TÀI LIỆU 7 ĐIỂM MÔN TOÁNTHẦY NGUYỄN THANH TÙNG

GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

TÀI LIỆU 7 ĐIỂM MÔN TOÁN (PHẦN 1)
GV: Nguyễn Thanh Tùng

CHUYÊN ĐỀ 1 : SỐ PHỨC
DẠNG 1: THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN
Để làm tốt được DẠNG 1 các bạn cần thực hiện thành thạo các phép toán sau:

Ví dụ minh họa
Bài 1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức a  bi (a, b  )
2(2  3i)
1  i 3  i 1  2i
1. A  (1  2i )(3  i) 
2. B 
 4  2i


1 i
1 i 2  i 1 i
(2  i)5 (1  i)6

3. C 
4. D  i 2015  i 2016  (1  i)2016
(1  2i)3 (1  i)5
5. E  1  i  i 2  ...  i 2015  i 2016
Giải

2(2  3i)
2(2  3i)(1  i)
 4  2i  (3  2)  (1  6)i 
 4  2i
1. A  (1  2i)(3  i) 
1 i
(1  i)(1  i)
2(5  i)
 5  5i  2 2  4  2i  5  5i  (5  i)  4  2i  4  2i
1 1

1  i 3  i 1  2i
(1  i) 2
(3  i)(2  i) (1  2i)(1  i) 2i 7  i 3  i
1 7





2. B 
 

  i
1  i 2  i 1  i (1  i)(1  i) (2  i)(2  i) (1  i)(1  i)
2
5
2
10 10
5

 (1  i) 2 
(2  i)5 (1  i)6  2  i 
 1 i 
 (2  i )(1  2i) 
2


3. C 
 .(2  i)  
 .(1  i)  
 .(3  4i)   2  .(1  i)
(1  2i)3 (1  i)5  1  2i 
5
 1 i 



3

3

5

3

5

 5i 
 2i 

   .(3  4i)    .(1  i)  i 3 .(3  4i)  i 5 (1  i)  i(3  4i)  i(1  i)  5  4i
5
2

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN
2 1008

4. D  i 2015  i 2016  (1  i)2016  (i 2 )1007 .i  (i 2 )1008  (1  i) 



facebook.com/ThayTungToan

 (1)1007 .i  (1)1008  (2i)1008



 i  1  21008.(i 2 )504  i 1  21008  21008  1  i

5. E  1  i  i  ...  i
2

2015

i

2016

Cách 1: Ta có E  1  i  i 2  ...  i 2015  i 2016 (1)
Suy ra iE  i  i 2  i 3 ...  i 2016  i 2017 (2)
Lấy (1) – (2) ta được: (1  i) E  1  i 2007  1  (i 2 )1008 .i  1  i  E  1  1  0.i .
Cách 2: E là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu u1  1 và công bội q  1 nên ta có:

1  qn
1  i 2017 1  (i 2 )1008.i 1 i
E  u1
 1.


 1 . Vậy E  1  1  0. i .
1 q
1 i
1 i
1 i
Bài 2. Cho số phức z 

1 i
. Tính giá trị của biểu thức: A  2  iz 2015 .
1 i
Giải

1  i (1  i)2 2i

  i  z 2015  i 2015  (i 2 )1007 .i  (1)1007 .i  i
1 i

2
2
2013
 A  2  iz
 2  i 2  2  1  3 . Vậy A  3 .

Ta có: z 

DẠNG 2: TÌM SỐ PHỨC VÀ CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG
PTOÁN
Nội dung bài toán: Xác định số phức z và các đại lượng đặc trưng thỏa mãn điều kiện (*) cho trước.

Trƣờng hợp 1: Trong (*) là phương trình chỉ có mặt z ( hoặc z )
Phƣơng pháp giải:
 Bƣớc 1: Giải phương trình với ẩn z (hoặc z ) , suy ra z (hoặc z ).
 Bƣớc 2: Dựa vào yêu cầu bài toán, suy ra đáp số.

Ví dụ minh họa
2(1  2i)
 7  8i . Tìm môđun của số phức w  z  1  i .
1 i
Phân tích

Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn (2  i) z 

2(1  2 i)
 7  8i chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán  z  a  bi
1 i
+) Suy ra w  z  1  i  w
+) Điều kiện (2  i) z 

2(1  2i)(1  i)
2(1  2i)
 7  8i
 7  8i  (2  i) z 
(1  i)(1  i)
1 i
2(3  i )
 (2  i ) z 
 7  8i  (2  i ) z  4  7i
2

Giải: Ta có: (2  i) z 

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
4  7i (4  7i)(2  i) 15  10i
z


 3  2i
2i
5
5

facebook.com/ThayTungToan

 w  z  1  i  3  2i  1  i  4  3i  w  42  32  5 . Vậy w  5 .
Ví dụ 2. Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z 2  6 z  13  0 . Tính môđun của số phức: w  z 

6
.
z i

Giải
Phương trình z  6 z  13  0 có biệt thức  '  9  13  4  4i 2 nên phương trình có hai nghiệm :
2

6
6
6(3  i) 24 7
 24   7 
 z  3  2i  w  z 
 3  2i 
 3  2i 

 i  w        5 . Vậy w  5 .
z i
3i
10
5 5
 5  5
2

2

Ví dụ 3. Giải phương trình z 2  3(1  i) z  5i  0 trên tập hợp các số phức.

Giải
Phương trình z 2  3(1  i) z  5i  0 có biệt thức  '  9(1  i)2  20i  2i  (1  i)2

3(1  i )  (1  i )

 1  2i
 z1 
2
nên phương trình có nghiệm : 
 z  3(1  i )  (1  i)  2  i
 2
2
Chú ý : Việc viết được : 2i  (1  i) 2 ở phần tính  trong bài toán trên có thể hiểu theo 3 hướng
+) Hướng 1 : Vì ta khá quen thuộc với công thức : (1  i)2  2i

a 2  b 2  0
a  1
+) Hướng 2 : Ta chọn a, b thỏa mãn 2i  (a  bi )2  a 2  b 2  2abi  
và “chọn”: 
b  1
ab  1  1.(1)
+) Hướng 3 : (Đây là hướng đi tổng quát – khi không nhìn thấy luôn theo Hướng 1, Hướng 2)
Gọi a  bi là căn bậc hai của 2i  (a  bi)2  2i  a 2  b 2  2abi  2i
a 2  b 2  0
a 2  b 2
 a  b
 a  1; b  1





2ab  2
ab  1 ab  1  a  1; b  1
3(1  i)  (1  i)

 1  2i
 z1 
2
Vậy căn bậc hai của 2i là : 1  i và 1  i nên phương trình có nghiệm : 
 z  3(1  i)  (1  i)  2  i
 2
2
Ví dụ 4. Giải phương trình ẩn z sau trên tập số phức :

4 z  3  7i
 z  2i .
z i

Giải
+) Điều kiện : z  i
+) Với điều kiện trên :

2
4 z  3  7i
 z  2i  4 z  3  7i  ( z  i)( z  2i)  z  (4  3i) z  1  7i  0
z i

phương trình có biệt thức   (4  3i)2  4(1  7i)  7  24i  4  28i  3  4i  (2  i) 2
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !

GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

a  b  3
(Làm ra nháp: Nhẩm a, b thỏa mãn 
 a  2; b  1 )
ab  2  1.(2)  2.(1)
2

2

(4  3i)  (2  i)

z

 3i

2
nên phương trình có hai nghiệm : 
(thỏa mãn điều kiện), suy ra
 z  (4  3i)  (2  i)  1  2i

2

z  3  i
 z  1  2i .



DẠNG 2: TÌM SỐ PHỨC VÀ CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG
PTOÁN
Nội dung bài toán: Xác định số phức z và các đại lượng đặc trưng thỏa mãn điều kiện (*) cho trước.

Trƣờng hợp 2: Trong (*) có chứa f ( z, z ) hoặc có dấu môdun " " .
Sơ đồ giải

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn

5( z  i)
 2  i . Tính môđun của số phức w  1  z  z 2 .
z 1
Phân tích

5( z  i)
 2  i chứa đồng thời z và z hay chứa f ( z, z ) nên gọi z  a  bi (a, b  R)
z 1
a  ?
5( z  i)
 2  i biến đổi về dạng z1  z2  
+) Từ điều kiện
 z  w  1 z  z2  w
z 1
b  ?
+) Trong điều kiện

Giải

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
+) Gọi z  a  bi (a, b  R) , z  1

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

5( z  i)
 2  i  5( z  i)  ( z  1)(2  i)  5(a  bi  i)  (a  bi  1)(2  i) (*)
z 1
5a  2a  b  2
3a  b  2
a  1
(*)  5a  5(b  1)i  (2a  2  b)  (a  1  2b)i  


5(b  1)  a  2b  1 a  7b  6 b  1

+) Khi đó:

 z  1  i  w  1  z  z 2  1  1  i  (1  i)2  2  3i  w  22  32  13 . Vậy w  13 .
Ví dụ 2. Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z 2 là số thuần ảo.
Phân tích
+) Trong điều kiện z  2 chứa dấu " " , cụ thể là z nên gọi z  a  bi (a, b  R)

 f ( a, b)  0
a  ?

+) Từ hai điều kiện z  2 và z 2 là số thuần ảo   1

z
 f 2 (a, b)  0 b  ?
Giải
+) Gọi z  a  bi (a, b  R)  z  2  a 2  b2  2  a 2  b2  2

(1)

+) Ta có: z 2  (a  bi)2  a 2  b2  2abi là số thuần ảo  a 2  b2  0  b2  a 2 (2)

 a  1  b  1
Thay (2) vào (1): 2a 2  2  
.
 a  1  b  1
Vậy các số phức cần tìm là: 1  i; 1  i; 1  i; 1  i .
Ví dụ 3. Tìm số phức z thỏa mãn ( z  1)( z  2i) là số thực và z  1  5 .
Giải
+) Gọi z  a  bi (a, b  R)  ( z  1)( z  2i)  (a  bi  1)(a  bi  2i)  [(a  1)  bi][a  (b  2)i]
 [a(a 1)  b(b  2)]  [ab  (a 1)(b  2)]i
( z  1)( z  2i) là số thực  [ab  (a 1)(b  2)]  0  2a  b  2  0

(1)

Ta có: z  1  5  a  1  bi  5  (a  1) 2  b2  5  (a  1) 2  b2  5

(2)

a  0  b  2
Từ (1)  b  2  2a thay vào (2) ta được: (a  1)2  (2a  2) 2  5  a 2  2a  0  

 a  2  b  2
Vậy các số phức cần tìm là: 2i ; 2  2i .
Ví dụ 4. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Giải
Cách 1: Gọi z  a  bi (a, b  R)  z  2  4i  z  2i  (a  2)  (b  4)i  a  (b  2)i
 (a  2)2  (b  4)2  a 2  (b  2)2

 4a  8b  20  4b  4  b  4  a
Khi đó z  a 2  b2  a 2  (a  4)2  2(a 2  4a  8)  2(a  2)2  8  8

 z min  2 2 khi a  2  0  a  2  b  2 .
Vậy số phức z  2  2i . (xem thêm Cách 2 ở DẠNG 3 – Loại 1).
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

DẠNG 3: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Loại 1: Biểu diễn hình học số phức
Phƣơng pháp giải: Sử dụng kiến thức:
“ Một số phức z  x  yi ( x, y   ) được biểu diễn bởi điểm M ( x; y) trong tọa độ phức Oxy và ngược lại”

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Xét các điểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

4i

2  6i
;(1  i)(1  2i);
.
i 1
3i

a.Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân.
b.Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D, sao cho ABCD là hình vuông.
Giải
4i
4i(1  i)

 2  2i  A(2; 2) ; (1  i)(1  2i)  3  i  B(3;1)
i 1
2
2  6i (2  6i)(3  i) 20i


 2i  C (0; 2)
3i
10
10


 AB 2  CB 2  10
 AB  (1;3)

a. Khi đó :  
, suy ra tam giác ABC vuông cân tại B (đpcm).
   

 AB.CB  0
CB  (3; 1) 


b. Gọi D(x; y)  DC  ( x;2  y)
 
 x  1
 x  1
Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông khi : DC  AB  

2  y  3  y  1
Vậy số phức biểu diễn bởi điểm D(1; 1) là: 1  i .

Ta có:

Ví dụ 2. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Giải
Cách 1: (Các bạn xem lại cách giải bài theo phương pháp đại số thuộc Ví dụ 4 ở DẠNG 2 – Trƣờng hợp 2)

Cách 2:
+) Gọi điểm M (x; y) biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R)
+) Ta có: z  2  4i  z  2i  ( x  2)  ( y  4)i  x  ( y  2)i
 ( x  2)2  ( y  4)2  x 2  ( y  2)2  4 x  8 y  20  4 y  4  x  y  4  0

Vậy M thuộc đường thẳng d có phương trình: x  y  4  0 (*)
+) Ta có: z  OM  z min  OM min  OM  d
 


 OM .ud  0  x  y  0 (2*) (với OM  (x; y ), u d  (1; 1) )

x  y  4  0
x  2
Từ (*) và (2*) suy ra: 
 M (2; 2) hay số phức z  2  2i .

x

y

0
y

2


Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

DẠNG 3: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Loại 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức.
Phƣơng pháp giải:
 Bƣớc 1: Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x, y   ).
 Bƣớc 2: Cắt nghĩa bài toán để tìm mối liên hệ giữa x và y . Cụ thể ta có được đẳng thức f ( x; y)  0 dưới

những dạng sau:
 ax  by  c  0 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.





x2  y 2  ax  by  c  0 (hoặc ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R2 ): Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
là một đường tròn.
y  ax 2  bx  c : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một parabol.

x2 y 2

 1 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một elip.
a 2 b2
…..

