BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

KHO NG CÁCH GI A 2

Hình h c không gian

NG CHÉO NHAU

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là đáp án BTTL đi kèm v i bài gi ng Khoáng cách 2 đ

ng chéo nhau thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia

Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c ph n này, b n

a 17
, hình chi u vuông
2
góc H c a S trên m t ph ng ( ABCD) là trung đi m c a đo n AB . G i K là trung đi m c a đo n AD .

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , SD 
Tính theo a kho ng cách gi a hai đ

ng th ng HK và SD .
Gi i:

Ta có


17a 2  a 2
  a2   a 3
4
 4

Do HK // BD  HK // (SBD)  d ( HK, SD)  d ( HK,(SBD))  d ( H ,(SBD)) (1)
K HE  BD ( E  BD )  BD  (SHE )
SH  ( ABCD)  SH  HD  SH  SD 2  HD 2  SD 2  ( HA2  DA2 ) 

S

F
B

C
E

H
A

K

D

 HF  BD
 HF  ( SBD)  d ( H , ( SBD))  HF (2)
K HF  SE ( F  SE ), khi đó 

 HF  SE
a
a
Xét tam giác HEB , ta có: HE  HB sin HBE  .sin 450 
2
2 2
Xét tam giác SHE , ta có:

1
1
1
1
8
25
a 3
(3)


 2  2  2  HF 
2
2
2
3a
3a
5
HF
SH
HE
a

T (1); (2) và (3), suy ra d ( HK , SD) 

a 3
.
5

Bài 2 (D – 2014). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A , m t bên SBC là tam
giác đ u c nh a và m t ph ng ( SBC ) vuông góc v i m t đáy. Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng
th ng SA, BC .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Gi i:
( Ta s ch ra đ

c BC  SA nên s d ng đo n vuông góc chung c a hai đ

ng th ng SA, BC )

K HK  SA (1) ( K  SA) .
 BC  SH
Ta có 
 BC  ( SHA)  BC  HK (2)
 BC  AH

S

T (1), (2) , suy ra d (SA, BC )  HK .
Tam giác SBC đ u c nh a nên SH 

a 3
2

K

BC a
Ta có AH 
 . Xét tam giác SHA :
2
2

C

B

H

1
1

1
4
4
16
a 3


 2  2  2  HK 
2
2
2
3a
3a
4
HK
SH
AH
a

V y d (SA, BC ) 

A

a 3
.
4

Bài 3 (A, A1 – 2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S
trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA = 2HB. Góc gi a đ ng th ng SC và m t
ph ng (ABC) b ng 600 . Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BC theo a.

Gi i:
Ta có SH  ( ABC ) , suy ra  SC,( ABC )   SCH  600

S

D ng đi m D sao cho ADBC là hình bình hành
Khi đó BC // AD  BC // ( SAD)
 d ( BC, SA)  d ( BC,(SAD))  d ( B,(SAD))

(1)

3
d ( B, ( SAD)) BA 3

  d ( B, ( SAD))  d ( H , (SAD)) (2)
2
d ( H , ( SAD)) HA 2
K HI  AD ( I  AD ), suy ra AD  (SHI ) (*)

K
A

K HK  SI ( K  SI ), mà HK  AD (theo (*))
Suy ra HK  (SAD)  d ( H ,(SAD))  HK
(3)

600

2
2a

a 3
Ta có AH  AB 
, suy ra HI  AH sin 600 
3
3
3

Xét tam giác ACH ta có: CH 2  a 2 
Suy ra SH  CH tan 600 

D

H

C

B

4a 2
2a 1 7 a 2
a 7
 2a . . 
 CH 
9
3 2
9
3

a 7
a 21

. 3
3
3

1
1
1
3
3
24
a 42

 2  2  2  2  HK 
2
2
7a
7a
12
HK
SH
HI
a

Xét tam giác SHI , có:

I

(4)

a 42

.
8
Bài 4 (A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a; hai m t
ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung đi m c a AB; m t ph ng qua
SM và song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 600 . Tính

