Bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

PH Ạ M THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CẤP MỘT

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

P H Ạ M TH Ị H Ư Ơ N G

BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CẤP MỘT
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã so : 60 46 01 02
LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HÀ TIEN NGOẠN

H À N Ộ I , 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ
vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

P hạm Thị Hương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B à i to á n
C a u c h y cho h ệ p h ư ơ n g t r ì n h hyperbolic cấp m ộ t " được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

P hạm Thị Hương


4

M ục lục
M ỏ đầu

1

1

Các kiến thứ c chuẩn bị
1.1 Một số khống gian hàm . . . .
1.1.1 Khống gian L 2 .............
1.1.2 Khống gian
■■■■
1.1.3 Khống gian Sobolev w 2m
1.1.4 Khống gian cm(\a,b] ,E)
1.1.5 Khống gian s? và y
1.2 Biến đối Fourier
1.2.1 Biến đỗi Fourier trong khống gian Schwartz ổ?
1.2.2 Biến đỗi Fourier trong khống gian L 2 .............
1.2.3 Biến đỗi Fourier trong khống gian y
....
1.3 Toán tử làm t r ơ n .............................................................
1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị . . .
1.5 Khái niệm nửa n h ó m ......................................................
1.5.1 Nửa nhóm
1.5.2 Toán tử sinh của, nửa n h ó m ...................................
1.5.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach
1.5.4 Định lý Hille-Yosida

3
3

3
3
4
4
4
5
5
6
7
7
8
10
10
10
11
11

2

Hệ phương trình hyperbolic với hệ số biến th iên và không
phụ thu ộc thời gian
2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một
.
2.1.1 Đinh nghĩa ................................................................
2.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh .............
2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh
.
2.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L 2 đối với hệ đối xứng

15

15
15
17
19
23


2.2.1

Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm là bình
. ___ I I

2.3

2.4

?

1

✓

1

phương khả tích
2.2.2 Trường hợp đạo làm theo t của nghiệm khống bình
phương khả tích
Bài toán Caưchỵ cho hệ phương trình đối xứng với đạo
hàm theo t của nghiệm thưộc c° ([0, T] , L2)
2.3.1__ Các tính chất của toán tử A

2.3.2 Bất đẳng thức năng lượng trong Ịj_
2.3.3 Định lỷ tồn tại dưỵ nhất nghiệm với đạo hàm theo
t của nghiệm thưộc cũ([0,T\ , L 2)
Bài toán Caưchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo
hàm theo t của nghiệm thưộc c° ([0, T] , Wg)
2.4.1 Các tính chất của toán tử Ẵì
2.4.2 Bất đẳng thức năng lượng trong
2.4.3 Định lỷ tồn tại dưỵ nhất nghiệm với đạo hàm theo
t của nghiệm thuộc c° ([0, T] , W j)

23
25
28
28
31
31
32
32
36
37

K ết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

1

M ở đầu
1. Lí do chọn đ ề tà i
Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệ
phương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô
tả các quá trình truyền sóng khác nhau. Song bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình loại này thường chỉ được xét trong trường hợp với hai
biến độc lập. Trường hợp với số biến bất kỳ, bài toán Cauchy thường
được xét với giả thiết hệ là đối xứng và các hệ số của hệ phương trình là
hằng số hoặc không phụ thuộc biến thời gian t. Việc tổng quan lý thuyết
trên là cần thiết để có thể có cách tiếp cận thống nhất giữa các trường
hợp khác nhau.
Bố cục luận văn gồm hai chương.
Trong chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị: một số không
gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị,
khái niệm nửa nhóm và toán tử sinh của nó, bài toán Cauchy đối với
phương trình vi phân trong không gian Banach.
Trong chương 2 trình bày các nội dung chủ yếu là: hệ phương trình
hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian,
bài toán Cauchy cho hệ này, các bất đẳng thức năng lượng, phát biểu
và chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [2].