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (D – 2009 ). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z  (3  4i)  2 .
Giải
Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

z  (3  4i)  2  x  yi  (3  4i)  2  ( x  3)  ( y  4)i  2
 ( x  3)2  ( y  4)2  2  ( x  3)2  ( y  4)2  4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (3; 4) bán kính R  2 .
Ví dụ 2. (B – 2010). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z  i  (1  i) z
Giải

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

z  i  (1  i) z  x  yi  i  (1  i)( x  yi)  x  ( y  1)i  ( x  y)  ( x  y)i
 x2  ( y  1)2  ( x  y)2  ( x  y)2  x 2  y 2  2 y  1  2 x 2  2 y 2

 x2  ( y  1)2  2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (0; 1) bán kính R  2 .
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn z  3  i  z  2 .
a. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z .
b. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện trên, tìm số có môđun bé nhất.
Giải
a) Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

z  3  i  z  2  x  yi  3  i  x  yi  2  ( x  3)  ( y  1)i  ( x  2)  yi
 ( x  3)2  ( y  1)2  ( x  2)2  y 2

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

 6 x  2 y  10  4 x  4  5x  y  3  0

facebook.com/ThayTungToan

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d có phương trình: 5x  y  3  0 (*)
b) Cách 1 (Phương pháp đại số)

Từ (*) ta có: y  5x  3  z  x 2  y 2  x 2  (5x  3)2  26 x 2  30 x  9
b 15
3
từ đó suy ra: y  5 x  3 

min
2a 26
26
15 3
Vậy số phức có môđun nhỏ nhất là: z 
 i
26 26
Cách 2 (Phương pháp hình học)



Nên: z min khi 26 x 2  30 x  9



x


Đường thẳng d có phương trình: 5x  y  3  0 có véctơ chỉ phương ud  (1;5)
 

Ta có: z  OM  z min  OM min  OM  d  OM .ud  0  x  5 y  0 (2*) (với OM  (x; y ) )
 x  15
5 x  y  3  0
3 

15 3

 15
26
 M  ;   hay số phức z 
Từ (*) và (2*) suy ra: 

 i
26 26
 26 26 
x  5 y  0
 y  3 26
(1  i) z
 2 1
1 i
a. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z .
b. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện trên, tìm số có môđun lớn nhất và số có môđun nhỏ nhất.

Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn

Giải
a. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

(1  i) z
(1  i )2 z
 2 1
 2  1  iz  2  1
1 i
2

 i( x  yi)  2  1  ( y  2)  xi  1  ( y  2)2  x 2  1
 ( y  2)2  x2  1 (*)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (2;0) có bán kính R  1 .
b. Cách 1 (Phương pháp đại số)
Từ (*)  ( y  2)2  1  1  y  2  1  1  y  3 (1)
Mặt khác từ (*) ta có: x2  y 2  4 y  3

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1  x 2  y 2  9 hay 1  z  9  1  z  3
2

Do đó:

z min  1 khi y  1 và x  0 hay số phức có môđun nhỏ nhất là: z  i

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
z max  3 khi y  3 và x  0 hay số phức có môđun lớn nhất là: z  3i .

facebook.com/ThayTungToan

Cách 2 (Phương pháp hình học)

CHUYÊN ĐỀ 2 : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ
DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM (Phần 1)

Bài toán 1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  và thỏa mãn điều kiện (*) cho trước.

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi điểm M thuộc đường thẳng, ta sẽ tham số hóa điểm M để M chỉ phụ thuộc vào một ẩn t .
Sau đó cắt nghĩa bài toán để thiết lập phương trình f (t )  0 , tìm t và suy ra tọa độ điểm M ).
Chúng ta có thể chia thành 2 bước cụ thể sau:
 x  x0  at

Bước 1: Do M   :  y  y0  bt  M ( x0  at ; y0  bt ; z0  ct )
 z  z  ct
0

Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) ta được phương trình f (t )  0  t  M .

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho đường thẳng  :

x 1 y 1 z

 và hai điểm A(1; 1; 2) , B(2; 1;0) . Xác định tọa độ điểm M
2
1 1

thuộc  sao cho :
1) Tam giác AMB vuông tại M

2) Tứ diện OABM có thể tích bằng

1

.
2

3) MA2  2MB2 nhỏ nhất.

Giải
Gọi M (1  2t; 1  t; t)  d , khi đó:
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN

 MA  (2t; t; 2  t )
1)  
. Tam giác AMB vuông tại M nên :
 MB  (1  2t; t; t )

facebook.com/ThayTungToan

 M (1; 1;0)
t  0
 
2
2
MA  MB  2t (1  2t )  t  (2  t )t  0  6t  4t  0   2    7 5 2 
M  ;  ; 
t 
  3 3 3 
 3


 


OA  (1; 1; 2)
2) Ta có OM  (1  2t; 1  t; t )  d và  
 OA, OB   (2; 4;1)

OB  (2; 1;0)
  
Suy ra: OA, OB  .OM  2(1  2t )  4(1  t )  t  t  2
t 2 1
t  1  M (1;0; 1)
1
1    1
 
Khi đó VOABM   OA, OB  .OM  

2
6
2
6
2
t  5
 M (11; 6;5)
2

 1
3) Ta có: MA  2MB  4t  t  (t  2)  2 (2t  1)  t  t   18t  12t  6  18  t    4  4
 3

1
5 4 1
Suy ra MA2  2MB 2
 4 khi t  hay M  ;  ;  .
min
3
 3 3 3
2

2



2

2

2

2

2

2



Ví dụ 2. Cho mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và đường thẳng d :

 P

2

x  2 y 1 z

 . Tìm tọa độ giao điểm của
1
2
1

và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến  P  bằng 2 3 .
Giải

Giả sử M  d   P  . Vì M  d nên M  t  2; 2t  1; t  .
Mặt khác M   P  nên suy ra  t  2   2t  1   t   3  0  t  1 , suy ra M 1;1;1 .
Ta có A  d nên A  a  2; 2a  1; a  .
Khi đó d  A;  P    2 3 

 a  2   2a  1   a   3
12  12  12

a  2
 2 3  a 1  3  
 a  4

Suy ra A  4; 5; 2  hoặc A  2;7;4  .
Ví dụ 3 (A,A1 – 2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

x  6 y 1 z  2
và



3
2
1

điểm A(1;7;3) . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho AM  2 30 .
Giải
Do M   , suy ra M (6  3t; 1  2t; 2  t ) . Có: AM  2 30  AM 2  120  (3t  5)2  (2t  8)2  (t  5) 2  120
 M (3; 3; 1)
t  1
 51 1 17 

 7t  4t  3  0 
   51 1 17  . Vậy M (3; 3; 1) hoặc M  ;  ;   .
3
M  ;  ;  
t  
7
7
7
7
7
7

  7
2

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !

GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

Ví dụ 4 ( B – 2011). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

facebook.com/ThayTungToan

x  2 y 1 z  5


và hai
1
3
2

điểm A(2;1;1) , B(3; 1; 2) . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .
Giải

Do M   M (2  t;1  3t; 5  2t )  AM  (t;3t; 6  2t )
 

Ta có AB  (1; 2;1) , suy ra:  AM , AB   (t  12; t  6; t )

(t  12)2  (t  6)2  t 2
1  
 AM , AB   3 5 
3 5


2
2
t  0
 M (2;1; 5)
. Vậy M (2;1; 5) hoặc M (14; 35;19) .
 t 2  12t  0  

t  12  M (14; 35;19)

Khi đó: SMAB  3 5 

DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM (Phần 2)
Bài toán 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d  0 và thỏa mãn điều kiện (*) .