T (1), (2), (3), (4) ta đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

c: d ( BC , SA) 

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

kho ng cách gi a hai đ

Hình h c không gian

ng th ng AB và SN theo a.
Gi i:

( SAB)  ( ABC )

Ta có 
 SA  ( ABC )  CB  ( SAB)
( SAC )  ( ABC )

S

Khi đó  (SBC ),( ABC )   SBA  600
H

 SA  AB tan 600  2a 3
T N k đ ng th ng  , song song v i AB
K AI   ( I   ), suy ra   (SAI ) (*)

I

K AH  SI ( H  SI ), mà   AH (theo (*))
Suy ra AH  (SIN)  d ( A,(SIN))  AH

N

A

Ta có AB // IN  AB // ( SIN )
 d ( AB, SN)  d ( AB,(SIN))  d ( A,(SIN))  AH (1)

Ta có AINM là hình ch nh t , nên AI  MN 
Xét tam giác SAI ta có:

2a

600

M

BC
a
2

B

1
1
1
1
1
13
2a 39
 2
 2

 AH 
2
2
2
2
12a
13
AH
AI
AS

a 12a

T (1) và (2), suy ra d ( AB, SN ) 

C

2a

(2)

2a 39
.
13

Bài 5 (D – 2008). Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB  BC  a , c nh
bên AA'  a 2 và M là trung đi m c a BC . Tính theo a kho ng cách gi a hai đ
Gi i:

ng th ng AM, B’C.

G i N là trung đi m c a BB ' , khi đó B ' C // MN  B ' C // ( AMN )
Suy ra d ( B ' C, AM )  d ( B ' C,( AMN))  d (C,( AMN))  d ( B,( AMN)) (1)

B'

A'

K BI  AM ( I  AM )  AM  ( NBI ) (*)
K BH  NI ( H  NI ), mà BH  AM (theo (*)
Suy ra BH  ( AMN)  d ( B,( AMN))  BH (2)

N

BC a
BB ' a 2
Ta có BN 
; BM 


2
2
2
2
Xét tam giác BNI , ta có:
1
1
1
1
1
1
2
4 1
7

 2 


 2 2 2  2
2
2

2
2
2
BH
BN
BI
BN
BM
BA a
a
a
a

 BH 

C'
H

B

a 7
(3)
7

A
I

M
C

a 7
.
7
Bài 6. Cho hai tam giác đ u ABC, ABD không cùng n m trên m t m t ph ng. Bi t AB  a và CD  2a .
T (1), (2), (3), suy ra d ( B ' C , AM ) 

Tính kho ng cách gi a hai đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng th ng AB và CD .
Gi i:

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

G i M là trung đi m c a AB . Do ABC, ABD là các tam giác đ u
a 3
c nh a nên suy ra CM  DM 
và
2

 AB  CM
 AB  (CMD) (*)

 AB  DM
G i N là trung đi m c a CD , khi đó: MN  CD
Mà MN  AB (theo (*)), suy ra MN là đo n vuông góc chung c a
AB và CD , do đó: d ( AB, CD)  MN

Ta có CN 

D

N

C

A
M

CD
 a , khi đó xét tam giác MNC ta có:
2

B

2

a 3
a 7
a 7

2
. V y d ( AB, CD ) 
.
MN  CM  CN  
  a 
2
2
 2 
2

2

Bài 7. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy là tam giác đ u c nh a . i m A' cách đ u ba đi m A, B, C .
Góc gi a AA' và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 . Tính theo a kho ng cách gi a hai đ

ng th ng A' B và

CC ' .
Gi i:

A'

A

600

C'

