(compắc) khi không gian mêtríc (con) Y là không gian đầy đủ (compắc).
Mệnh đề 1.2.2. Cho Y là một tập con của không gian mêtríc X. Ta có
(a) Nếu Y đầy đủ thì là tập đóng (trong X).
(b) Nếu Y là tập đóng (trong X) và X là đầy đủ thì Y là đầy đủ.

1.3

Không gian compắc

Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian mêtríc (X, d). Ta nói (X, d) là compắc khi mọi dãy
trong X đều có một dãy con hội tụ trong X.
Mệnh đề 1.3.2. Cho Y là một tập con không rỗng của không gian mêtríc X. Ta có
(a) Nếu Y compắc thì bị chận và đầy đủ (và do đó là tập đóng).
(b) Nếu Y là tập đóng (trong X) và X compắc thì Y cũng là tập compắc.
Định lí 1.3.3 (ảnh liên tục của không gian compắc là compắc). Cho f là một ánh xạ
liên tục giữa hai không gian mêtríc (X, d X ) và (Y, dY ). Nếu X compắc thì f (X ) cũng
compắc.
Định lí 1.3.4 (liên tục trên không gian compắc thì liên tục đều). Cho f là một ánh xạ
liên tục giữa hai không gian mêtríc (X, d X ) và (Y, dY ). Nếu X compắc thì f liên tục
đều trên X, nghĩa là ứng với mỗi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
d X (x, y) < δ =⇒ d y ( f (x), f (y)) < ϵ .

Định lí 1.3.5 (định lí Bolzano-Weierstrass). Mọi khoảng đóng [a, b] đều là tập compắc
trong không gian mêtríc Euclid.
Ta có đặc trưng quan trọng sau của tập compắc trong không gian Euclid:
Định lí 1.3.6. Một tập con của không gian Euclid Rn là tập compắc nếu và chỉ nếu nó
là tập đóng và bị chận.
Định lí 1.3.7. Cho là một không gian mêtríc compắc X, và là một ánh xạ liên tục f từ
X vào R với mêtríc Euclid. Ta có
(a) f là hàm bị chận, nghĩa là f (X ) là một tập con bị chận của R,
(b) f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên X, nghĩa là tồn tại a, b ∈ X sao cho
f (a) = sup f (X ) = max f (X ) và f (b) = inf f (X ) = min f (X ).


7

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC

1.4

Các kết quả khác

Định lí 1.4.1 (nguyên lí ánh xạ co). Cho (E, d) là một không gian mêtríc đầy đủ,
α ∈ (0, 1) và f là một ánh xạ từ E vào E. Giả sử
d( f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ E.
Ta nói f là một ánh xạ co với hằng số co α trên E. Khi đó
(a) f liên tục trên E.
(b) Với a ∈ E bất kì, dãy (x n )n ≥1 xác định bởi
x1

=

a

x n+1

=

f (x n ), n ≥ 1,

là một dãy Cauchy trong E.
(c) Dãy (x n )n ≥1 trên hội tụ về một x ∈ E sao cho f (x) = x. Điểm x csao cho f (x) = x
và được gọi là điểm bất động của f .
Có thể đọc thêm về điểm bất động ở Kreyszig [3, chương 5].

Bài tập
Các kết quả được nêu ở trên trong chương này đều là các bài tập.
Bài tập 1.4.2. Cho là một không gian mêtríc (X, d), a ∈ X, và r > 0. Chứng minh rằng
quả cầu mở B(a, r) là một tập mở, quả cầu đóng B ′ (a, r) và mặt cầu S(a, r) là các tập
đóng.
Bài tập 1.4.3. Chứng minh mọi dãy Cauchy trong một không gian metric nếu có dãy
con hội tụ thì hội tụ.
Bài tập 1.4.4. Cho (x n )n ≥1 là một dãy trong một không gian mêtríc X và x trong X.
Chứng minh hai điều sau đây tương đương:
(a) Có một dãy con x n k

k ≥1

của (x n ) hội tụ về x trong X.