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi điểm M thuộc mặt phẳng đã cho thì ta sẽ chấp nhận gọi điểm M theo 3 ẩn M ( x; y; z ) . Và
lúc này ta cần đi tìm 3 dấu “=” (cần thiết lập 3 phương trình). Phương trình (1) chính là phương
trình mặt phẳng. Hai phương trình (2), (3) có được nhờ cắt nghĩa dữ kiện bài toán. Sau đó đi giải
hệ 3 phương trình , tìm được bộ 3 số ( x; y; z ) và suy ra tọa độ điểm M ).
Chúng ta có thể chia thành 3 bước cụ thể sau:
Bước 1: Gọi M ( x; y; z ) . Do M  ( )  ax  by  cz  d  0 (1)
 f ( x; y; z )  0 (1)
Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) ta được hệ phương trình 
.
 g ( x; y; z )  0 (2)

 x  x0

Bước 3: Từ (1), (2) và (3) , suy ra  y  y0  M ( x0 ; y0 ; z0 ) .

z  z
0

 CHÚ Ý: Do M thuộc mặt phẳng ( ) chúng ta có thể “linh hoạt” gọi điểm M theo hai ẩn, ví như
gọi M ( x; y; h( x; y)) ( thực ra việc gọi 2 ẩn như trên là ta đã khai thác luôn phương trình (1) (phương trình
của mặt phẳng) và đang gián tiếp giải hệ 3 phương trình ở trên theo phương pháp thế). Song có một số
trường hợp khi làm thế lại khiến cho quá trình tính toán phức tạp và cồng kềnh.

Ví dụ minh họa

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
Ví dụ 1. Cho mặt phẳng ( ) : x  y  1  0 và điểm A(1; 2;3) . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( ) sao cho:
1) MA  MO 

7
.
3

2) MA song song với mặt phẳng ( P) : x  2 z  7  0 và MA  3 .

Giải
Gọi M (x; y; z) ( )  x  y 1  0 (1)
 MA2  MO 2
2
2

2
2
2
2

7

( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  x  y  z
1) Ta có MA  MO   

 2
49
2
2
2
3

9( x  y  z )  49
 MO 
9

 x  2 y  3z  7  0 (2)
 y  x 1
. Từ (1) và (2) suy ra 
và thay vào (3) ta được:
 2
2
2
3z  5  3x
9( x  y  z )  49 (3)

 
2
2

M 1; 2; 
x

1

y

2;
z



3

3
.
9 x2  9( x  1)2  (3x  5)2  49  27 x2 12 x 15  0  

  5 4 20 
 x   5  y  4 ; z  20
M   ; ; 

9
9
9

  9 9 9 

 


 x  2 z  5  0 (2')
 MA / /( P)
 AM  ( x  1; y  2; z  3)
 AM .n( P )  0
2) Ta có  
, khi đó: 


2
2
2
2
 MA  3
( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  9 (3')


 MA  9
n( P )  (1;0; 2)

x  2z  5
Từ (1) và (2 ') suy ra 
và thay vào (3') ta được:
 y  2z  4
 z  4  x  3; y  4
 M (3; 4; 4)

.
(2 z  6)2  (2 z  6)2  ( z  3)2  9  ( z  3)2  1  

 z  2  x  1; y  0  M (1;0; 2)
Ví dụ 2 (B – 2011: CB). Cho đường thẳng  :

x  2 y 1 z


và mp ( P) : x  y  z  3  0 . Gọi I là giao
1
2 1

của  và ( P) . Tìm điểm M thuộc ( P) sao cho MI vuông góc với  và MI  4 14 .
Giải

 x  2 y 1 z



Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:  1
2
1  x  y  z  1  I (1;1;1)
 x  y  z  3  0



Cách 1: Gọi M (x; y; z )  IM  (x  1; y  1; z 1) . Ta có u  (1; 2;1) là vec tơ chỉ phương của 
 M  ( P)
x y  z 3  0

(1)



Khi đó:  MI  
  x  1  2( y  1)  z  1  0 (2)


2
2
2
( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  224 (3)
 MI  4 14

 y  2x 1
Từ (1), (2)  
thay vào (3) ta được:
 z  3x  4
( x  1)2  (2 x  2)2  (3x  3)2  224  ( x 1)2  16  x  5 hoặc x  3

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
y  9
+) Với x  5  
 M (5;9; 11)
 z  11

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

 y  7
+) Với x  3  
 M ( 3; 7;13) .
 z  13



Cách 2: Ta có u  (1; 2; 1), n( P )  (1;1;1) lần lượt là vectơ chỉ phương của  và vectơ pháp tuyến của ( P) .
 IM  ( P)   
Do 
 uIM   n( P ) , u   (1; 2; 3) là vectơ chỉ phương của IM
 IM  

x  1 t

Suy ra phương trình IM :  y  1  2t  M (1  t;1  2t;1  3t ) , khi đó
 z  1  3t

 M (5;9; 11)
MI 2  224  t 2  (2t )2  (3t )2  224  t 2  16  t  4  
 M (3; 7;13)
 Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta nhận thấy khi gặp bài toán tìm điểm việc đưa về Bài toán 1 sẽ giúp chúng ta sử
lí “nhẹ nhàng” hơn so với Bài toán 2 . Vì vậy trong một số bài toán tìm điểm ta nên đặt câu hỏi, có chuyển
bài toán về Bài toán 1 được hay không ? Nếu được hãy ưu tiên đi theo hướng này.

DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM (Phần 3)
Bài toán 3. Tìm tọa độ điểm M không thuộc Bài toán 1 và Bài toán 2.

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi điểm M không thuộc Bài toán 1 và Bài toán 2 thì ta sẽ ưu tiên hướng đi 1 bằng cách trả lời câu
hỏi “liệu có chuyển được về Bài toán 1 hoặc Bài toán 2 ?” . Nếu câu trả lời là “có” ta sẽ quay về 2 bài toán đầu.
Nếu không làm được điều này ta sẽ “chấp nhận” đi theo hướng 2 . Cụ thể, gọi M ( x; y; z ) và cắt nghĩa điều kiện
 x  x0
 f1 ( x; y; z )  0


bài toán để thiếp lập hệ phương trình  f 2 ( x; y; z )  0   y  y0  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ).
 f ( x; y; z )  0

 3
 z  z0

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;0; 2), C(1;1; 1), D(2;0; 1) .
1) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA vuông góc với trục tung, song song với mặt phẳng ( BCD) và tứ diện

MABC có thể tích bằng 1 .
2) Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D .

