bai tap ve vec to trong khong gian

DNG 1: CC PHẫP TON, NG THC V VẫC T
Bi 1. Chng minh rng G l trng tõm t din ABCD Nú tha món mt trong hai iu kin sau:
1/ GA + GB + GC + GD = 0
Bi

2/ OA + OB + OC + OD = 4 OG ( O l im tựy ý)
2. Trong khụng gian cho 4 im tựy ý

A,

B,

C,

D.

Chng

minh

rng:

AB.CD + BC.DA + CA.DB = 0

Bi 3. Chng minh rng nu mt t din cú hai cp cnh i vuụng gúc thỡ cp cnh i cũn li cng vuụng gúc
Bi 4. Cho hỡnh hp ABCD.ABCD. Gi P, R th t l trung im AB, AD. Gi P, Q, Q, R th t l giao
im ca cỏc ng chộo trong cỏc mt ABCD, CDDC, ABCD, ADDA. Chng minh rng:
1/

PP' + QQ' + RR ' = 0

2/ Hai tam giỏc PQR, PQR cú cựng trng tõm
DNG 2. CHNG MINH BA IM PHN BIT THNG HNG
Phng phỏp: CM ba im A, B, C thng hng ta cú th chng minh:
Cỏch 1. A, B, C phõn bit thng hng

AB = k CD

Cỏch 2. A, B, C phõn bit thng hng, O l im tựy ý OC = mOA + nOB , vi m + n =1
Bi 1. Cho t din ABCD. G G, G ln lt l trng tõm t din ABCD v tam giỏc BCD. Chng minh rng: A,
G, G thng hng
Bi 2. Chng minh lý thuyt (cỏch 2)
DNG 3. CHNG MINH BA VẫC T (HAY BN IM) NG PHNG
Phng phỏp: chng minh bn im A, B, C, D ng phng ta cú th CM:
Cỏch 1. A, B, C, D ng phng AB, AC , AD ng phng m, n sao cho

AB = m AC + n AD

Cỏch 2. A, B, C, D ng phng (O l im tựy ý) OA = mOB + nOC + pOD
Bi 1. Cho t din ABCD. Ba im M, N, P trong khụng gian tha món:

OM = OA + t.OB 2OC
ON = (t + 1)OA + 2OB + OC
OP = (t 2)OA + 2OC
1/ Xỏc nh t ba vộc t OM , ON , OP ng phng
2/ Khi t=0, hóy biu din vộc t

v = 5OA + 10.OB 15OC

Bi 2. Cho t din ABCD. Gi M, N, P, Q ln lt l bn im ly trờn AB, BC, CD, DA. Chng minh rng nu
ba ng thng MN, PQ, AC ụi mt song song thỡ bn im P, Q, M, N ng phng

Bi 3. Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC. Gi I, J ln lt l trung im BB, AC. K l im trờn BC sao
cho

KC ' = 2 KB . Chng minh bn im A, I, J, K thng hng

Sở GD & ĐT Bắc Ninh
Trờng THPT Yên Phong 2

Đề kiểm tra một tiết
Môn Hình 11 Chơng 3 Sách Nâng cao
Phần I: Trắc nghiệm <4 điểm>
Câu 1: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu m a + n b +p c = 0 và m2 + n2 +p2 0 thì a , b, c đồng phẳng
B. 3 vectơ đồng phẳng thì chúng cùng nằm trong một mặt phẳng
C. 3 vectơ a, b, c đồng phẳng thì mọi vectơ d ta đều có d = x a + y b +z c
D. Cả 3 mệnh đề đều sai
Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Hai đờng thẳng phân biệt trong không gian cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3 thì chúng song song
B. Một đờng thẳng và 1 mặt phẳng cùng vuông gócvới 1 đờng thẳng thì chúng song song.
C. Cho hai đờng thẳng song song với nhau. Mặt phẳng nào vuông góc với đờng thẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với đờng thẳng thứ 2


D. Cho 2 mặt phẳng vuông góc với nhau . Khi đó mọi đờng thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với
mặt phẳng kia
Câu 3: Cho 2 đờng thẳng a, b và 2 mặt phẳng (), () Mệnh đề nào sau đây là sai:
A. a // () và b a thì b ().

B. a // () và b () thì b a.

C. a () và a // () thì () ()

D. a () và b a thì b //() hoặc b ()

Câu 4: Cho tứ diện OABC có OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC).
Chọn câu trả lời đúng:
A. H là trung điểm BC

B. H là trực tâm ABC

C. H là trọng tâm ABC

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 5: cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA đáy, SA= a chọn những phơng án trả lời
đúng cho các câu hỏi sau:
5.a> Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phằng (SAD) là
A. Điểm S
B. Điểm A
C. Điểm D

D. Một điểm khác

5.b> Góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) là
A. 90o
B. 60o

C. 45o

D. Một giá trị khác

5.c> Khoảng cách giữa SD và BC là
A. a
B. a

C. a

D. 2a

5.d> Góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là khi đó tan nhận giá trị là:
A.

B. 1

C.

D. Một giá trị khác

Phần II: Tự luận <6 điểm>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SO vuông góc với đáy, SO = . I , K lần l ợt
là trung điểm của AD và BC.
1> Chứng minh rằng (SAC) (SBD)
2> Chứng minh rằng BC SI từ đó suy ra (SCB) (SAD)
3> Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đờng thẳng BC và AD
đáp án
Phần I Trắc nghiệm
Câu

1

2

3

4

5a

5b

5c

5d

Đáp án

A

C

A

B

B

C

A

B

Phần II Tự luận Vẽ hình 0,5 điểm
1> (SAC) (SBD)
(1 điểm)
mà AC (SAC)
=> (SAC) (SBD)
2>Ta có
(2 điểm )
=> BC SI
Ta có

SIK : SO tại S
mà SI (SAD)
=> (SAD) (SBC)

3> (2 điểm) Ta có
=> SK SD
Mà SK BC => SK là đoạn chung


∆SKO cã
=>
Bài soạn: Kiểm tra một tiết chương III – Kiểm tra một tiết: Hình học 11 (Nâng cao)
I/ Trắc nghiệm: (3 điểm)
Khoanh tròn đáp án đúng cho mỗi câu sau:
Câu 1: Cho tứ diện ABCD, có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. 4 OG = OA + OB + OC + OD

C. GA + GB + GC + GD = O

B. 3 AG = 2 ( AB + AC + AD )
D. 4 AG = AB + AC + AD
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho
trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 3: Cho 2 đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), với a ⊥ (P). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu b // (P) thì b ⊥ a
C. Nếu b ⊥ (P) thì b // a.
B. Nếu b // a thì b ⊥ (P)
D. Nếu b ⊥ a thì b // (P).
Câu 4: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = AB =AC = a và BC = a 2 . Khi đó, góc giữa 2 đường thẳng SC
và AB có số đo bằng bao nhiêu?
A. 1200
B. 300
C. 600
D. 450
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b,
CD = c. Cho biết độ dài của AD bằng bao nhiêu?
A. a 2 + b 2 + c 2
B. a 2 − b 2 + c 2
C. a 2 + b 2 − c 2
D. a 2 − b 2 − c 2
Câu 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD),
SA = a 2 . Khi đó, góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) có số đo bằng bao nhiêu?
A. 1350
B. 450

C. 900
D. 600
Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD),
SA = x. Với giá trị nào của x thì 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60 0
A.

a 3
2

B.

a
2

C. a

D.

a 2
.
2

Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB =AD = AA’ = a
∧

∧

∧

0

A' AB = A' AD = BAD = 60 . Khi đó, khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện

A’ABD là:
A.

a 2
2

B.

a 3
2

C. a 2

D.

3a
.
2

Câu 9: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và
vuông góc với đường thẳng kia.
B. Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia.
C. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả 2
đường thẳng đó.
D. Các mệnh đề trên đều sai.
Câu 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD),

SA = a. Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD là:
A. a 2

B.

a
2

C. a

D.

a 2
2

Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = a 2 . Khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’)
bằng bao nhiêu?
A.

a 6
3

B.

a 6
2

C. a 6

D.

a 6
6


Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khi đó, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (AB’C) và
(A’C’D) là:
A.

a 3
2

B. a 3

C.

a 3
3

D. 2 a 3

II/ Tự luận: (7 điểm)
Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a, BSC = 600, CSA = 900, ASB = 1200. K là trung điểm của AC.
a) Tính AB, BC và CA. Từ đó chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC); (SAC) và (ABC).
d) Chứng minh SK là đoạn vuông góc chung của AC và SB.
Đáp án và biểu điểm
I/ Trắc nghiệm: 3 điểm, mỗi câu đúng 0,25 điểm.
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8

B
D
D
C
A
B
C
A
II/ Tự luận: 7 điểm. (Hình vẽ: 0,25 điểm)

B
a) AB = a 3

H

BC = a
C
CA = a 2
Vì AB2 = BC2 + CA2
Nên ∆ ABC vuông tại C

Câu 9
B

Câu10
D

A

Câu12

C

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

K

b) Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).
Theo gt SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC mà ∆ ABC vuông tại C nên
H là trung điểm của AB
d(S; (ABC)) = SH.
Tính SH =

Câu11
A

a
2

0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm

c) SH ⊥ (ABC), SH ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABC) ⇒ góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC)
là 900
∧

∧

góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là SKH ⇒ SKH = 450
d)
SK ⊥ AC
Chứng minh SK ⊥ SB
Kết luận SK là đoạn vuông góc chung của AC và SB

KHOẢNG CÁCH
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

1,0 điểm
1,0 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm


d ( M , a) = MH
d ( M ,( P )) = MH

trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P))
trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

• Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.
• Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
• Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt
phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách 1: Giả sử a ⊥ b:
• Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
• Dựng AB ⊥ b tại B
⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.
• Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
• Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) tại H.
• Từ H dựng đường thẳng a′ // a, cắt b tại B.
• Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.
⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).
Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.
• Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a tại O.
• Dựng hình chiếu b′ của b trên (P).
• Dựng OH ⊥ b′ tại H.
• Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
• Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.
⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
1.Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn

vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) OA và BC.

(

a 2)
2

b) AI và OC.

a 6)
6

b) AC và SD.

(

a 5)
5

2.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng:
a) SC và BD.

(

(

a 3)
3

3.Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.(Gọi E = AH ∩ BC. Đường vuông góc chung của BC và
SA là AE.)
4.ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ⊥ (ABCD) và IS =

a 3
. Gọi M, N, P lần lượt là trung
2

điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) NP và AC

(

a 3)
4

b) MN và AP.

(

a
)
2


Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng,

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ
từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
1.Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn đường kinh AD = 2a.
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD). (d(A,(SCD)) = a 2 ; d(B,(SCD)) =
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

(

a 2)
2

a 6)
3

c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách
(SAD) một khoảng bằng

a 3 . ( a2 6 )
4
2

2.Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB =
a 3.
a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′).
b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC).

(

(

a 3
)
2

a 21
)
7

c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′).

(

a 2
)
2

3.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD).

(a 2 ;

a 2)
2

b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng
cách từ MN đến (SBD). (

a 6)
3

c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết AD cách (P) một khoảng là

a 2 , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE.
a2 6 )
(
2
2
·
0
4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60 . Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) và SO =
a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC).

3a
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
4

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).

(d(O,(SBC)) =

3a
3a
, d(A,(SBC)) =
)
8
4