Chuyen de Ham SO luyen thi dai hoc 2016

/>
CHUYÊN ĐỀ
Đ HÀM SỐ .
Đề số 1
Cho hàm số:

=

( )

Viết phương trình tiếp tuyến củaa đồ
đ thị ( ) biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận
n ccủa ( ) một tam
giác vuông cân.
Bài giải:
Phương trình các đường tiệm cận
n là x=1 và y=2, chúng lần
l lượt vuông góc với các trụcc Ox và Oy. Do đó
tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận mộtt tam giác vuông cân khi và chỉ
ch khi nó vuông góc đườ
ờng thẳng y=x
hoặc y=-x.
Vì y’=

(

)

<0, ∀ x≠1, nên mọi tiếp
p tuyến
tuy của (C) có hệ số góc âm.

Suy ra tiếp tuyến chỉ có thể vuông
ông góc với
v đường thẳng y=x
Vậy hoành độ tiếp điểm là nghiệm
m của
c phương trình

(

)

=-1↔x=1±√3

Với x=1+√3 → y=2+√3.. Khi đó PT tiếp
ti tuyến là y=-x+3+2√3
Với x=1- √3 → y=2-√3. Khi đó PT tiếếp tuyến là y=-x+3-2√3

Đề số 2
Cho hàm số

=

+

+

+

( )

1
/>

/>Tìm các giá trị của m, để đường thẳẳng (d) đi qua điểm I(-1;2) với hệ số góc bằng (-m)
m) ccắt đồ thị hàm số
(1) tại ba điểm phân biệtt A, B, C. Chứng
Ch
minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) ttại A và B song
song với nhau.
Bài giải
Đường thẳng ∆: y=-m(x+1)+2
Xét PT:

+3

+mx+m=-mx-m+2 ↔ ( + 1)(

+2 +2

− 2) = 0

∆ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt ↔ PT sau có 2 nghiệm phân biệt khác (-1):
∆ = 1 − (2 − 2) > 0
↔
1−2+2 −2 ≠ 0

↔
Gọi

,

<

+2 +2

− 2=0 (*)

(**)

là nghiệm của (*) và A( , ), B( , ) là 2 giao điểm.

Hệ số góc của hai tiếp tuyến tạii A và B là:
=y’( )=3
Mặt khác
+2

+6 +m=3(

+2 )+m

là nghiệm của (*) nên

=2-2m ↔

=6-5m (i=1,2)

Bây giờ ta sẽ chứng minh hai tiếp
p tuyến
tuy không thể trùng nhau

Đặt k=6-5m. Phương trình hai tiếp
p tuyến
tuy là: y=kx-k +
Nếu hai tiếp tuyến trùng nhau, tứcc là:
kx-k + =kx-k + , ∀ ∈
↔6−4

=0↔

↔ ( - )+ - =0 ↔ (

- )(k+m)=0 ↔ k+m=0 ( vì

≠

)

= .Điều
u này mâu thuẫn
thu với (**).

Vậy với m< thì hai tiếp tuyến tạii A và B song song với
v nhau
Lưu ý: có thể giải cách khác bằng việệc chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đồ thị hàm ssố đã cho

Đề số 3
Cho hàm số:

=

( )

Gọi I là giao điểm hai đường tiệm
m cận
c của (C). Với giá trị nào của m, đường thẳng y=--x+m cắt (C) tại
hai điểm phân biệtt A, B và tam giác IAB đều.
đ

2
/>

/>Bài giải:
Đường thẳng y=-x+m cắt (C) tạii hai điểm
đi
phân biệt khi và chỉ khi phương trình
ình sau có hai nghi
nghiệm phân
≠1
)
biệt , :
=-x+m ↔
↔ (1 − ) − 4( − 1) > 0 ↔
+ (1 − ) + − 1 = 0
1+1− + −1≠0
>5
[
(*)
<1
Ta có I(1;2),

+ =m-1 và
;
). ⃗=(

(i=1,2) và H(

=m--1. Gọi A( ; ), B( ; ) và H là trung điểm củaa AB. Khi đó
;
), ⃗ =( - ; - )

=

Tam giác IAB đều ↔

=

Ta có
=
↔( −
với mọi m thỏa mãn (*)
(

Ta có (**) ↔
↔

−6

)

= (

+3 = 0↔

=
=

↔

√

−(

)[

+

−

) ↔ (

=- +m

(**)

− 1)]=0. Do đó

− 3) =3[ (

−

+

=

) −4

− 1 nên đẳẳng thức này đúng

] = 3[(

−1
1) − 4(

− 1)]

= 3 ± √6. Các giá trị này của m đều thỏa mãn (*). Đáp số m=3
m=3±√6

Đề số 4
=

Cho hàm số

−

+

+

(*)

Chứng minh rằng với mọii m, hàm số
s (*) có 3 điểm cực trị. Với giá trị nào của m, khoảảng cách từ điểm
cực đại đến đường thẳng
ng đi qua hai điểm
đi
cực tiểu của đồ thị hàm số (*) nhỏ nhất.
Bài giải
y’=4

− 4(

+ 1) =4x [

−(

+ 1)] →

=0 ↔[
,

=0
= ±√
+1

Như vậy y’=0 có 3 nghiệm phân biệệt với mọi m.
Gọi A( ;

), ( ;

), ( ;

) là 3 điểm
đi
thuộc đồ thị. Bảng xét dấu của y’:

−∞

X
Y’

+∞
-

Suy ra hàm số đạt cực đại tại
= 1,

Ta có

=

= (±√

0

+

= 0,
0 đạt cực tiểu tại
+ 1=1-(

0

,

-

với mọi giá trị của m.