(b) Tập {n ≥ 1 | x n ∈ B(x, r)} là một tập vô hạn với mọi số thực r > 0.
Bài tập 1.4.5. Cho A là một tập compắc của một không gian mêtríc X và (x n )n ≥1 là

một dãy Cauchy trong X. Chứng minh dãy (x n )n ≥1 hội tụ về một phần tử trong A.
Bài tập 1.4.6. Cho một dãy Cauchy (x n )n ≥1 trong một không gian mêtríc X. Giả sử
có một dãy con (x n k )k ≥1 của (x n ) sao cho dãy (x n k ) hội tụ về xtrong X. Chứng minh
dãy (x n ) hội tụ về x trong X.
Bài tập 1.4.7. Cho A là một tập con của một không gian mêtríc (E, d E ), f là một ánh
xạ từ E vào một không gian mêtríc (F, d F ). Giả sử với mọi số thực dương η có một ánh
xạ liên tục gη từ E vào F sao cho
d F ( f (x), gη (x)) < η, ∀x ∈ A.
Chứng minh f liên tục trên A.


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC

8

Bài tập 1.4.8. Cho A là một không gian mêtríc compắc và f là một đơn ánh liên tục từ
A vào một không gian mêtríc F. Chứng minh f −1 : F → A là một ánh xạ liên tục.


Chương 3

Ánh xạ tuyến tính liên tục
3.1

Sự liên tục và chuẩn của ánh xạ tuyến tính

Cho E và F là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường F là R hoặc C. Nhắc lại một ánh
xạ Λ : E → F là một ánh xạ tuyến tính nếu
Λ (αx + βy) = αΛ(x) + βΛ(y),
với mọi x, y ∈ E, α, β ∈ F. Với ánh xạ tuyến tính, người ta có thói quen đôi khi viết Λ(x) là Λx.

Gọi L(E, F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Đây là đối tượng nghiên
cứu của chương này. Khi F = F thì L(E, F) còn được kí hiệu là E ∗ và mỗi phần tử của E ∗ còn được
gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Mệnh đề 3.1.1. Ánh xạ tuyến tính liên tục tại một điểm thì liên tục tại mọi điểm.
Chứng minh. Cho T là tuyến tính liên tục tại x 0 . Theo định nghĩa ta có
∀ϵ, ∃δ > 0, ∥ x − x 0 ∥ < δ ⇒ ∥T x − T x 0 ∥ < ϵ .
Điều này có thể được viết lại một cách tương đương là
∀ϵ, ∃δ > 0, ∥(x − x 0 ) − 0∥ < δ ⇒ ∥T x − T x 0 ∥ = ∥T (x − x 0 ) − T0∥ < ϵ .
Tức là T là liên tục tại 0. Như vậy liên tục tại một điểm nào đó thì liên tục tại 0, còn liên tục tại 0
dẫn tới liên tục tại một điểm bất kì.
Một cách viết khác là dùng dãy. T liên tục tại x 0 khi và chỉ khi (x n → x 0 ) ⇒ (T x n → T x 0 ).
Điều này tương đương với (x n − x 0 → 0) ⇒ (T (x n − x 0 ) → 0). Đặt yn = x n − x 0 thì điều này tương
đương với (yn → 0) ⇒ (T yn → T0), tức là T là liên tục tại 0.
Cho T là tuyến tính liên tục. Liên tục tại mọi điểm đồng nghĩa với liên tục tại 0. Theo định
nghĩa ta có
∀ϵ, ∃δ > 0, ∥ x∥ < δ ⇒ ∥T x∥ < ϵ .
Do đó

x
x
<1⇒ T
δ
δ

ϵ
< .
δ

Đặt y = x/δ thì ta được

ϵ
∥ y∥ < 1 ⇒ ∥T y∥ < .
δ
Như vậy ta có nhận xét quan trọng: ánh xạ tuyến tính liên tục thì bị chặn trên quả cầu đơn vị.
Dễ dàng chứng minh được kết quả nền tảng sau:
Mệnh đề 3.1.2. Đặt
∥T ∥ = sup{∥T x∥ | x ∈ B(0, 1)}

thì đây là một chuẩn trên L(E, F).

