Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập vật lý luyện thi THPT quốc gia năm 2016

Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

CHƯƠNG I. DAO ĐỘNG CƠ.
Bài 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
I.Dao động cơ.
1.Thế nào là dao động cơ?
Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh một vị trí đặc biệt gọi là vị trí cân bằng. Vị trí
cân bằng thường là vị trí của vật khi đứng yên.
2.Dao động tuần hoàn.
Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở
lại vị trí cũ theo hướng cũ.
II.Phương trình của dao động điều hòa.
1.Ví dụ.
Xét điểm M chuyển động tròn đều theo chiều dương (ngược chiều kim đồng
hồ) với tốc độ góc  trên quỹ đạo tâm O bán kính OM  A .
+Ở thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M0 được xác định bởi góc .
+Ở thời điểm t bất kì Mt được xác định bởi góc (t + ).
____

+Hình chiếu của Mt xuống trục Ox là P có tọa độ: x  OP  A cos t    .
-Vì hàm sin hay cosin là một hàm điều hòa, nên dao động của điểm P được gọi là dao động điều hòa.
2.Định nghĩa.
Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian.
3.Phương trình.
-Phương trình dao động: x  A cos t   
Trong đó:
A là biên độ dao động (A > 0). Nó là độ lệch cực đại của vật: A  xmax ; đơn vị m, cm.

t   

là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad.

 là pha ban đầu của dao động; đơn vị rad.
 là tần số góc; đơn vị rad/s.
4. Chú ý
-Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể dược coi là hình chiếu của một
điểm M chuyển động tròn đều trên đường kính là đoạn thẳng đó.
-Đối với phương trình dao động điều hòa x = Acos(t + ) ta qui ước chọn trục x làm gốc để tính
pha của dao động.
III.Chu kì , tần số, tần số góc của dao động điều hòa.
1.Chu kì và tần số.
a.Chu kì (kí hiệu T) của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn
phần; đơn vị giây (s).
b.Tần số (kí hiệu f) của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây;
1
đơn vị héc (Hz): f  .
T
2.Tần số góc.
2
 2 f
Liên hệ giữa , T và f:  
T
IV.Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa.
1.Vận tốc.


-Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian: v  x '   A sin t      A cos  t     .
2

-Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn
với li độ của dao động điều hòa.

- Ở vị trí biên, x   A thì vận tốc bằng 0.

Trang 1


so với
2


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

- Ở vị trí cân bằng, x  0 thì vận tốc có độ lớn cực đại : vmax   A .
2.Gia tốc.
-Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: a  v '  x "   2 A cos t      2 x
-Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm
pha hơn


so với vận tốc).
2

-Gia tốc luôn ngược dấu với li độ hay véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí
cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
-Ở vị trí biên, x   A thì gia tốc có độ lớn cực đại : amax   2 A .
-Ở vị trí cân bằng, x  0 thì gia tốc bằng 0.
V.Đồ thị của dao động điều hòa.
-Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.
Ví dụ: đồ thị dao động của dao động có phương trình x  A cos t  .
*Dao động tự do (dao động riêng)
Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực

-Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ không phụ thuộc các
yếu tố bên ngoài. Khi đó:  gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng.

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Nhận biết phương trình dao động.
a.Xác định A, φ, ………
-Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác.
-so sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ………..
b.Suy ra cách kích thích dao động :
 x0  ?
 x  A cos(t   )

 Cách kích thích dao động.
-Thay t = 0 vào các phương trình 
v   A sin(t   ) v0  ?
c.Chú ý:
-Phương trình chuẩn : x  A cos t    ; v   A sin t    ; a   2 A cos t   
-Một số công thức lượng giác :


x  A sin(t   )  A cos  t     ; x  A cos   t   A cos t   
2



x   A sin t     A cos  t     ; x   A cos t     A cos t     
2

2


T  
2
 2 f  
-Công thức:  
T
f  

2
-Chu kì và tấn số tính theo số dao động N thực hiện được trong thời gian t : T 

t
N
;f 
N
t

Dạng 2: Xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại thời điểm t biết trước.
Muốn xác định x, v, a ở một thời điểm hay ứng với pha đã cho ta chỉ cần thay t hay pha đã cho vào các
công thức : x  A.cos(.t   ) ; v   A..sin(.t   ) ; a   A. 2 .cos(.t   )
-Nếu đã xác định được li độ x, ta có thể xác định gia tốc biểu thức như sau : a   2 .x
-Chú ý :
+Khi v  0; a  0 : Vận tốc, gia tốc, lực phục hồi cùng chiều với chiều dương trục toạ độ.
+Khi v  0; a  0 : Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.

Trang 2


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

+Để xác định tính chất của chuyển động ở một thời

điểm ta phải căn cứ vào li độ và chiều của vận tốc của vật ở thời điểm
đó để kết luận theo sơ đồ sau:
Dạng 3: Vận tốc và gia tốc cực đại.

Chuyển động

-A chậm dần

Chuyển động
chậm dần

O Chuyển động
Chuyển động
nhanh dần

A
x

nhanh dần


1.Vận tốc trong dao động điều hoà. v  x '   A..sin(t   )   A cos(t    ) ;
2
+ vmax   A  x  0 ( Tại VTCB )
+ vmin  0  x   A ( Tại hai biên )
2.Gia tốc trong dao động điều hoà. a  v'  x"   A. 2 .cos(.t   )   2 .x
+ amax   2 A  x   A ( Tại hai biên )
+ amin  0  x  0 ( Tại VTCB )
+ a luôn có hướng về VTCB. A luôn ngược dấu với x
a

2
+Hệ quả: max    2 f 
vmax
T
Dạng 4: Vận tốc và gia tốc tại vị trí có li độ x biết trước.
1. Để xác định vận tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta làm như sau :
 x  A.sin(t   )
x  A.sin(t   ) 

-Tại vị trí vật có li độ là x, vận tốc là v, ta có :
 v
v  A..cos(t   ) 
 A.cos (t   )



v   A2  x 2

2
v

-Bình phương hai vế, cộng vế với vế, ta được: A2  x 2  ( ) 2   A  x 2  v



v

 
A2  x 2


-Chú ý: + v > 0 : vận tốc cùng chiều dương trục toạ độ.
+ v < 0 : vận tốc ngược chiều dương trục toạ độ.
2. Để xác định gia tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta áp dụng công thức:
a   2 .x
a2 v2
a2
2
A2  4  2  vmax
 2  v2
 

-Chú ý: + a > 0 : gia tốc cùng chiều dương trục toạ độ.
+ a < 0 : gia tốc ngược chiều dương trục toạ độ.
-Quỹ đạo của vật: L  2 A
-Quãng đường vật đi được trong một chu là 4A, trong nửa chu kì là 2A.
t
N
-Trong thời gian t vật thực hiện được N dao động thì chu kì và tần số của vật là T  ; f 
N
t
Dạng 5: Xác định thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần thứ n
Cách 1: Phương pháp đại số.
x*
-Với x*, A,  và  đã biết, giải phương trình A cos t     x*  cos t      cos  .
A
t      2k (1)
Ta được hai nghiệm: 
k  Z 
t      2k (2)
-Nếu vật chuyển động theo chiều dương thì chọn nghiệm (2), giải tìm t và biện luận giá trị của k với lưu ý

là t  0 . Nếu vật chuyển động ngược chiều dương thì chọn nghiệm (1), giải tìm t và biện luận giá trị của k
với lưu ý là t  0 .
Cách 2: Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ ”. Thông qua các bước sau

 

Trang 3


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

* Bước 1 : Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang
 x0  ?
*Bước 2 : -Xác định vị trí vật lúc t = 0 thì 
v0  ?
-Xác định vị trí vật lúc t (xt đã biết)

M’
M

-A

A
x

0

x0

x

* Bước 3 : Xác định góc quét Δφ = MOM ' = ?
T  2 
 
t 

T
* Bước 4 : 
 2
 t  ?  
Lưu ý:
1.Đối với dạng bài toán tìm thời điểm vật đi qua tọa độ x* lần thứ n mà không tính đến chiều chuyển động
thì ta có thể dùng công thức sau:
n 1
T nếu n là lẻ. Với t1 là thời gian từ vị trí ban đầu đên tọa độ x* lần thứ nhất.
+ tn  t1 
2
n2
T nếu n là chẵn. Với t2 là thời gian đi từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ hai.
+ tn  t2 
2
2.Đối với dạng bài toán tìm thời điểm vật đi qua tọa độ x * lần thứ n mà tính đến chiều chuyển động thì ta
làm như sau:
-Bước 1: Tách số lần.
+Nếu đề bài cho n là số chẵn hoặc số lẻ thì đều tách: n   n  1  1
+Ví dụ: n  2015 thì tách: n  2014  1; n  2014 thì tách: n  2013  1
-Bước 2: Biện luận.
+Ứng với  n  1 lần đi qua vị trí x* theo một chiều mất thời gian t1   n  1 T
+Ứng với số lần còn lại, vẽ vòng tròn lượng giác rồi xác định như cách 2 ở trên để tìm thời gian t2
-Bước 3: Kết luận.