+ 1)

3
/>
+


/>+ 1)

Suy ra phương trình đường thẳng
ng BC là y=1-(
y=1

Do đó khoảng cách từ A đến
n BC là h=|1
h= − 1 + (
+ 1) |=(
+ 1) ≥ 1, ∀
khi và chỉ khi m=0. Vậyy m=0 thì khoảng
kho
cách từ A đến BC là nhỏ nhất.

∈ .Đ
Đẳng thức xảy ra

Đề số 5
=

Cho hàm số

+ (

− )

+

−

+

− (

+ )( )

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực
c đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm
m ccực đại, cực tiểu
+

của đồ thị hàm số (1) vuông góc vớ
ới đường thẳng y=

Bài giải:
+ 4(

Ta có y’=3

− 1) +

Hàm số có CĐ, CT ↔
↔ ∆=

+4

−4

+1

= 0 có hai nghiệm
nghi
phân biệt

,

à y’ đổi dấu
u khi x đi qua m
mỗi nghiệm này

> −2 + √3
(*)
< −2 − √3

+1>0 ↔[

Nhận xét: Hai đường thẳng
ng vuông góc với
v nhau thì tích hệ số góc của chúng bằng (-1).
1). Ta ssẽ xác định m
để hệ số góc của đường thẳng
ng đi qua hai điểm
đi
CĐ, CT của hàm số bằng ( )
Cách 1: Gọi A( ;

=- (

AB. Khi đó:k=
Suy ra - (

), ( ;

− 1) + (

) là các điểm
đi
cực trị của đồ thị hàm số và k là hệ số góc ccủa đường thẳng

− 1) + (
−4

−4

+ 1)

+ 1)=1
↔

+4

=0↔[

−(

+ 1) − (

=0
= −4

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều
u kiện
ki (*)
Cách 2: Ta có
+ (

Y= [

− 1)]

+ −

−

−

Suy ra đường thẳng AB có hệ số góc k=k=
Do đó -

−

− =− ↔

+4

−

− 1)(

−4

+ 1)

− =−

=0 ↔[

=0
= −4

Đề số 6
Cho hàm số

=

4
/>

/>Viết phương trình đường thẳng
ng (d) đi qua gốc
g tọa độ O và cắt (C) tại hai điểm
m phân bi
biệt A, B sao cho O
là trung điểm của AB.
Bài giải:
Phương trình đường thẳng
ng (d) đi qua O có hệ
h số góc k là y= kx, (d) cắt (C) tại hai điểm
m phân bi
biệt ↔
≠1
Phương trình sau có hai nghiệm
m phân biệt:
bi
=
(1) ↔
− ( + 2) + 1 = 0 (2)
PT (1) có hai nghiệm phân biệt ↔ PT (2) có hai nghiệm
nghi
phân biệt khác 1
↔

≠ 0, ∆= ( + 2) − 4 > 0
↔

− ( + 2) + 1 ≠ 0

Gọi

,

+ 4 > 0 đúng với mọi k≠ 0
+

là nghiệm củaa (2). Do O là trung điểm
đi
của AB nên

=0↔

= 0 ↔ k=- 2

Vậy phương trình đường thẳng (d)) là y= -2x

Đề số 7
Cho hàm số

=

+(

−

− ) +

Biện luận theo k số nghiệm củaa phương trình:
tr

−

−

=|

|

Bài giải:
Đặt ( ) =

+ 2 = ( − 1)(
1

−3

− 2 − 2)

Xét phương trình
−2 −2 = |
Ta có | − 1|(

|

↔ | − 1|(

− 2 − 2)=

Suy ra đồ thị y=| − 1|(

− 2 − 2)=k, với x≠ 1 (∗)

( − 2 − 2)( − 1) = ( ) ớ > 1
−(( − 2 − 2)( − 1) = ( ) ớ < 1

− 2 − 2)
2 trên miền R\{1} là:

Số nghiệm của phương trình (*) bằng
ng số
s giao điểm ( với hoành độ giao điểm khác 1) củ
ủa đường thẳng
y=k với đồ thị hàm số y=| − 1|( − 2 − 2)

5
/>

/>
Từ đồ thị trên ta suy ra:
-

Nếu k<-2 thì PT (*) vô nghiệệm
Nếu k=-2 hoặc k≥0
0 thì PT (*) có 2 nghiệm
nghi
phân biệt
Nếu -2

2nghi
phân biệt

Đề số 8
Cho hàm số

=

( )

Tìm k để trên đồ thị (C) có hai nghiệm
nghi
phân biệt M(

,

), (

,

) thỏa mãn:

+
+

=
=

Chứng minh rằng hai điểm

m M, N cùng thuộc
thu một nhánh của đồ thi (C).
Bài giải:
Theo bài ra M, N là 2 điểm thuộcc đường
đư
thẳng x+y=k hay y= -x+k
Xét phương trình hoành độ giao điểểm
↔