18


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

19

Mệnh đề 3.1.3. Với T ∈ L(E, F) thì
∥T ∥ =

sup ∥T x∥ = sup ∥T x∥ = sup ∥T x∥
∥ x ∥ ≤1

∥ x ∥<1

∥ x ∥=1

= min{M ∈ R | ∀x ∈ E, ∥T x∥ ≤ M ∥ x∥}.
Một hệ quả đáng nhớ là
∀x ∈ E, ∥T x∥ ≤ ∥T ∥ ∥ x∥ .

Một kết quả liên quan tuy đơn giản nhưng rất có ích:
Mệnh đề 3.1.4. Ánh xạ tuyến tính T : E → F là liên tục khi và chỉ khi có M ∈ R sao cho
∀x ∈ E, ∥T x∥ ≤ M ∥ x∥ .
Định lí 3.1.5. Nếu F là một không gian Banach thì L(E, F) là một không gian Banach.
Chứng minh. Chứng minh này có điểm tương tự chứng minh của mệnh đề 2.5.2. Giả sử (Tn )n ∈Z+
là một dãy Cauchy trong L(E, F). Cho ϵ > 0, có N ∈ Z+ sao cho với m, n ≥ N thì ∥Tm − Tn ∥ < ϵ.
Với mỗi x ∈ E, vì
(3.1)
∥Tm x − Tn x∥ ≤ ∥Tm − Tn ∥ ∥ x∥ < ϵ ∥ x∥ ,
nên (Tn x)n ∈Z+ là một dãy Cauchy trong F, do đó hội tụ về một phần tử của F gọi là T x. Nói cách
khác dãy hàm (Tn )n ∈Z+ hội tụ từng điểm về hàm T. Dễ dàng kiểm tra rằng T là tuyến tính.
Lấy giới hạn hai vế của 3.1 khi m tiến ra vô cùng ta được với n ≥ N thì
∥Tn x − T x∥ ≤ ϵ ∥ x∥ ,
suy ra (Tn − T ) ∈ L(E, F), do đó T ∈ L(E, F), và ∥Tn − T ∥ ≤ ϵ. Vậy (Tn )n ∈Z+ hội tụ về T trong
L(E, F).

3.2

Tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính

Cách tìm chuẩn trong một số trường hợp đơn giản:
(a) Tìm một đánh giá ∥T x∥ ≤ M ∥ x∥.
(b) Tìm một x với ∥T x∥ = M ∥ x∥, hoặc một dãy x n với ∥ x n ∥ ≤ 1 và ∥T x n ∥ → M.
(c) Kết luận ∥T ∥ = M.

Ví dụ 3.2.1. Giả sử T : R → Rn tuyến tính. Khi đó T x = a · x với
a=

a1
a2

..
.

∈ Rn .

an
Ta có
|T x| = ∥a∥ |x|,

do đó ∥T ∥ ≤ a. Vì T (1) = a, ta kết luận ∥T ∥ = ∥a∥.
Cho T : R2 → R, [T] = (a, b),
T (x, y) = (a, b) ·
Với chuẩn ∥(x, y)∥ =

x
y

= ax + by.

x 2 + y 2 thì

x 2 + y 2 = a2 + b2 ∥(x, y)∥ .
√
Nếu lấy (x, y) = (a, b) thì dấu bằng xảy ra. Vậy ∥T ∥ = a2 + b2 .
|T (x, y)| = |ax + by| ≤

a2 + b2 ·


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

20

Định lí 3.2.2. Mọi ánh xạ tuyến tính trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều liên tục.
Hơn nữa, nếu T là liên tục thì vì quả cầu đơn vị trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều là
compắc nên
∥T ∥ = sup ∥T x∥ = max ∥T x∥ = max ∥T x∥ .
∥ x ∥ ≤1

∥ x ∥ ≤1

∥ x ∥=1

Chứng minh. Trước hết xét T : (Rn, ∥∥ 2 ) → F tuyến tính. Ta có
n

|T (x 1, . . ., x n )| = |T (

n

i=1

x i ei )| = |

n

≤

i=1

x i T ei |

n

i=1

x 2i ·

i=1

n

|T ei | 2 =

i=1

|T ei | 2 ∥(x 1, . . ., x n )∥ 2 .