Thời gian cần thiết là t  t1  t2
Dạng 6. Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t. Biết tại
thời điểm t vật có li độ x  x0 .
1.Xác định li độ và vận tốc sau hoặc trước thời điểm t một khoảng thời gian t .
Cách 1:
Từ phương trình dao động điều hoà: x  A cos t    cho x  x0
Lấy nghiệm t      với 0     ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì
v < 0) hoặc t      ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là
 x  Acos(t   )
 x  Acos( t   )
hoặc 
(sau thì lấy dấu +; trước thì lấy dấu -)

v   A sin(t   )
v   A sin( t   )
Sử dụng máy tính CASIO FX 570-ES trở lên:
-Li độ và vận tốc sau thời điểm t một khoảng thời gian t lần lượt bấm như sau:

 A cos t  Shift  cos  x1  A 


 A sin t  Shift  cos  x1  A 
-Li độ và vận tốc trước thời điểm t một khoảng thời gian t lần lượt bấm như sau:

 A cos  t  Shift  cos  x1  A  
M1


 A sin  t  Shift  cos  x1  A 

α
x*
-A
A
x0
O
x
Cách 2: Dùng đường tròn. Đánh dấu vị trí x0 trên trục Ox. Kẻ đoạn thẳng
qua x0 vuông góc Ox cắt đường tròn tại hai điểm. Căn cứ vào chiều chuyển
M2
động để chọn vị trí M duy nhất trên đường tròn. Vẽ bán kính OM. Trong
M’

Trang 4


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

khoảng thời gian t, góc ở tâm mà OM quét được là   .t > Vẽ OM ' lệch với OM một góc  , từ
M ' kẻ vuông góc với Ox cắt ở đâu thì đó là li độ cần xác định.
T
2. Xác định li độ, vận tốc, gia tốc ở hai thời điểm cách nhau t2  t1  nT ; t2  t1   2n  1 ;
2
T
t2  t1   2n  1
4
Hai thời điểm cách nhau một khoảng thời gian t2  t1  nT (gọi là hai thời điểm cùng pha) thì
x2  x1; v2  v1; a2  a1;
T
Hai thời điểm cách nhau một khoảng thời gian t2  t1   2n  1 (gọi là hai thời điểm ngược pha)

2
thì x2   x1; v2  v1; a2  a1;
T
Hai thời điểm cách nhau một khoảng thời gian t2  t1   2n  1 (gọi là hai thời điểm vuông pha)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
thì x1  x2  A ; v1  v2  vmax ; a1  a2  amax ; v2   x1 ; v1   x2 (khi n lẻ thì v2   x1; v1   x2 và khi n
chẵn thì v2   x1; v1   x2 ).
Dạng 7: Cho phương trình dao động. Tìm khoảng thời để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2 theo một
tính chất nào đó.
1.Khoảng thời gian cần thiết để đi từ x1 đế x2.
-Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Vẽ cung
M1M2 tương ứng với chuyển động của vật trên trục Ox. Xác định góc  mà cung
M1M2 chắn (ví dụ như hình bên).
-Thời gian cần thiết là:
x

co s 1  1

 2  1

A

với 
và ( 0  1 , 2   )
t 



co s   x2
2

A
2.Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến li độ x2.
Cách 1: Dùng vòng tròn lượng giác.
 

T
-Thời gian cần thiết là t 
 2
Cách 2: Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở lên:
x
x
-Thời gian cần thiết là: t  t2  t1  arccos 2  arccos 1 : 
A
A
-Quy trình bấn máy tính CASIO FX 570ES trở lên: shift cos  x2  A  shift cos  x1  A   
M1

M2



x2

-A

x1

O

A



M'2

M'1

3.Thời gian trong một chu kì để x , v , a nhỏ hơn hoặc lớn hơn một giá trị nào đó.
-Thời gian trong một chu kì vật cách vị trí cân bằng một khoảng nhỏ hơn x1 :

+Dùng vòng tròn lượng giác: t  4t1  4



+Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở lên:
x
1
(Quy
trình
bấm
máy

tính:
t  4t1  4 arcsin 1

A
shift sin  x1  A    4  )
-Thời gian trong một chu kì vật cách vị trí cân bằng một khoảng lớn
hơn x1 :

+Dùng vòng tròn lượng giác: t  4t2  4



Trang 5

x(cos)
α



t2
-A

t1
-x1

t1
O

t2
x1

A

x


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

+Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở lên: t  4t2  4

1



arccos

shift cos  x1  A    4  )
-Thời gian trong một chu kì vận tốc của vật dao động điều hòa có giá trị
 2
v12
2
 A  x1  2
lớn hơn v1 (trong đoạn   x1; x1  ): Từ 
  x1  ?
a   2 x
 1
1

+Dùng vòng tròn lượng giác: t  4t1  4

x1
A

(Quy trình bấm máy tính:

x(cos)
α







+Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở
x
1
(Quy
trình
bấm
máy
t  4t1  4 arcsin 1

A
shift sin  x1  A    4  )

lên:
tính:

t2

-A

t1
-x1

t1

t2
x1

O

A

v

-Thời gian trong một chu kì vận tốc của vật dao động điều hòa có giá trị nhỏ hơn v1 (ngoài đoạn   x1; x1  ):

 2
v12
2
 A  x1  2
Từ 
  x1  ?
a   2 x
 1
1
+Dùng vòng tròn lượng giác: t  4t2  4





+Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở lên: t  4t2  4

1



arccos

shift cos  x1  A    4  )
-Thời gian trong một chu kì gia tốc của vật dao động điều hòa có giá trị
 2
v12
2
 A  x1  2
nhỏ hơn a1 (trong đoạn   x1; x1  ): Từ 
  x1  ?
a   2 x
 1
1

+Dùng vòng tròn lượng giác: t  4t1  4

x1
A

(Quy trình bấm máy tính:

x(cos)



α





+Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở
x
1
(Quy
trình
bấm
máy
t  4t1  4 arcsin 1

A
shift sin  x1  A    4  )

lên:
t2

tính:
-A

t1
-x1

t1
O

t2
x1

A

v

-Thời gian trong một chu kì gia tốc của vật dao động điều hòa có giá trị lớn hơn a1 (ngoài đoạn   x1; x1  ):

 2
v12
2
 A  x1  2
Từ 
  x1  ?
a   2 x
 1
1
+Dùng vòng tròn lượng giác: t  4t2  4





+Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở lên: t  4t2  4
shift cos  x1  . A    4  )

4.Trục phân bố thời gian theo li độ:

Trang 6

1



arccos

x1
A

(Quy trình bấm máy tính:


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

O
x

Dạng 8. Xác định khoảng thời gian để véctơ vận tốc và véctơ gia tốc cùng chiều, ngược chiều.
-Viết phương trình dưới dạng x  A cos t    , đặt   t    .
-Véctơ vận tốc v luôn cùng hướng với hướng chuyển động còn véctơ
gia tốc a luôn hướng về vị trí cân bằng.
-Phối hợp với vòng tròn lượng giác ta thấy rõ:
+Góc phần tư thứ nhất (I): Vật đi từ x  A đến x  0 , khi đó
x  0


v  0 : Vật chuyển động nhanh dần theo chiều âm vì
a  0


a.v  0  0   

(II)