B'
a

K

H

N

C

M

B
G i H là tr ng tâm tam giác ABC và M là trung đi m c a BC , khi đó A'. ABC là hình chóp đ u
Suy ra A' H  ( ABC ) , suy ra góc t o b i AA' và m t ph ng ( ABC ) là góc A' AH  600
Tam giác ABC đ u c nh a nên
a 3
a 3
2
a 3
.tan 600  a .
 A' H  AH tan A' AH 
 AH  AM 
3
2
3
3
Ta có CC '/ / AA'  CC '/ /( ABB ' A')  d ( A' B, CC ')  d (CC '( ABB' A'))  d (C,( ABB' A'))
AM 

d (C , ( ABB ' A')) CN


 3  d (C, ( ABB ' A'))  3d ( H , ( ABB ' A'))
d ( H , ( ABB ' A')) HN
Suy ra d ( A' B, CC ')  3d ( H ,( ABB ' A')) (1) .
G i CH

( ABB ' A')   N 

D ng HK  A' N ( K  A' N ), khi đó:
 AB  ( A' NH )  AB  HK
 HK  ( ABB ' A')  d ( H , ( ABB ' A'))  HK (2)

 HK  A' N
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

1
1 a 3 a 3
Ta có HN  CN  .

.

3
3 2
6

Xét tam giác A' NH , ta có:

1
1
1
1 12 13
a 13
(3)


 2  2  2  HK 
2
2
2
13
HK
A' H
HN
a
a
a

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( A' B, CC ') 

3a 13
.
13

Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB  a , BD  a 3 . M t bên SAB là
tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M là đi m thu c c nh SD sao cho
MD  2MS . Tính theo a kho ng gi a hai đ ng th ng AD và MC .
Gi i:
( SAB)  ( ABCD)
a 3

G i H là trung đi m c a AB  SH  AB và SH 
. Do ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD) .
2
( SAB)  SH  AB

Ta có AD // BC  AD // ( MBC )  d ( AD, MC)  d ( AD,(MBC))  d ( A,(MBC) .
Cách 1: Dùng k thu t chuy n đ nh

S
M

K
A

D

T

H

B

G i AC

I

C

DH  T , khi đó T là tr ng tâm c a tam giác ABD 

DT
DM
2
 MT // SH
TH
MS

Suy ra MT  ( ABCD) .
K TI  BC ( I  BC ), suy ra BC  (MTI )

TK  BC
 TK  ( MBC )  d (T , ( MBC ))  TK (1)
K TK  MI ( K  MI ), khi đó 
TK  MI
Ta có

TI CT 2
2
2a
2

2 a 3 a 3
MT DM 2
và

  MT  SH  .


  TI  AB 
3
3 2
3
SH
DS 3
AB CA 3
3
3

1
1
1
3
9
21
2a 21
(2)

 2  2  2  2  TK 
2
2
4a

4a
21
TK
MT TI
a
3
d ( A, ( MBC )) AC 3
( MBC )  C 

  d ( A, ( MBC ))  d (T , ( MBC )) (3)
2
d (T , ( MBC )) TC 2

Xét tam giác MTI , ta có:
M t khác: AT

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( A, ( MBC )) 
Hocmai.vn – Ngôi tr

a 21
.
7

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Cách 2: (Làm tr c ti p)
S
M

N

E

A

D

H
B

C

 AD  SH
 AD  ( SAB)  MN  (SAB)
Trong tam giác SAD , k MN // DA ( N  SA) . Ta có 
 AD  AB
 AE  MN  (MBC )
K AE  BN ( E  BN ), khi đó: 
 AE  ( MBC )  d ( A, ( MBC ))  AE
 AE  BN  (MBC )

NA MB 2
2
2 a2 3 a2 3
Ta có

  SBNA  SBAS  .

SA SD 3
3
3 4
6
Áp d ng đính lý cosin trong tam giác NBA, ta có:
4a 2
2a
7a 2
a 7
0
BN  AB  AN  2 AB. AN.cos NAB  a 
 2.a. .cos 60 
 BN 
9
3
9
3
2

2

2

2

a2 3
2S
6  a 21 . V y d ( A, ( MBC ))  a 21
Suy ra AE  BNA 
BN
7
7
a 7
3
Bài 9. Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có A'. ABD là hình chóp đ u, AB  AA'  a . Tính theo a kho ng
cách gi a hai đ ng th ng AB ' và A' C ' .
2.

Gi i:

B'

C'

I
A'

D'

K
a

a

A

Hocmai.vn – Ngôi tr

C

B
H

M
O
D

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

G i H là tr ng tâm tam giác ABD
Do A' ABD là hình chóp đ u, nên A' H  ( ABD) hay A' H  ( ABCD)
Tam giác ABD đ u c nh a nên AO 
Khi đó A' H  A' A2  AH 2  a 2 

2
2 a 3 a 3
a 3
 AH  AO  .

2
3
3 2
3

3a 2 a 6

.
9
3

G i A' C ' B ' D '  I 
Do A' C ' // AC  A' C ' // ( B ' AC )  d ( AB ', A' C ')  d ( A' C ',( B ' AC ))  d ( I ,( B ' AC )) (1)


a 6
 IM  A' H 
K IM  AC ( M  AC )  IM // A' H  
3
 IM  ( A' B ' C ' D ')

Ta có ( B ' AC ) ( A' B ' C ' D ')   // A' C '    IM
Do IB '  AC  IB '      ( IB ' M )

 IK  

 IK  ( B ' AC )  d ( I , ( B ' AC )  IK (2)
K IK  B ' M ( K  B ' M ), khi đó: 
 IK  B ' M
B ' D ' BD a
Ta có IB ' 

 . Xét tam giác IB ' M , ta có:
2
2
2
1
1
1
4
3
11
a 22


 2  2  2  IK 
2
2
2
2a
2a
11
IK
IB ' IM
a

(3)

a 22
.
11
Bài 10. Cho hai tia chéo nhau Ax, By h p v i nhau góc 600 , nh n AB  a làm đo n vuông góc chung.

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( AB ', A' C ') 

Trên tia By l y đi m C sao cho BC  a . G i D là hình chi u vuông góc c a C lên Ax . Tính kho ng
cách gi a hai đ

ng th ng AC và BD .
Gi i:

D ng tia Az song song và cùng chi u v i By , khi đó:
C

( Ax, By)  ( Ax, Az)  xAz  600

y

a

Qua B , d ng đ ng th ng song song v i AC c t đ ng
th ng Az t i đi m E , khi đó ACBE là hình bình hành

B

Do đó AE  BC  a ; EAD  1200 và AC // BE  AC // ( BDE )

a

Suy ra d ( AC, BD)  d ( AC,( BDE))  d ( A,( BDE)) (1)
K AI  ED ( I  ED ) và AH  BI ( H  BI )
Khi đó ED  ( ABI )  ED  AH  AH  ( BDE )
Suy ra d ( A,( BDE))  AH

(2)

D ng CK  Az ( K  Az )  CK // AB
 AB  Ax  AB  Ax

 AB  ( ADK )
Mà 
 AB  By  AB  Az

z
K

A

H

E
I

D

x

Suy ra CK  ( ADK)  CK  AD . M t khác CD  AD (gi thiêt), do đó :
AD  (CDK)  AD  DK hay tam giác ADK vuông t i D
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có ABCK là hình vuông nên AK  BC  a  AD  AK cos 600 

Hình h c không gian

a
2

Xét tam giác ADE , ta có:

DE 2  AE 2  AD 2  2 AE. AD cos1200  a 2 

Ta có: SAED

a2
a  1  7a 2
a 7

 2a . .    
 ED 
4
2  2
4
2

1
1
AE. AD sin1200
 AI .DE  AE. AD sin1200  AI 

2
2
DE

Khi đó xét tam giác vuông ABI , ta có:
T (1); (2) và (3), suy ra d ( AC , BD) 

a 3
a. .
2 2 a 3
2 7
a 7
2

1
1
1
1

28
31
a 93

 2  2  2  2  AH 
2
2
3a
3a
31
AH
AB
AI
a
a 93
.
31

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

(3)

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng

:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.

i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-