Vậy T liên tục.
Ta biết nếu E là một không gian định chuẩn n-chiều thì trong một cơ sở tuyến tính của E, ánh
xạ
E → (Rn, ∥ ∥ 2 )

(x 1, . . ., x n ) → (x 1, . . ., x n )
là một đồng phôi tuyến tính. Từ đây có ngay điều phải chứng minh.
Remark 3.2.1. Tuy vậy việc tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều có thể
không dễ, chẳng hạn trong trường hợp không gian Euclid.
√
Mệnh đề 3.2.3. Cho T : Rn → Rn . Với chuẩn ∥ ∥ 2 thì ∥T ∥ = max1≤i ≤n λ i trong đó λ i là các giá
trị riêng của T ∗T, trong đó T ∗ là toán tử liên hợp của T, được định nghĩa bởi

⟨T x, y⟩ = x,T ∗ y
với nhân vô hướng sẵn có của không gian Euclid.
Chứng minh. Ta có T ∗T có n giá trị riêng thực. Gọi {ei | 1 ≤ i ≤ n} là một cơ sở trực chuẩn gồm
các vectơ riêng. Khi đó
∥T x∥ 22 = ⟨T x, x⟩ = T ∗T x, x
n

n

∗

x i (T T )(ei ),

=
i=1

=
i

x i ei
i=1

λ i x 2i ≤ max λ i ∥ x∥ 22 .
i

Khi x = ei 0 thì đẳng thức xảy ra.

3.3
3.3.1

Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt
Toán tử tích phân

Cho A ⊂ Rn compắc và K : A × A → R liên tục. Xét
T : C( A, R) → C( A, R)
x → T x : A → R, T x(t) =

ˆ

K (s, t)x(s) ds.
A

Ở đây ta đang dùng tích phân Lebesgue (nếu thay A bằng một hình hộp thì có thể dùng tích phân
Riemann). Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục (xem 2.8.18).


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

21

3.3.2 Đối ngẫu của L p
Cho p, q ∈ (1, ∞) sao cho

1 1
+ = 1.
p q

Với g ∈ L q (Ω). Xét ánh xạ
S : L p (Ω) → R
ˆ

f →
f g.
Ω

Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Thật vậy do bất đẳng thức Holder:
|S( f )| ≤ ∥ f ∥ p ∥g∥ q .
Để xảy ra đẳng thức, ta chọn f sao cho f g = |g| q . Chỉ cần lấy
f = |g| q g −1 = |g| q−2 |g| 2 g −1 = |g| q−2 g 2 g −1 = |g| q−2 g.
Vậy ∥S∥ = ∥g∥ q . Do đó ánh xạ
Lq

→

Lp

∗

g → S(g)
là một ánh xạ tuyến tính liên tục bảo toàn chuẩn. Việc ánh xạ này là toàn ánh là nội dung của định
lý biểu diễn Riesz. Khi đó ánh xạ trên là một đẳng cấu metric (đẳng cự) và ta nói (L p ) ∗ = L q .

3.4

Định lí Hahn-Banach

Định lí 3.4.1. Cho M là một không gian con của không gian định chuẩn E trên trường F = R, C.
Khi đó mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ M vào F đều mở rộng được thành ánh xạ tuyến tính liên
tục từ E vào F bảo toàn chuẩn.
Chứng minh. Xét trường hợp trường hợp F = R. Trước hết xét trường hợp M E và E = M + N
với N là một không gian con một chiều của E. Lấy 0 x 0 ∈ N. Giả sử T : M → F tuyến tính liên

tục. Một mở rộng tuyến tính của T thành T˜ : E → F sẽ được xác định bởi giá trị của nó tại x 0 . Đặt
α = T˜ (x 0 ). Ta chứng tỏ tồn tại giá trị α để T˜ là liên tục.
|T˜ (x + t x 0 )| ≤ ∥T ∥ ∥ x + t x 0 ∥ , ∀t ∈ F, x ∈ M.

Thay x bởi t x điều trên tương đương với

|T˜ (x + x 0 )| ≤ ∥T ∥ ∥ x + x 0 ∥ , ∀x ∈ M,
tức là
∥T ∥ ∥ x + x 0 ∥ − T x ≤ α ≤ ∥T ∥ ∥ x + x 0 ∥ − T x, ∀x ∈ M.