(I)

(III)

(III)

A

-A



. Giải bất phương trình này tìm t.
2
+Góc phần tư thứ hai (II): Vật đi từ x  0 đến x   A , khi đó

x  0


v  0 : Vật chuyển động chậm dần theo chiều âm vì a.v  0      . Giải bất phương trình này tìm
2
a  0


t.
x  0

+Góc phần tư thứ ba (III): Vật đi từ x   A đến x  0 , khi đó v  0 : Vật chuyển động nhanh dần
a  0


3
. Giải bất phương trình này tìm t.
2
x  0

+Góc phần tư thứ tư (IV): Vật đi từ x  0 đến x  A , khi đó v  0 : Vật chuyển động chậm dần
a  0


theo chiều dương vì a.v  0     

3
   2 . Giải bất phương trình này tìm t.
2
Dạng 9: Quãng đường và số lần vật đi qua li độ x* từ thời điểm t1 đến t2.
Về tư duy: Cứ trong một chu kì:
+Vật đi được quãng đường 4A.
+Vật đi qua li độ x* bất kì 2 lần (không tính đến chiều chuyển động).
theo chiều dương vì a.v  0 

Trang 7

Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

Cách 1: Sử dụng vòng tròn lượng giác.
-Bước 1: Tìm t  t2  t1 , từ đó suy ra góc quét:   .t
-Bước 2: Tách góc quét và biện luận quãng đường.
  k 2   '  S  k.4 A  S0
-Bước 3: Tìm S0 trên đường tròn lượng giác.
+Xác định vị trí và chiều chuyển động ở thời điểm t1.
+Căn cứ góc quét  ' trên đường tròn chiếu xuống phương x, từ
đó tính được S0.
-Bước 4: Kết luận S  k.4 A  S0
Cách 2: Phương pháp lượng giác kết hợp hình học.
t t
-Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2: 2 1  n  m trong đó n là phần nguyên còn m là
T
phần thập phân. Có hai khả năng:
*Nếu m = 0 thì:
-Quãng đường đi được S  n.4 A
-Số lần vật qua x* : N  2n
*Nếu m  0 thì:
-Quãng đường vật đi được là: S  n.4 A  Sdu
-Số lần vật qua x* là: N  2n  Ndu .
Để tính Sdư và Ndư ta làm như sau:
Thay t1 và t2 vào phương trình dao động và vận tốc để xác định các li độ và vận tốc tương ứng:
 x1  Acos(t1   )
 x  Acos(t2   )
và  2
(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)


v1   Asin(t1   ) v2   Asin(t2   )
-Biểu diễn các vị trí x1, x2 và các véc tơ vận tốc v1 ; v2 tương ứng trên trục Ox. Từ x1 ta kẻ một đường song
song với Ox theo hướng của v1 đi qua x2 cho đến khi chiều của đường kẻ đó cùng chiều v2 . Khi đó chiều
dài đoạn vẽ được chính là Sdư.
Lưu ý:
-Chiều dài quỹ đạo: 2A
-Quãng đường đi trong một chu kỳ (T) luôn là 4A; trong một nửa chu kỳ ( T ) luôn là 2A
2
-Quãng đường đi trong một phần tư chu kỳ ( T ) là A khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên
4
hoặc ngược lại.
-Một số trường hợp đặc biệt để tính Sdư :
T

 t  2  Sdu  x2  x1
+Nếu v1.v2  0  
 t  T  S  4 A  x  x
du
2
1

2
T
+Nếu v1.v2  0  t   Sdu  2 A
2
v1  0  Sdu  2 A  x1  x2
+Nếu v1.v2  0  
v1  0  Sdu  2 A  x1  x2
Dạng 10: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian t .
T

1.Xác định Smax / Smin trong khoảng thời gian 0  t  .
2
-Vật có vận tốc lớn nhất khi qua vị trí cân bằng, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một
khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần vị trí cân bằng và càng nhỏ khi càng

Trang 8


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn
đều. Góc quét  = t.
-Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua

trục sin (hình 1) Smax  2 A sin
2
-Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng
 

qua trục cos (hình 2) Smin  2 A 1  cos

2 

T
2.Xác định Smax / Smin trong khoảng thời gian  t  T .
2

 

Smax  2 A  2 A sin

; Smin  2 A  2 A 1  cos

2
2 

3.Xác định Smax / Smin Trong trường hợp t  T .
T
T
-Tách t  n  t ' trong đó n  N * ; 0  t ' 
2
2
T
-Trong thời gian n quãng đường luôn là 2nA ; trong thời gian t ' thì Smax / Smin tính như trên.
2
4.Xác định tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian t .
S
S
vmax  max ; vmin  min với Smax; Smin tính như trên.
t
t
5.Bài toán ngược: Xét trong cùng quãng đường S, tìm thời gian dài nhất và ngắn nhất:
.t
.t 

-Nếu S  2 A  S  2 A sin min (tmin ứng với Smax); S  2 A 1  cos max  (tmax ứng với Smin).
2
2 

-Nếu S  2 A thì tách S  n.2 A  S ' vậy thời gian tương ứng: t  n.

T
 t ' ; tìm t’max, t’min như trên.
2

.t 
T

Ví dụ: S  A thì thời gian dài nhất là A  2 A 1  cos max   tmax 
và ngắn nhất là
2 
3

.t
T
A  2 A sin min  tmin  , đây là 2 trường hợp xuất hiện nhiều trong các đề thi!!
2
6
Dạng 11: Tìm tốc độ trung bình của vật trên một đoạn đường xác định từ thời điểm t1 đến thời điểm
t2
1.Tốc độ trung bình trên đoạn đường S.
S
-Tốc độ trung bình trên trên đoạn đường S: vtb 
t
Với S là quãng đường (được xác định ở dạng 8) và t là khoảng thời gian được tính t  t2  t1 .
4 A 2vmax

-Tốc độ trung bình trong một chu kì là: vtb 
T

-Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian t :

S
S
 vtb max  max ;  vtb min  min với Smax ; Smin được tính ở dạng 10.
t
t
2.Vận tốc trung bình.
x x 
 x1  A cos t1   
-Vận tốc trung bình : v  2 1 
t2  t1 
 x2  A cos t2   
-Vận tốc trung bình trong một chu kì bằng 0 vì độ dời x  x2  x1  0 .

Trang 9


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

Dạng 12: Lập phương trình dao động của dao động điều hoà.
* Chọn hệ quy chiếu :
- Trục Ox ………
- Gốc tọa độ tại VTCB
- Chiều dương ……….
- Gốc thời gian ………
* Phương trình dao động có dạng : x  A cos t   
* Phương trình vận tốc : v   A.sin t   
* Phương trình gia tốc : a   2 A cos t   
1 – Tìm 
* Đề cho : T, f, k, m, g, l0
2

t
, với T 
, N – Tổng số dao động trong thời gian Δt
  2 f 
T
N
Nếu là con lắc lò xo :
nằm ngang
treo thẳng đứng
g
k
mg
g

, (k : N/m ; m : kg)
, khi cho l0 

 2.
l0
m
k

*Đề cho x, v, a, A



v
A2  x 2

a


x



amax
A



vmax
A

2 – Tìm A
v
* Đề cho : cho x ứng với v  A  x 2  ( )2 .



- Nếu v = 0 (buông nhẹ)



- Nếu v = vmax  x = 0



* Đề cho : amax  A =

amax



* Đề cho : lực Fmax = kA.

A=x
v
A = max

* Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD  A =

2

 A=

Fmax
k

.

CD
.
2

* Đề cho : lmax và lmin của lò xo A =

lmax  lmin
.
2

2W
1
.Với W = Wđmax = Wtmax = kA2 .
k
2
* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim
A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin.
3 - Tìm  (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu
* Nếu t = 0 :
x0

c
os



 x0  A cos 
A
- x = x0 , v = v0  
 
 φ=?
v
0
v0   A sin 
sin  

A
2

v

a0   A cos 
- v = v0 ; a = a 0

tanφ =  0
φ=?

a
v


A

sin


0
 0
cos  0
  ?
0  A cos 

- x0 =0, v = v0 (vật qua VTCB)  

 
v0
A  ?
v0   A sin 
 A    sin   0


* Đề cho : W hoặc

Wdmax hoặc Wtmax

A =

Trang 10


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

 x  A cos 
- x =x0, v = 0 (vật qua VTCB)  0

0   A sin 

x0

0
A 
cos

sin   0


  ?
 