− ( − 1) +

=− +

↔

−1≠0
2 + 1 = ( − 1)(− + )

+ 1 = 0 (*)

( Vì x=1 không là nghiệm củaa phương trình
tr với mọi k)
Yêu cầu của bài toán được thỏaa mãn ↔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt ↔ ( − 1) − 4(( + 1) > 0 ↔
−6 −3>0↔[
Đặt t=x-1 ↔

√
√

= + 1.. Khi đó phương trình

tr
(*) trở thành:

6
/>

/>− ( − 3) + 3 = 0. Với điều kiệện trên thì phương trình này có hai nghiệm cùng dấu
u ↔ Phương trình
(*) có hai nghiệm cùng phía so vớii 1 ↔ Hai điểm M, N cùng thuộc một nhánh của đồ th
thị (C)
Lưu ý: Không sử dụng định lý đảo vềề dấu của tam thức bậc hai để chứng minh!

Đề số 9
=

Cho hàm số

−

+

( )

Viết phương trình tiếp tuyến củaa đồ
đ thị (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượ
ợt tại A, B và tam
giác AOB cân tại O.
Bài giải:
Giả sử tiếp điểm là M( ;

). Hệ số
ố góc của tiếp tuyến là k=y’( )=

−2

Để tam giác AOB cân tại O thì tiếp
p tuyến
tuy vuông góc với đường thẳng y=x hoặcc vuông góc vvới đường
thẳng y= -x.
: Tiếp tuyến vuông góc với đườ
ờng thẳng y=x
Suy ra k= -1 → 3

−2

= −1.. Phương trình
tr này vô nghiệm (loại)

: Tiếp tuyến vuông góc với đườ
ờng thẳng y= -x
Suy ra k=1 → 3

−2

ế

= 1 ℎì ℎươ

ế

=− →

ậ

ế

=

ế

ầ

=1 ↔ [
ì ℎ ế
23
→
27

ì

ế

ℎươ
ươ

=−

→

ì ℎ ế

ế

≡
=

≡
+

( ạ)
23
( ℎỏ
27

ã )

à 27 − 27 + 32 = 0

Đề ố

ì

à

ố

=

á

á

ị ủ

=

+

−
+

ắ đồ

( )
để đườ
ị à

ẳ

ố( ) ạ

( ):
để

,

độ à

ỏ

Bài giải:

7
/>
ấ .


/>
Hoành độ giao điểm củaa (d) và (C) là nghiệm
nghi
của
2

=2 +

↔ (2x+m)(x-1)=(x+1) ↔

+(m-3)x-(m+1)=0

∆=
+ 2 + 17>0
>0 nên phương trình
tr có hai nghiệm phân biệt( khác 1)
tại hai điểm phân biệt A( , 2 + ), B( , 2 + ).
Khi đó:

−

=(
) +20

=5(

) + (2

= (

+2

+

−2

−

) =5(

−

) =5(

+

,

. Từ đó (d) luôn ccắt (C)

) -20

+ 17)

17 ≥ 20

Dấu bằng khi m= -1. Vậy khoảng
ng cách nhỏ
nh nhất là √20 khi m= -1

Đề số 11
=

Cho hàm số

−

+

(C)

Tìm các giá trị của m để đường thẳẳng
tại 3 điểm phân biệt cách đều
u nhau.

đi qua điểm A(-1;-3) và có hệ số góc m cắtt đ
đồ thị hàm số (C)

Bài giải:
: y=m(x+1) – 3. Hoành đô giao điểm
đi
của
à ( ) là nghiệm của m(x+1) – 3= − 3 + 1
↔ ( + 1)( − 4 + 4 − ) = 0.. Từ

T điều kiện bài toán suy ra g(x)= − 4 + 4 − có hai nghiệm
phân biệt , khác -1 sao cho + = 2(−1) hoặc + (−1) = 2 . Mà theo định
nh lí Viet
+ = 4 suy ra = 3, = 1.. Suy ra m=1( thỏa
th mãn). Có thể giải bằng cách chứng
ng minh đi
điểm uốn
U(1;-1) là tâm đối xứng của đồ thị và điều
đi kiện tương đương với
đi qua U suy ra -1=m(1+1)
1=m(1+1) – 3 suy ra
m=-1

Đề số 12
=

Cho hàm số

Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến củ
ủa đồ thị đều không đi qua điểm A(2;3)
Bài giải:
Phương trình tiếp tuyến tổng quát
Y= 1 −
Y= 1 −

(

)

(

)

+1+

(x- )+
x+

(

)

+1+

8
/>

/>
Y= 1 − (

x+ (

)

+

)

+1

Tiếp tuyến đi qua A(2;3) ↔ 3= 1 − (

2+ (

)

)

+1 ↔

+

=0 không tồn tạại

suy ra không

có tiếp tuyến đi qua A

Đề số 13
Cho hàm số

=

( )

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) tiếp xúc với đường thẳng

=

+

Bài giải:
Gọi là hoành độ tiếp điểm
m A, suy ra phương trình
tr tiếp tuyến tại A là y = y’( )(x- )+y( )=y’( ) −
( ) +y( )
Tức là ta có: m = y’( ) = −

Từ đó

(

+

)

(

)

=5↔3

và – y’( )

-8

+ ( )=4
=2

+4=0↔[

=

Đáp số m = -1 hoặc m = -9

Đề số 14
Cho hàm số

=

- (m +3)

+4mx -

Tìm các giá trị của m sao cho (
dương.