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Trình bày một cách hệ thống lý thuyết bài toán Cauchy cho hệ phương
trình hyperbolic tuyến tính cấp một bằng phương pháp biến đổi Fourier
và công cụ toán tử giả vi phân. Trên cơ sở đó nhận được công thức biểu
diễn nghiệm tường minh của bài toán Cauchy khi các hệ số là hằng số.

2

3. N h iệm vụ n gh iên cứu
Nêu được các bước giải bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyper­
bolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp đối
xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian.

5. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính. Các phương pháp
định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

6. Đ ó n g góp m ới
Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán Cauchy cho hệ phương
trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng và
hyperbolic mạnh.


3

Chương 1
Các kiến thứ c chuẩn bị
1.1
1.1.1

M ột số k h ôn g gian hàm
K hông gian L 2

Đ ịnh nghĩa 1.1. Không gian L 2 (hay L 2 (M71)) là không gian gồm các
hàm u đo được và có chuẩn:
'2
\ u \

L 2( H")

(

Ị

ịu{x)ị2dx)

< + 00.

IX không gian Hilbert với tích vô hướng
N hận x ét 1.1. Không gian LT22 là

{u ( x ) , V {x))L2 {Rn) = Ị u { x ) v (x)dx.
Mn
1.1.2

K hông gian ỗẽm

Đ ịnh nghĩa 1.2. Không gian ỗẽm (hay ỗẽm (Mn)) là không gian bao gồm
tấ t cả các hàm u(x) thỏa mãn D°u(x), |qí| < m liên tục và bị chặn trên
Mn với chuẩn
u ix ) L =
ở đó a; = (q!i , « 2,

a n) là kí hiệu đa chỉ số với (Xj là các số nguyên không

n

Q\a\

âm, |díI = Ỵ2 CLj và D au = ——-—
j=l

Cấp a .

ỜXị

a u được gọi là đạo hàm suy rộng

. . . ƠXn


4

1.1.3

K hông gian Sobolev

Đ ịnh nghĩa 1.3. Không gian
(hay w 2™(M71)) là không gian bao
gồm tấ t cả các hàm u (z) G L2, sao cho D au (a:) G L 2 với mọi |a| < m
và được trang bị bởi chuẩn
\ \

/

IMIlV2m(Kn) = Ị
Ị \Đau{x)\2 d x \
\\a\/
N hận x ét 1.2. Không gian

.

(1 .1 )

là không gian Hilbert với tích vô hướng

Không gian [JK2m], là không gian đối ngẫu của W f .
1.1.4

K hông gian c m ([ữ, b] , E )

Đ ịnh nghĩa 1.4. Giả sử E là không gian Banach. Không gian c m ([ữ, b} , E)
gồm các hàm u (t ) xác định trên [ữ, 6], nhận giá trị trong E, khả vi liên
tục đến cấp m trong tô pô của E theo chuẩn sau
m
IK (OILu W l l c m([a,b],£) — sup
a
1.1.5

n

K hông gian 5? và 5?'

Đ ịnh nghĩa 1.5. Không gian 5? (hay
(Mn)) là không gian véc tơ gồm
tấ t cả các hàm u (s) xác định trên Mn, khả vi vô hạn và thỏa mãn
sup \x^ (D au (s))| < oo
với mọi đa chỉ số a,

/3 G

Nn, trong đó Xp = x ị 1x ị 2...x^n.

Dãy
(a;)}^°=1 c
được gọi là hội tụ về 0 trong không gian
dãy { x aD aípk (a:)}^°=1 hội tụ đều về 0 trên Mn.

nếu

Đ ịnh nghĩa 1.6. Không gian y (hay y (Mn) là không gian vec tơ
gồm tấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 5?.
Mỗi phần tử của không gian y được gọi là một hàm suy rộng tăng
chậm.