A  ?

a1   A 2 cos(t1   )

 x1  A cos(t1   )
* Nếu t = t1 : 
φ =?
hoặc 
φ =?
v1   A sin(t1   )
v1   A sin(t1   )
Lưu ý :
– Vật đi theo chiều dương thì v > 0  sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0 sin > 0.
– Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác


– sinx =cos(x – ) ; – cosx = cos(x + π) ; cosx = sin(x + ).
2
2
– Các trường hợp đặc biệt :
Chọn gốc thời gian t = 0 là :
– lúc vật qua VTCB x0 = 0, theo chiều dương v0 > 0
:Pha ban đầu φ = – π/2.
– lúc vật qua VTCB x0 = 0, theo chiều âm v0 < 0
:Pha ban đầu φ = π/2.
– lúc vật qua biên dương x0 = A
:Pha ban đầu φ = 0.
– lúc vật qua biên dương x0 = – A
:Pha ban đầu φ = π.
A

– lúc vật qua vị trí x0 =
theo chiều dương v0 > :Pha ban đầu φ = – .
2

3
2
A
– lúc vật qua vị trí x0 = – theo chiều dương v0 > 0 :Pha ban đầu φ = –
.
3
2
A

– lúc vật qua vị trí x0 =
theo chiều âm v0 < 0
: Pha ban đầu φ = .
2
3
2
A
– lúc vật qua vị trí x0 =– theo chiều âm v0 < 0
: Pha ban đầu φ =
3
2
A 2

– lúc vật qua vị trí x0 =
theo chiều dương v0 > 0: Pha ban đầu φ = – .
2
4
A 2
3
– lúc vật qua vị trí x0 = –
theo chiều dương v0 > 0: Pha ban đầu φ = –

.
2
4
A 2

– lúc vật qua vị trí x0 =
theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ = .
2
4
A 2
3
– lúc vật qua vị trí x0 = –
theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ =
.
2
4
A 3

– lúc vật qua vị trí x0 =
theo chiều dương v0 > 0 : Pha ban đầu φ = – .
2
6
A 3
5
– lúc vật qua vị trí x0 = –
theo chiều dương v0 > 0 : Pha ban đầu φ = –
.
2
6
A 3


– lúc vật qua vị trí x0 =
theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ = .
2
6
A 3
5
– lúc vật qua vị trí x0 = –
theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ =
.
2
6
Dạng 13: Liên quan đến đồ thị dao động.
1.Cho đồ thị dao động tìm phương trình.
-Đồ thị của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên điều hòa theo hàm sin và cos với chu kì T,
T
còn đồ thị của động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn theo hàm sin và cos với chu kì .
2
Tìm biên độ dao động dựa vào giới hạn trên trục tung.
-Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian hoặc vào khoảng thời gian để vật nhận
giá trị nào đó.
-Tìm pha ban đầu dựa vào gốc thời gian.
Trang 11


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

2.Cho phương trình, vẽ đồ thị: Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác đã học trong môn toán.
x2
v2

-Đồ thị biểu diễn vận tốc theo li độ: 2  2 2  1 là đường elip.
A  A
v2
a2
-Đồ thị biểu diễn gia tốc theo vận tốc: 2 2  4 2  1 là đường elip.
 A  A
-Đồ thị biểu diễn gia tốc theo li độ: a   2 x là một đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ.
Dạng 14: Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ A với chu kỳ T1và T2 lúc đầu hai vật cùng xuất
phát từ một vị trí x0 theo cùng một chiều chuyển động.
*Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật cùng trở lại trạng thái lúc đầu:
-Gọi n1và n2 là số dao động toàn phần mà hai vật thực hiện được cho đến lúc trở lại trạng thái đầu. Thời
gian từ lúc xuất phát đến lúc trở lại trạng thái đầu là: t  n1T1  n2T2 (n1 , n2  N )
-Tìm n1min , n2min thoả mãn biểu thức trên suy ra giá trị tmin cần tìm.
*Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật vị trí có
cùng li độ.
-Xác định pha ban đầu  của hai vật từ điề kiện đầu x0 và
v. Giả sử T1  T2 nên vật 2 đi nhanh hơn vật 1, chúng gặp
nhau tại x1 .
+Với   0 (hình 1): Từ M1OA  M 2OA suy ra thời
gian cần thiết là:   1t  2t    t 

2
1  2

+Với   0 (hình 2): Từ      1t  2t      suy ra thời gian cần thiết là: t 

2    
1  2

Bài 2. CON LẮC LÒ XO

I.Con lắc lò xo.
1.Cấu tạo.
Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò xo có
độ cứng k và có khối lượng không đáng kể; đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật m
có thể trượt trên một mặt phẳng nằm ngang không có ma sát.
2.Nhận xét.
-Vị trí cân bằng là vị trí khi lò xo không biến dạng. Vật sẽ đứng yên mãi mãi ở
vị trí này nếu lúc đầu nó đứng yên.
-Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng cho lò xo dãn ra một đoạn nhỏ rồi buông tay, ta
thấy vật dao động trên một đoạn thẳng quanh vị trí cân bằng.
II.Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt dao động.
1.Hợp lực tác dụng vào vật.
-Chọn trục tọa độ x’Ox song song với trục của lò xo, chiều dương là chiều tăng độ dài l của lò xo.
Chọn gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng.
-Hợp lực tác dụng lên vật tại vị trí có li độ x bất kì: F  P  N  Fdh
-Vì P  N  0 nên hợp lực tác dụng vào vật là lực đàn hồi của lò xo: F  Fdh . Hơn nữa khi vật ở vị
trí có li độ x thì độ biến dạng của lò xo cũng bằng x ( l  x ). Do đó lực đàn hồi của lò xo Fdh  k l  k x
. Chiếu lên trục x’Ox ta được dạng đại số: F  kx
2.Phương trình định luật II Niu-Tơn.
k
-Theo định luật II Niu-Tơn thì F  ma  mx '' nên ta có thể viết: a  x ''   x
m
k
-Đặt  2 
ta được x ''   2 x
m
-Phương trình này có nghiệm: x  A cos t    với A, ,  là những hằng số.

Trang 12

Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

-Vậy nếu bỏ qua ma sát và trong giới hạn đàn hồi thì dao động của con lắc lò xo là dao động điều
hòa với phương trình x  A cos t    .
3.Chu kì và tần số dao động của con lắc lò xo.
k
-Tần số góc:  
m
-Chu kì dao động của con lắc lò xo: T  2
-Tần số dao động của con lắc lò xo: f 

1
2

m
k
k
m

4.Lực kéo về.
Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi là lực kéo về hay lực
hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
Biểu thức đại số của lực kéo về: Fkv  kx  m 2 x .
III.Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt năng lượng.
1.Động năng của con lắc lò xo.
1
1
Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m: Wd  mv 2  m 2 A2 sin 2 t   
2

2
2.Thế năng của con lắc lò xo.
1
1
Thế năng của con lắc lò xo: Wt  kx 2  kA2 cos2 t    .
2
2
Động năng và thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên với tần số góc  '  2 , tần số f '  2 f
T
và chu kì T '  .
2
3.Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng.
1
1
a.Cơ năng của con lắc lò xo là tổng động năng và thế năng của con lắc: W  Wd  Wt  mv 2  kx 2
2
2
b.Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.
1
1
1
1
Ta có: W  m 2 A2 sin 2 t     kA2 cos2 t     m 2 A2  kA2  const
2
2
2
2
Vậy: Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng 1: Tính toán về chu khì và tần số của con lắc lò xo.
k
2
m
1 
1 k
 2

-Tần số góc:  
;
chu kỳ: T 
; tần số: f  
m

k
T 2 2 m
-Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong giới hạn đàn hồi.
T
m2
k
f

 1  1  1.
-Các tỉ số: 2 
T1
m1
k2
f 2 2
-Chu kì tính theo số dao động N thực hiện được trong thời gian t là: T 

t
N

-Chu kì của con lắc lò xo theo độ giãn (nén) của lò xo ở vị trí cân bằng.
l0
mg
+Lò xo dao động thẳng đứng khi vật ở VTCB: l0 
 T  2
g
k
+Lò xo dao động trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α: l0 

l0
mg sin 
 T  2
g sin 
k

-Liên quan tới sự thay đổi khối lượng vật nặng.
+Trong cùng khoảng thời gian t, hai con lắc thực hiện N1 và N2 dao động:

Trang 13


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

m2  N1 
N
k
2

 2 N 
f     2   2 f   


 
t
m
m1  N 2 
 t 
2

2

2

2

   f 
m
m  m
+Thêm bớt khối lượng m:  1    1   2  1
m1
m1
 2   f 2 
2
2
2
+Ghép hai vật: m3  m1  m2  T3  T1  T2
Dạng 2: Chiều dài của lò xo trong quá trình dao động
-Chiều dài tự nhiên của lò xo là l0 .