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Giải


 BC  (0;1;1)     
1) Ta có  
 n( BCD )   BC , BD   (1;1; 1)
BD

(1;0;1)


  

 MA  Oy
Do 
 uMA   n( BCD ) , j   (1;0;1) với j  (0;1;0)
 MA / /( BCD)
x  1 t


Suy ra phương trình MA :  y  0  M (1  t;0; t )  AM  (t;0; t )
z  t


 
  
 AB  (0;0; 2)


Ta có  
  AB, AC   (2;0;0)   AB, AC  . AM  2t

 AC  (0;1; 1)
2t
 M (4;0;3)
1   
.
VMABC  1   AB, AC  . AM  1 
 1  t  3  
6
6
 M (2;0; 3)
2) Gọi I (x; y; z ) là tâm của mặt cầu ( S ) đi qua 4 điểm A, B, C, D .
Khi đó : IA  IB  IC  ID

 IA2  IB 2
( x  1)2  y 2  z 2  ( x  1) 2  y 2  ( z  2) 2


  IA2  IC 2  ( x  1)2  y 2  z 2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2
 IA2  ID 2
( x  1)2  y 2  z 2  ( x  2)2  y 2  ( z  1) 2



 z  1
x  1



  y  z  1   y  0  I (1;0; 1)  R  IA  1
x  z  2
 z  1


Vậy phương trình mặt cầu (S ) : ( x 1)2  y 2  ( z  1)2  1 .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng
( ) : x  2 y  2  0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ).
Giải.
Giả sử M ( x; y; z ) . Khi đó từ giả thiết ta có: MA  MB  MC  d (M ,( ))

 ( x  1)2  y 2  z 2  x 2  ( y  1)2  z 2  x 2  ( y  3) 2  ( z  2) 2 

( x  1) 2  y 2  z 2  x 2  ( y  1) 2  z 2

  x 2  ( y  1) 2  z 2  x 2  ( y  3) 2  ( z  2) 2

2
( x  1) 2  y 2  z 2  ( x  2 y  2)

5

x  2y  2
5

(1)

y  x
(2) . Từ (1) và (2) suy ra 
.

z  3  x
(3)

 M (1;1; 2)
x  1
   23 23 14 
Thay vào (3) ta được 5(3x  8x  10)  (3x  2)  
23
M  ;
x 
; 
  3 3
3
3

2

2

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

DẠNG 2: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Để viết được phương trình đường thẳng  ta cần có được 2 thông số: Tọa độ điểm M 0 mà  đi qua

và vecto chỉ phương u . Cụ thể:
 Ở nhánh tìm điểm, nếu đề bài cho luôn tọa độ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) thì ta chuyển luôn sang nhánh 2. Nếu
không cho thì ta sẽ đi tìm điểm M 0 bằng việc chuyển về bài toán tìm điểm (xem lại bài học trước).

 Ở nhánh tìm vecto chỉ phương u , ta sẽ dựa vào các mối quan hệ song song, vuông góc, đường nằm trong
 

 
mặt để tìm u . Nếu  //  ' thì u  u '  (a; b; c) , nếu   ( ) thì u  n( )  (a; b; c) , nếu xuất hiện 2
 
trong 3 mối quan hệ “ , //,   ( ) ” thì ta sẽ tìm được cặp vecto pháp tuyến n1 , n2 , khi đó
  
u  n1 , n2   (a, b, c) . Nếu trong đề bài có từ “cắt” hoặc “giao” thì ở trường hợp này ta phải đi tìm thêm
điểm thứ hai M với quy tắc “cắt ở đâu tìm điểm ở đó” bằng việc quay về nhánh 1. Từ đây, ta sẽ tìm được
 
u  MM 0  (a; b; c) .

 Khi có đủ 2 thông số M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và u  (a; b; c) ta sẽ viết được phương trình đường thẳng 

 x  x0  at
x  x0 y  y0 z  z0

Dạng tham số:  y  y0  bt hoặc dạng chính tắc:
với abc  0 . )



a
b
c
 z  z  ct
0

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Ví dụ minh họa
Cho hai điểm A(1;1; 2), B(2;0;1) , đường thẳng  ' :

x 1 y  1 z

 và mặt phẳng ( ) : x  2 y  z  4  0 . Viết
2
1 3

phương trình đường thẳng  :
1) Đi qua A song song với  ' .
2) Đi qua A và vuông góc với ( ) .
3) Đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
4) Đi qua A vuông góc đồng thời với AB và  ' .
5) Đi qua A vuông góc với  ' và cắt trục Ox .

6) Nằm trong ( ) đồng thời cắt và vuông góc với  ' .
7) Vuông góc với ( ) , đồng thời cắt cả hai đường thẳng AB và  ' .
8) Cắt  ' và ( ) lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm của MN .
9) Song song với mặt phẳng ( ) , cắt hai đường thẳng OA và  ' lần lượt tại hai điểm P, Q sao cho
PQ  4 2 và P có hoành độ nguyên.
10) Là đường vuông góc chung của AB và  ' .
Giải

 
1) Do  //  '  u  u '  (2; 1;3) là vectơ chỉ phương của 
x 1 y 1 z  2
Mặt khác  đi qua A(1;1; 2) nên có phương trình:
.


2
1
3
 
2) Do   ( )  u  n( )  (1; 2; 1) là vectơ chỉ phương của 
 đi qua A(1;1; 2) nên có phương trình:

x 1 y 1 z  2
.


1
2
1



OA  (1;1; 2)     
3) Ta có  
 n(OAB )  OA, OB   (1; 5; 2)

OB  (2;0;1)
 
Do   (OAB)  u  n(OAB )  (1; 5; 2) là vectơ chỉ phương của 

1
1
y
z
x 1
 1 1
3
3

Ta có G là trọng tâm tam giác OAB  G 1; ;   .Khi đó  có phương trình:
3
3
1

5

2





  AB   
 AB  (1; 1;3)    
4) Ta có  
  AB, u '   (0;3;1) . Do 
 u   AB, u '   (0;3;1) là vectơ chỉ phương của  .



'
u

(2;

1;3)


 '

x  1

 đi qua A(1;1; 2) nên có phương trình:  y  1  3t
 z  2  t




5) Gọi   Ox  M   M (m ;0;0)  AM  (m  1; 1;2) . Ta có u '  (2; 1;3) , khi đó:
 
5

 5

   '  AM .u '  0  2(m  1)  1  6  0  m    M   ;0;0 
2
 2

  7
1

 AM    ; 1; 2    .  7; 2; 4 
2
 2


x 1 y 1 z  2
Vậy  đi qua A(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương u  (7; 2; 4) nên có phương trình:
.


7
2
4

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
6) Gọi    '  N  N (1 2t; 1 t;3 t)  '

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Do N   ( )  N  ( )  1  2t  2(1  t )  3t  4  0  t  7  N (13;6; 21)


  
   '
Ta có u '  (2; 1;3) và n( )  (1; 2; 1) khi đó: 
 u  u ' , n( )   (7;5; 3) là vectơ chỉ phương của 
  ( )

x  13 y  6 z  21
Vậy  đi qua N (13;6; 21) có vectơ chỉ phương u  (7;5; 3) có phương trình:
.