5

1.2

B iến đ ổi Fourier

1.2.1

B iến đổi Fourier trong không gian Schwartz y

Đ ịnh nghĩa 1.7. Cho u G y . Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là
& u hay ủ (£), là hàm được xác định bởi
(1.2)
n

à đó £ = (£i,

và (x,£) = £ Xịtị.
3=1

Đ ịnh nghĩa 1.8. Biến đổi Fourier ngược của hàm u, kí hiệu là l ỹ ~ lu ,
là hàm được xác định bởi

( 1.3)
Đ ịnh lý 1.1. Cho u G y , khi đó ta có các tính chất sau:
ị) & u G y .
ịị) & [D%ú\ (£) =
[ư] (£) với mọi đa chỉ số a.
Hi) D£ ^ [u] (£) = (—i ỷ a^ [xau\ (£) với mọi đa chỉ số a.
iv) & [u * v] (£) =

[it] (£)

[v] (£), trong đó

( 1.4 )
được gọi là tích chập của hàm u và V.
Đ ịnh lý 1.2. Phép biến đổi Fourier & ỉà một đẳng cấu tuyến tính trên
5? với ánh xạ ngược chính ỉà phép biến đổi Fourier ngược
.
Đ ịnh lý 1.3. Dối vói mỗi u ,v

G

ổ?, ta có các đẳng thức sau:

1)

( 1.5)
2)
( 1 .6 )


6

N hận x ét 1.3. Từ Định lí 1.3, chọn U = V ta nhận được
/ i « ( » ) i * d . = / i ^ « ( f )i*de
H"

(1.7)

H"

với mọi U G y . Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parsevaỉ.

1.2.2

B iến đổi Fourier trong không gian L 2

Từ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ
không gian Schwartz ổ? lên không gian rộng hơn L 2.
Giả sử U (æ) G L 2. D o y trù mật trong không gian L 2, vì vậy tồn tại
dãy {Uj (æ)}0!! c ^ sao cbo
||itj (æ) —U (æ)||£2 —>0 khi j —>00.
Vậy dãy {Uj (æ)}°!=1 là dãy Cauchy trong L 2. Từ đây và do đẳng thức
Parseval suy ra dãy {ûj (æ)}°!=1 cũng là dãy Cauchy trong L 2. Do L 2 là
đầy đủ, nên dãy {ûj (æ)}0! ! hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu
là
hay Ü (£) và được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm U (æ).
Đ ịnh lý 1.4. Cho U, V G L 2, khi đó ta có
J u ( X) W ) d * = Ị * u ( O J ^ W ) đ í.
Kn

(1 .8)

Kn

Công thức (1.8) được gọi là đẳng thức Parsevaỉ trong L 2.
Khi cho u = V ta suy ra
G L 2. Tương tự ta định nghĩa được phép
biến đổi Fourier ngược của các hàm thuộc L 2.
Giả sử u(£,) G L 2 và {Uj ( 0 } ° li c y bội tụ đến u ( trong L 2 . Nhờ
đẳng thức Parseval, dãy phép biến đổi Fourier ngược của dãy {Uj (0 } ° li
là dãy {Uj
đây là dãy Cauchy trong L 2 . Do đó {Uj (s)} hội tụ

đến một hàm nào đó thuộc L 2 , kí hiệu hàm này là u (s) và được gọi là
phép biến đổi Fourier ngược của hàm u(£).
Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 2 tương tự như các tính
chất của biến đổi Fourier trong ổ?.


7

1.2.3

B iến đổi Fourier trong không gian y

Đ ịnh nghĩa 1.9. Cho u G y . Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là
hay ủ (£), là hàm được xác định bởi
(&u,ip) = (u, y ỳ ) , Vip G y .
Đ ịnh nghĩa 1.10. Cho u G y . Biến đổi Fourier ngược của hàm u, kí
hiệu là y ~ 1u, là hàm được xác định bởi
(Ky ~ lu, lộ) = (it,

1.3

,Víp e y .