Trường hợp 1: Con lắc lò xo bố trí nằm ngang.

+Lúc vật ở vị trí cân bằng, lò xo không bị biến dạng, l0  0
+Chiều dài cực đại của lò xo: lmax  l0  A

+Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin  l0  A
Trường hợp 2: Con lắc lò xo bố trí thẳng đứng hoặc nằm nghiêng một góc α,
vật treo ở dưới.
Đối với con lắc lò xo nằm nghiêng.
mg.sin 
+Khi vật ở vị trí cân bằng lò xo dãn một đoạn: l0 
k
Đối với con lắc lò xo đặt thẳng đứng.
mg g
 2
+Khi vật ở vị trí cân bằng lò xo dãn một đoạn: l0 
k

Chiều dài của lò xo khi ở vị trí cân bằng: lCB = l0 + l (l0 là chiều dài tự nhiên)
Chiều dài của lò xo khi vật có li độ x: l  lcb  x  l0  l0  x (lấy dấu “+” khi vật ở dưới vị trí cân
bằng; lấy dấu “-“ khi vật ở trên vị trí cân bằng).
Chiều dài cực tiểu của lò xo (khi vật ở vị trí cao nhất): lmin  lcb  A  l0  l0  A

Chiều dài cực đại của lò xo (khi vật ở vị trí thấp nhất): lmax  lcb  A  l0  l0  A
l l
l l
Kết hợp ta có: A  max min ; lcb  max min
2
2

Trường hợp đặc biệt: Vật ở trên, lò xo ở dưới.
-Khi vật ở vị trí cân bằng lò xo bị nén một đoạn l0 nên chiều dài lò xo khi ở vị trí cân bằng phải
là: lcb  l0  l0 .
-Chiều dài ở li độ x: l  lcb  x  l0  l0  x (chiều dương hướng xuống).
-Chiều dài cực đại của lò xo: lmax  lcb  A  l0  l0  A
-Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin  lcb  A  l0  l0  A
Dạng 3: Xác định lực đàn hồi và kéo về của lò xo. Thời gian nén hay dãn trong một chu kì khi vật treo
ở dưới.
1.Lực kéo về hay lực hồi phục Fkv  kx  m 2 x
Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật.
*Luôn hướng về VTCB
*Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ
*Độ lớn: Fkeove  k x  m 2 x
Lực kéo về đạt giá trị cực đại  Fkeove 

max

 kA  m A khi vật đi qua các vị trí biên ( x   A ).

Lực kéo về có giá trị cực tiểu Fkv min  0 khi vật đi qua vị trí cân bằng (x = 0).



 

2. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng: Fdh  k l0  x   mg  k x
Có độ lớn Fdh  k l0  x  mg  kx

Trang 14




Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

* Với con lắc lò xo nằm ngang thì l0  0 nên lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không
biến dạng).
* Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng
+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
* F  k l0  x với chiều dương hướng xuống
* Fdh  k l0  x với chiều dương hướng lên
+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): Fdh max  k  l0  A  mg  kA  Fkeo max (lúc vật ở vị trí thấp nhất)
+ Lực đàn hồi cực tiểu:
* Nếu A  l0  Fdh min  k  l0  A  mg  kA  Fkeo min
-A
* Nếu A  l0  Fdh min  0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: Fnen max  k  A  l0  (lúc vật ở vị trí cao

nhất)
3.Thời gian lò xo nén, dãn trong 1 chu kì.
Nếu A  l0 thì trong quá trình dao động lò xo luôn dãn. Vì vậy ta chỉ xét
trường hợp A  l0 .
-Thời gian lò xo nén trong một chu kì:
l
+Tính cos   0    ?
A

nén
O

dãn

A
x

+Thời gian nén trong một chu kì là: tnen 
-Thời gian lò xo dãn trong một chu kì:
l
+Tính cos   0    ?
A
+Thời gian dãn trong một chu kì là: tdan 

2






T


2  2





 
T



Dạng 4: Năng lượng của con lắc lò xo và dao động điều hòa.
-Động năng và thế năng của dao động điều hòa:
1  cos2 t   
1
1
1
Động năng: Wđ  mv 2  m 2 A2sin 2 (t   )  Wsin 2 (t   )  kA2 .
2
2
2
2
1  cos2 t   
1
1
1
1
Thế năng Wt  kx 2  m 2 x 2  kA2 m 2 A2cos 2 (t   )  Wco s2 (t   )  kA2 .
2
2
22
2
2
-Lưu ý: Dao động điều hoà có tần số góc là , tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên với
tần số góc 2, tần số 2f, chu kỳ T/2
1
1
1
1

1 2
-Cơ năng: W  Wd  Wt  kx 2  mv 2  m 2 A2  kA2  mvmax
2
2
2
2
2
2
2
k  m
ma  mv 2


-Ta có 

a
ma  W 

2
k
2
a



x

x






2
k

nT
W 1
 m 2 A2
- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian
( nN*, T là chu kỳ dao động) là:
2
2 4
-Động năng và thế năng biến đổi qua lại cho nhau, khi động năng của con lắc có giá trị gấp n lần thế năng
1
1
1
A
ta được:  n  1 Wt  kA2   n  1 kx 2  kA2  x  
2
2
2
n 1
-Xác định khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp Wt  nWd :

Trang 15


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333


n
kx 2
n kA2
n
W

W


 x  A
  x1

t

n

1
2
n

1
2
n

1
+Ta có: Wt  nWd  
W  1 W
d


n 1

+Khoảng thời gian hai lần liên tiếp Wt  nWd là 2t1 hoặc

x1
1

t1   arcsin A
2t2 với 
t  1 arccos x1
 2 
A
1
T
x

 0, 71 thì 2t1  2t2 
+Nếu n  1 1 
4
2
A


-A

-x1
t2

+x1

O
t1

t1

+A

x

t2

1
T
T
x

 0, 71 thì 2t1  ; 2t2   tmin  2t2
+Nếu n  1 1 
4
4
2
A

1
T
T
x

 0, 71 thì 2t1  ; 2t2   tmin  2t1
+Nếu n  1 1 

4
4
2
A

-Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp các đại lượng x, v, a, Fkeove ,Wt ,Wd bằng 0 hoặc có độ lớn cực đại là
T
.
2
-Trong một chu kì có 4 lần Wd  Wt , khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để Wd  Wt là t 

Wd  Wt thì x  

T
. Khi
4

A
.
2

-Nếu lúc đầu vật ở vị trí biên hoặc vị trí cân bằng thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất

T
vật lại cách vị
2

trí cân bằng một khoảng như cũ.
-Nếu lúc đầu vật cách vị trí cân bằng một khoảng x0 mà cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất t  t  T  vật

T
A
và t  .
4
2
1
-Động năng của vật khi vật đi qua vị trí có li độ x: Wd  W  Wt  k  A2  x 2 
2
-Sơ đồ phân bố thời gian và năng lượng trong dao động điều hòa:
lại cách vị trí cân bằng một khoảng như cũ thì x0 

O

O

Trang 16


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

Dạng 5: Viết phương trình dao động của con lắc lò xo.
-Chọn hệ quy chiếu thích hợp: chiều dương, gốc tọa độ, gốc thời gian.
-Tính :   2 f 

a
v
k
g
2
;


 max  max 
m
l0
vmax
A
T

amax
A



v
A2  x 2

a
chieu dai quy dao lmax  lmin
v2
2 E vmax

 x2  2 

 max
2
2

k

2


 x  A cos t   
-Lập hệ: 

v   A sin t   
 x0  ?
 A cos   x0
-Xác định điều kiện ban đầu lúc t = 0 thì 
thay vào hệ trên ta được: 
v0  ?
 A sin   v0
-Tính A: A 

-Giải tìm .
-Nếu gặp bài toán cho các giá trị x,v tại thời điểm t bất kì. Một trong những cách giả đơn giản là chỉ cần

 x  A cos t   
thay các giá trị x,v, t vào hệ 
ta sẽ tìm được .
v



A
sin

t







Dạng 6: Cắt ghép lò xo.
1.Ghép lò xo:
T 2  T12  T22 
1 1 1

*Nối tiếp     cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:  1
1
1
k k1 k2
f2  f2  f2 
1
2
 nt
1
1
1
T 2  T 2  T 2 
*Song song: k  k1  k2   cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: 
1
2
f2  f2 f2
1
2
 ss
2.Một lò xo có độ cứng k0 , chiều dài l0 được cắt thành các lò xo có độ

k1 , k2 ,

và chiều dài tương ứng là l1 , l2 ,
thì có:
k0l0  k1l1  k2l2 
-Nếu biết k0 của một lò xo có chiều dài ban đầu l0 thì ta có thể tìm k’ của một đoạn lò xo có chiều
l
dài l’ được cắt từ lò xo đó theo biểu thức: k '  k0 . 0
l'
3.Con lắc lò xo có chiều dài l0 đang dao động điều hòa với biên độ A. Nếu đúng lúc con lắc đi qua vị trí
cân bằng, giữ cố định một điểm trên lò xo thì sẽ không là thay đổi cơ năng của con lắc. Khi đó phần còn
lại của lò xo gắn với vật dao động điều hòa với tần số f1 và biên độ A1 được xác định như sau:

l0
l0
k1l1  kl0  k1  k  f1  f
l1
l1

 2
2
 k1 A1  kA  A  A k  A l1
1
 2
2
k1
l0

4.Con lắc lò xo có chiều dài l0 đang dao động điều hòa với biên độ A. Nếu đúng lúc con lắc đi qua vị trí
cứng

có li độ x, giữ cố định một điểm trên lò xo thì thế năng bị nhốt Wnhot 

lại:

Trang 17

l2 kx 2
nên cơ năng của phần còn
l0 2


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

l0

k1l1  kl0  k1  l k

1

2
2
2
W '  k1 A1  kA  l2 kx

2
2 l0 2
Dạng 7: Kích thích dao động bằng va chạm
1.Va chạm theo phương ngang.
a.Vật m chuyển động theo phương ngang với vận tốc v0 đến va chạm mềm vào vật M đang đứng yên thì:
mv0
-Vận tốc của hệ sau va chạm (vận tốc của hệ ở vị trí cân bằng): mv0   m  M V  V 
mM


k
 
mM
-Nếu sau va chạm cả hai vật cùng dao động điều hòa thì: 
A  V


b.Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm đàn hồi vào vật M đang đứng yên thì ngay sau va chạm
2mv0

V
mv0  mv  MV



mM

vận tốc của m và M lần lượt là v và V:  1 2 1 2 1
2
 2 mv0  2 mv  2 MV
v  m  M v
0

mM

k
 
M
-Nếu sau va chạm M dao động điều hòa thì: 

A  V


c.Con lắc lò xo đang dao động theo phương ngang với biên độ A0, đúng lúc vật đến vị trí biên ( x0   A0 )
thì mới xảy ra va chạm thì:

k

2


m  M  A  x2  V
-Va chạm mềm: 
0
2
V  mv0

mM


k

2


M  A  x2  V
-Va chạm đàn hồi: 
0
2
V  2mv0


mM

2.Va chạm theo phương thẳng đứng.
-Vật m rơi tự do từ độ cao h so với vật M thì tốc độ của vật m ngay trước va chạm: v0  2 gh với
h là độ cao rơi.
a.Nếu va chạm đàn hồi thì vị trí cân bằng không thay đổi:
2mv0

V
mv0  mv  MV



mM

-Vận tốc của m và M là v và V ngay sau va chạm là:  1 2 1 2 1
2
 2 mv0  2 mv  2 MV
v  m  M v
0

mM

k
 
M
-Nếu sau va chạm M dao động điều hòa thì: 
A  V




Trang 18


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

b.Nếu va chạm mềm thì vị trí cân bằng thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn x0 

mg
và vận tốc của hệ
k

V2
mv0
k
. Biên độ sau va chạm: A  x02  2 với  

mM
mM
c.Nếu con lắc lò xo đang dao động theo phương thẳng đứng với biên độ A0, đúng lúc vật đến vị trí biên (

k

2


M  A  x2  V
x0   A0 ) thì mới xảy ra va chạm đàn hồi thì: 
0

2
V  2mv0

mM

d.Nếu con lắc lò xo đang dao động theo phương thẳng đứng với biên độ A0 đúng lúc vật đến vị trí cao nhất
thì xảy ra va chạm mềm thì ngay sau va chạm vật có li độ so với vị trí cân bằng mới  A0  x0  và có vận
sau va chạm là mv0   m  M V  V 

V2
mv0
2
k
nên có biên độ mới: A   A0  x0   2 với  
.

mM
mM
* Nếu con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng với biên đội A0 đúng lúc vật đến vị trí thấp nhất thì
xảy ra va chạm mềm thì ngay sau va chạm vật có li độ so với vị trí cân bằng mới  A0  x0  và có vận tốc
tốc V 

V2
mv0
2
k
V
nên có biên đội mới: A   A0  x0   2 với  
.


mM
mM
Dạng 8. Kích thích dao động bằng lực.
1.Một số loại lực tác dụng lên con lắc.
a.Lực quán tính.
-Là lực xuất hiện trên vật khi xét vật đó trong một hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc a . Lực này
luôn cùng phương, ngược chiều gia tốc chuyển động của hệ quy chiếu và có biểu thức: Fqt  ma .
-Lực quán tính ngược hướng với hướng của gia tốc chuyển động của hệ quy chiếu (thang máy hay
toa xe) và có độ lớn bằng tích khối lượng vật nặng và gia tốc của hệ quy chiếu.
-Tùy theo cách bố trí của con lắc và hướng của lực quán tính mà xác định độ biến dạng của lò xo ở
vị trí cân bằng.
-Khi kích thích cho vật dao động điều hòa dọc theo trục của lò xo với biên độ không lớn (sao cho
độ biến dạng của lò xo vẫn trong giới hạn đàn hồi của lò xo) thì dao động của vật cũng điều hòa.
-Trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc, chu kì dao động của con lắc lò xo vẫn được xác
m
định theo công thức: T  2
.
k
b.Lực li tâm.
Nếu vật dao động trong hệ quy chiếu quay đều với tốc độ góc  thì vật chịu thêm lực li tâm có
mv 2
hướng ra ngoài tâm quay và có độ lớn Flt 
 m 2 r .
r
c.Lực tĩnh điện: F  qE
-Nếu q  0 thì F cùng chiều với E (cùng chiều các đường sức điện).
-Nếu q  0 thì F ngược chiều với E (ngược chiều các đường sức điện).
U
-Đối với điện trường đều thì E 
d

2.Kích thích dao động của con lắc lò xo bằng lực.
Nếu tác dụng ngoại lực F vào vật theo phương trùng với trục của lò xo trong khoảng thời gian t  0 thì
F
vật sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng cũ Oc với biên độ: A  l0  .
k

