Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm M
0
và mặt phẳng (). Gọi H là hình
chiếu của điểm M
0
lên mặt phẳng ().
Khoảng cách từ điểm M
0
tới mặt phẳng ()
d(M
0
, (P)) = M
0
H
P
.
M
0
H
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
d((), ()) = d(M, ()), với M ()
d((), ()) = d(M, ()), với M ()
.
M
.
M

Trong mÆt ph¼ng (Oxy), cho ®iÓm M
0
(x
0
; y
0
)
vµ ®­êng th¼ng (∆) cã pt: Ax + By + C = 0
α
.
M
0
H
.
.
M
0
H
.
(∆)
0 0
0
2 2
( ;( ))
Ax By C
d M
A B
+ +

∆ =
+
Trong kh«ng gian (Oxyz), cho ®iÓm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
vµ mÆt ph¼ng (α) cã pt: Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +

Trong kh«ng gian (Oxyz), cho ®iÓm M
0
(x
0
; y
0

; z
0
)
vµ mÆt ph¼ng (α) cã pt: Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét mÆt ph¼ng
VÝ dô. Cho ®iÓm A(-2 ; 1 ; 3) vµ mÆt ph¼ng (P): 3x – 4z + 3 = 0
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi (P).
Gi¶i.
2 2 2
3( 2) 0.1 4.3 3
( ;( ))
3 0 ( 4)
d A P
− + − +
=
+ + −
3
=

HĐ 1. Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:
3x y + 2z 6 = 0 và 6x 2 y + 4z + 4 = 0.
a) CMR hai mặt phẳng này song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.
c) Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng này.

Gi¶i.
a) Ta cã suy ra (α) // (β).
b)
c) §iÓm M(x ; y ; z) c¸ch ®Òu (α) vµ (β) khi vµ chØ
khi
3 1 2 6
6 2 4 4
− −
= = ≠
−
(( );( )) ( ;( ))d d A
α β β
=
2 2 2
6.0 2.0 4.3 4
6 ( 2) (4)
− + +
=
+ − +
8
14
=
( ;( )) ( ;( ))d M d M
α β

=
2 2 2 2 2 2
3 2 6 6 2 4 4
3 ( 1) 2 6 ( 2) 4
x y z x y z− + − − + +
⇔ =
+ − + + − +
2 3 2 6 6 2 4 4x y z x y z⇔ − + − = − + +
3 2 2 0x y z⇔ − + − =