Ta khẳng định luôn tồn tại α thỏa điều kiện trên. Thực vậy, với mọi x, y ∈ M thì
∥T ∥ ∥ x + x 0 ∥ − T x ≤ ∥T ∥ ∥ y + x 0 ∥ − T y
do bất đẳng thức tam giác:
T (y − x) ≤ ∥T ∥ ∥ y − x∥ ≤ ∥T ∥ (∥ y + x 0 ∥ − ∥ x + x 0 ∥).
Bây giờ xét tập C tất cả các cặp ( A, S) trong đó A là một không gian con của E chứa M, và S
là một mở rộng bảo toàn chuẩn của T lên A. Trên tập hợp này xét quan hệ thứ tự ( A, S) ≤ ( A′, S ′ )
nếu A ⊂ A′ và S ′ | A = S. Giả sử F là một họ con có thứ tự toàn phần. Đặt B = A( A, S) ∈F . Đặt


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

22

g : B → R bởi g(x) = S(x) nếu ( A, S) ∈ F và x ∈ A thì ánh xạ này được định nghĩa tốt. Khi đó g là
tuyến tính, và
|g(x)| = |S(x)| ≤ ∥S∥ ∥ x∥ = ∥T ∥ ∥ x∥
nên g là liên tục. Đẳng thức trên cũng chứng tỏ ngay ∥g∥ = ∥T ∥. Vậy cặp (B, g) là một chận trên
của họ F.
Theo bổ đề Zorn (3.4.2), tập C có một phần tử cực đại ( A, S). Do luôn mở rộng được một chiều
cao hơn như trên đã chỉ ra nên A phải bằng E.

Xét trường hợp F = C. Trước hết ta chú ý điều sau về ánh xạ tuyến tính phức. Giả sử T : E → C
tuyến tính, T = u + iv. Khi đó u và v tuyến tính trên trường R, và
T (ix) = u(ix) + iv(ix) = iT (x) = −v(x) + iu(x),
do đó v(x) = −u(ix), tức là T (x) = u(x) − iu(ix). Ngược lại nếu u tuyến tính trên trường R và
T (x) = u(x) −iu(ix) thì T là tuyến tính trên C, vì T (ix) = iT (x). Xét chuẩn của T. Lấy α = T x/|T x|
thì |α| = 1 và αT x = |T x|. Khi đó
|T x| = αT x = T (αx) = u(αx) ≤ ∥u∥ |α| ∥ x∥ = ∥u∥ ∥ x∥ .
Từ đây suy ra ngay ∥T ∥ = ∥u∥. Tóm lại phần thực sẽ quyết định ánh xạ tuyến tính liên tục phức.
Như vậy ta chỉ cần áp dụng dạng thực của định lí Hahn-Banach cho phần thực của T thì sẽ
được ngay dạng phức.
Chứng minh trên của định lí Hahn-Banach phụ thuộc vào bổ đề Zohn:
Mệnh đề 3.4.2 (bổ đề Zohn). Giả sử một tập hợp S có một thứ tự cho các phần tử. Giả sử mọi tập
con của S mà trong đó hai phần tử bất kì so sánh được với nhau thì bị chặn trên. Khi đó S có một
phần tử cực đại.
Bổ đề Zohn tương đương với tiên đề chọn, tuy có lẽ không hiển nhiên nhưng được thừa nhận
làm tiên đề. Bổ đề Zohn thường được dùng một cách tương tự như phép qui nạp toán học trong
trường hợp vô hạn bất kì.

3.5

Một số kết quả khác

Một số dạng hình học của định lí Hahn-Banach, về việc tách tập lồi bằng siêu phẳng:
Định lí 3.5.1. Cho A, B là hai tập lồi không rỗng rời nhau trong không gian định chuẩn X trên
trường số thực. Giả sử A là tập mở. Tồn tại F ∈ X ∗ và α ∈ R sao cho F (x) < α ≤ F (y), với mọi
x ∈ A, y ∈ B.
Định lí 3.5.2. Cho A, B là hai tập lồi không rỗng rời nhau trong không gian định chuẩn X trên
trường số thực. Giả sử A compắc và B đóng. Tồn tại F ∈ X ∗ , α, β ∈ R, α < β sao cho F (x) ≤ α <
β ≤ F (y), với mọi x ∈ A, y ∈ B.
Một định lí quan trọng về ánh xạ tuyến tính liên tục:

Định lí 3.5.3 (định lí ánh xạ mở). Một toàn ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach
thì mang tập mở thành tập mở.
Hệ quả 3.5.4. Nếu một ánh xạ là song ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach thì ánh
xạ ngược cũng tuyến tính liên tục


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

3.6

23

Bài tập

3.6.1. Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Giả sử Λ
Λx 0. Các phát biểu sau là tương đương

0, nghĩa là tồn tại x ∈ X sao cho

(a) Λ liên tục.
(b) N (Λ) = { x ∈ X | Λx = 0} là không gian con đóng.
(c) N (Λ) không dầy đặc trong X, nghĩa là N (Λ)

X.

(d) Λ bị chận trên một lân cận V của 0.
3.6.2. Xét (R2, ∥·∥ ∞ ). Cho A =

1 2
. Tính ∥ A∥ trong L(R2, R2 ).

3 4

3.6.3. Xét ánh xạ
T : ℓ1 → ℓ1

(x 1, x 2, . . ., x n, . . . ) → (x 2, x 3, . . ., x n+1, . . . ).
Như vậy ánh xạ T bỏ đi phần tử đầu tiên của mỗi dãy. Chứng tỏ T được xác định, tuyến tính, liên
tục. Tính chuẩn của T.
3.6.4. Xét ánh xạ
T : ℓ∞ → R
x → Tx =

∞

xn
.
n
3
n=1

Chứng tỏ T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ ℓ ∞ vào R. Tính ∥T ∥.

3.6.5. Với x ∈C([0, 1], R) đặt T x là hàm cho bởi
ˆ 1
T (x)(t) =
x(s) sin(st) ds,
0

0 ≤ t ≤ 1.

(a) Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C([0, 1], R) với chuẩn ∥ x∥∞ = supt ∈[0,1] |x(t)|.
(b) Ước lượng ∥T ∥.
(c) Hãy tính chính xác ∥T ∥.
3.6.6. Với x ∈C([0, 1], R) đặt T x là hàm cho bởi
T (x)(t) = x(1 − t),

0 ≤ t ≤ 1.

Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C([0, 1], R) với chuẩn ∥ x∥∞ = supt ∈[0,1] |x(t)|. Tính
∥T ∥.
Xét E = C([0, 1], R). Đặt
T:E → E
f

→ Tf

với
T f : [0, 1] → R
ˆ t
t →
f (s) ds.
0

Như vậy T mang mỗi hàm thành nguyên hàm của nó.


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

24

(a) Hãy kiểm T được định nghĩa tốt, tức T f là hàm liên tục.
(b) Hãy kiểm T là ánh xạ tuyến tính.
(c) Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính liên tục.
(d) Hãy ước lượng ∥T ∥.
(e) Hãy tính chính xác ∥T ∥.
(f) Chứng tỏ T là song ánh lên tập giá trị của nó nhưng ánh xạ ngược không liên tục.
3.6.7. Xét E = C([0, 1], R) với chuẩn sup. Với f ∈ E đặt
Tf =

1/2

ˆ

0

f−

ˆ

1

f.

1/2

(a) Chứng tỏ T là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E.
(b) Gọi f n là phiếm hàm tuyến tính liên tục bằng 1 trên [0, 12 − n1 ] và bằng −1 trên [ 12 + n1 , 1].
Tính ∥ f n ∥ và T f n .
(c) Tính ∥T ∥.
3.6.8. Cho E là không gian L 1 (Rn ) với chuẩn ∥·∥ 1 và M = Cc (Rn, R). Đặt

