BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học không gian

CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Các bài toán về tiếp tuyến thuộc khóa học Luyện thi
THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần
này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
(Bài tập tự luyện dung chung cho cả 2 phần)

x2  x  1
Bài 1. Cho y 
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M có hoành độ bằng 1 .
3x 2  1
Giải
Ta có y ' 
y 1 

3x 2  4 x  1

 3x

2

 1

2

. Lần lượt thay x  1 vào các biểu thức của y và y ' , ta được y ' 1  

1
và
8

1
. Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C  tại M là:
4
1
1
1
3
 : y    x  1    : y   x  .
8
4
8
8

Bài 2. Cho y  x3  4 x2  5x  2  C  . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C  tại những giao điểm của

 C  với trục hoành.
Giải
Từ phương trình của  C  , cho y  0 ta được:
x3  4 x 2  5 x  2  0 

 x  2 x  1

2

 x  2
.
0  
 x  1

Suy ra  C  có hai giao điểm với trục hoành là M1  2;0  và M 2  1;0  .
Từ y '  3x 2  8x  5 suy ra y '  2   1 , y '  1  0 . Do đó phương trình tiếp tuyến với  C  tại các điểm
M 1 , M 2 lần lượt là:

1 : y  1.  x  2   0  1 : y  x  2 ,
2 : y  0.  x  1  0   2 : y  0 .
Bài 3. Cho y 

2 3
x  x 2  2 x  2  C  . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C  .
3
Giải

Ta có

 x0  1
y '  x0   2  2 x02  2 x0  2  2  x02  x0  2  0  
.
 x0  2
7
2
Ta có y  1  , y  2    . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3
3
7

13
1 : y  2  x  1   1 : y  2 x  ,
3
3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

2 : y  2  x  2 

Hình học không gian

2
14
 2 : y  2x  .
3
3

5
Bài 4. Cho y  x3  x  2  C  và y  x 2  x  2  C ' . Chứng minh  C  và  C ' tiếp xúc nhau và viết
4
phương trình tiếp tuyến chung.
Giải
3

2
5
Ký hiệu f  x   x  4 x  2 và g  x   x  x  2 . Xét hệ:

 f  x   g  x 

 f '  x   g '  x 
Ta có  I 

I  .

 3 5
2
 x3  x 2  4x  0
x  4 x  2  x  x  2
1


 
  2 5
 x .
'
2
3x   2 x  1
 x3  5 x  2    x 2  x  2 '

4




4



Vậy  C  và  C ' tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng

1
.
2

 1
5
g  2    4
9
1 5
  

 phương trình tiếp tuyến chung là: y  2  x    hay y  2 x  .

4
2 4

g ' 1   2


  2 
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; 2  và tiếp xúc với parabol y  x 2  2 x .
Giải
Phương trình đường thẳng qua A 1; 2  có hệ số góc k có dạng  : y  k  x  1  2   : y  kx  k  2 .
Xét phương trình x2  2 x  kx  k  2 hay x 2   k  2  x  k  2 1 (    k  2   4  k  2  ).

2

 k  2
.
 tiếp xúc với parabol đã cho  1 có nghiệm kép    0  
k  2


k  2   : y  2  x  1  2   : y  2 x .



k  2   : y  2  x  1  2   : y  2 x  4 .

Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y  2 x và y  2 x  4 .
1 x
1 1
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến cách I   ;   một
2x 1
 2 2
3
khoảng bằng
.
10
Giải
1
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm có hoành độ x0 ( x0   ) là:
2

Bài 6. Cho y 

 : y  y '  x0  x  x0   y  x0 


: y 

3

 2 x0  1

2

 x  x0  

1  x0
2
  : 3x   2 x0  1 y  2 x02  4 x0  1  0
2 x0  1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

 d  I;  

3 1
2
   2 x0  1  2 x02  4 x0  1
2 2
9   2 x0  1

4

Hình học không gian

3 2 x0  1



9   2 x0  1

4

.

Do đó:

d  A;   

3

10

3 2 x0  1

9   2 x0  1

4



3
10

 x0
x
 2 x0  1  1
4
2
0
 
 2 x0  1  10  2 x0  1  9  0  
2
 x0
 2 x0  1  9

 x0
2



0
 1
1

.

 2




 y '  x0   3
  : y  3x  1 .
x0  0  
y
x

1



0





 y '  x0   3
  : y  3  x  1  2   : y  3x  5 .
x0  1  
y
x



2



0




1

1
1
1
 y '  x0   
3   : y    x  1   : y   x  .
x0  1  
3
3
3
 y  x0   0




1

1
1
5

 y '  x0   
3   : y    x  2 1   : y   x  .
x0  2  
3
3
3
 y  x0   1


1
1
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x  1 , y  3x  5 , y   x  ,
3
3
1
5
y  x .
3
3
Bài 7. Cho y  4 x3  6 x 2  1  C  . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M  1; 9  của  C  .

Giải
Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng  : y  k  x  1  9 .
 là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

I 

4 x3  6 x 2  1  k  x  1  9

 2


12 x  12 x  k

1
.
 2

Thế  2  vào 1 ta có:

5

x

4 x  6 x  1  12 x  12 x   x  1  9  4 x  3x  6 x  5  0 
4 .

 x  1
5
Do đó:  I  có nghiệm  x  là nghiệm của  2  hoặc x  1 là nghiệm của  2  .
4
5
15
15
15
21
  : y   x  1  9   : y  x  .
 Thay x  vào  2  ta có k 
4
4
4

4
4
3

2

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

3

2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)



Hình học không gian

Thay x  1 vào  2  ta có k  24   : y  24  x  1  9   : y  24 x  15 .

Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C  là y 

15
21
x  , y  24 x  15 .
4
4

Bài 8: Cho (C): y = 2x3 – 6x2 – 12x - 5. Viết PTTT biết:
a) Tiếp tuyến đó // với đt y = 6x – 4.
1
b) Tiếp tuyến đó  với đt y  x  2
3
1
c) Tiếp tuyến tạo với đt y   x  5 góc 450.
2
Lời giải:
a, Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 6x – 4 có dạng (d): y = 6x + b với b ≠ - 4
3
2

2 x  6 x  12 x  5  6 x  b
Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:  2

6 x  12 x  12  6

 x  1
Từ 6 x 2  12 x  12  6  x 2  2 x  3  0  
x  3
- Với x = -1  b = 5
- Với x = 3  b = - 59
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là : (d1): y = 6x + 5 và (d2): y = 6x – 59

1
b, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  2 sẽ có hệ số góc k = -3.
3
Phương trình hoành độ tiếp điểm là:

2  10
 x1 
2
y '  6 x 2  12 x  12  3  2 x 2  4 x  3  0  

2  10
 x2 

2

- PTTT tại x1 

2  10
là: y  3( x  x1 )  y( x1 )  3x  18  5 10
2

2  10
là: y  3( x  x2 )  y( x2 )  3x  (18  7 10)
2
c, Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Theo giả thiết ta có:
- PTTT tại x2 

1
k  3
k

k1  k2
2k  1
0
2
tan  
 tan 45 

 2k  1  k  2  
1
k   1
1  k1k2
k

2
1 k
3

2
- Với k = 3 ta có phương trình hoành độ tiếp điểm:

2  14
 x1 
2
y '  6 x 2  12 x  12  3  6 x 2  12 x  15  0  

2  14
 x2 

2

+ PTTT tại x1 

2  14
là y  3( x  x1 )  y( x1 )
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học không gian

2  14
là y  3( x  x2 )  y( x2 )
2
- Với k = -1 ta có pt hoành độ tiếp điểm:

+ PTTT tại x2 


18  954
x3 

1

18
y '  6 x 2  12 x  12    18 x 2  36 x  35  0  
3

18  954
 x4 
18


+ PTTT tại x3 

1
18  954
là y   ( x  x3 )  y ( x3 )
3
18

1
18  954
là y   ( x  x4 )  y( x4 )
18
3
Bài 9: Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x3 + 3x2 trong đó
có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Lời giải:
Lấy M(m; 0) bất kì thuộc trục hoành Ox. Đường thẳng đi qua M với hệ số góc k có phương trình
y = k(x – m) = kx – km tiếp xúc với (C)

+ PTTT tại x4 

 x3  3x 2  kx  km (1)

có nghiệm.
 Hệ  2
3
x

6
x

k
(2)


Thế (2) vào (1) ta có: x3 + 3x2 = (3x2 + 6x)(x – m)

x  0
 x(2 x 2  (3  3m) x  6m  0   2
 2 x  (3  3m) x  6m  0
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương trình g(x) = 2x2 + (3
– 3m)x – 6m = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 khác 0 sao cho k1.k2 = - 1 (k xác định theo x trong (2))
  (3  3m) 2  48m  0
9m2  30m  9  0


  g (0)  6m  0
 m  0
(3x 2  6 x )(3x 2  6 x )  1 9 x x (2 x  1)(2 x  1)  1
2
1

2
2
 1
 1 2 1

3  6
m  1  m  3
m 

27
 m  0

9(3m)(12m  3m  3  1)  1  m  3  6


27

 3  6 
 3  6 
Vậy có 2 điểm thỏa mãn là: M1 
và M2 
;0

 27

 27 ;0 





3x  1
Bài 10: Cho (C): y 
và M  (C). Gọi I là giao 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận tại
x 3
A và B. Chứng minh
a. M là trung điểm của AB.
b. SΔIAB không đổi.
Lời giải:
a, Đồ thị (C) có TCN: (d1): y = 3 và TCĐ: (d2): x = 3  Tọa độ điểm I(3; 3)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học không gian

10 

Lấy điểm bất kì M  3  m;3    (C ), m  0. Tiếp tuyến tại M có dạng:
m


10
10

20 30 

 y   2 x  3  2 
m
m
m m 

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
(d ) : y  y '(3  m)( x  (3  m))  3 

10
20 30  3x  1
1
6 9 

1 3  
x  3  2  
  2 x 2  2   2  x  1   2   0
2
m
m m  x 3
m

m m   m m 
Dễ thấy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2. Gọi A(x1; y1) và B(x2; y2).
2 6
 2
m
m  2m  6  2 x ; y  y   10 ( x  x )  2  3  20  30   6  20  2 y
Ta có: x1  x2 

M
1
2
1
2
M


1
m2
m m2 
m

m2
Vậy M là trung điểm của AB.
b, Do tam giác IAB vuông tại I, mà M là trung điểm của AB nên ta có:


SIAB 

1
10
IA.IB  2d (M , d1 )).d (M , (d 2 ))  2
m  20
2
m

Vậy diện tích tam giác IAB không đổi.

Giáo viên

Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tuấn
:
Hocmai.vn

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN






Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải

qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN






Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng

thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-