Một số bài toán có tính định lượng trong giải tích vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

PHAN PHIẾN

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG
TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Đà Lạt - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

PHAN PHIẾN

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG
TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. Tạ Lê Lợi
2. PGS. TS. Phạm Tiến Sơn

Đà Lạt - 2012

1

LỜI CAM ĐOAN
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Đà Lạt dưới sự hướng dẫn
khoa học của PGS. TS Tạ Lê Lợi.
PGS. TS Phạm Tiến Sơn đã đọc và sửa chữa luận án.
Các kết quả trong các bài báo [P1] và [P2] ở danh mục các công trình liên quan
đến luận án, tác giả nghiên cứu dưới sự hướng dẫn và gợi ý của PGS. TS Tạ Lê Lợi.
Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ
công trình khoa học nào của ai khác.
Đà Lạt, tháng 10 năm 2012

Phan Phiến


2

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào
Tạo Đại học và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán
Tin học, Trưởng ngành Toán Giải tích, Lãnh đạo Trường Cao đẳng Sư phạm Nha
Trang, Khoa Tự Nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình làm nghiên cứu sinh tại Đại học Đà Lạt từ tháng 11 năm 2007.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Tạ Lê Lợi đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phạm Tiến Sơn đã đọc và sửa chữa luận
án.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, các bạn bè, đồng nghiệp đã luôn chia sẻ, động viên

tác giả trong cả khóa học này.
Đà Lạt, tháng 10 năm 2012

Phan Phiến


3

Mục lục
LỜI CAM ĐOAN

1

LỜI CẢM ƠN

2

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU

6

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH

8

TÓM TẮT

9

MỞ ĐẦU

11

1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC,
HÀM ẨN

17

1.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2

Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1

Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2

Jacobi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3

Không gian các ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.4

Chặn trên cho C k -chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ nghịch đảo 22

1.3

Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . 24

1.4

Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . 27

1.5

Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược
Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6

Định lý hạng hằng định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


4

2 ĐỊNH LÝ SARD VÀ ĐỊNH LÝ MORSE ĐỊNH LƯỢNG

41

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2

Các khái niệm, định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1

Giá trị kỳ dị của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2

Điểm tới hạn và γ-tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.3

Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3

Dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng . . . . . 45

2.4

Bổ đề tách định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5

Định lý Sard định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6

Định lý Morse định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 CHẶN TRÊN CHO CÁC SỐ BETTI CỦA TẬP NỬA ĐẠI SỐ

60

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2

Các khái niệm và một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3

3.2.1

Trường thực đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2

Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.3

Tương đương đồng luân nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2.4

Số Betti của tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.5

Một số kết quả về topo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở . . . . . . . . . . 69

4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN 75
4.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2

Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1

Cấu trúc o-tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.2

Phân hoạch tế bào . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3

Một số tính chất của cấu trúc o-tối tiểu

4.2.4

Phân tầng định nghĩa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.5

Tầm thường hóa định nghĩa được . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.6

Tập nửa-Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.7

Độ đo tích phân hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

. . . . . . . . . . . . 81


5

4.3

Độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được . . . . . . . . . . . . . 90

4.4

Chặn đều cho độ đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được . . . . . . 94

KẾT LUẬN

102

CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

104

TÀI LIỆU THAM KHẢO

105


6

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu

Trang

Mm×n

không gian các ma trận thực cấp m × n

19

Bn

quả cầu đơn vị mở trong Rn

19

Bnr

quả cầu mở bán kính r, tâm tại 0 ∈ Rn

19

Bnr (x0 )

quả cầu mở bán kính r, tâm tại x0 ∈ Rn

19

Sn−1

mặt cầu đơn vị trong Rn

19

Bm×n

quả cầu đơn vị trong Mm×n

19

∥x∥

chuẩn của vector x ∈ Rn

19

∥A∥

chuẩn của ma trận A

19

∥A∥F

chuẩn Frobenius của ma trận A

19

∥f ∥C k

C k -chuẩn của f

20

∂f (x0 )

Jacobi suy rộng của f tại x0

20

Jf (xi )

ma trận Jacobi của f tại xi

21

∂p×p f (x0 )

Jacobi suy rộng cấp p × p của f tại x0

21

L(f )

hệ số Lipschitz của f

21

Lip(Rm , Rn )

không gian các ánh xạ Lipschitz

21

Lipx0 (Rm , Rn )

không gian các ánh xạ Lipschitz thỏa f (x0 ) = 0

22

Inv

Phép nghịch đảo ma trận

23

dist (x, A)