7
5
3
x  1 t

7) Với A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ra phương trình AB :  y  1  t
 z  2  3t


Gọi  cắt AB và  ' lần lượt tại E , F và ta có n( )  (1; 2; 1)


 E (1  t1;1  t1; 2 3 t1)  AB

Gọi 
 EF  (2t 2  t1; t 2  t1  2;3t 2  3t1  2)
 F (1  2t 2; 1  t 2;3 t 2) '
 
Khi đó   ( )  EF , n( ) cùng phương
10

t2 

3t  t  2
2t  t t  t  2 3t2  3t1  2

 23 9 34   27 17 30 
7
 E  ; ; , F  ; ; 
 2 1 2 1

 2 1

7 7   7
7 7 
1
2
1
 7
5t2  4t1  2
t  16
1

7

23
9
34
x
y
z



 23 9 34 
7 
7
7
 đi qua E  ;  ;  có vectơ chỉ phương u  n( )  (1; 2; 1) nên có phương trình:
7 7 
1
2
1
 7
8) Ta có    '  M   M (1  2t; 1  t;3t )  ' . Do A(1;1; 2) là trung điểm của MN  N (1  2t; t  3; 4  3t ) .
Mặt khác N  ( )  1  2t  2(t  3)  4  3t  4  0  t  3  M (7; 4;9)
x 1 y 1 z  2


6
5
11
x y
z
9) Với A(1;1; 2), O(0;0;0) , suy ra phương trình OA :  

1 1 2

 P(a; a; 2a) OA (a  )
Gọi 
 PQ  (2b  a  1; b  a  1;3b  2a)
Q(1  2b; 1  b;3 b) '
 
 

Do  // ( )  PQ  n( )  PQ.n( )  0  (2b  a  1)  2(b  a  1)  (3b  2a)  0 (với n( )  (1; 2; 1) )

 b  a  3  PQ  (a  5; 2  2a;5a  9)

Khi đó  đi qua A(1;1; 2), M (7; 4;9) nên có phương trình:

Khi đó PQ  4 2  PQ2  32  (a  5)2  (2a  2)2  (5a  9)2  32
13
(loại)
 30a2  108a  78  0  a  1 hoặc a 
5

Với a  1  b  2  P(1;1; 2), Q( 3;1; 
6)  PQ  (4;0; 4)  4.(1;0;1)

x  1 t


Đường thẳng  đi qua P(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương u  (1;0;1) nên có phương trình:  y  1
 z  2  t


Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

x  1 t

10) Với A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ra phương trình AB :  y  1  t
 z  2  3t


Gọi I , J lần lượt là giao điểm của  với AB và  ' (với u '  (2; 1;3) )

 I (1  m;1  m; 2  3 m)  AB
Gọi 
 IJ  (2m  n; m  n  2;3m  3n  2)
 J (1  2 n; 1  n;3 n) '
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung, khi và chỉ khi:

4 I  9 ;  1 ; 7 

 
m



 


(2m  n)  (m  n  2)  3(3m  3n  2)  0
 2m  n  0
 IJ . AB  0
5  5 5 5




  

2(2m  n)  (m  n  2)  (3m  3n  2)  0
12m  11n  8 n  8

 J  21 ;  13 ; 24 
 IJ .u '  0

  5
5

5 5 

9

x  5

  AB   
1


Do 
 u   AB, u '   (0;3;1) là vectơ chỉ phương của  . Suy ra phương trình  :  y    3t
5
   '

7

z  5  t


DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 1)
Cách ra đề 1: Cắt nghĩa được yếu tố điểm và véc tơ pháp tuyến

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi đứng trước một bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) ta sẽ đặt ra hai câu hỏi:
“ Bài toán đã cho điểm và véc tơ pháp tuyến chưa? Nếu chưa cho thì tìm bằng cách nào?” . Nếu câu trả lời cho
câu hỏi 1 là đã biết, thì ta chỉ việc áp dụng cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng để đưa ra đáp số. Nếu
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
phải trả lời câu hỏi 2 thì ta sẽ đi theo sơ đồ trên như sau:
 Nếu là tìm điểm ta sẽ chuyển về bài toán tìm điểm (các bạn xem lại ở bài học trước).
 Nếu muốn khai thác được véc tơ pháp tuyến thì đề bài sẽ cho theo ba hướng gián tiếp:
 
 Hướng 1: Cho ( ) / /(  ) ở đó (  ) đã biết phương trình khi đó n( )  n(  )  (a; b; c) .

 
 Hướng 2: Cho phương trình đường thẳng d và biết d  ( ) , lúc này n( )  ud  (a; b; c) .


Hướng 3: Đề bài cho 2 trong 3 yếu tố là “mặt vuông góc với mặt, đường song song với mặt,
 
đường nằm trên mặt” khi đó ta sẽ tìm được cặp véc tơ chỉ phương của ( ) là u1 , u2 và suy ra được
  
n( )  u1 , u2   (a; b; c) .
 Sau khi đã trả lời được câu hỏi 2 thì việc viết phương trình mặt phẳng lúc này sẽ không có gì khó khăn
nhờ công thức: a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0 . )

Ví dụ minh họa
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1; 2;0) và
1) song song với mặt phẳng ( ) : x  y  2 z  7  0 .
2) vuông góc với đường thẳng AB với A(2; 3;1), B(3;0; 2) .
3) vuông góc với các mặt phẳng ( P) : x  2 y  z  2  0 ; (Q) : 2 x  y  z  0 .
4) song song đồng thời với trục Ox và đường thẳng  :

x 1 y 1 z

 .
2
1 1

x y 1 z  1
.


2

1
3
6) đi qua điểm N (2; 3;1) , đồng thời : a) song song với trục Oy . b) vuông góc với mặt phẳng xOy .

5) và chứa đường thẳng  ' :

7) đi qua các điểm A(2; 1;2), B(3;1; 1) .
8) vuông góc với mặt phẳng ( R) : x  y  3z 1  0 và song song với đường thẳng d :

x  4 y  1 z 1


2
1
2

Giải
 
1) Do ( ) // (  ) nên n( )  n(  )  (1; 1; 2) là vectơ pháp tuyến của ( )
Mặt khác ( ) đi qua điểm M (1; 2;0) nên suy ra phương trình ( ) :
x  1  ( y  2)  z  0 hay x  y  z  3  0 (thỏa mãn song song với (  ) ).
 
2) Do AB  ( )  n( )  AB  (1;3; 3) là vectơ pháp tuyến của ( )

Mặt khác ( ) đi qua điểm M (1; 2;0) nên suy ra phương trình ( ) : x 1  3( y  2)  3z  0 hay x  3 y  3z  5  0 .


3) Vectơ pháp tuyến của ( P),(Q) lần lượt là n( P )  (1; 2;1), n(Q )  (2;1; 1)

( )  ( P)     2 1 1 1 1 2 

 n( )   n( P ) , n(Q )   
;
;
Do 
  (1;3;5) là vec tơ pháp tuyến của ( ) .
(

)

(
Q
)

 1 1 1 2 2 1 
Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình: x 1  3( y  2)  5z  0 hay x  3 y  5z  5  0 .


4) Ta có i  (1;0;0), u  (2; 1;1) lần lượt là vectơ chỉ phương của trục Ox và đường thẳng  .

Ox / /( )     0 0 0 1 1 0 
 n( )  i, u   
;
;
Do 
  (0; 1; 1) là vec tơ pháp tuyến của ( ) .
 / /( )
 1 1 1 2 2 1 
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !

GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình: 0( x 1)  ( y  2)  z  0 hay y  z  2  0 .

facebook.com/ThayTungToan

Ox / /( )
Kiểm tra kết quả: Chọn M1 (1;0;0)  Ox và M 2 (1; 1;0)   . Ta có: M1  ( ); M 2  ( )  
(thỏa mãn)
 / /( )
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: y  z  2  0


5)  ' đi qua điểm N (0;1; 1) và có vectơ chỉ phương u '  (2;1; 3)
    1 3 3 2 2 1 

M  ( )
Ta có MN  (1;3; 1) Do 
 n( )  u ' , MN   
;
;
  (8;5;7)
 '  ( )
 3 1 1 1 1 3 
là vec tơ pháp tuyến của ( ) . Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình:
8( x  1)  5( y  2)  7 z  0 hay 8x  5 y  7 z  2  0 .


6) a) Ta có MN  (1; 1;1) và j  (0;1;0) là vectơ chỉ phương của trục Oy .
  

Khi đó ( ) có vectơ pháp tuyến : n( )   MN , j   (1;0;1) nên có phương trình :
1.( x  1)  z  0 hay x  z  1  0 (thỏa mãn song song với Oy )


b) Ta có MN  (1; 1;1) , k  (0;0;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng xOy
  
 MN  ( )
Do 
 n( )   MN , k   (1; 1;0) là vectơ pháp tuyến của ( )
( xOy ) / /( )
Khi đó ( ) có phương trình: 1.( x 1) 1.( y  2)  0.z  0 hay x  y  1  0 .


7) Ta có MA  (1;1; 2) và MB  (4;3; 1)

    1 2 2 1 1 1 
Khi đó vectơ pháp tuyến của ( ) được xác định như sau: n( )   MA, MB   
;
;
  (5;9;7)
 3 1 1 4 4 3 
Suy ra phương trình mặt phẳng ( ) : 5( x 1)  9( y  2)  7 z  0 hay 5x  9 y  7 z  13  0 .



8) Mặt phẳng ( R) có vectơ pháp tuyến n( R )  (1;1; 3) . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud  (2;1; 1)
( R)  ( )     1 3 3 1 1 1 
Do 
 n( )   n( R ) , ud   
;

;
  (2; 5; 1)
d / /( )
 1 1 1 2 2 1 
Suy ra phương trình ( ) : 2( x  1)  5( y  2)  z  0 hay 2 x  5 y  z  12  0 .
Kiểm tra kết quả: Chọn điểm M 0 (4; 1;1)  d . Nhận thấy M 0 (4; 1;1) ( ) (do 2.4  5.(1) 1 12  0 )
Suy ra d  ( ) (không thỏa mãn vì theo đề bài d // ( ) )
Vậy không tồn tại mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán.
 Chú ý quan trọng : Trong các bài toán có yếu tố song song (như đường thẳng song song với mặt phẳng
hoặc hai mặt phẳng song song với nhau), khi sử dụng tính chất song song để tìm ra vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng cần lập, ta mới sử dụng điều kiện cần nhưng chưa đủ. Vì vậy trước khi kết luận phải có bước
kiểm tra lại điều kiện đủ (điều kiện song song) để đưa ra đáp số chính xác cho bài toán.

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 2)
Cách ra đề 2: Khai thác được véctơ pháp tuyến nhưng không có được yếu tố điểm

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà ta chỉ khai thác được yếu tố véctơ pháp

tuyến (giống như Cách ra đề 1 ) mà không có được yếu tố điểm. Thì sau khi tìm được n( )  (a; b; c) ta sẽ gọi

phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: ax  by  cz  m  0 . Tìm cách cắt nghĩa dữ kiện bài toán (thường là yếu tố
định lượng) để thiết lập phương trình f (m)  0 , tìm m và suy ra phương trình ( ) ).

 CHÚ Ý:

Nếu biết cả yếu tố điểm M 0 mà mặt phẳng ( ) đi qua ( đây là Cách ra đề 1 ) ta vẫn có thể đi

theo sơ đồ của Cách ra đề 2 này. Bởi ở Bước 2 trong khâu cắt nghĩa ta sẽ thay tọa độ độ điểm M 0 vào
phương trình ax  by  cz  m  0 và dễ dàng tìm được m để có được phương trình mặt phẳng ( ) .

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0 và (Q) : x  y  z 1  0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R)
vuông góc với ( P) và (Q) sao cho khoảng cách từ (O) đến ( R) bằng 2.
Giải


n( P )  (1;1;1) và n(Q )  (1; 1;1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( P) và (Q)
Do ( R) vuông góc đồng thời với ( P) và (Q) nên ( R) có vectơ pháp tuyến:
  
n( R )  n( P ) , n(Q )   (2;0; 2)  2.(1;0; 1) . Vậy phương trình ( R) có dạng: x  z  m  0
m
Ta có: d (O;( R))  2 
 2  m  2 2  m  2 2
12  12
Vậy phương trình của ( R) : x  z  2 2  0 hoặc x  z  2 2  0 .
Ví dụ 2. Cho phương trình mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  10  0 , đường thẳng  :

x 1 y z  2
và mặt
 

1
1
3

cầu (S ) : x2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  3  0 . Viết phương trình:
1) mặt phẳng ( ) vuông góc với ( P) , song song và cách  một khoảng bằng

2.

2) tiếp diện của ( S ) và song song với ( P) .
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Giải


1) Ta có n( P )  (2; 1; 2) , u  (1;1; 3) lần lượt là các vectơ pháp tuyến, chỉ phương của ( P) và  .

( )  ( P)   
Vì 
 n( )   n( P ) , u   (5; 4;3) là vectơ pháp tuyến của ( )
( ) / / 
Khi đó mặt phẳng ( ) có dạng: 5x  4 y  3z  m  0 .
 m  11

 m  1  10  
52  42  32
 m  9
Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình : 5x  4 y  3z  11  0 hoặc 5x  4 y  3z  9  0 .
 
2) Gọi (  ) là tiếp diện của ( S ) . Do ( ) / /( P)  n(  )  n( P )  (2; 1; 2)
Chọn M (1;0; 2)   d  ,( )   d  M ,()  ( vì  // ( ) )  2 

56 m

Khi đó mặt phẳng (  ) có dạng : 2 x  y  2 z  m  0 với m  10
Với mặt cầu ( S ) ta có tâm I (1; 1; 2) và bán kính R  3 (  ) là tiếp diện của ( S )

 d  I ,(  )   R 

2 1 4  m

 3  m  1  9  m  8 hoặc m  10 (loại)
22  12  22
Vậy tiếp diện của ( S ) là: 2 x  y  2 z  8  0 .

DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 3)
Cách ra đề 3: Không cắt nghĩa được véctơ pháp tuyến

SƠ ĐỒ GIẢI

Nghĩa là: Khi bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà việc khai thác các dữ kiện của bài toán
không giúp ta tìm được luôn véctơ pháp tuyến thì ta sẽ đi theo 4 bước sau:
Bước 1: Gọi dạng phương trình mặt phẳng ( ) là: ax  by  cz  d  0
( với a 2  b2  c2  0 ). Trong trường hợp này bài toán thường cho các yếu tố định tính qua 4 cách ra đề sau:

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
 Đề 1: Biết tọa độ 2 điểm thuộc mặt phẳng ( ) .
 Đề 2: Biết mặt phẳng ( ) chứa một đường thẳng cho trước.
 Đề 3: Biết ( ) đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.
 Đề 4: ( ) đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
Bước 2: Ứng với mỗi cách ra đề ở Bước 1, giúp ta cắt nghĩa bài toán và có được hệ hai phương trình bốn ẩn . Từ
đây ta sẽ tìm cách rút 2 ẩn theo 2 ẩn còn lại để thay lại vào phương trình ( ) .
Bước 3: Nhờ Bước 2 giúp ta có được phương trình ( ) còn chứa 2 ẩn số. Lúc này ta sẽ cắt nghĩa những dữ kiện
còn lại của bài toán (thường là các yếu tố về định lượng) để được một phương trình chứa hai ẩn (ở sơ đồ trên ta
có g (a; b)  0 )
Bước 4: Từ g (a; b)  0 ( thường là phương trình đồng cấp bậc 2) giúp ta tìm mối liên hệ giữa a, b (a  kb) . Chọn
a, b . Suy ra được phương trình mặt phẳng ( ) .

 f (a; b; c; d )  0
CHÚ Ý: Ở Bước 2 việc khai thác hệ  1
để rút 2 ẩn theo 2 ẩn còn lại
 f 2 (a; b; c; d )  0
(hệ hai phương trình bốn ẩn) ta có thể “linh hoạt” với số liệu cụ thể của bài toán. Nghĩa là biểu thức được rút
theo 2 ẩn có thể không theo sơ đồ trên ( ở sơ đồ ta minh họa việc rút 2 ẩn c, d theo 2 ẩn a, b ).

Ví dụ minh họa
x y 1 z  1
và điểm A(1; 2;3) . Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua



4
3
1
A , song song với  và cách O một khoảng bằng 1.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng  :

Giải
Gọi mặt phẳng ( ) có dạng ax  by  cz  d  0 với a 2  b2  c2  0
+) Do A  ( )  a  2b  3c  d  0 (1)


n( )  (a; b; c)
 
+) Do  // ( )  n( ) .u  0  4a  3b  c  0 (2) với  
u  (4;3;1)
c  4a  3b
Từ (1) và (2) suy ra : 
, khi đó mặt phẳng ( ) viết lại thành: ax  by  (4a  3b) z  11a  7b  0
d  11a  7b
11a  7b
 1  104a2  130ab  39b2  0
Ta có d (O, ( ))  1 
2
2
2
a  b  (4a  3b)
 2a  b
 13(2a  b)(4a  3b)  0  
 4a  3b

+) Với 2a  b , chọn a  1, b  2 , suy ra mặt phẳng ( ) : x  2 y  2 z  3  0
+) Với 4a  3b , chọn a  3, b  4 , suy ra mặt phẳng ( ) : 3x  4 y  5  0
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) cần lập là : x  2 y  2 z  3  0 hoặc 3x  4 y  5  0 .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , có A(1;2;1), B(2;1;3), C (2; 1;1) và D(0;3;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi
qua A, B sao cho khoảng cách từ (C ) đến ( P) bằng khoảng cách từ D đến ( P) .

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Giải
Gọi mặt phẳng ( P) có dạng: ax  by  cz  d  0 với a 2  b2  c2  0

3a  b

c

 A  ( P)
a  2b  c  d  0

2
Vì ( P) đi qua A(1; 2;1), B(2;1;3)  


 B  ( P)

2a  b  3c  d  0
d  5a  5b

2
Khi đó mặt phẳng ( P) được viết lại thành :
3a  b
5a  5b
z
 0  2ax  2by  (3a  b) z  (5a  5b)  0 ( P)
2
2
2a  6b
2b  2a
 a  2b
Ta có: d (C;( P))  d ( D;( P)) 

 a  3b  b  a  
4a 2  4b2  (3a  b)2
4a 2  4b2  (3a  b)2
b  0
ax  by 

+) Với a  2b chọn a  4; b  2 , suy ra mặt phẳng ( P) : 4 x  2 y  7 z  15  0
+) Với b  0 chọn a  2 , suy ra mặt phẳng ( P) : 2 x  3z  5  0
 Nhận xét : Với điều kiện đặc biệt của bài toán trên, các bạn có thể có cách giải khác là: “khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)”  (P) song song với CD hoặc (P) đi qua trung điểm của CD.
Và quay về Cách ra đề 1 (đây cũng là cách giải của Bộ Giáo Dục – cách giải này là hay nhất với số liệu
trên). Nhưng nếu khoảng cách không bằng nhau ? thì cách này lại không làm được. Lúc này phương pháp
giải ở ví dụ trên vẫn phát huy tác dụng.

DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 4)
Cách ra đề 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi mặt phẳng ta cần viết đi qua các điểm đặc biệt thuộc các trục tọa độ, lúc này ta có thể nghĩ tới
việc viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn theo 2 bước trên).

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho A(0;0;3), M (1;2;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C
sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Giải
x  t


Ta có: AM  (1; 2; 3)  phương trình AM :  y  2t
 z  3  3t

Gọi B(b;0;0) Ox, C(0; c;0) Oy . Do G  AM  G(t;2t;3  3t ) (1)
b c 

Mặt khác: G là trọng tâm tam giác ABC  G  ; ;1 (2)
3 3 
b
 2
3  t
t  3


x y z
c
Từ (1) và (2)    2t  b  2 . Suy ra phương trình mặt phẳng (P):    1  6 x  3 y  4 z  12  0 .
2 4 3
3
c  4
1  3  3t





Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua M
cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M là trọng tâm.
Giải
Gọi A(a;0;0) Ox, B(0; b;0) Oy, C(0;0; c) Oz

 xA  xB  xc  3xM
a  3  A(3;0;0)




Do M là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:  y A  yB  yc  3 yM  b  6   B(0;6;0)
 z  z  z  3z
c  9 C (0;0;9)


M
 A B c
x y z
Khi đó  P  đi qua A, B, C nên có phương trình:    1 hay 6 x  3 y  2 z 18  0 .
3 6 9
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 ; N  1;0; 1 . Viết phương trình mặt phẳng
( P) đi qua M , N cắt trục Ox, Oy theo thứ tự tại A và B (khác O ) sao cho

AM
 3.
BN

Giải
Giả sử ( P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A  a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c 

1 2 1
 a  b  c  1 2
x y z
  2  b 1
Nên ( P) có dạng  P  :    1 . Vì ( P) đi qua M , N nên ta có: 
1
1
b
a b c
   1

 a c

a  3
2
Mặt khác AM  3BN  AM 2  3BN 2   a  1  4  1  9  
 a  1
3
x y z
1
Với a  3  c     P  :    1 P : x 3y 4z 3 0 . Với a  1   0 (loại)
4
3 1 3
c
4
Vậy phương trình mặt phẳng  P  cần lập là: x  3 y  4 z  3  0 .
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !