Biểu diễn đường và mặt trong không gian kỹ thuật morphing và di động hình trong không gian hai va ba chiều

Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG
----- -----

TIỂU LUẬN
Biểu diễn đường và mặt trong không gian;
Kỹ thuật morphing và di động hình
trong không gian hai và ba chiều.
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên thực hiện

: Nguyễn Hữu Vượng

Lớp: toán 1-k51.

Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

1


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

Maple là một chương trình mạnh không chỉ cho việc lập trình tính toán mà còn là
một công cụ rất mạnh cho việc vẽ hình trong cả không gian 2 và 3 chiều. Với
Maple, việc thực hiện công việc minh họa các phương trình toán học sẽ trở nên dễ
dàng hơn rất nhiều

0. Mục lục một số tùy chọn của chế độ vẽ trong không gian 2 và 3 chiều
Style=
Line
Point
Patch

Kiểu vẽ đồ thị:
Đường thẳng
Điểm
Đường đứt

Axes=
(1)Boxed

Trục tọa độ
Hình chữ nhật bao
trục tọa độ
(2)Framed
Khung có chia du
tỷ lệ
(3)Normal
Tọa độ chuẩn
(4)None
Chỉ có hình vẽ
Color=
Biểu thị màu hình
vẽ
Projection=r
0

Scaling=
Chế độ điều chỉnh
Unconstrained Thay tỷ lệ cho hình
đều hơn
Constrained
Tỷ lệ đúng

Symbol=

Điểm vẽ là:

(1)Cross
(2)Diamond
(3)Point
(4)Circle
(5)Box
(6)Default
Line Style=
(1)Solid
(2)Dot
(3)Dash
(4)DashDot

Dấu cộng
Hình thoi
Chấm điểm
Đường tròn
Hình vuông
Mặc định
Kiểu vẽ đường: Title=plot title Ghi tiều đề phía

trên đồ thị
Grid=[m,n]
Chia lưới hình chữ
Xít nhau
nhật cỡ mxn
Chấm điểm
Gạch nối
Numpoints=n Xác định số điểm
Gạch chấm
cho lưới

Line width=
(1)Thin
(2)Medium
(3)Thick
(4)Default

Độ dày đường
Mỏng
Trung bình
Dầy
Mặc định

Coords=
Polar
Carterian
Spherical
Cylindrical

Tọa độ độc cực

(2D)
Tọa độ đê các
Tọa độ cầu (3D)
Tọa độ trụ (3D)

A.Biểu diễn đường và mặt trong không gian
Một lợi ích quan trọng của ứng dụng maple là khả năng biểu diễn một đường cong
và mặt cong trong không gian. Với maple, chúng ta sẽ có thể biểu diễn được các
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

2


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

đường và mặt có các phương trình từ đơn giản đến phức tạp. Nó sẽ giúp ích cho
người sử dụng trong các bài toán khảo sát hàm số hay trong các bài toán cần
những hình vẽ minh họa.
I. Gói plots
Là gói chứa thông tin về các hàm vẽ hình trong không gian 2 và 3 chiều; gồm một
số hàm vẽ hình chính:spacecurve, tubeplot, plot3d, sphereplot, cylinderplot,
pointplot. Chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về các hàm trong gói tin này trong phần
trình bày dưới đây
1.Biểu diễn đường trong trong không gian bằng hàm spacecurve
+Hàm spacecurve: để vẽ một đường trong không gian 3 chiều, chúng ta sẽ sử dụng
một hàm spacecurve của gói plots; được biểu diễn dưới dạng:
(1)Vẽ đường trong không gian biết phương trình đường cong:
Spacecurve([phương trình đường], biến=khoảng biến, <tùy chọn>);
(2)Vẽ đường đi qua một tập hợp các điểm cho trước (tối đa 50 điểm):