Khoảng cách từ x đến tập A

25

∂1 F (x0 , y0 )

Jacobi suy rộng của F (·, y0 ) : U → Rn

27

∂2 F (x0 , y0 )

Jacobi suy rộng của F (x0 , ·) : U → Rn

27

σi (L)

giá trị kỳ dị thứ i của ánh xạ tuyến tính L

43

σmax (A)

giá trị kỳ dị lớn nhất của A

43

σmin (A)

giá trị kỳ dị nhỏ nhất của A

43

Σ(f, Λ)

tập các điểm Λ-tới hạn của f

44


7

Ký hiệu

Trang

A

bao đóng của tập A

44

∆(f, Λ)

tập các giá trị Λ-tới hạn của f

44

Σ(f, Λ, A)

tập các điểm Λ-tới hạn của f chứa trong A

44

∆(f, Λ, A)

tập f (Σ(f, Λ, A))

44

M (ε, A)

số quả cầu bán kính ε phủ A

44

Sym(n)

không gian các ma trận đối xứng cấp n

45

∆(n)

không gian các ma trận tam giác trên cấp n

45

Rk (f )

hệ số Taylor

53

Ph

đa thức thuần nhất hóa của P

62

Z(P, S)

tập các không điểm của P trong S

63

R⟨ε⟩

trường thực đóng của các chuỗi Puiseux

63

D(A)

lược đồ của tập nửa đại số A

65

f và g đồng luân nửa đại số

66

f ∼sa g
k

Ext(S, R⟨ε⟩ )
Hp , H

p

mở rộng của S vào R⟨ε⟩

k

66

nhóm đồng điều và đối đồng điều thứ p

67

bp (S)

số Betti thứ p của S

68

b(S)

tổng các số Betti của S

68

Hi (A) và H i (A)

nhóm đồng điều và đối đồng điều rút gọn của A

68

Γ(f )

đồ thị của f

79

(f, g)

dải băng giữa f và g

79

dim A

chiều của tập A

80

int(A)

phần trong của tập A

81

Ax

thớ của tập A

83

length(g)

chiều dài của đường cong g

82

F (A)

format của tập nửa-Pfaff A

86

O(m, n)

tập các ánh xạ trực giao từ Rm vào Rn

87

O(m)

tập các ánh xạ trực giao từ Rm vào Rm

87

O∗ (m, n)

tập các phép chiếu trực giao từ Rm vào Rn

87

Hα (A)

độ đo Hausdorff chiều α của tập A

88

#(A)

lực lượng của tập A

89

Γ(s)

hàm Gamma

89

Volk (Bk )

Thể tích k−chiều của quả cầu đơn vị trong Rk

93


8

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH
Trang
Hình 2.1

Entropy

45

Hình 3.1

Chiếu tập nửa đại số

64

Hình 3.2

Các tập không là nửa đại số

64

Hình 3.3

Tương đương đồng luân

66

Hình 3.4

Mặt trụ Bk1/ε × R giao với mặt cầu Sk2/ε

70

Hình 4.1

Các đối tượng thuần giao với đường thẳng tổng quát

75

Hình 4.2

Đường dao động, đường xoắn ốc và Fractal

76

Hình 4.3

Ước lượng độ dài đường cong trong mặt phẳng

76

Hình 4.4

Ước lượng độ dài đường cong trong mặt phẳng

77

Hình 4.5

Tế bào trong Rn+1

80

Hình 4.6

Phân tầng định nghĩa được

84


9

TÓM TẮT
Trong luận án này, tác giả đưa ra một số kết quả về đánh giá định lượng trong
giải tích vi phân. Luận án có 4 chương. Nội dung của hai chương đầu bao gồm các
kết quả về đánh giá định lượng dựa trên các kỹ thuật tính toán trong Giải tích vi
phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính. Nội dung của hai chương sau được nghiên
cứu dựa trên các kỹ thuật về đánh giá Độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực
và Topo đại số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và Tích phân hình học.
Nội dung chính của Chương 1 bao gồm: Định lý hàm ngược định lượng cho ánh
xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2); Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định
lý 1.4.2); Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke
(Định lý 1.5.1); Định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1).
Nội dung chính của Chương 2 bao gồm: Dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma
trận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1); Bổ đề tách định lượng (Bổ đề 2.4.1); Bổ đề Morse
định lượng (Hệ quả 2.4.2). Phần cuối chương, tác giả đưa ra một chứng minh cho