Toán tử làm trơn

Mục này mô tả phép toán xấp xỉ các hàm cho trước bởi hàm trơn.
Giả sử tp (z) là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
i) tp (z) > 0, tp G
giá của tp (a;) nằm trong hình cầu đơn vị: |a?| < 1,
trong đó giá của hàm (p (a:) kí hiệu là supp<^, là tập hợp

supp^ = {x\Chẳng hạn, tp được xác định như sau

^ ) = ( Cexp ( - r q ^ ) ’ W < 1
lo
, |s| > 1
thỏa mãn i) và ii), ở đó hằng số c được chọn sao cho
/*,(*)< ** = 1 .
Sau đó, lấy £ > 0 là một tham số và đặt

Chú ý rằng tpe (x) cùng thỏa man i) và ii), nhưng trong trường hợp này,
giá của tpe (s) nằm trong hình cầu |s| < £. Bây giờ, cho u G Ljoc ta định


8

nghĩa toán tử làm trơn bởi tích chập của tpe và u.
Ta có
(
J


(1.9)

Ta có các tính chất sau:
Đ ịnh lý 1.5. Cho U G L]oc, tích chập của ípe và u được xác định bởi
) có các tính chất:
(a) ípe * U G c°°, tức là hàm khả vi vô hạn.

(b) Giá của ipe * u nằm trong miền £-lăn cận của giá của u.
(c) Khi U G cmvà £ —>0, ta có (d) Khi U G Lp,p > 1, ta có Từ trên ta thấy rằng ự>e* được xem như phép xấp xỉ các hàm bởi các
hàm trơn trong các không gian hàm khác nhau. Tích chập này được đưa
vào đầu tiên bởi Friedrichs. Ông gọi là toán tử làm trơn
1.4

Toán tử giả vi p h ân và to á n tử tích p h ân kì dị

Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng P (X, D ) được cho bởi công
thức
P (x,D ) =

a „ (x )ö “ ,

(1.10)

o | < m

ở đó a là đa chỉ số, aa là các hàm số trơn xác định trên Mn.
Nếu thay thế D a ở công thức (1.10) bằng đơn thức £Q, (£Q =
thì ta được đa thức tương ứng sau

■■■£“")

( 1.11)

9

Đa thức p (z,£) được gọi là biểu trưng của toán tử p (a;, D ).
Từ các tính chất của biến đổi Fourier ta có:
p (X, D) u (z) = ^ 2 aa (z) (D au) (z)
o | < m

= ^ 2 aQ(z) (27ĩ)_n/2 Ị ei{xẲ)D au (£) dỆ,
IOfI^ Tìĩ
ỊỊgTI
= (2 ^ )-"/2 ỵ 2 a° (*) / ei{’ Ầ>e ũ (í) d{
ICiI^ ĩĩl
ỊỊ£n
(2ttp /2 Ị ei{x’t
ỊỊg71

J

(2tt)~n/2

J2 ữa(x)

ủ (£)

IOíI^ 771

ei{xẦ)P { x , t ) ủ { £ ) d£.

Rn
Khi hàm số p (X, £) không là đa thức theo biến £, ta có thể định nghĩa

toán tử giả vi phân p (x, D ) theo công thức sau

J

p {x, D ) u (x) = (27r)~ *

ei{xẰ)P {x, £) ủ (£) dC

(1 .12)

Mn
Hàm số p (a;, £) được gọi là biểu trưng của toán tử giả vi phân p (x,D).
V í d ụ 1.1. Khi p (x, £) = |£| thì toán tử giả vi phân tương ứng được kí
hiệu là A, tức là
Au = (27r)-f

J

el(x’Ễ) |f| ũ {£)<%.

(1.13)

Mn
Khi biểu trưng p (a;,£) là hàm thuần nhất bậc 0 theo biến

tức là

p (s, k£) = p (s, £), Vfc > 0,
thì toán tử giả vi phân tương ứng p (x, D) được gọi là toán tử tích phân
Kí hiệu: K {x, y ) = ^ ^ yP {x, 0 .

Khi đó
p ( x , D) u (x) =

2

J

Mn

K ( x ,x — y ) u ( y ) dy.