Spacecurve([tập hợp tọa độ các điểm], <tùy chọn>)
Ví dụ 1: biểu diễn một đường cong với phương trình tham số là:
x=sin3tcost
y=sin3tsint
z=t
>with(plots);
>spacecurve([sin(3*t)*cos(t), sin(3*t)*sin(t),t],t=0..Pi, axes=normal, shading=z);

Ví dụ 2: biếu diễn đường qua các điểm (0,0,1); (0,1,0); (1,0,0);
>with(plots);
>spacecurve([[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]], axes=normal,color=green);

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

3


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

2.Ứng dụng: Cách biểu diễn đường trong không gian bằng vectơ
Ta có thể biểu diễn đường trong không gian bằng phương pháp vectơ quay, một
đường cong là tập hợp đầu mút của các vectơ có hướng được xác định bởi phương
trình đường cong đó, khi ta nối điểm ngọn của các vectơ ta có thể thu được một
đường cong trong không gian (phương pháp này có thể hiểu là phương pháp vectơ
quay)
Ví dụ: vẽ đường cong có phương trình tham số sau:
x=sin3tcost
y=sin3tsint
z=t

>restart:
>with( plots ):
>setoptions3d( thickness=3, axes=normal, scaling=constrained,
orientation=[10,60], lightmodel=light2, view=[-3..3,-3..3,-1..7] ):
>r :=t -> [sin(3*t)*cos(t), sin(3*t)*sin(t), t];
>NFrames:=20:
>FrameSeq:=NULL:
>for i from 0 to NFrames do
>rVector:=arrow(r(2*Pi*i/NFrames),color=red, width=.2):
>Curve:=spacecurve(r(t),t=0..2*Pi*i/NFrames+0.01, color=black):
>FrameSeq:=FrameSeq, display(Curve,rVector)
>end;
>display(FrameSeq,insequence=true);

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

4


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

Trong ví dụ trên, ứng với mỗi i và t=0 đến t=2pi sẽ cho ta một vectơ r tương ứng,
ta sử dụng kỹ thuật chạy các Nframe để tạo một animation tương ứng
Ưu điểm của phương pháp dùng phương pháp vector biểu diễn là cho ta một cách
nhìn trực quan sinh động về cách tạo nên đường cong trong không gian, điều này
có thể dùng chương trình maple 13 để kiểm chứng

2.Biểu diễn mặt cong trong không gian
+Hàm tubeplot là hàm thuộc gói vẽ hình plots, câu lệnh cũng tương tự như

spacecurve
dùng để biểu diễn các mặt cong dạng ống
(1)Vẽ mặt cong dạng ống biết phương trình đường tâm:
tubeplot({phương trình đường tâm},biến=khoảng biến, <tùy chọn>);
(2)Vẽ mặt cong được sinh ra bởi phương trình đường khi quay xung quanh 1 trục:
tubeplot({[0,t,0],radius=phương trình đường giới hạn f(t),biến=khoảng giới hạn,
<tùy chọn>);
ví dụ 1: biểu diễn mặt hình ống có phương trình đường tâm x=4sint, y=4cost, z=t
>with( plots ):
>tubeplot( [4*cos(t),4*sin(t),t], t=0..4*Pi, tubepoints=15, numpoints=70,
axes=normal, scaling=constrained );

Ví dụ 2: biếu diễn một mặt tròn xoay khi xoay đường thẳng quanh 1 trục; phương
trình đường thẳng có phương trình f(x)=–x^3+5x+1
>with(plots):
>f := x -> -x^3 + 5*x + 1:
>a := 0:
>b := 3:
tubeplot( [0,t,0], t=a..b, radius=f(t), tubepoints=50, axes=normal );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

5


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

+Hàm plot3d: dùng để vẽ một mặt cong có phương trình z=f(x,y)
plot3d( f(x,y), x=khoảng biến x , y=khoảng biến y, <tùy chọn> )

ví dụ: vẽ hàm f(x,y)=xsiny với x thuộc [-8,8], y thuộc [-π,π]
>plot3d( x*sin(y), x=-8..8, y=-Pi..Pi );

+Hàm Sphereplot: dùng để biểu diễn một hình trong tọa độ cầu, cấu trúc câu lệnh
Sphereplot(ρ(θ, φ), θ=khoảng biến, φ=khoảng biến, <tùy chọn> );
Trong đó ρ(θ, φ) là phương trình mặt trong toạ độ cầu phụ thuộc vào biến θ và
biến φ
Ví dụ: vẽ phương trình mặt trong tọa độ cầu có phương trình ρ=sin θ+sin φ, với θ
thuộc khoảng [0,2π] và φ thuộc khoảng [0, π/3]
> with( plots ):
> sphereplot( sin(theta)+sin(phi), theta=0..2*Pi, phi=0..Pi/3, axes=normal );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

6


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

+Hàm cylinderplot : dùng để biểu diễn mặt trong tọa độ trụ, câu lệnh:
Cylinderplot(r(θ,z), θ=khoản biến,z=khoảng biến,<tùy chọn>);
Ví dụ: biểu diễn hàm r = 6z/(9cos2θ + 4sin2θ), θ thuộc [0, 2π], z thuộc [-2,2]
> with( plots ):
> r := (theta,z) -> 6*z/sqrt(9*cos(theta)^2+4*sin(theta)^2);
> cylinderplot( r(theta,z), theta=0..2*Pi, z=-2..2, scaling=constrained, axes=boxed
);

b. Ứng dụng: biểu diễn giao tuyến giữa 2 mặt trong không gian
Bằng việc biểu diễn một mặt trong không gian cùng với một tính chất nào đó, hay

việc biểu diễn một giao tuyến giữa 2 mặt trong không gian sẽ dễ dàng hơn với
maple
Các yếu tố đầu vào gồm:
(1) Mặt z=f(x,y);
(2) Một điểm P(a,b) trong mặt phẳng xy
(3) Một vectơ đơn vị u xuất phát từ điểm P (được biểu diễn hình mũi tên
trên mặt phẳng xy)
(4) Mặt phẳng (α) đi qua P vuông góc với mặt phẳng xy và song song với u
Ví dụ: vẽ mặt cong có phương trình f(x,y)= 3sinxsiny/xy, mặt phẳng (α) qua
P(1,1,0) vuông góc với mặt phẳng xy và song song với u, đường giao tuyến giữa
mặt cong và mặt phẳng (α).
#khởi tạo chế độ vẽ 3d, dùng thủ tục line trong gói plottools để tránh việc biểu
diễn dưới dạng mũi tên, rất khó nhìn#
> restart:
> with( plots ):
> with( plottools, line ):

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

7


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

> setoptions3d( axes=boxed, view=[-2..2,-2..2,-0.15..3],
font=[TIMES,ROMAN,24], labels=[x,y,""],
labelfont=[TIMES,BOLDITALIC,24], axesfont=[HELVETICA,18],
lightmodel=light4, scaling=constrained ):
#lựa chọn số lượng frames sử dụng, định nghĩa số gia deltatheta trên trục#

> NumFrames := 16:
> DeltaTheta := 2*Pi/NumFrames:
#biểu diễn hàm cần vẽ f(x,y), điểm P(1,1,0) bất kỳ thuộc mặt phẳng x0y, điểm
(1,1,f(1,1)) thuộc d#
> f := (x,y) -> 3*sin(x)*sin(y)/(x*y);
>Surface:=plot3d(f(x,y),x=2..2,y=2..2, style=patchnogrid, shading=zhue,
orientation=[20,75] ):
> Points := pointplot3d( {[1,1,0], [1,1,f(1,1)]}, color=black, symbol=circle ):
#biểu diễn các vectơ đơn vị u(i) dưới dạng mũi tên với u(i) = (cos(i∆θ), sin(i∆θ),
0 ) với i = 0, 1, 2, . . . ,NumFrames −1#
> u1 := i -> cos(i*DeltaTheta):
> u2 := i -> sin(i*DeltaTheta):
> u := i -> arrow( [1,1,0], <u1(i),u2(i),0>, width=.1, color=red ):
> UnitVectors := display( seq( u(i), i=0..NumFrames-1 ), insequence=true ):
#biểu diễn mặt phẳng (α) đi qua P và vuông góc vơi mp xy và song song vectơ u#
> P := i -> [1+r*u1(i), 1+r*u2(i), z]:
> VerticalPlanes := animate3d( P(i), r=-1..1, z=0..3, i=0..NumFrames-1,
frames=NumFrames, grid=[7,10], color=gray, style=wireframe ):
#Biểu diễn đường giao tuyến d của mp (α) với mặt cong#
> T := i -> [1+r*u1(i), 1+r*u2(i), f(1+r*u1(i),1+r*u2(i))]:
> Traces:= display( seq( spacecurve( T(i), r=-1..1), i=0..NumFrames-1),
color=black, thickness=2, insequence=true ):
#dùng câu lệnh display để hiển thị các yếu tố trên cùng một hình#
> display( Surface, Points, VerticalPlanes, UnitVectors, Traces);

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

8

Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

II.Kỹ thuật morphing và di động hình trong không gian hai và
ba chiều:
1.Giới thiệu về gói Plottools và một số các hàm liên quan
*Gói Plottools chứa các hàm hữu ích cho việc vẽ hình. Các hàm được chứa trong
gói plottools gồm:
+Hàm circle: mục đích dùng để vẽ một đường tròn trong mặt phẳng với tâm có tọa
độ [c1,c2], bán kính=r
Circle([c1,c2], bán kính, tùy chọn);
Ví dụ: biểu diễn đường tròn tâm tọa độ (1,2), bán kính 3
> with( plottools ):
> with( plots ):
> display( circle( [1,2], 3, color=green ),
scaling=constrained );

+Hàm line: dùng để vẽ một đường thẳng đi qua 2 điểm trong không gian 2 và 3
chiều
line( [x1,y1], [x2,y2], tùy chọn );
#không gian 2 chiều#
line( [x1,y1,z1], [x2,y2,z2], tùy chọn );
#không gian 3 chiều#
ví dụ: vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ tương ứng trong không gian 2 chiều
và 3 chiều
> with( plottools ):
>L1:= line( [-1,-2], [2,3], color=magenta ):
>L2:= line( [1,-1,1], [2,3,4], color=blue, thickness=3 ):
> with( plots ):
> display(L1 );

> display( L2, axes=normal, orientation=[20,70] );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

9


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

+Hàm polygon: dùng để biểu diễn các miền đa diện trong mặt phẳng và trong
không gian bằng việc nối tọa độ các đỉnh của đa diện
polygon( [[x1,y1], [x2,y2],. . . , [xn,yn]], tùy chọn );
#không gian 2 chiều#
polygon( [[x1,y1,z1], [x2,y2,z2],. . . , [xn,yn,zn]], tùy chọn); #không gian 3
chiều#
ví dụ1: biểu diễn một mặt phẳng được tạo bởi các điểm
> with( plottools ):
> with( plots ):
> display( polygon( [[0,0], [2,0], [1,sqrt(3)]],
color=green ), scaling=constrained );
> display( polygon( [[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]],
color=yellow, thickness=3 ), axes=normal );

Ví dụ 2: biểu diễn một khối đa diện (bằng việc xây dựng các mặt phẳng đa diện,
lưu các mặt phẳng đa diện vào trong bộ nhớ rồi sử dụng lệnh display để hiển thị
toàn bộ khối đa diện với đầy đủ các mặt)
> with( plots ):
> with( plottools ):
> P1 := [0,0,0]:

> P2 := [1,0,0]:
> P3 := [1,1,0]:
> P4 := [0,1,0]:
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

10


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

> P5 := [0,0,1]:
> P6 := [1,0,1]:
> P7 := [1,1,1]:
> P8 := [0,1,1]:
> P9 := [.5,.5,1.4]:
> face1 := polygon( [P1,P2,P3,P4], color=navy ):
> face2 := polygon( [P1,P2,P6,P5], color=turquoise ):
> face3 := polygon( [P2,P3,P7,P6], color=aquamarine ):
> face4 := polygon( [P3,P4,P8,P7], color=sienna ):
> face5 := polygon( [P4,P1,P5,P8], color=gray ):
> face6 := polygon( [P5,P6,P9], color=maroon ):
> face7 := polygon( [P6,P7,P9], color=tan ):
> face8 := polygon( [P7,P8,P9], color=wheat ):
> face9 := polygon( [P8,P5,P9], color=khaki ):
> display( face1, face2, face3, face4, face5, face6, face7,
face8, face9, scaling=constrained );

+Hàm rotate: là hàm sử dụng để xoay hình một góc nào đó xung quanh 1 điểm, 1
trục hoặc 1 đường:

rotate(dạng hình, góc xoay,điểm xoay );
rotate(dạng hình, α-góc quay với trục x, β-góc quay với trục y, γ-góc quay với trục
z);
rotate(dạng hình, góc quay, [[x1,y1,z1],[x2,y2,z2]] );
ví dụ: xoay miền tam giác một góc Pi/8 xung quanh điểm có tọa độ (2,0)
>with( plottools ):
>with( plots ):
>T := polygon( [[0,0], [2,0], [1,sqrt(3)]], color=green ):
>display(T, scaling=constrained );
>display( rotate(T, Pi/8, [2,0]), scaling=constrained );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

11


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

Ví dụ: xoay hình hypebolit một góc Pi/3 so với trục x, -Pi/3 so với trục y, cố định
góc trục z
> with( plots ):
> with( plottools ):
> r := (theta,z) -> 6*sqrt((z^2+1)/(9*(cos(theta))^2+4*(sin(theta))^2)):
> Hyperboloid := cylinderplot( r(theta,z), theta=0..2*Pi,
z=-2..2, axes=boxed, scaling=constrained ):
> Hyperboloid;
> rotate( Hyperboloid, Pi/3, -Pi/3, 0 );

Ví dụ: xoay hình xuyến có tâm tọa độ (1,1,0) một góc là π/8 xung quanh đường tạo

bởi 2 điểm (2,0,0) và (0,2,0)
> with( plots ):
> with( plottools ):
> T := display( torus( [1,1,0] ), scaling=constrained, axes=boxed ):
> T;
> rotate( T, Pi/8, [[2,0,0],[0,2,0]] );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

12


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

+Hàm transform: hữu ích cho việc vẽ hình với phương pháp tịnh tiến hay đổi trục
toạ dộ
Transform((toạ trục ban đầu)Æ(tọa độ trục sau khi thay đổi));
Ví dụ: đổi mặt từ hệ trục toạ độ (x,y) sang hệ trục toạ độ (y,x)
>with( plots ):
>with( plottools ):
>setoptions( view=[-3..3,-3..3], scaling=constrained ):
>rect:= polygon( [[0,0], [2,0], [2,1], [0,1]], color=plum ):
>Refl:= transform( (x,y)-> [y,x] ):
>display( rect );
>display( Refl(rect) );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

13

Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

2.Ứng dụng: kỹ thuật morphing và kỹ thuật di động hình
a. Kỹ thuật di động hình:
Ví dụ 1: dùng hàm rotate trong di động hình, ta lần lượt xoay hình các góc là Pi/i
với i=0,..,Nframe . Ta sử dụng kỹ thuật tạo hình động với Nframe thay đổi
>with(plottools):
>with(plots):
>T:=polygon([[0,0], [2,0], [1,sqrt(3)]], color =green ):
>NFrames:= 50:
>FramSeq:= NULL:
>for i from 0 to Nframes do
>FrameSeq:= FrameSeq, display( rotate(T,Pi*i/NFrames, [2,0]), scaling=
constrained);
>end;
>display(FrameSeq, insequence= true);

Ví dụ 2: di động hình dùng hàm tranform, trong ví dụ trên ta sử dụng một hình đa
diện cùng với phép biến đổi tuyến tính F(x,y,z) với ma trận chuyển trận chuyển A;
để câu lệnh transform thực hiện đúng tác dụng của mình ta phải sử dụng câu lệnh
convert( F(x,y,z), list ) ), trong đó hàm F là hàm do chúng ta định nghĩa trong phép
biến đổi tuyến tính. Cuối cùng ta dùng kỹ thuật Nframe để di động hình.