Trang 19


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

Nếu tác dụng ngoại lực vô cùng chậm trong khoảng thời gian t lớn thì vật đứng yên tại vị trí Om cách
F
vị trí cân bằng cũ Oc một đoạn l0  .
k
T
Nếu thời gian tác dụng t   2n  1 thì quá trình dao động được chia làm hai giai đoạn:
2
F
-Giai đoạn 1  0  t  t  : dao động với biên độ A  l0 
xung quanh vị trí cân bằng mới Om.
k
-Giai đoạn 2  t  t  : Đúng lúc vật đến M thì ngoại lực thôi tác dụng. Lúc này vị trí cân bằng sẽ là

2F
.
k
Nếu thời gian tác dụng t  nT thì quá trình dao động sẽ chia làm hai giai đoạn:
F
-Giai đoạn 1  0  t  t  : Dao động với biên độ A  l0 

xung quanh vị trí cân bằng mới Om.
k
-Giai đoạn 2  t  t  : Đúng lúc vật đến vị trí cân bằng cũ Oc với vận tốc bằng không thì ngoại lực
thôi tác dụng. Lúc này vị trí cân bằng sẽ là Oc nên vật đứng yên tại đó.
T
Nếu thời gian tác dụng t   2n  1 thì quá trình dao động được chia làm hai giai đoạn:
4
F
-Giai đoạn 1  0  t  t  : Dao động với biên độ A  l0 
xung quanh vị trí cân bằng mới Om.
k
Oc nên biên độ dao động sẽ là A '  2l0 

-Giai đoạn 2  t  t  : Đúng lúc vật đến Om với vận tốc bằng  A thì ngoại lực thôi tác dụng. Lúc
này vật có li độ A và biên độ mới là A '  A2 

 A 
2

2

A 2

Dạng 9. Bài toán về hai vật.
1.Các vật cùng dao động theo phương ngang.
1.1.Hai vật tách rời ở vị trí cân bằng.
*Giai đoạn 1: Cả hai vật cùng dao động với biên độ A, tần số góc  

k
và tốc độ cực đại

m1  m2

v0   A .
*Gai đoạn 2: Nếu đến vị trí cân bằng m2 tách ra khỏi m1 thì:
v
m1
k
+m1 dao động điều hòa với tần số góc  ' 
và biên độ A '  0  A
m1
'
m1  m2
+m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 và khi m1 đến vị trí biên dương (lần 1) thì m2 đi được
m1 
m1
T'
k
. A.2
 A
quãng đường: S  v0 
. Lúc này khoảng cách giữa hai vật là
4
m1  m2
k
2
m1  m2
x  S  A '
1.2.Lấy bớt vật hoặc đặt thêm vật.
-Lấy bớt vật (hoặc đặt thêm vật) lúc tốc độ dao động bằng 0 sao cho không làm thay đổi biên độ:
k

'
vmax
 ' A'
m  m
m



A'  A 
vmax
A
m
k
m  m

Trang 20


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

-Lấy bớt vật (hoặc đặt thêm vật) lúc tốc độ dao động cực đại sao cho không làm thay đổi tốc độ cực
'
k
vmax
A'  '
m
'
 vmax 

 m  m 

đại: vmax
A vmax
m  m
k

m
-Lấy bớt vật (hoặc đặt thêm vật) lúc hệ có li độ x1 (vận tốc v1) sao cho không làm thay đổi vận tốc
tức thời:
v2
m  m
k
+Ngay trước lúc tác động: A2  x12  12  x12  v12
 v12 
A2  x12 


k
m  m

v12
k
m
m
A2  x12   x12   A2  x12 
+Ngay sau lúc dao động: A '  x  2  x12 

'
m  m
k
m  m

1.3.Vật m đặt trên vật m dao động điều hòa theo phương ngang . Hệ số ma sát giữa m và m là  , bỏ
qua ma sát giữa m với mặt sàn. Để m không trượt trên m trong quá trình dao động thì:
 m  m  g
g
A 2  

k
2.Các vật cùng dao động theo phương thẳng đứng.
2.1.Lấy bớt vật.
Giả sử lúc đầu hai vật  m  m  gắn vào lò xo cùng dao động theo phương thẳng đứng xung quanh
2
1

vị trí cân bằng Oc với biên độ A và với tần số góc  

k
, sau đó ta lấy vật m thì hệ dao động
m  m

xung quanh vị trí cân bằng mới Om với biên độ A ' và tần số góc  ' 

k
. Vị trị cân bằng mới Om cao hơn
m

mg
.
k
-Nếu ngay trước khi lấy vật m hệ ở dưới vị trí cân bằng cũ một đoạn x1 (tức là cách vị trí cân bằng
mới một đoạn x1  x0 ) thì:

vị trí cân bằng cũ một đoạn: x0 

 2
v12
m  m
k
2
A

x

 x12  v12
 v12   A2  x12 
1

2

k
m  m


2
m
 A '2   x  x 2  v1   x  x 2  v 2 m  A '   x  x 2  A2  x 2

1
0
1
0
1

1
0
1 
2

'
k
m  m


Đặc biệt, nếu x1  A  A '  A  x0
-Nếu ngay trước khi lấy vật m hệ ở trên vị trí cân bằng cũ một đoạn x1 (tức là cách vị trí cân bằng
mới một đoạn x1  x0 ) thì:
 2
v12
k
2
2
2 m  m
 v12   A2  x12 
 A  x1  2  x1  v1

k
m  m


2
m
 A '2   x  x 2  v1   x  x 2  v 2 m  A '   x  x 2  A2  x 2


1
0
1
0
1
1
0
1 
2

'
k
m  m

Đặc biệt, nếu x1  A  A '  A  x0
2.2.Đặt thêm vật.
Giả sử lúc đầu chỉ có vật m gắn vào lò xo dao động theo phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân
k
bằng Oc với biên độ A và với tần số góc  
, sau đó người ta đặt thêm vật m (có cùng tốc độ tức
m

Trang 21


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

thời) thì hệ dao động xung quanh vị trí cân bằng mới Omvới biên độ A ' và tần số góc  ' 

k

. Vị
m  m

mg
. Ta xét các trường hợp có thể xảy ra:
k
-Nếu ngay trước khi đặt vật m hệ ở dưới vị trí cân bằng cũ một đoạn x1 (tức là cách vị trí cân bằng
mới một đoạn x1  x0 ) thì:
trị cân bằng mới Om thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn: x0 

 2
v12
m
k
2
A

x

 x12  v12  v12   A2  x12 
1

2

k
m


2
 A '2   x  x 2  v1   x  x 2  v 2 m  m  A ' 

1
0
1
0
1

 '2
k

Đặc biệt, nếu x1  A  A '  A  x0

 x1  x0 

2

  A2  x12 

m  m
m

-Nếu ngay trước khi đặt vật m hệ ở dưới vị trí cân bằng cũ một đoạn x1 (tức là cách vị trí cân bằng
mới một đoạn x1  x0 ) thì:
 2
v12
m
k
2
A

x


 x12  v12  v12   A2  x12 
1

2

k
m


2
 A '2   x  x 2  v1   x  x 2  v 2 m  m  A '   x  x 2  A2  x 2 m  m

1
0
1
0
1
1
0
1 

 '2
k
m

Đặc biệt, nếu x1  A  A '  A  x0
2.3.Vật m được đặt trên vật m dao động điều hoà theo phương thẳng đứng. Để m luôn nằm yên trên m
g (m  m) g
trong quá trình dao động thì: A  2 


k
2.4.Vật m và m được gắn hai đầu của lò xo đặt thẳng đứng , m dao động điều hòa. Để m luôn nằm yên
g (m  m) g
trên mặt sàn trong quá trình m dao động thì : A  2 

k

Bài 3. CON LẮC ĐƠN
I.Thế nào là con lắc đơn?
1.Cấu tạo.
Gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo vào ở đầu một sợi dây không dãn, có chiều dài l, có khối
lượng không đáng kể.
2.Nhận xét.
Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí mà dây treo có phương thẳng đứng. Con lắc sẽ đứng yên mãi
mãi ở vị trí này nếu lúc đầu nó đứng yên.
Kéo nhẹ quả cầu cho dây treo lệch khỏi vị trí cân bằng một góc rồi thả ra, ta thấy con lắc dao động
xung quanh vị trí cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật.
II.Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học.
1.Phương trình chuyển động.
Vị trí của vật m được xác định bởi li độ góc   OCM hay bởi li độ cong
s  OM  l (α tính ra rad). Chọn chiều dương như hình vẽ.
Vật chịu tác dụng của hai lực: Trọng lực P và sức căng T .
Theo định luật II Newton: ma  P  T . Chiếu lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo
ta có: ma  Pt  mg sin  .
Thành phần Pt  mg sin  của trọng lực chính là lực kéo về.
Với α lớn ( sin    ) dao động của con lắc đơn không phải là dao động điều hòa.
s
Với α nhỏ (   100 ) thì sin    khi ấy ực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ: Pt  mg  mg
l

s
g
Do đó: ma  mg  a    s
l
l
Trang 22


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

g
 a   2 s . Ta có: a   2 s
l
Nghiệm của phương trình này là: s  S0 cos t   

Đặt  2 

Vậy khi dao động nhỏ ( sin    (rad ) ), con lắc đơn dao động điều hòa theo phương trình:
s  S0 cos t   
Trong đó S0  l 0 là biên độ cong và  0 là biên độ góc.
2.Tần số góc và chu kì dao động.
g
Tần số góc của con lắc đơn:  
l
Chu kì dao động của con lắc đơn: T  2

l
g

1 g

2 l
III.Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt năng lượng.
1.Động năng.
Tần số dao động của con lắc đơn: f 

Động năng của con lắc đơn là động năng của vật (coi là chất điểm): Wd 

1 2
mv
2

2.Thế năng.
Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường của vật. Nếu chọn mốc tính thế năng là vị trí cân
bằng của con lắc thì thế năng của con lắc đơn ở li độ góc α là: Wt  mgl 1  cos  
3.Cơ năng.
Nếu bỏ qua ma sát thì cơ năng của con lắc (bao gồm thế năng và động năng của vật) được bảo toàn.
Nó chỉ biến đổi từ dạng thế năng sang dạng động năng và ngược lại.
1
W  mv 2  mgl 1  cos    mgl 1  cos  0   const
2
IV.Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do.
l
4 2l
Từ công thức tính chu kì: T  2
g 2
g
T
Dùng một con lắc đơn có chiều dài l tính đến tâm quả cầu. Đo thời gian của một số dao động toàn
phần, từ đó suy ra chu kì T ta sẽ tính được g.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Tính Tần số góc, chu kì, tần số khi biết độ dài l, gia tốc g.
2
l
g
1 
1 g
 2
-Tần số góc:  
; chu kỳ: T 
; tần số: f  

l
T 2 2 l

g
-Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và 0 << 1 rad hay S0 << l
T
l
g
f

-Các tỉ số: 2  2  1  1  1 .
T1
l1
g2
f 2 2

t
N

-Trong cùng một khoảng thời gian t, hai con lắc thực hiện N1 và N2 dao động :
-Chu kì tính theo số dao động N: T 

l2  N1 
N
g
2
 2 N 
f     2   2 f   

  
t
l
l1  N 2 
 t 
2

2

2

2

   f  l
l  l
-Thay đổi chiều dài của con lắc:  1    1   2  1
l1
l1
 2   f 2 

Trang 23


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333

-Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn
chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T3,con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ T4. Thì ta có: T32  T12  T22 và
T42  T12  T22 .
Dạng 2: Lập phương trình dao động của con lắc đơn.
1.Các phương trình của con lắc đơn.
a   2 S0 cos t   

v   S0 sin t    
 S  S0 cos t    
;
;

2



cos

t


v




l
sin

t









0
0


a    0l cos t   

-Gia tốc toàn phần: a  an  at  a  an2  at2 trong đó:
+Gia tốc pháp tuyến (hướng tâm): an 

v 2 T  P cos 

 2 g  cos   cos  0 
l
m

P.sin 
 g sin 

m
+Ở vị trí cân bằng: a  an ; ở vị trí biên: a  at
+Gia tốc tiếp tuyến: at 

1 2

2

 cos   cos  0    0   
at  g
+Nếu  0  10 ( 0  1rad ) thì 
nên
2

an  g  02   2 



sin




a
g
+Gia tốc góc của quả nặng tại một điểm trên quỹ đạo:   t  
r
l
0


 S 0   0l

v2
v2
2
2
-Hệ thức độc lập với thời gian: S0  s  2 với  s   l   02   2 
gl


g
2
 
l

2.Viết phương trình dao động của con lắc đơn.
g
2
-Tính :  
 2 f 
l
T
v2 2
v2
2
2
2
-Tính S0: S0   0 .l ; S0  s  2 ; 0   


gl

 s  S0 cos t   
-Lập hệ 

v   S0 sin t   
 s  s0
S0 cos   s0

  ?
-Lúc t  0  
v  v0  S0 sin   v0
Dạng 3: Năng lượng của con lắc đơn.
Phương pháp.
1
-Động năng Wd  mv2  mgl  cos   cos  0 
2
-Thế năng Wt  mgh  mgl 1  cos   với h  l 1  cos   ( chọn mốc thế năng khi vật ở vị trí
cân bằng)
-Cơ năng W  Wd  Wt  mgl 1  cos 0   Wd max  Wt max

-Khi góc nhỏ  0  100 thì ta có thể viết:

Trang 24


Cẩm nang luyện thi đại học - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - Email: - Phone:0948249333




mv 2
1 2

W


cho v  d
Wd  2 mv
2




W

W
 Wd

mgl 2

 t


Wt 
2
mgl 2





Wt 
1
1
mg
1
1


2 2
2
2
2 2 2
cho


2

W  Wd  Wt  2 m S0  2 l S0  2 mgl 0  2 m l  0

Wd  W  Wt



n
n
n
W     0
 s   S0
Wt 
n 1

n 1
n 1

-Khi Wt  nWd  
1
W  1 W  v  v
d
max

n 1
n 1
Dạng 4: Bài toán con lắc vướng đinh về một phía.
1.Vướng đinh ở vị trí cân bằng.
-Biện độ góc sau khi vướng đinh thay đổi:  2  1
O
-Độ cao cực đại của quả nặng trước và sau khi vướng đinh so với vị
trí cân bằng: h1  l1 1  cos 1  ; h2  l2 1  cos  2 
-Cơ năng trước và sau khi vướng đinh:
I

W  mgh1  mgl1 1  cos 1 
.

W
'

mgh

mgl
1


cos




2
2
2

l 1  cos 1
-Vì cơ năng không đổi nên: h1  h2  1 
l2 1  cos  2


 R  mg  3  2 cos 1 
-Độ lớn lực căng sợi dây trước và sau khi vướng đinh lần lượt là 

 R '  mg  3  2 cos  2 
T T
-Chu kì của con lắc vướng đinh: T  1 2 với T1 là chu kì của con lắc lớn ( l1 ), T2 là chu kì của
2
con lắc nhỏ ( l2 ).
2.Vướng đinh ở vị trí biên.
-Biên độ góc trước và sau khi vướng đinh không thay đổi:
O
 2  1   0
-Độ lớn lực căng sợi dây trước và sau khi vướng đinh:
 R  mg cos  o
I


 R '  mg cos  0
-Độ cao cực đại của quả nặng trước và sau khi vướng đinh:

h1  l1 1  cos  0 


h2  l2 1  cos  0 

W  mgh1  mgl1 1  cos  0 
-Cơ năng của con lắc không bảo toàn: 

W '  mgh2  mgl2 1  cos  0 
3.Sự trùng phùng của hai con lắc đơn.
-Hai con lắc dao động với chu kì khác nhau T1 và T2. Khi vật nặng của hai con lắc cùng qua vị trí
cân bằng và chuyển động cùng chiều thì ta nói xảy ra trùng phùng.
TT
-Khoảng thời gian t giữa hai lần trùng phùng liên tiếp được xác định:   1 2
hoặc
T1  T2

  nT1   n  1 T2 với n là số chu kì đến lúc trùng phùng mà con lắc lớn thực hiện, n  1 là số chu kì con

lắc nhỏ thực hiện để trùng phùng.
Trang 25