định lý Morse định lượng được phát biểu bởi Y. Yomdin (Định lý 2.6.1).
Trong Chương 3, tác giả đưa ra đánh giá chặn trên cho các số Betti của tập nửa
đại số cơ sở (Định lý 3.3.1), từ đó đưa ra chặn trên cho tổng các số Betti (Hệ quả
3.3.2).
Trong Chương 4, tác giả đưa ra các kết quả về độ phức tạp đại số và độ đo
Hausdorff của các tập thuần bao gồm: Chặn đều cho các số Betti của các thớ của
ánh xạ định nghĩa được (Mệnh đề 4.3.1); Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập
định nghĩa được (Định lý 4.3.3); Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các thớ định


10

nghĩa được (Định lý 4.4.2); Chặn trên cho độ đo Hausdorff của nghịch ảnh qua ánh
xạ định nghĩa được của một họ các đường cong định nghĩa được (Định lý 4.4.5).


11

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài: Bài toán nghiên cứu đánh giá định lượng cho các kết quả định
tính đã có, hoặc đưa ra các kết quả định lượng mới, đã được quan tâm nhiều bởi
các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Tối ưu hóa,
Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán,... Các kết quả trong Giải tích vi
phân được ứng dụng nhiều phải kể đến đó là: định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn,
định lý Sard, định lý Morse, định lý hoành. Có thể nói sự thiếu vắng những định lý
đó ở dạng định lượng thực sự cản trở việc xây dựng các kết quả về định lượng và
ứng dụng trong Lý thuyết kỳ dị. Hơn nữa, các định lý trên còn là cơ sở cho các kết
quả hình học trong lĩnh vực Hình học đại số thực.
Mục đích và phương pháp nghiên cứu: Với những lý do trên, trong luận án
này tác giả nghiên cứu các đánh giá định lượng theo hai hướng

- Nghiên cứu các đánh giá định lượng theo hướng Giải tích số: đưa ra các kết
quả định lượng (chẳng hạn độ lớn của các lân cận, chặn trên của chuẩn của
các đạo hàm theo dữ liệu vào của các đối tượng liên quan) về định lý hàm
ngược, định lý hàm ẩn, định lý hạng hằng, bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối
xứng, bổ đề tách, định lý Morse. Các kết quả nghiên cứu dựa trên các phương
pháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính.
- Nghiên cứu các đánh giá định lượng dựa trên Độ phức tạp topo: đưa ra các
kết quả định lượng về số Betti và các đánh giá chặn trên cho độ đo Hausdorff
của các đối tượng thuần. Các kết quả được nghiên cứu dựa trên các phương
pháp về đánh giá độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại


12

số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và phương pháp Tích phân hình học.

Các đối tượng nghiên cứu chính bao gồm: Lớp các ánh xạ Lipschitz; Lớp các
ánh xạ khả vi lớp C k ; Lớp các tập và ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc o-tối
tiểu (như các đối tượng nửa đại số và nửa-Pfaff); Các kết quả định tính đã có trong
Giải tích vi phân.
Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án:
Các nghiên cứu về định lý hàm ngược, hàm ẩn: F. H. Clarke (1976 - [C1]) đã
chứng minh định lý hàm ngược địa phương cho ánh xạ K-Lipschitz. Tổng quát
hơn, M. S. Gowda (2004 - [Go]) chứng minh định lý hàm ngược và hàm ẩn cho lớp
các ánh xạ H - khả vi. Đối với trường hợp toàn cục, J. Hadamard (1906 - [Ha])
phát biểu điều kiện vi phôi toàn cục cho ánh xạ lớp C 1 . P. J. Rabier (1997 - [R])
đã mở rộng kết quả của J. Hadamard trên không gian các đa tạp trơn. O. Gutú và
J. A. Jaramillo (2007 - [Gu-J]) chứng minh điều kiện khả nghịch toàn cục cho lớp các
ánh xạ tựa đẳng cự giữa các không gian metric đủ. Mới đây, T. Fukui, K. Kurdyka
và L. Paunescu (2010 - [F-K-P]) chứng minh định lý hàm ngược toàn cục cho lớp

các ánh xạ liên tục thuần. Đối với định lý hàm ẩn, M. Papi (2004 - [PA]) đã đưa ra
miền xác định của hàm ẩn Lipschitz, kết quả nhận được phụ thuộc vào các tham
số chưa tường minh. Hầu hết các nghiên cứu đều chỉ ra sự tồn tại các lân cận U và
V để f : U → V khả nghịch, mà chưa đưa ra các đánh giá định lượng cho các đối
tượng trong các kết quả đó. Một số kết quả định tính khác như Định lý hạng hằng,
Định lý chuẩn bị, Định lý chia, đến nay chưa có các nghiên cứu về đánh giá định
lượng.
Để nghiên cứu định lượng trong Lý thuyết kỳ dị, Y. Yomdin (1983 - [Y3]) đưa
ra khái niệm điểm gần tới hạn và giá trị gần tới hạn của một ánh xạ khả vi. Đến
nay có nhiều kết quả nghiên cứu về đánh giá định lượng cho các điểm và các giá trị
gần tới hạn. Y. Yomdin (1983 - [Y3]) chứng minh Định lý Sard định lượng cho các
ánh xạ lớp C k . Kết quả đưa ra đánh giá chặn trên cho entropy của tập các giá trị


13

Λ-tới hạn. Y. Yomdin (1987 - [Y2], 2005 - [Y1]), Y. Yomdin và G. Comte (2004 [Y-C]) đưa ra một số dạng cải tiến của Định lý Sard định lượng. Hơn nữa, kết quả
cho một số đánh giá tường minh trong các trường hợp hàm khả vi lớp C k . Ngoài ra,
A. Rohde (1997 - [Roh]) chứng minh định lý Sard cho lớp các hàm không trơn. Đối
với Định lý Morse, Y. Yomdin (2005 - [Y1]) phát biểu Định lý Morse định lượng
cho các hàm khả vi. Tuy nhiên trong bài báo này, Y. Yomdin chỉ nêu một vài gợi ý
chứng minh, mà không đưa ra chứng minh chi tiết. Có lẽ đến nay, Y. Yomdin cũng
chưa công bố chứng minh của định lý. Một dạng định lượng khác của Định lý Morse
được L. Niederman (2004 - [N]) chứng minh cho các hàm Morse Diophantine. Ngoài
ra, đối tượng nghiên cứu khác của luận án đó là Bổ đề tách, khi đó định lý Morse
định lượng được suy ra từ Bổ đề tách định lượng.
Nghiên cứu về các số Betti của tập nửa đại số, kết quả sớm nhất và điển hình
trong lĩnh vực này đó là kết quả của Oleinik-Petrovskii, Thom, Milnor (xem [M],
[Ba-P-R]) về đánh giá chặn trên cho tổng các số Betti của tập đại số, và đó là một
kết quả cơ sở cho một số đánh giá chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số.

Gần đây, có nhiều kết quả thu được bởi S. Basu: S. Basu (2003 - [Ba2]) đưa ra đánh
giá chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở được chứa trong một tập đại
số. Đối với tập nửa đại số được định nghĩa bởi các đa thức có bậc ≤ 2, S. Basu và
M. Kettner (2008 - [Ba-K]) đưa ra một chặn trên là đa thức theo số biến k và số
đa thức m (m < k). Kết quả dựa trên việc đánh giá các số Betti của đa tạp xạ ảnh
phức là giao đầy đủ không suy biến, được định nghĩa bởi các dạng toàn phương.
Các kết quả về độ đo Hausdorff được nghiên cứu dựa trên các công thức CauchyCrofton và co-area trong Tích phân hình học. Kết quả điển hình thu được bởi
R. M. Hardt (1983 - [H]), kết quả đưa ra các chặn trên cho độ đo Hausdorff của các
tập sub-giải tích, thớ của ánh xạ sub-giải tích và nghịch ảnh của một đoạn của một
ánh xạ sub-giải tích. Gần đây, một kết quả khác của A. Fornasiero và E. Vasquez


14

Rifon (2010 - [F-R]) cho chứng minh của các công thức Cauchy-Crofton và co-area.
Những đóng góp mới của luận án: Các kết quả mới của luận án thể hiện qua
bốn chương như sau
Chương 1 “Một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn”
nghiên cứu các kết quả định lượng về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn cho ánh
xạ Lipschitz, định lý hạng hằng. Dạng định lượng của định lý hàm ngược cho ánh
xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2) được chứng minh dựa trên kết quả của F. H. Clarke về
định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz, từ đó ta chứng minh định lý hàm ẩn định
lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.4.2). Ngoài ra, với f0 là một ánh xạ Lipschitz
thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke, nếu nhiễu f0 bởi một ánh xạ Lipschitz h có
hằng số Lipschitz thích hợp thì ánh xạ thu được f = f0 + h cũng thỏa mãn định
lý hàm ngược Clarke (Định lý 1.5.1). Nói cách khác, lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa
mãn định lý hàm ngược Clarke là mở trong không gian các ánh xạ Lipschitz. Phần
cuối chương, định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1)
được chứng minh dựa trên định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz và dạng định
lượng, khi đó định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ lớp C k là một trường hợp

riêng (Hệ quả 1.6.2).
Chương 2 “Định lý Sard và định lý Morse định lượng” nghiên cứu các kết
quả định lượng về bổ đề Morse, định lý Sard và định lý Morse. Áp dụng các kết quả
của Lý thuyết kỳ dị, Đại số tuyến tính và Giải tích số, bổ đề tách định lượng (Bổ đề
2.4.1) được chứng minh dựa trên cơ sở chứng minh dạng định lượng của bổ đề chéo
hóa ma trận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1). Khi đó Bổ đề Morse định lượng là trường
hợp riêng của Bổ đề tách định lượng (Hệ quả 2.4.2). Từ các kết quả trên, áp dụng
định lý Sard định lượng và định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, tác
giả đưa ra một chứng minh chi tiết cho định lý Morse định lượng được phát biểu
bởi Y. Yomdin (Định lý 2.6.1).
Chương 3 “Chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số” nghiên cứu về


15

một số kết quả và kỹ thuật chứng minh của Hình học đại số thực. Kết quả chính
của chương: đánh giá chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở (Định lý
3.3.1) và chặn trên cho tổng các số Betti (Hệ quả 3.3.2). Các chặn trên phụ thuộc
vào tổ hợp dữ liệu định nghĩa các tập nửa đại số.
Chương 4 “Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập thuần” nghiên cứu
áp dụng phương pháp Tích phân hình học trong việc ước lượng độ đo Hausdorff
của các đối tượng định nghĩa được. Các kết quả chính của chương bao gồm: Chặn
trên cho các số Betti của các thớ định nghĩa được (Mệnh đề 4.3.1); Chặn trên cho
độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được (Định lý 4.3.3); Chặn trên cho độ
đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được (Định lý 4.4.2) và chặn trên cho độ đo
Hausdorff của nghịch ảnh qua ánh xạ định nghĩa được của một họ các đường cong
định nghĩa được (Định lý 4.4.5). Các chặn trên nhận được là các hàm chỉ phụ thuộc
vào tổ hợp dữ liệu biểu diễn các đối tượng đó.
Ngoài ra, một số ví dụ tường minh về các chặn trên của các kết quả trong luận
án cũng được đưa ra ở các chương 1, 3 và 4.

Ý nghĩa khoa học: Qua luận án, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới mà có thể
được áp dụng cho một số lĩnh vực như Giải tích số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo,
Đánh giá độ phức tạp thuật toán, Động lực học...
Hầu hết các kết quả trong luận án này đã được báo cáo ở các Seminar hoặc các
hội thảo:
• Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt.
• Các Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt: 2008, 2009, 2010.
• Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 7, Đại học Quy Nhơn 4-8/8/2008.
• International Conference on Topology, Geometry, Algebra & Arithmetics, University of Dalat, Dalat, Vietnam, December 22-24, 2008.


16

• Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011.
• Hội nghị Toàn Quốc về Đại số - Hình học - Tô pô, Đại học Thái Nguyên
3-5/11/2011.
• International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011),
Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011.
• International Conference on Topology of singularities and related topics, III,
JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March
26-30, 2012.
• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 20-24/08/2012.


17

Chương 1
MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ
ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC, HÀM ẨN

1.1

Giới thiệu

Định lý hàm ngược, hàm ẩn cổ điển đã được quan tâm nhiều bởi ứng dụng của
nó trong Toán học, nó được phát biểu cho lớp ánh xạ khả vi lớp C k . Đến nay, đã có
nhiều kết quả nghiên cứu về định lý hàm ngược, hàm ẩn cho lớp các ánh xạ không
trơn và mở rộng toàn cục.
F. H. Clarke (1976 - [C1]) chứng minh định lý hàm ngược địa phương cho ánh xạ
không trơn thỏa mãn điều kiện Lipschitz: Cho f : Rn → Rn là ánh xạ Lipschitz
trong lân cận x0 . Nếu Jacobi suy rộng ∂f (x0 ) tại x0 có hạng cực đại (xem Định
nghĩa 1.2.5, 1.2.6), thì tồn tại các lân cận U và V của x0 và f (x0 ) tương ứng, và
một ánh xạ Lipschitz g : V → Rn sao cho
(a) g(f (u)) = u với mọi u ∈ U ,
(b) f (g(v)) = v với mọi v ∈ V .
Tổng quát hơn, M. S. Gowda (2004 - [Go]) chứng minh định lý hàm ngược và
hàm ẩn cho lớp các ánh xạ H - khả vi. Đối với trường hợp toàn cục, J. Hadamard
(1906 - [Ha]) phát biểu điều kiện vi phôi toàn cục cho ánh xạ lớp C 1 . P. J. Rabier
(1997 - [R]) mở rộng kết quả của J. Hadamard trên không gian các đa tạp trơn.