ˆ
T (u) = u (t) dt, ∀u ∈ M.
Rn

Chứng minh T là một ánh xạ liên tục trên M và có S trong L (E, R) sao cho S (u) = T (u) với mọi
u thuộc M. (Biết Cc (Rn, R) trù mật trong L 1 (Rn )).
3.6.9. Cho E là một không gian định chuẩn. Cho S,T là ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E.
(a) Hãy kiểm S ◦ T là ánh xạ tuyến tính liên tục.
(b) Chứng tỏ ∥S ◦ T ∥ ≤ ∥S∥ ∥T ∥.
(c) Viết S n = S n−1 ◦ S với n ∈ Z+ , n ≥ 2. Hãy ước lượng ∥S n ∥.
3.6.10. Cho E là một không gian Banach và S trong L (E, E). Giả sử c = ∥S∥ < 1.
(a) Chứng tỏ I + S + S 2 + · · · + S n ≤
(b) Chứng tỏ chuỗi

∞
n
n=0 S

1
1−c

với mọi n ≥ 1. Ở đây I chỉ ánh xạ đồng nhất.

hội tụ trong L(E, E).

(c) Chứng tỏ ánh xạ (I − S) khả nghịch và (I − S) −1 =

∞
n
n=0 S .

3.6.11. Cho T là một song ánh tuyến tính từ một không gian định chuẩn (E, ∥·∥ E ) vào một không
gian định chuẩn (F, ∥·∥ F ). Đặt S = T −1 . Chứng minh
(a) S là một ánh xạ tuyến tính từ F vào E.
(b) Nếu S, T liên tục thì ∥S∥ ≥ ∥T ∥ −1 .
3.6.12. Cho M là một không gian vectơ con dầy đặc trong một không gian định chuẩn E và T
trong L(M, F). Chứng minh có duy nhất một S trong L (E, F) sao cho S (x) = T (x) với mọi x
thuộc M.
3.6.13. Cho T là một ánh xạ tuyến tính từ một không gian định chuẩn (E, ∥·∥ E ) vào một không
gian định chuẩn (F, ∥·∥ F ). Giả sử E hữu hạn chiều. Chứng minh T liên tục trên E.


CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

25

3.6.14. Cho x là một vectơ khác không trong một không gian định chuẩn E. Chứng minh có f ∈ E ∗
sao cho ∥ f ∥ = 1 và f (x) = ∥ x∥.

3.6.15. Cho x và y là hai vectơ khác nhau trong một không gian định chuẩn E. Chứng minh có
f ∈ E ∗ sao cho f (x) f (y).

3.6.16. Xét không gian định chuẩn X. Khi đó, với Λ ∈ X ∗ và x ∈ X, giá trị của phiếm hàm Λ tại
x, Λx ≡ Λ (x), còn được viết là
⟨Λ, x⟩,

mà ta còn gọi là tích đối ngẫu của (X ∗, X ). Nhắc lại rằng chuẩn trên X ∗ xác định bởi
∥Λ∥ = sup |⟨Λ, x⟩|,
∥ x ∥ ≤1

với mọi Λ ∈ X ∗ . Chứng tỏ với mọi x ∈ X, ta có
∥ x∥ =

sup
∥Λ ∥ X ∗ ≤1

|⟨Λ, x⟩| .

3.6.17. Cho N là một không gian vectơ con đóng của một không gian định chuẩn E và x ∈ E\N.
Chứng minh có f ∈ E ∗ sao cho f (N ) = {0} và f (x) = 1.

3.6.18. Cho x 1, · · · , x n là n vectơ độc lập tuyến tính trong một không gian định chuẩn E. Chứng
j
j
minh có f 1, · · · , f n trong E ∗ sao cho f i x j = δ i , ở đây δ i là số Kronecker.

3.6.19. Cho M là một không gian vectơ con của một không gian định chuẩn X và x 0 ∈ X. Ta có
x 0 nằm trong bao đóng M¯ của M nếu và chỉ nếu không tồn tại f ∈ X ∗ sao cho f (x) = 0, với mọi
x ∈ M nhưng f (x 0 ) 0, hay nói khác đi, với mọi f ∈ X ∗ , nếu f | M = 0 thì f (x 0 ) = 0.
Về mặt hình học, kết quả này cho thấy ta có thể tách x 0 M¯ ra khỏi M¯ bằng một siêu phẳng.