bài giảng toán cao cấp A3

1.
2.
3.
4.

Tên môn học: Toán cao cấp A3
Số tín chỉ: 3
Phân bổ thời gian: Trên lớp: 45 tiết - Tự học: 90 giờ
Mục tiêu của môn học:
- Kiến thức: Cung cấp kiến thức về phép tính vi tích
phân hàm nhiều biến.
- Kỹ năng: Sinh viên biết tính đạo hàm riêng, biết
ứng dụng đạo hàm riêng giải bài toán cực trị, biết tính
tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt
5. Nội dung tóm tắt môn học: Vi tích phân hàm nhiều
biến.


6.

Tài liệu học tập:
Giáo trình chính:
[1] N. Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3 - Phép giải tích
hàm nhiều biến số, NXB GD, 2011
Tài liệu tham khảo chính:
[2] N. Đ. Trí, Bài tập toán cao cấp tập 3 - Phép giải
tích hàm nhiều biến số, NXB GD, 2011
7. Đánh giá:
Điểm thứ 1:
10% (Trắc nghiệm – 30 phút)
Điểm thứ 2:

20% (Trắc nghiệm – 45 phút)
Điểm thứ 3:
70% (Tự luận – 90 phút)


Chương 1. Vi phân hàm nhiều biến
1.1. Hàm nhiều biến. Các mặt bậc hai.
1.2. Giới hạn và liên tục.
1.3. Tính chất hàm liên tục trên một tập đóng và bị chận.
1.4. Đạo hàm riêng và vi phân. Gradient.
1.5. Đạo hàm hàm ẩn.
1.6. Cực trị địa phương và cực trị có điều kiện.
1.7. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.


Chương 2. Tích phân bội
2.1. Định nghĩa tính chất.
2.2. Công thức đổi biến. Đổi biến trong tọa độ cực, tọa độ
trụ và tọa độ cầu.
2.3. Ứng dụng tính diện tích, thể tích, khối lượng và tọa độ
trọng tâm vật thể.


Chương 3. Tích phân đường
3.1. Tích phân đường loại 1: Định nghĩa và các tính chất.
3.2. Tích phân đường loại 2: Định nghĩa và các tính chất.
Định lý Green. Tích phân không phụ thuộc đường. Hàm thế.
Chương 4. Tích phân mặt
4.1. Tích phân mặt loại 1: Định nghĩa và các tính chất.
4.2. Tích phân mặt loại 2: Định nghĩa và các tính chất.

Định lý divergence. Định lý Stokes.


Chương 1: Vi phân hàm nhiều biến


Nội dung
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.1 – Hàm hai biến, Các mặt bậc hai
1.2 – Giới hạn, liên tục


1.1. A- Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất tại một thời điểm t
cho trước phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm này.
Chúng ta có thể coi T là một hàm theo hai biến x và y, ký hiệu
T = T(x,y)

Ví dụ
Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và
chiều cao h. Thực tế ta biết V = π r 2 h . Khi đó V là một hàm hai
biến theo r và h: V (r , h) = π r 2 h.


1.1. A- Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa hàm hai biến
Cho D ⊆ R 2 . Hàm hai biến là một ánh xạ
f :D →R
(x , y ) a f (x , y )

Ký hiệu: f = f (x , y ).
D được gọi là miền xác định của f.
Miền giá trị của f: E = {a ∈ R | ∃( x, y ) ∈ D : a = f ( x, y )}
Nếu f cho bởi biểu thức đại số: Miền xác định là tập hợp tất cả các
giá trị của x và y, sao cho biểu thức có nghĩa.
Miền giá trị là tập hợp tất cả các số thực mà hàm có thể nhận được.


1.1. A- Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Hàm hai biến

x + y +1
f ( x, y ) =
x− y

Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R 2 | x + y + 1 ≥ 0, x ≠ y }
3 + 2 +1
f (3,2) =
= 6
3−2
Ví dụ. Hàm hai biến

f (x , y ) = x 2 + y 2

2
Miền xác định: D = R

Miền giá trị:

E f = R + = [0, +∞)

f (x + y , x − y ) = (x + y )2 + (x − y )2 = 2(x 2 + y 2 )
f (x , x ) = x 2 + x 2 = 2 x 2


1.1. A- Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Hàm hai biến

x
f ( x, y ) =
y +1

Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R 2 | y ≠ −1}
Miền giá trị: E f = R
1
Ví dụ. Hàm hai biến f (x , y ) =
y +1
Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R 2 | y ≠ −1}
Miền giá trị: E f = R \ {0}

 2−1 2
 e x + y , nÕu ( x, y) ≠ (0,0)
Ví dụ. Hàm hai biến f ( x, y) = 
0,
nÕu ( x, y) = (0,0)
Miền xác định: D = R 2
Miền giá trị: E f = [0,1)


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phương trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là

A x 2 + By 2 + Cz 2 + 2Dxy + 2Ex z + 2 Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0
Từ chương trình toán A2, để vẽ mặt bậc hai:
1) Đưa dạng toàn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới.
3) Vẽ hình.


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2
2
z
=
x
+

y
Xét đồ thị của hàm số:

Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định Df, sao cho f(x,y) = k được gọi là
đường mức, trong đó k là hằng số cho trước.
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4

•
•


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt paraboloid elliptic

x2 y2
z = 2 + 2
a
b


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

2
Mặt paraboloid elliptic z = (x − 1) + ( y − 3) + 4


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2
2
y
=
x
+
z
Mặt paraboloid elliptic


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt ellipsoid

x2 y2 z2
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c

1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt Paraboloid hyperbolic

x2 y2
z = 2 − 2
a
b


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt Paraboloid hyperbolic y = z 2 − x 2


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x2 y2 z2
Mặt Hyperboloid 1 tầng 2 + 2 − 2 = 1
a
b
c


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt Hyperboloid hai tầng

x2 y2 z2
+ 2 − 2 = −1
2
a
b
c


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2
2
x
+
y
=1
Xét đồ thị của hàm số:

Ta thấy với mọi k, đường mức luôn là đường tròn bán kính bằng 1.

k=2
k=1
k=0
k = -1
k = -2

1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z.

x2 y2
+ 2 =1
2
a
b


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt trụ:

x2 +z2 =4


1.1. B - Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt trụ

y =x2

z

x