(1.14)


10

V i du 1.2. Giä suf j € N, 1 < j < n lä co dinh vä bieu triftig P (x,£)
duföc xac dinh böi
(1.15)
Khi dö
K (x.y) =

trong

(z,£) =

-jp -

(1.16)

1 r(|(n + l))

docn = — ■
■
Z7T
ti-2
Toän tut P (tr, .D) tuföng utng duföc goi lä toän tti Riesz, duföc ki hieu lä
Rj.
Ta co
RjU (x) = (27T)~*cn

J

{xj ~ Vj)

,

^ j

\------- (y) dvR" f - y I

1.5

K h äi n iem n iia nh öm

1.5.1

Ntfa nhöm

D inh nghla 1.11. Cho E la mot khöng gian Banach, Tt, (t > 0) la ho

cac toan tut tuyen tinh bi chan tren E. Khi dö ho Tt duföc goi la ntia
nhöm neu:
i) T0 = I, vöi I la toän tut döng nhat tren E.
ü) Tt+S = TtT3, t , s > 0.
iii) Tap höp

D= {“e£;3

Jhp L}

<117)

lä trü mat trong E.
1.5.2

Toan tu1sinh cüa m ia nhöm

Cho toän tut A co mien xac dinh
Toän tut A cho böi
Au = lim
i—
>0+

(A) lä tap höp D trong (1.17).
Tt - I
—u
t

(1.18)

11

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tị.
N hận x ét 1.4. Toán tử sinh Ả là toán tử đóng có miền xác định 3 (A)
là trù mật trong E, nhưng nói chung A không là toán tử bị chặn.
1.5.3

Phương trình vi phân trong không gian Banach

Ta xét bài toán Cauchy sau
du (t )
= Au (t) ,t > 0,
dt

(1.19)

u (0) = u0.

(1 .20)

trong đó u0 e E , A là toán tử sinh của nửa nhóm Tị nào đó trên E.
Đ ịnh lý 1.6. Bài toán Cauchy (Ị1.19D, fll.20|) có nghiệm duy nhất u ( t )
được cho bởi công thức
u (t) = Ttu0,

(1.21)

trong đó Tị là nửa nhóm có A là toán tử sinh.
1.5.4

Đ ịnh lý H ille-Y osida

Giả sử A là toán tử đóng trong không gian Banach E. Định lý HilleYosida cho ta điều kiện đủ để toán tử tuyến tính A đóng là toán tử sinh
của nửa nhóm nào đó. Trước khi xét định lý ta nhắc lại các khái niệm
sau:
Cho A là toán tử tuyến tính đóng trong không gian Banach E. Tập
các A e c sao cho (XI — A)~l không tồn tại và bị chặn được gọi là phổ
của toán tử A.
Phần bù của tập phổ được gọi là tập chính guy của toán tử A. Nếu A
thuộc tập chính quy của toán tử A thì (XI — A)~l được gọi là giải thức
của A.
Đ ịnh lý 1.7. (Hille-Yosida) Cho A là toán tử đóng và có miền xác định
trù mật trong E. Giả sử tồn tại số thực ß sao cho với mọi X > ß, tồn
tại giải thức (XI — A)~l của A thỏa mãn
||(A/ - A)~m|| <

^

, X > ß , m = 1,2,....

Khi đó tồn tại một nửa nhóm Tị mà có toán tử sinh là A.

( 1.22)


12

Chứng minh. Cho A\ = Ả — Ị5I. Từ (1 .22) ta có

c

| | (A /-A 1) - " | | < ^ , A > 0 .

(1.23)

Mặt khác, nếu ta có thể chứng minh tồn tại một nửa nhóm Sị có toán
tử sinh là Aị, và nếu II»Si II < c , khi đó Tị = e^St thỏa mãn điều kiện
của định lý.
Do đó, không mất tính tổng quát, giả sử /3 = 0 trong (1.22), tức là
|(A/ - A)_™II < T

; A > 0,m = 1, 2,....

(1.24)

Cho
(
* =

7

AV1
A
’Ằ > 0 '

(1.25)

Khi đó ta có:
(1 ) 11^11 < ơ m = 1 , 2,....

(2) Cho X € @ ( A ) , AJxx = AJXX = X ( Jx — I ) X . Từ đó với mỗi X G E
ta có
A J xx = A (Jx — I ) X ,
Jxx —> X (A —> 00) ,
T hật vậy, cho

X G

X G

(1.26)
E.

@ (A), ta có

(Jx — I)

X

= (1/A) JxA x —> 0 khi A —> +oo.

Vì vậy từ IIJ A|| < c ,
(A) trù mật, do đó fll.27p đúng.
Nói chung, khi A là toán tử bị chặn thì ta định nghĩa
“

exp

Ai

^) = z f
3= 0

Trong trường hợp này ta có
||exp (A) II < exp IIA|| .
Nếu A và B là bị chặn và giao hoán ta có
exp (A + B) = exp (A) exp (B ),

(1.27)


13

exp (t A ) = A exp (t A ) = exp (t A ) A.
Mặt khác, A J X = A (Jx — I ) là toán tử bị chặn. Vì vậy, từ
exp (t A J \ ) = exp {¿A (J\ — /)}
= exp ( t \ J \ ) exp (—t \ I )
và từ (1 ), (2), với t > 0 ta có
IIexp (tAJ\)W < ơ e x p (tA) exp (—tA) = c .

(1.28)

Hơn nữa,
Ỵt exp {tAJx) = A J Xexp (tAJx)
= exp (t A J x) A J X
= exp (t A J x) JXA.
Chú ý là bất đẳng thức trước đó vẫn đúng với X €
(A).
Ta có Jx, ( \ , h
0) la giao hoan, VI thc A J ị ị (— ị í ((7n — / ) ) va. cxp ( t A J x)

giao hoán. Ta viết
= exp (t A J x). Cho X € @ (A), ta có

Tw _ Tw = x J

ị r t_ w T w x j ds

0

t
= í

r1_sMrs(A>ụ x -

J,) Axds.

0

Từ (1.27) và (1.28), hàm này hội tụ đều trong một khoảng hữu hạn với
t > 0 khi A, ¡1 —> T oo.
Hơn nữa, từ X e @ (A) trù mật và (1.28) ta có T ịX^x — T ị ^ x hội tụ
đều trong một khoảng hữu hạn với t > 0 với mọi X E E bất kỳ.
Ta viết giới hạn của sự hội tụ là T ị X . Có T ị X liên tục với t > 0 và
(1) ||Tfa;|| < c ||a;||.
(2) Tị+S = TịTg.
Ta chứng minh (2): Có Tt+S^ = T ị ^ T g ^ khi A —> +oo. Ta cũng có
T 0 X = X , vì thế
(3) T ị X —> X khi t —> 0+.

14

Cuối cùng ta chứng minh A là toán tử sinh của Tị. Để làm được, ta
gọi A' là toán tử sinh của Tị và chỉ ra A' D A.
T hật vậy, cho A > 0, (XI — A') là một song ánh từ @ (A!) lên E. Do
đó, (XI — A) cũng là một song ánh từ @ (A') lên E. Vậy & (A)= (A').
Để chứng minh A' D A ta làm như sau. Với X € & (A) ta có
t

Ttw x - x = Ị Ttw JxAxdt.
0

Vì vậy
t
TịX

— X = / TịAxdt khi A —>+ 00.
0

Do đó
lim

t-¥ 0+

(TịX

— x) / t = Ax.

Chứng minh tính duy nhất. Cho Tị là một nửa nhóm bất kì có toán tử
sinh cực tiểu A. Trong trường hợp này ta giả sử Tị chưa là một toán tử

tuyến tính thỏa mãn IITi II < C e ^. Ta có
t
TịX

— exp (tAJx)

X

=

J

T ị_s

exp

(s A J a)

(A — A J X) xds (x £ @ (^))j

0

ở đó ta áp dụng A J X D JXA thu được bất đẳng thức. Từ đó
exp (tA Jx) X

—>

TịX

khi A —> +oo.

□


15

Chương 2
H ệ phương trìn h h yp erb olic với hệ
số biến th iên và không phụ th u ộc
thời gian
2.1

H ệ phương trìn h h y p erb o lic tu y ế n tín h cấp m ột

2.1.1

Đ ịnh nghĩa

Xét hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một có dạng tổng quát là
0^ =

fc=i

Ak

*) ỹT~ + B (x >*)u + ỉ (x >*)>
Xk

' Uị (x,t)
ở đó u (x, t) =

(2-1)

' /ì (M ) "
, f {x,t) =

. UN (x,t) .
. ỈN (M ) .
A k (x, t ) và B (x, t) là các ma trận vuông cấp N.
Dưới đây ta xét hệ phương trình với hệ số biến thiên và không phụ
thuộc thời gian. Kí hiệu nghiệm của phương trình đặc trưng
=0

(2.2)

là A, ( í ) , Ajv (í).
Xét hệ phương trình gồm phần chính
M [ri]

du
dt

k=1

du
kd x k

0.

(2.3)

16

Xét các nghiệm đặc trưng Xi (£) của
p (A;f) = d e t ^ A / - ậ J4»ft j = 0,

(2.4)

ở đó Xi (£) là các hàm thuần nhất bậc một.
Đ ịnh nghĩa 2.1. Hệ phương trình (Ị2.3Ị) được gọi là hệ hyperbolic nếu
tồn tại một hằng số c > 0, sao cho V£ € M" thì
|ReA< ( 0 | < ơ , z = l , 2,...,jV,

(2.5)

ở đó Xi (£), i = 1 ,2 , ...,N là các nghiệm của (|2.2|) ■
Điều kiện (2^)) được gọi là điều kiện Hadamard.
V í dụ 2.1. Xét hệ phương trình
d_ U ị
dt u2
với A\

' 0 1'
1 2

d
ỠXị

Uị

(2.6)

u2

0 1
1 2

Ta có
X

P { A,&) = det [AI - i & A ì

-¿ 6
A - 2 ih

X2 - X¿6 - i2t ỉ

0.

Phương trình có nghiệm Ai 2 (£i) = z£i ± ¿6 ^ 2.
Do đó ReAi 2 (£i) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5).
Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic.
V í dụ 2.2. Xét hệ phương trình
d Uị
dt1_ u2
với A-I =
Ta có

1 1

-1

0

1
- 1 0

r

d
Uị
dxi _ u2 _

(2.7)


17

P { A,£i) = det [AI - i & A i

A - ¿6
til

-z£i
A

A2 —i£iA + z2£? = 0.

1

Phương trình có nghiệm Ai 2 (£i) = -z£i ±
_
2
2
^/3
Ta có |ReAi 2 (£i)| = ——|£i |. Do đó không thỏa mãn điều kiện Hadamard
Li

(2,5).
Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic.
Đ ịnh nghĩa 2 .2 . Hệ phương trình (Ị2.3D được gọi là hệ hyperbolic
du n
nếu ta cộng thêm hạng tử B bất kì vào toán tử M [it] =
Z A
ut fc=i
thì hệ vẫn là hyperbolic.

mạnh
ỡu
k

Đ ịnh nghĩa 2.3. Hệ phương trình (2 T ) được gọi là hệ đối xứng nếu các
ma trận A k là các ma trận Hermitian, tức là (À k) T = A k, k = 1,2, ...,n.
2.1.2

Đ iều kiện cần cho tín h hyperbolic m ạnh

Đ ịnh lý 2.1. Diều kiện cần để (Ị2.3Ị) ỉà hệ hyperbolic mạnh đó là các
n

nghiệm \ị (£) của (2.4) đều là thực, và với £ € K" bất kì, X) Afc£fc là ma
k=1
trận chéo hóa được.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra rằng với £* và Ai nào đó (ở đây ta giả
sử đó là Ai), nếu ImAi (£*) Ỷ 0; tính liên tục của nghiệm với giá trị ban
đầu không còn đúng. T hật vậy, ta giả sử
—ImAi ( t ) = c > 0

(2.8)

Với ma trận B bất kì thì (2/2) tương đương với
p (A,z£) = p(A,z£) +

avj (i£Ỵ \ j = 0.

(2.9)

IIII + j < m —1

Cho A* (£) là nghiệm của (2.9). Ta xét
Uị (x, t ) = exp (A* (£) t) exp (i£x), £2; = £1^2 + ... + £nZn-

( 2.10)


18

thỏa mãn M uị = 0, ở đó £ là một tham số thực.
Đặt £ = r£* trong (2d)), với r > 0 đủ lớn. Ta sẽ chứng minh trong số

các nghiệm Xi* (r£ * ), i = 1, 2, . . . , m của p (A, zr£*) = 0, tồn tại một
A* (r£*) thỏa mãn
ReA* (r£*) >

1
-CT

2

khi r —> + 00.

( 2 . 11)

Thật vậy, nếu ta đặt ^/r = A' thì ta có thể viết (2d)) là:

jp (A ',í{* ) + - ữ (A ',r)| = 0,
ở đó Q (A', r) là một đa thức có bậc nhỏ hơn (m —1) đối với X', và những
hệ số của nó là những đa thức của 1 /r. Với những giả thiết ban đầu,
p(A',z£*) = 0 có một nghiệm íAi (£*). Do đó, khi r —> + 00, íAi (£*) có
một nghiệm íAi (£*) + £, ở đó £ hội tụ đến 0 khi 1 / r —>0.
Do đó, nếu T > T0 , thì phần thực của nghiệm íAi (£*) + £ lớn hơn
1.
—-ImAi (£*). Vì vậy nếu r > r0 thì (2.9) có A* (r£) thỏa mãn
2

ReA* (r£*) > - ỉr lm A i ( D = ịcr.
Từ đó (Ị2.9D được chứng minh.
Tiếp theo, nếu (^9) đúng, ta thấy tính liên tục của nghiệm với giá trị ban
đầu của M không đúng. T hật vậy, nếu nó đúng thì với một tập compact
bất kì K của Dỹ, tồn tại một số thực dương c và một số nguyên dương

l, và cho u (X, t) e c thỏa mãn M u = 0
m-1

/ Q\
777

(«)

u 0+ 0)

ở đó 1‘lị là chuẩn của
(Mn).
Ta lấy K chứa điểm (0,t0) c Dỗ, t 0 > 0. Khi đó
UT ( X , t )

= exp [A* ( t £*) t ] exp (ir£,|'x)

là một nghiệm trong c thỏa mãn M u T = 0.
Do đó, từ |A* (r£ ,|')| < c ' t (r > To), (2.11) và (2.12) ta có
exp í ỉ c r í o ì < exp [ReA* (r£*) t0] = |'UT(0,Í0)| < C r m+l~l ,

( 2 .12)


19

ở đó r > To- Nếu r —> +00 thì bất đẳng thức này là sai.
Tiếp theo, nếu
AkỊ,k không chéo hóa được thì tồn tại một ma trận
thường N sao cho

N

(E A&') N

Ai 0 0 .. . 0
1 Ai 0 .. . 0

-1

*

Ta xác định B thỏa mãn

N B N -1

0 10

... 0

0 0 0

... 0

0

0

Để đơn giản ta viết
(2.13)

A ■£ = ^ 2 AkZkNếu đặt £ = r£*, T > 0 trong d2.2|), ta có

det (XI - ỈA ■r£* - B ) = det (XI - ỉ t N (A ■£*) N -

1

- N B N - 1)

0 ... 0
A —zrAi (£*) 0 ... 0

X — ì t XiL(C)
(£*) -1
-1

= 0.

*
Vì vậy nó có một nghiệm (A —ỉ t Xi (£*))2 — ÍT = 0.
Trong trường hợp này A± (t £*) = ì t Xi (£*) ± yj( í t ) , ở đó Ai (£*) là
thực, vì vậy tồn tại ReA± ( r £ * ) nào đó tương tự với r 2 khi r —> +oo.
Điều này cho thấy điều kiện của Hadamard không thỏa mãn. Do đó (2.1)
không phải là một hệ hyperbolic. Vậy định lý được chứng minh.
□
2.1.3

Các điều kiện đủ cho tín h hyperbolic m ạnh

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ đối với tính hyperbolic mạnh của

hệ phương trình đối xứng.
Đ ịnh lý 2.2. Cho A k là các ma trận Hermitian, khi đó hệ phương trình
(2.3) là hệ hyperbolic mạnh.