(

)

) cắt
c Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó ít nhất hai điểểm có hoành độ

Bài giải:
Ta có y = (x-m)(

−3 +

). (

) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi g(x)=

nghiệm phân biệt khác m ↔ ∆= 9 − 4
Khi đó g(x) có 2 nghiệm
nghiệm âm.

,

>0 →

<

> 0 và g(m)=

−2

≠ 0 ↔ m< và m≠ 0,

. Nếếu m<0 và thỏa mãn (*) theo định lí Viet suy ra

= 0 có 3 nghiệm
nghi
dương (thỏa mãn ). Vậy 0
Đề số 15
Cho hàm số

=

+

−3 +

+

+

có đồ thị (

)

9
/>
có 2

≠ 2 (∗)
< 0 → y=0 có 2


/>Tìm m để đồ thị (

) của hàm số có 3 điểm
đi
cực trị lập thành một tam giác có mộtt góc b
bằng

Bài giải:
+4

Xét y’ = 4

=0 ↔ [

+

=0
=0

) có 3 điểm cực trị ↔ y’=0 có 3 nghiệm
nghi
phân biệt ↔

Để (

+

Với m<0, các điểm cực trị gồm: Cựcc đại
đ A(0;

=−

) cực tiểu B(-√− ;

Vì ∆ABC là tam giác cân ở A nên theo bài ra ta có A=120
A=
→ ∆
→

=tan30 =

√

=0(
=

↔ AH√3 = BH ↔ √3 |

|= √−

−

) và C(√− ;

)

có dạng như hình
ình bên:
↔

√3 = √−



ạ)

( ℎỏ

Đáp số: m=−

+

> 0 ↔ m<0

ã )

√

Đề số 16
=

Cho hàm số

1. Chứng minh rằng với mọii m đường
đư
thẳng y = -x+m luôn cắt đồ thị hàm số tạii hai điểm phân
biệt A và B. Tìm m để độ dài AB nhỏ
nh nhất.
có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [ ; ]

=

2. Tìm k để phương trình
Bài giải:
1. Ta chứng minh phương trình
ình
trình


−(

= -x+m luôn có hai nghiệm phân biệtt khi và ch
chỉ khi phương

− 4) + 1 − 2

= 0(∗) luôn có hai nghiệm phân biệt ≠ −2

∆= ( − 4) − 4(1 − 2 ) =
+ 12 > 0 ∀
(−2) − ( − 4)(−2)) + 1 − 2 = −3 ≠ 0
) ( ;
),

Điều này đúng. Kí hiệu A( ;
+
2(
Vậy

= −4
 AB =
=1−2

(

−

) −8

) =

2(

+

−

) là nghiệm của phương trình (*). Theo đ
định lí Viet ta có:

) +(

−

= 2(

) =

(

−

) + (−

+

+ 12) ≥ 2√6

= 2√6, đạt đượcc khi m = 0

10
/>
) =


/>2. Phương trình đề bài tương đương với:
v
2sinx + 1 = ksinx + 2k  sinx =

Phương trình ban đầu
u có 2 nghiệm
nghi
thuộc [0; ]  0 ≤
≤

<1 

≥0
<0

≤


<2
>2 
<1

<1

Đề số 17

Cho hàm số

= (x-1)(

−

−

− ) với m là tham số

1. Chứng minh rằng với mọii m, hàm số
s luôn có cực đại và cực tiểu.
2. Xác định m để đồ thị hàm số
s cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó 2 đi
điểm có hoành độ
âm.
Bài giải:
1. Y’ = 3
3

+(

− 2(2
+ ) +

+ 1)) +

− 1. Vì y’ có ∆ = (2

+ 1) − 3(

− 1)) = 4

+

+4=

> 0 với mọi m nên phương trình
ình y’ = 0 luôn có 2 nghi
nghiệm phân biệt =>

hám số luôn có cực đạii và cực
c tiểu.
2. Ba điểm phân biệt phảii tìm là nghiệm
nghi
của phương trình (x – 1)(
=1
−2
− − 1 = 0 (∗∗)

−2

∆=
Để 2 điểm có hoành độ âm

à

là nghiệm của phương trình (*) mà:

−

− 1) = 0 

+ +1>0
=− −1>0 
=2 <0

< −1
 m < -1
<0

Đề số 18
Cho hàm số

=

−

+

+

−

(

)

Tìm các giá trị của tham số m để
đ hàm số có cực trị, đồng thời đường thẳng

ng đi qua 2 đi
điểm cực trị
tạo với đường thẳng ∆: 3x + y – 8 = 0 một góc
Bài giải:
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương
ph
trình y’(x) = 3( − 2 + ) = 0 có 2 nghi
nghiệm phân biệt 
∆′ = 1 − > 0  m<1. Gọi
G A( ; ), B( ; ) là 2 điểm cực trị của ( ), ta có y(x) =

