Biểu diễn đường thẳng

Chương 1: Biểu diễn
MẶT PHẲNG
ĐƯỜNG
THẲNG
ĐIỂM
Ba hình chiếu của A liên hệ với nhau như sau:
1. A
1
A
3
song song với x (A
1
A
3
//x)
2. Khoảng cách từ A
2
tới trục x bằng khoảng cách
từ A
3
tới trục z (A
2
A
x
= A
3
A
z
kể cả dấu).
z
x

y
1
A
x
A
2
A
3
A
A
z
A
y
'
A
y
y
(x
A
,z
A
)
(x
A
,y
A
)
(y
A
,z

A
)
1.2
BIỂU
DIỄN
ĐƯỜNG
THẲNG
1.2.1.Biểu diễn đường thẳng
1.2.2.Các đường thẳng có
vị trí đặc biệt
1.2.3.Vết của đường thẳng
1.2.4.Sự liên thuộc của điểm
và đường thẳng
1.2.5.Vị trí tương đối của
hai đường thẳng
1.2.6.Tìm độ dài thực của đoạn thẳng
bằng phương pháp vuông
NỘI DUNG CHI TIẾT
1.2.1. Biểu diễn đường thẳng
Các khái niệm:
a
b
P
2
P
1
x
- Đường thẳng thường là
đường thẳng không thỏa
mãn điều kiện của đường

cạnh. Ví dụ đường thẳng a.
- Đường thẳng đặc biệt hay đường cạnh(//P
3
) là
đường thẳng song song với MPHC cạnh nhưng
không vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu:
đứng và bằng. Ví dụ đường thẳng b.
a.Biểu diễn đường thẳng thường
2
A
a
1
P
2
P
1
a
2
a
A
1
A
1
B
2
B
B
x
A
x

B
x
Đường thẳng được xác định bởi hai điểm nên để
biểu diễn đường thẳng chỉ cần biểu diễn hai điểm
thuộc đường thẳng đó.
Giả sử ta có đường thẳng a được xác định bởi 2
điểm: A, B; thì:
đường thẳng a
1
(A
1
,B
1
) là hình chiếu đứng của a,
a
2
(A
2
, B
2
) là hình chiếu bằng của a.
2
A
1
a
2
a
1
A
1

B
2
B
x
Đồ thức hay H.B.D của Đ.thẳng a
2
A
a
1
P
2
P
1
a
2
a
A
1
A
1
B
2
B
B
x
A
x
B
x
2

A
1
a
2
a
1
A
1
B
2
B
x
Như vậy, một đường thẳng bất kỳ a(A,B) được biểu
diễn bởi một cặp đường thẳng a
1
(A
1
,B
1
) và
a
2
(A
2
,B
2
) trên mặt phẳng hình vẽ.
Ngược lại: một cặp đường thẳng (a
1
, a

2
) của
mặt phẳng hình vẽ mà không vuông góc với trục
x, biểu diễn duy nhất một đường thẳng a (a =
(AA
2
B
2
B) (AA
1
B
1
B) )
2
A
x
12
aa
1
a
2
a
1
a
2
a
12
CC
12
DD

1
H
2
H
1
K
2
K
1
I
2
I
1
J
2
J
1
A
1
B
2
B
Một số ví dụ về biểu diễn đường thẳng
Đường cạnh c(A,B) x nên những mặt phẳng
chiếu chiếu c lên P
1
và chiếu c lên P
2
trùng nhau và
vuông góc với trục x ((AA

2
B
2
B) (AA
1
B
1
B) x).
Do đó: c
1
(A
1
,B
1
) c
2
(A
2
,B
2
) x .
b.Biểu diễn đường thẳng đặc biệt(đường cạnh)
A
1
A
2
A
1
c
1

B
2
B
2
c
B
x
c
P
1
P
2
1
A
2
A
1
c
2
B
2
c
1
B
x
Một đường cạnh c//P
3
được biểu diễn bởi một
cặp đường thẳng c
1

c
2
x trên mặt phẳng hình vẽ.
Ngược lại: một cặp đường thẳng c
1
c
2
x của mặt phẳng hình vẽ không
biểu diễn duy nhất một đường
thẳng c//P
3
trong không gian.
1
c
x
2
c
1 1 1
c a b
x
a
b
c
2 2 2
c a b
R
P
1
P
1

Ví dụ: c
1
c
2
x có thể là
hình chiếu của vô số
đường thẳng a,b,c,…thuộc
mặt phẳng R x.
Do vậy để biểu diễn một đường cạnh ta phải chỉ
rõ hai điểm xác định (C, D) của đường thẳng
ấy, và thường được biểu diễn như sau:
x
C
1
D
1
C
2
D
2
1.2.2.Các đường thẳng có vị trí đặc biệt
1. Đường bằng
a.Định nghĩa: b // P
2
.
b.Tính chất:
b
1
// x
21

(b , x)= (b, )P
A
2
B
2
=AB
1
A
2
b
x
1
b //x
2
A
1
B
2
B
x
1
A
2
b
1
b //x
2
A
A
1

B
B
2
B
2
P
1
P
b
2. Đường mặt
a.Định nghĩa: m // P
1
b.Tính chất:
m
2
// x
12
(m , x)= (m, )P
A
1
B
1
=AB
1
A
2
A
1
B
2

B
2
m //x
1
m
x
1
B
B
2
B
2
m //x
1
m
1
A
2
A
A
2
P
1
P
x
m
3. Đường cạnh
a.Định nghĩa: CD // P
3
b.Tính chất:

C
1
D
1
C
2
D
2
x
3 3 1
(C D , z)= (CD, )P
C
3
D
3
= CD
C
1
D
1
C
2
D
2
z
y
x
y
O
C

3
D
3
3 3 2
(C D , y)= (CD, )P
4. Đường thẳng chiếu bằng
a.Định nghĩa: a P
2
b.Tính chất:
a
2
A
2
B
2
a
1
A
1
B
1
x
Như đường mặt
1
A
2 2 2
ABa
1
a x
A

x
2
P
1
P
1
B
B
1
A
2 2 2
ABa
1
a x
1
B
x
a
5. Đường thẳng chiếu đứng
a.Định nghĩa: a P
1
b.Tính chất:
a
1
A
1
B
1
a
2

A
2
B
2
x
Như đường bằng
2
a
x
2
A
1 1 1
ABa
2
a x
2
B
x
2
A
2
B
1 1 1
ABa
A
2
P
1
P
B

6. Đường thẳng chiếu cạnh
a.Định nghĩa: a P
3
b.Tính chất:
a
1
//a
2
//x a
3
suy biến thành điểm
z
x
y
y
a
1
a
2
a
3
O
1.2.3. Vết của đường thẳng
Định nghĩa: Vết là giao điểm của đường
thẳng với các mặt phẳng hình chiếu
Như vậy, trong không gian 2 mphc ta có hai vết:
1
A A
2
AA

x
2
a
2
P
1
P
1
BB
x
2
B B
1
a
x
a
a.Vết đứng b.Vết bằng
Định nghĩa:
A = a P
1
Tính chất:
A
1
A,
A
2
x
Định nghĩa:
B = a P
2

Tính chất:
B
2
B,
B
1
x
1
A A
2
AA
x
2
a
2
P
1
P
1
BB
x
2
B B
1
a
x
a
Trong không gian 2 mphc ta có hai vết:
c.Cách tìm vết:
Cho một đường thẳng a

có hai hình chiếu a
1
và a
2
.
Tìm vết của a?
1
a
2
a
x
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Gọi vết đứng của a là M = a P
1
và vết
bằng là N = a P
2
.
Vết bằng: N
11
11
1
;
Na
N a x
Nx
N
2
a
2

(N
1
N
2
x)
1
M
2
M
2
a
1
N
2
N
1
a
x
Vết đứng: M
M
1
a
1
(M
1
M
2
x)
22
22

2
;
Ma
M a x
Mx
Bài tập: Tìm vết của đường bằng, đường mặt?
1.2.4. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng
Định lý: Điều kiện cần và đủ để điểm A d là
các hình chiếu của A thuộc các hình chiếu
cùng tên của d.
2
A
1
A
11
A d
22
A d
2
A
1
A
1
d
2
d
1
d
2
d

x x
1.Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng thường
2. Sự liên thuộc của điểm và đường cạnh
Định lý: Điều kiện cần và đủ để một điểm C thuộc
đường cạnh AB là tỷ số đơn của ba điểm hình
chiếu đứng của A, B, C bằng tỷ số đơn của ba
điểm hình chiếu bằng của chúng.
x
2
A
2
P
1
P
2
B
1
B
2
C
1
A
1
C
A
B
C
2
C
1

C
3
B
3
A
3
C
x x
z
y
y
2
A
2
B
1
B
1
A
1. Hai đường thẳng cắt nhau
1.2.5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trường hợp 1: Cả hai đường thẳng không phải là
đường cạnh
x
1
a
1
b
2
a

2
b
1
I
2
I
2
A
2
B
1
B
1
A
x
1
C
2
C
1
D
2
D
1
F
2
F
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau
là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng cắt
nhau tại những điểm trên cùng một đường dóng.

Tức là:
1 1 1
12
2 2 2
x
x
x
b=I ;
I
I
ab
a I I x
ab
x
1
a
1
b
2
a
2
b
1
I
2
I
2
A
2
B

1
B
1
A
x
1
C
2
C
1
D
2
D
1
F
2
F
Các cặp hình chiếu cùng tên bao giờ cũng cắt nhau
tại những điểm trên cùng một đường dóng. Nhưng
muốn biết AB CD hay không ta phải kiểm tra xem
F có thuộc CD hay không? Tức là phải thỏa mãn
điều kiện sau:
Trường hợp 2: Một trong hai đường thẳng là
đường cạnh(CD)
2
A
2
B
1
B

1
A
1
C
2
C
1
D
2
D
1
F
2
F
x
1 1 2 2
1 1 2 2
C F C F
F D F D