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

14

Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

> restart:
> with( plots ):
> with( plottools ):
> setoptions3d( style=patch, axes=normal, scaling=constrained,
labels=["x","y",""], labelfont=[TIMES,BOLDITALIC,24],
axesfont=[HELVETICA,18] ):
> P1 := [0,0,0]:
> P2 := [1,0,0]:
> P3 := [1,1,0]:
> P4 := [0,1,0]:
> P5 := [0,0,1]:
> P6 := [1,0,1]:
> P7 := [1,1,1]:
> P8 := [0,1,1]:
> P9 := [.5,.5,1.4]:
> face1 := polygon( [P1,P2,P3,P4], color=navy ):
> face2 := polygon( [P1,P2,P6,P5], color=turquoise ):
> face3 := polygon( [P2,P3,P7,P6], color=aquamarine ):
> face4 := polygon( [P3,P4,P8,P7], color=sienna ):
> face5 := polygon( [P4,P1,P5,P8], color=gray ):
> face6 := polygon( [P5,P6,P9], color=maroon ):
> face7 := polygon( [P6,P7,P9], color=tan ):
> face8 := polygon( [P7,P8,P9], color=wheat ):
> face9 := polygon( [P8,P5,P9], color=khaki ):
> obelisk := display( face1, face2, face3, face4, face5,
face6, face7, face8, face9 ):

> N := 20:
> F := (x,y,z) -> (1-k/N)*<x,y,z> + k/N*(A.<x,y,z>):
> L := transform( (x,y,z) -> convert( F(x,y,z), list ) ):
> A := < <0,1,0> | <1,0,0> | <0,0,-1> >;
> Frames := seq( L(obelisk), k = 0..N ):
> display( Frames, insequence=true );

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

15


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

b.Kỹ thuật morphing
Là phép biến hình, biến đồ thị của một hàm thành đồ thị của hàm khác theo một
cách thức nào đó, ta có thể coi đây là ánh xạ biến điểm bất kỳ thuộc đồ thị này
thành một điểm thuộc đồ thị khác (x1(t),y1(t))Æ(x2(t),y2(t));
Ví dụ: biến đường cong có phương trình x1=2(cost)^3; y1=3(sint)^3 thành đường
có phương trình x2=3cost-cos3t; y=3sint-sin3t
> x1 := t -> 2*cos(t)^3:
> y1 := t -> 3*sin(t)^3:
> plot( [x1(t),y1(t), t=0..2*Pi], scaling=constrained ):
> x2 := t -> 3*cos(t)-cos(3*t):
> y2 := t -> 3*sin(t)-sin(3*t):
> plot( [x2(t),y2(t), t=0..2*Pi], scaling=constrained ):
> with( plots ):
> animate( [(1-k)*x1(t)+k*x2(t),(1-k)*y1(t)+k*y2(t), t=0..2*Pi], k=0..1,
scaling=constrained );

Chú ý: trong các thí dụ phần này chủ yếu dùng chế độ animation trong maple 13!!!

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

16


Họ và tên: Nguyễn Hữu Vượng
Lớp: Toán tin 1

Mục lục các tài liệu tham khảo:
(1)Học maple- Nguyễn Hữu Điển
(2)Bài giảng Lập trình tính toán - Nguyễn Hữu Điển
(3)Maple-Animation- John F. Putz- NXB: chapman & hall
(4) Mathematics-Applied Maple For Engineers And Scientists

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

17