11
/>

/>( − 1) ( ) + 2(
= 2(
= 2(

0 ta có:

− 1) + 1. Thay tọa độ A, B vào đẳng thức này, chú ý rằng
ng y’( ) =

− 1)
− 1)

( )=

+1
=> d: y = 2(m – 1)x + 1 là đường thẳng đi qua 2 điểểm cực trị của hàm

+1

số.
Đường thẳng
ng d có véc tơ pháp tuyến
tuy
⃗(2m – 2; - 2), đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuy
tuyến ⃗(3;1).
| ⃗ ⃗|
⃗ ⃗|
⃗||

Ta có: cos(d,∆) = cos45 = |



√

| (

=
(

)
)

|

4

− 11

+6=0  m =

(

.√

Loại nghiệm m = 2)

Đề số 19
Cho hàm số

=

(

)

( )

Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp
p xúc với
v đường thẳng y = x.
Bài giải:
Yêu cầu bai toán  Tìm m để phương trình
tr

( )=
có nghiệm

( )=1

Ta thấy ∀ m≠ 1, x = m luôn thảảo mãn hệ trên, còn khi m=1 thì hệ trên vô nghiệm.
m. Do đó ∀
đồ thị hàm số (1) tiếp xúc vớii đường
đư
thẳng y = x

≠ 1 thì

Đề số 20
Cho hàm số

=

(C)

Tìm trên (C) những điểm
m M để
đ tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tạii A, B sao cho AB ng
ngắn
nhất.
Bài giải:
Lấy điểm M(m;2+

)∈( )

Tiếp tuyến (d) tạii M có phương trình:
tr
Y=-(

)

( −

)+2+

Giao điểm của (d) với tiệm cận
n đứng
đ
là: A(2;2+

)

Giao điểm của (d) với tiệm cận
n ngang là: B(2m-2;2)
B(2m

12
/>

/>
=4 (

Ta có:

− 2) + (

≥ 8. Dấu “=” xảy ra khi m = 1 hoặc m = 3

)

Vậy điểm M cần
n tìm là M(1;1) hoặc
ho M(3;3)

Đề số 21
Cho hàm số

=

( )

Viết phương trình đường thẳng
ng cắt
c đồ thị (C) tại 2 điểm A, B phân biệtt sao cho A và B đ
đối xứng
nhau qua đường thẳng
ng có phương trình:
tr
x + 2y + 3 = 0
Bài giải:
Đường thẳng (d) cần
n tìm vuông góc với
v ∆: x + 2y + 3 = 0 nên có phương trình
ình y = 2x + m
=2 +

(d) cắt (C) ở 2 điểm
m A, B phân biệt

bi 
2

+

+



−8

− 32 > 0 (1)

có 2 nghiệm phân biệt

+ 4 = 0 có 2 nghiệm
nghi
phân biệt khác -1

Gọi I là trung điểm AB có

=

=

=2

+

=

Do AB vuông góc với ∆ nên A, B đối
đ xứng nhau qua đường thẳng ∆: x +2y + 3 = 0  I∈ ∆  m = -4
m= - 4 thỏa mãn (1) vậy đường
ng thẳng
th
(d) có phương trình y = 2x – 4

Đề số 22
Cho hàm số

=

( )

Tìm tọa độ điểm M∈ ( ), biết
ết rằng
r
tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc vớii đư
đường thẳng đi qua
điểm M và điểm I(1;1)
Bài giải:
≠ 1, tiếp tuyến (d) vớii (C) tại
t M( ;

Với
y= -

(

)

( −

)+



(

)

(d) có véc tơ chỉ phương ⃗ = (−
−1;

(

+

)

) có phương trình:
−

(

)

=0

)

13
/>

/>⃗=(

− 1;

).Để (d) vuông góc với
v IM điều kiện là: ⃗.

0

=0
=2

+ Với

= 0 ta có M(0;0)

+ Với

= 2 ta có M(2;2)

⃗ = 0  -1.(

−1
1) + (

)

=

Đề số 23
Cho hàm số

=

(C)

Viết phương trình tiếp tuyến
n với
v đồ thi (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứ
ứng của đồ thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Bài giải:
Giả sử M( ; ) thuộcc (C) mà tiếp
ti tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đ
đối xứng đến tiếp
tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tạii M có dạng:
d
y=-(
-(

)

−

Ta có d(I;tt) =

+(
|

( −

)+

=0

|
(

Xét hàm số f(t) =

)

)

√

)

(t>0) ta có f’(t) =

(

)(
(

)(

)

)√

f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến
n thiên ta có d(I;tt) lớn
l nhất khi và chỉ khi t = 1 hay |
+ Với

= 0 ta có tiếp tuyến
n là y = -x

+ Với

= 2 ta có tiếp tuyến
n là y = -x + 4

− 1| = 1 

Đề số 24

14
/>
=2
=0

/>Cho hàm số

=

+3

−4

Biện luận theo m số nghiệm củaa phương trình
tr ( + 2) = |

|

Bài giải:
Ta có ( + 2) = |

|

 | − 1|(

Xét hàm số f(x) = | − 1|(

+ 4 + 4) =

+ 4 + 4) =

−(

, x≠ 1

+ 3 − 4 ( ℎ > 1)
+ 3 − 4)( ℎ < 1)

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) gồ
ồm phần đồ thị (C) với x>1 và đối xứng phần đồ thị (C) vvới x<1 qua Ox.
Dựa vào đồ thị ta suy ra:
. m < 0, phương trình vô nghiệm
m
. m = 0, phương trình có 1 nghiệệm
. 0 < m < 4, phương trình
ình có 4 nghiệm
nghi
. m = 4, phương trình có 3 nghiệệm
. m > 4, phương trình có 2 nghiệệm

Đề số 25
Cho hàm số

=

−(

+ )

+ (

+ ),

à

ố.

Tìm m để đồ thị hàm số đãã cho có 3 điểm cực trị lâp thành một tam giác có trọ
ọng tâm là gốc tọa
độ.
Bài giải:
Hàm số đã cho có 3 điểm cựcc trị
tr  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 

(
− 2(3

+ 1) = 0 có 3

nghiệm phân biệt  m > Khi đó 3 điểm cực trị củaa đô thị
th là A(0;2m+2), B(-√6
4 + 1)

+ 2; −9

−4

+ 1), C(√6

+ 2; −9

−

Rõ ràng tam giác ABC cân tạii A và trung tuyến
tuy kẻ từ A thuộc Oy. Do đó O là trọng
ng tâm ccủa tam giác
ABC  + 2 = 0

15
/>

/>
−4

Hay 2m + 2 + 2(−9

+ 1) = 0  9

+3

=−

−2=0

=

Kết hợp với (1) suy ra giá trị củaa m là m =

Đề số 26
=

Cho hàm số

( )

Tìm trên (H) các điểm
m A, B sao cho độ
đ dài AB = 4 và đường thẳng
ng AB vuông góc vvới đường thẳng
y=x
Bài giải:
Vì đường thẳng
ng AB vuông góc với
v y = x nên phương trình của AB là y = -x+m
Hoành độ của A, B là nghiệm củ
ủa phương trình
−(

+ 3) + 2

+ 1 = 0,
0

–

=− +

, hay phương trình:
ình:

≠ 2 (1)

Do phương trình (1) có ∆= ( + 3) − 4(2 + 1) =

− 2 + 5 > 0, ∀ nên có 2 nghi
nghiệm phân
biệt ,
à 2 nghiệm đều
u khác 2. Theo định
đ lí Viet ta có: + = + 3,
=2 +1
= 16  (

Theo giả thiết bài toán
(

−

) + (−

+

+

Thay

+

=



−2

−3=0

∗ ớ

+ 3,

= 3 ℎươ

−

=2

−

) −(

) = 16  (

−
−

+ 1 vào (2) ta được (

) = 16
) =8(
+ 3) − 4(2

+

) −4

+ 1)) = 8

= −1
=3

(1 ở ℎà ℎ
ì ℎ (1)

−6 +7 = 0

= 3 ± √2

Suy ra 2 điểm A, B cần
n tìm là A(3
A( + √2;−√2 ), B(3 − √2; √2 )
∗ ớ

= −1

ó2đ ể

,

ầ

ì

à A(1 + √2; −2 − √2 ), B(1 − √2; −2 + √2 )

Vậy các cặp điểm thỏaa mãn là: A(3

A( + √2;−√2 ), B(3 − √2; √2 )
hoặc A(1 + √2; −2 − √2 ), B(1
1 − √2; −2 + √2 )

Đề số 27

16
/>
= 8 (2)


/>−(

=

Cho hàm số

+ )

+(

+ ) + có đồ thị (

), m là tham số
ố.

) vớ
ới trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (

Gọi A là giao điểm của (

) ttại A tạo với 2 trục

tọa độ 1 tam giác có diện
n tích bằng
b
.
Bài giải:
(
− 2(2

Ta có A(0; ) và y’ = 4

+ 1) +

Tiếp tuyến của đồ thị tạii A là d: y =(
=

+ 2. Suy ra y’(0) = m+2

+ 2) + . Đường thẳng d cắt Ox tại B(
.

Khi đó diện tích của tam giác tạạo bởi d với 2 trục tọa độ là S =

Theo giả thiêt ta có:

= |
|

|

= .

; 0).
=

|

|

=−

+ 2| = 

=−

Đề số 28
=

Cho hàm số

−

+

Tìm m để phương trình
(−
; +∞)

−

(C)

− .

+

+

=

( ) có 3 nghiệm
m phân bi
biệt thuộc

Bài giải:
(1) 
Đặt

=

−6

+9

+

=0

> 0 ta được (1) trở thành

−6

+9 +

=0

−6

+9 −2=−

− 2 (2)

Ta có phương trình (2) là phương
ương trình
tr hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường
ng th
thẳng
(d): y = −

−2

→ Số nghiệm của (2) chính là số
ố giao điểm của (C) và (d)
Mỗi nghiệm t ∈ (− 2; +∞) củ
ủa phương trình (1) cho 1 nghiệm

∈ ( ; +∞) củaa phương tr
trình (2)

và ngược lại.
Do đó (1) có 3 nghiệm phân biệệt
(2) có 3 nghiệm

∈

∈ (− 2; +∞)  (2) có 3 nghiệm

∈ ( ; +∞)

; +∞ khi d cắt
c (C) tại 3 điểm có hoành độ thuộc khoảng ( ; +∞),

17
/>
=


/>Dựa vào đồ thị < −

− 2 < 2  −4 <

<−

Đề số 29
Cho hàm số

=

−

+

(1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm
đi
cực trị A và B, đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
trọng tâm G củaa tam giác AOB nhỏ
nh nhất.
Bài giải:
=3

−6 +

;∆ =9−3

Hàm số có 2 điểm cực trị khi < 3. Khi đó hàm số có 2 điểm cực trị là A( ;
là 2 nghiệm của phương trình: 3 − 6 + = 0
+

= 2;

+(

)
≥ (∀

.

=

→ G(

;

),

< 3) → OG≥ ; OG =  2

=

= ,

=

−4=0

=

= 2 thỏa mãn

),, B( ;

→ G( ;

) với

)→

<3

=2

Kết luận

Đề số 30
Cho hàm số

− (

=

− )

+

( ) ( m là tham số thực )

Tìm m để đồ thị hàm số có điểm
m cực
c trị, kí hiệu là A, B sao cho 3 điểm , , ( ; ) thẳng hàng.
Bài giải:
Ta có

=6

− 6(

− 1)) = 6 ( −

+ 1)

Đồ thị hàm số có cực trị khi và chỉ
ch khi ′ có 2 nghiệm phân biệt 
Tọa độ điểm cực trị (0;

), (

− 1; −(

− 1) +

Ba điểm , , (3; 1) thẳng
ng hàng khi và chỉ
ch khi ∈


=
= 1( ạ )

→

) → AB:
 1 = −(

≠1
= −(

− 1)

− 1) . 3 +

=

Cách khác: Thực hiện
n phép chia

cho ′, ta được:

18
/>
+

;

=


/>
=

−
,

Tại

−(

− 1)

+

=0→

là nghiệm của

.
= ( ) = −(

− 1)

+

Suy ra phương trình đường thẳẳng đi qua 2 điểm cực trị , :
Ba điểm , , (3; 1) thẳng
ng hàng khi và chỉ
ch khi ∈
=



= 1( ạ )

→

( = 1,2)

= −(

 1 = −(

− 1)

+

− 1) . 3 +

=

Đề số 31
Cho hàm số

=

( )

Tìm tọa độ các điểm
=
+ một góc

trên ( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại

tạo
o vvới đường thẳng

Bài giải:
Tiếp tuyến (∆) của ( ) tại
(∆) và ( ):

có hệ
h số góc

→ dạng phương trình (∆):

=

+

= 3 + 1 có véc tơ pháp tuyến
tuy lần lượt là ∆⃗ = ( ; −1), ⃗ = (3; −1
1)

Góc giữa (∆) và ( ) bằng 45 nên |cos ( ∆⃗; ⃗)| =

45 

|
√

|
.√

=

√

2

+3 −2=0

= −2
=


∗

= , ý nghĩa hình học củaa đạo
đ hàm → =

(

∗

= −2 có −2 = ⋯  (

=0;

+ 1) = 1 

)=⋯

→ không có

= −2 →

(0; 4), ℎ ặ

(−2; 0)

Đề số 32
Cho hàm số

= (

+ )

−

+ (

− ) −

Tìm m để (1) có cực đại, cựcc tiểu
ti và hoành độ
2 +
=

,

(1)
của các điểm cực đại,i, ccực tiểu thỏa mãn

Bài giải:

19
/>

/>=(

Để ℎà
⎧


⎨3
⎩3

+ 2((
ị ℎ

+ 1) − 2
ố ó á ự

− 1); ∆ = 2 −
ê ầ à á

−√2 <

< √2
≠1

− √2 −
= +1
+ √2 −
= +1

ℎì (

+ 1) ≠ 0; ∆ > 0; 2

+

=1

=1
=−

Lưu ý:
− Đề bài cho hoành độ củaa các điểm
đi
cực đại, cực tiểu là
ự ể à ượ ạ

à

− ự đạ ,

thì có thể là

− Khi giải phương trình vô tỉ cầần phải chú ý điều kiện khi bình phương 2 vế.
− Bài có nhiều cách giảii khác nhau. Có thể
th phối hợp điều kiện đã cho với định
nh lí Viét

Đề số 33
Cho hàm số

=

(

)

( )

Tìm các giá trị thực của m để tạại giao điểm của (1) vởi Ox, tiếp tuyến với (1) tạo
o vvới Ox góc
Bài giải:
(1) giao với Ox tại (
Từ giả thiết suy ra


(

)

( )=

; 0),, lại
l có

( ) = ±1
1. Do

= 1  (1 − 3 ) = 4

(

)

( ) luôn không âm nên

( )=1

=1
=



Đề số 34
Cho hàm số

=

−

+

( )

Viết phương trình tiếp tuyến củ
ủa đồ thị ( ), biết tiếp tuyến đi qua điểm (−1; −1
1)
Bài giải:
Đường thẳng ( ) qua

và có hệ
h số góc

( ) tiếp xúc ( ) 

−3
3

→ ( ): + 1 = ( + 1) → ( ):

+3=
+
−6 =

=

−1

20
/>
+

−1

−


/>
→

−3

+3 =3

∗

=2→

∗

= −1 →

−6

= 0 → ( ):

+3

−6 −12

=2
= −1
1

−6 −4 = 0

=1

= 9 → ( ):

=9 +8

Đề số 35
= ( )=

Cho hàm số

( )

−

Trên ( ) lấy 2 điểm phân biệtt
à có hoành độ lần lượt là
tiếp tuyến của ( ) ạ
à song song với
v nhau.

à . Tìm điều
u ki
kiện của

à

để

Bài giải:
Ta có ( ) = 4 − 4 . Gọi , lần lượt là hoành độ của
à là
= ( )= 4 −4 ,
= ( )=4 −4
Tiếp tuyến tại ,

lần lượtt có phương trình
tr là:

=

( )( − ) + ( ) =

( ) + ( )−

( )

=

( )( − ) + ( ) =

( ) + ( )−

( )

Hai tiếp tuyến của ( ) tại
4
Vì

−4 =4
à

à

− 4  ( − )(

phân biệt nên

+

( )−

+

− 1) = 0 (1)

≠ , do đó (1) tương đương với
v phương trình:

Mặt khác 2 tiếp tuyến của ( ) tại
t
+

=

song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi

+



à . Hệ số góc tiếp
p tuy
tuyến của ( ) tại

à

+

− 1 = 0 (2)

trùng nhau

+ −1=0
( ≠ )
( )= ( )−
( )
−3

+
+ −1=0
+ 2 = −3 + 2

Giải hệ này ta được nghiệm
m là ( ; ) = (1; −1), (−1; 1), hai nghiệm này tương ứ
ứng với cùng 1 cặp
điểm trên đồ thị là (−1; 1) à (1
1; −1)
Vậy điều kiện cần và đủ để
đ 2 tiếp tuyến của ( ) tại
+
+ −1=0
≠ ±1
≠

à

song song vvới nhau là

21
/>

/>
Đề số 36
Cho hàm số

=

+(

−

− ) −

+

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm
đi
cực trị ,

( )
vuông tạii với ( ; )

sao cho tam giác

Bài giải:
=

−2

+2

− 1,

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cựcc trị
tr ,
→

1;

, (2

Có

song song



=2

=1
=2 −1

=0

− 1; −

+4

2
−4

−1 ≠ 1
+ )

vuông tại 

nên tam giác

≠1

∈

−

+4

−4

+ =0

Đề số 37
Cho hàm số

−(

=

Tìm m để hàm số (

− )

) đạt cựcc trị
tr tại

−

+

(

)

, đạt cực đại tại

và

−

=

Bài giải:
+


=3

− 2(2

∆ = (2

+

−

=

− 1)) − 1. Hàm số có 2 điểm cực trị 

− 1) + 3
suy ra

≠0
=4

−

>

+1>0

+ Với
+

> 0, giải phương trình
ình

−

=

 √4

−

= ( ℎỏ

=3

= 0 ta được

; đổi dấu
u ttừ âm sang dương

>0
=

√

;

=

√

+1=

> 0, bình phương 2 vế

v 9(4

ì

≠0



và ′ đổi dấu từ dương sang âm qua

nên ′ là tam thức bậcc 2 với
v hệ số

qua

= 0 có 2 nghiệm
m phân bi
biệt

−

+ 1) = 64

. Giảii phương tr
trình ta đươc

ã )

=− ( ạ)

22
/>

/>
Đề số 38
Cho hàm số

( )

=

Tìm trên đồ thị ( ) hai điểm
m phân biệt
bi
,

đối xứng với nhau qua đường thẳng
ng

( ): +

−

=

Bài giải:
Gọi ( ) là đường thẳng qua ,
Phương trình đường thẳng ( ) vuông góc với ( ) có dạng:
( ) cắt đồ thị tại 2 điểm
m phân biệt

bi
,
2


+(

− 3) −

∆> 0
∀
(1) ≠ 0



∈

Với

=

→

vuông góc với ( ) nên
+ 2.

có 2 nghiệm phân biệt

− 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Gọi là trung điểm của

Vì

=2 +



=2 +

=2

+

đối xứng với

−3=0

= −1 ta có: 2

=
=
qua ( )  Trung điểm của

thuộ
ộc ( )

= −1
= 0 → = −1
=2 → =3

−4 = 0

Vậy 2 điểm cần tìm là (0; −1)), (2; 3)

Đề số 39
Cho hàm số

=

−

+

( ) với m là tham số.

Cho đường thẳng ∆ có phương trình:
tr
= . Tìm các giá trị > để đồ thị hàm ssố ( ) có 2 điểm
cực trị và khoảng cách từ điểm
m cực
c tiểu đến ∆ gấp đôi khoảng cách từ điểm cựcc đ
đại đến ∆.
Bài giải:
Vơi

> 0 ta thấy:

=3

−6

=0

=0
khi đó hàm số có cực đạii và ccực tiểu
=2

23
/>

/>Khi đó hàm số có 2 điểm cựcc trị
tr là:
2

= 2.4

. Giải ra ta có:

(0; 4

), (2 ; 0),

là điểm cực đại

=

24
/>
( ,∆)

=2

( ,∆)