18

O. Gutú và J. A. Jaramillo (2007 - [Gu-J]) chứng minh điều kiện khả nghịch toàn
cục cho lớp các ánh xạ tựa đẳng cự giữa các không gian metric đủ. Mới đây, T. Fukui,
K. Kurdyka, và L. Paunescu (2010 - [F-K-P]) chứng minh định lý hàm ngược toàn
cục cho lớp các ánh xạ liên tục thuần (lớp các ánh xạ không trơn).
Đối với định lý hàm ẩn, M. Papi (2004 - [PA]) đưa ra miền xác định của hàm
ẩn Lipschitz. Tuy nhiên kết quả nhận được phụ thuộc vào các tham số chưa tường
minh.

Hầu hết các nghiên cứu về định lý hàm ngược, hàm ẩn đều chỉ ra sự tồn tại các
lân cận U và V để f : U → V khả nghịch, mà chưa đưa ra các đánh giá định lượng
cho các đối tượng trong các kết quả đó. Việc đánh giá định lượng cho các định lý
hàm ngược, hàm ẩn là cần thiết cho toán học. Các kết quả nghiên cứu về định lượng
nếu đạt được, có thể có nhiều áp dụng trong một số lĩnh vực khác nhau như: Lý
thuyết số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán,...
Một số kết quả định tính khác trong Giải tích vi phân như Định lý hạng hằng,
Định lý chuẩn bị, Định lý chia, đến nay cũng chưa có các nghiên cứu về đánh giá
định lượng.
Với những lý do trên, trong chương này, tác giả đưa ra một số kết quả định lượng
về định lý hàm ngược, hàm ẩn. Dạng định lượng của định lý hàm ngược Lipschitz
Clarke (Định lý 1.3.2) được trình bày trong phần 1.3, kết quả đưa ra đánh giá định
lượng cho các lân cận U , V và hệ số Lipschitz L(g) phụ thuộc vào ∂f (x0 ). Định lý
hàm ẩn Lipschiz định lượng (Định lý 1.4.2) được trình bày trong phần 1.4, kỹ thuật
chứng minh của định lý khác với kết quả của M. Papi [PA, Theorem 3.1]. Hơn nữa
các điều kiện đưa ra trong luận án là đơn giản hơn và có thể tính toán tường minh.
Phần 1.5 chứng minh lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke
là mở (Định lý 1.5.1): Cho f là một ánh xạ thỏa mãn Định lý hàm ngược Clarke,
nếu nhiễu f bởi một ánh xạ h với hệ số Lipschitz đủ bé thì f vẫn ổn định, nói cách
khác, khi đó ánh xạ f + h cũng khả nghịch địa phương. Trong phần 1.6, định lý


19

hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1) được chứng minh dựa
trên việc áp dụng dạng định lượng của định lý hàm ngược, khi đó dạng định lượng
của định lý hạng hằng cho ánh xạ lớp C k là trường hợp riêng (Hệ quả 1.6.2).
Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [P2] và [L-P3] trong danh mục các
công trình liên quan đến luận án (trang 104).

1.2

Kiến thức cơ sở

Trong phần này, ta trình bày một số khái niệm và các tính chất liên quan sẽ
được sử dụng trong các kết quả của chương và luận án.

1.2.1

Ký hiệu

Các ký hiệu sau đây sẽ được dùng trong luận án.
Ký hiệu Mm×n là không gian các ma trận thực cấp m × n, Bn là quả cầu đơn vị mở
trong Rn , Bnr là quả cầu mở bán kính r, tâm tại 0 ∈ Rn , Bnr (x0 ) là quả cầu mở bán
kính r, tâm tại x0 ∈ Rn , Sn−1 là mặt cầu đơn vị trong Rn , và Bm×n là quả cầu đơn
vị mở trong Mm×n . Chuẩn trong các không gian trên:
1

∥x∥ = (|x1 |2 + · · · + |xn |2 ) 2 , với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
∥A∥ = max ∥Ax∥, với A ∈ Mm×n .
∥x∥=1

∥A∥F =

( m n
∑∑

) 12
|a2ij |

, với A = (aij )m×n ∈ Mm×n .

i=1 j=1

Chuẩn ma trận có một số tính chất sau:
(i) Nếu A ∈ Mn×n khả nghịch thì ∥A−1 ∥ =

1

min ∥Ax∥

∥x∥=1

(ii) ∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥.
(iii) ∥A∥ ≤

√
n∥A∥, với A ∈ Mm×n .

.


20

(iv) Với mọi A ∈ Mm×n và x ∈ Rn ta có ∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥.
Định nghĩa 1.2.1. Cho f : U → Rm là một ánh xạ khả vi lớp C k , k ≥ 1, trên một
tập mở U ⊂ Rn . Khi đó C k -chuẩn của f được định nghĩa như sau
∥f ∥C k = max sup ∥Dp f (x)∥.
1≤p≤k x∈U

Định lý 1.2.2. Cho A và E là các ma trận vuông cùng cấp. Nếu A là khả nghịch
và r = ∥A−1 E∥ < 1, thì A + E là khả nghịch và
∥(A + E)−1 − A−1 ∥ ≤ ∥E∥∥A−1 ∥2 /(1 − r).
Chứng minh. Xem [G-L, Theorem 2.3.4].

1.2.2

Jacobi suy rộng

Định nghĩa 1.2.3. Ánh xạ f : Rm → Rn được gọi là Lipschitz trong lân cận của
điểm x0 ∈ Rm nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi x và y gần x0 , ta có
∥f (x) − f (y)∥ ≤ K∥x − y∥.
Khi đó f được gọi là K-Lipschitz tại x0 .
Ánh xạ f được gọi là K-Lipschitz trên Rm nếu f là K-Lipschitz tại mọi x.
Định lý 1.2.4 (Rademacher). Nếu f : Rm → Rn là K-Lipschitz thì f khả vi hầu
khắp nơi.
Chứng minh. Xem [F, Ch.3 Theorem 3.1.6].
Giả sử f là K-Lipschitz. Theo định lý Rademacher, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.5 (F. H. Clarke - 1976). Jacobi suy rộng của f tại x0 , ký hiệu
∂f (x0 ), là bao lồi của các ma trận M dạng
M = lim Jf (xi ),
i→∞


21

f là khả vi tại xi , xi hội tụ đến x0 và Jf (xi ) là Jacobi của f tại xi , với mỗi i.
Khi n = 1 thì ∂f (x) được gọi là gradient suy rộng của f tại x.
Cho p ≤ min(m, n), ta ký hiệu
(

∂p×p f (x0 ) = {M1 ∈ Mp×p : tồn tại M =

M1 M2

)

M3 M4

∈ ∂f (x0 )}

là Jacobi suy rộng cấp p × p của f tại x0 .
Định nghĩa 1.2.6. Cho f : Rm → Rn là Lipschitz trong lân cận của điểm
x0 ∈ Rm . Khi đó ∂f (x0 ) được gọi là có hạng cực đại nếu mọi M ∈ ∂f (x0 ) có
hạng là min{m, n}, ∂f (x0 ) được gọi là có hạng p nếu mọi M ∈ ∂f (x0 ) có hạng là
p ≤ min{m, n}.

1.2.3

Không gian các ánh xạ Lipschitz

Cho f : Rm → Rn . Ta gọi
{
L(f ) = sup

}
∥f (x) − f (y)∥
, x ̸= y ,
∥x − y∥

là hệ số Lipschitz của f .

Chú ý rằng f là Lipschitz nếu và chỉ nếu L(f ) < ∞.
Đặt
Lip(Rm , Rn ) = {f : Rm → Rn : L(f ) < +∞} .
Cho f, g ∈ Lip(Rm , Rn ) và α ∈ R, ta có các tính chất sau:
(i) f + g, αf ∈ Lip(Rm , Rn ).
(ii) L(f ) ≥ 0.
(iii) L(f + g) ≤ L(f ) + L(g).
(iv) L(αf ) = |α|L(f ).
(v) L(f ) = 0 ⇔ f = constant.


22

Với x0 ∈ Rm , đặt
{
}
Lipx0 (Rm , Rn ) = f : f Lipschitz và f (x0 ) = 0 .
Khi đó
L(f ) = 0 ⇔ f ≡ 0, với mọi f ∈ Lipx0 (Rm , Rn ).
Như vậy Lipx0 (Rm , Rn ) là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là L(·).

1.2.4

Chặn trên cho C k -chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ
nghịch đảo

Trong phần này, ta đưa ra các ước lượng cho C k -chuẩn của ánh xạ hợp và ánh
xạ nghịch đảo. Các ước lượng này sẽ được sử dụng để tính toán các chặn trên trong
các kết quả của Chương 1 và Chương 2.
Bổ đề 1.2.7. Cho f : U → V và g : V → Rp là các ánh xạ khả vi lớp C k , k ≥ 1,

trên các tập mở U ⊂ Rn , V ⊂ Rm . Khi đó
∥g ◦ f ∥C k ≤ (1k + 2k + · · · + k k )∥g∥C k max(∥f ∥C k , ∥f ∥kC k ).
Trong luận án này ta ký hiệu
E(Kf , Kg , k) = (1k + 2k + · · · + k k )Kg max(Kf , Kfk ),
với K∗ = ∥ ∗ ∥C k .
Chứng minh. Áp dụng quy tắc xích (xem [A-M-R]), với p ≤ k, ta nhận được ước
lượng sau
p
∑

∑

p!
∥Di g(f (x))∥∥Dj1 f (x)∥ · · · ∥Dji f (x)∥
j ! · · · ji !
i=1 j1 +···+ji =p 1
p
∑ ∑
p!
∥g∥C k ∥f ∥iC p
≤
j ! · · · ji !
i=1 j1 +···+ji =p 1
p
∑
≤
ip ∥g∥C k max(∥f ∥C k , ∥f ∥pC k ).

∥D (g ◦ f )(x)∥ ≤
p

i=1

Vì vậy ∥g ◦ f ∥C k ≤ (1k + 2k + · · · + k k )∥g∥C k max(∥f ∥C k , ∥f ∥kC k ).


23

Bổ đề 1.2.8. Cho φ : U → V là một ánh xạ vi phôi lớp C k giữa các tập con mở
U, V của Rn , k ≥ 1. Khi đó ta có
∥φ−1 ∥C k ≤ EI(∥φ∥C k , ∥Dφ−1 ∥, k),
với EI được xây dựng như sau:
Cho
M0 = E(∥φ∥C k , max p!∥Dφ−1 ∥p+1 , k − 1), M1 = ∥Dφ−1 ∥,
0≤p≤k−1

và
Mp = E(Mp−1 , M0 , p − 1), p = 2, . . . , k.
Khi đó EI(K, L, k) = Mk , với K = ∥φ∥C k , L = ∥Dφ−1 ∥.
Chứng minh. Đặt
Inv : Gl(n) → Gl(n)
M

→ Inv(M ) = M −1 .

Từ Dφ−1 = Inv ◦ Dφ ◦ φ−1 , sử dụng Bổ đề 1.2.7, ta nhận được các bất phương trình
∥φ−1 ∥C p = max(∥Dφ−1 ∥, ∥Dφ−1 ∥C p−1 ) ≤ E(∥φ−1 ∥C p−1 , ∥Inv◦Dφ∥C p−1 , p−1), với p ≥ 2.
Trước hết, ta ước lượng ∥Inv ◦ Dφ∥C k−1 :
Từ Dp Inv(M )(δM ) = p!(−1)p (M −1 δM )p M −1 , ta nhận được ∥Dp Inv(M )∥ ≤ p!∥M −1 ∥p+1 .
Do vậy, sử dụng các ký hiệu K = ∥φ∥C k , L = ∥Dφ−1 ∥, ta có

∥Dp Inv(Dφ(x))∥ ≤ p!∥(Dφ(x))−1 ∥p+1 ≤ p!Lp+1 .
Áp dụng Bổ đề 1.2.7, ta nhận được
∥Inv ◦ Dφ∥C k−1 ≤ E(K, max p!Lp+1 , k − 1) = M0 .
1≤p≤k−1

Đặt
M1 = L, Mp = E(Mp−1 , M0 , p − 1), p = 2, · · · , k.
Từ ∥φ−1 ∥C 1 = ∥Dφ−1 ∥ ≤ M1 , áp dụng Bổ đề 1.2.7 và các bất phương trình trên, ta
có
∥φ−1 ∥C k ≤ Mk = EI(K, L, k).