BÀI TẬP TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

T

NG GIAO GI A

NG TH NG VÀ

Hình h c Oxy

NG TRÒN

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng
ng th ng và đ ng tròn thu c khóa h c Luy n thi THPT
qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này,
b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ

ng tròn (C ) : ( x  4)2  y2  4 và đi m E (4;1) . Tìm t a đ

đi m M trên tr c tung, sao cho t đi m M k đ c hai ti p tuy n MA, MB đ n (C ) (v i A, B là các ti p
đi m) sao cho AB đi qua E .
Gi i:
+)
ng tròn (C ) có tâm I (4;0) và bán kính R  2
+) G i

M (0; m)  Oy  IM 2  m2  16  MA2  MB2  MI 2  R2  m2  12

Suy ra A, B thu c đ

ng tròn tâm M bán kính MA có ph

ng trình: x2  ( y  m)2  m2  12

+) Khi đó t a đ A, B là nghi m c a h :
2
2
2
2
2


 x  ( y  m)  m  12
 x  y  2my  12  0

 4 x  my  12  0

 2
2
2
2
(
4)
4
8

12
0
x
y
x
y
x











Suy ra ph ng trình AB : 4 x  my  12  0

+) M t khác E(4;1)  AB  16  m  12  0  m  4  M (0;4) . V y M (0;4) .
Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ
A(4;5) . T

Ak m tđ

K . Qua K k đ

ng th ng c t đ

ng tròn (T ) : ( x 1)2  ( y 1) 2  5 v i tâm I và đi m
ng tròn (T ) t i hai đi m B, C , ti p tuy n t i B, C c t nhau t i

ng th ng vuông góc v i IA, c t (T ) t i E , F . Xác đ nh t a đ các đi m E , F .
Gi i:

 a 1 b 1 
+) G i K (a ; b) khi đó M 
;
 là trung đi m c a IK
2 
 2
Do IBKC n i ti p đ ng tròn tâm M bán kính

(a  1)2  (b  1) 2
MI 
2
nên B, C thu c đ ng tròn có ph

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng trình:

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

a 1  
b  1  (a  1) 2  (b  1) 2

 x2  y2  (a  1) x  (b  1) y  a  b  0
 x
  y
 
2  
2 
4

2

2

+) Do B, C thu c đ

ng tròn ( x  1)2  ( y  1)2  5  x2  y2  2 x  2 y  3  0

Khi đó t a đ B, C là nghi m c a h :
2
2

 x  y  (a  1) x  (b  1) y  a  b  0
 (a  1) x  (b  1) y  a  b  3  0

 2
2

x  y  2x  2 y  3  0
Suy ra ph ng trình đ ng th ng BC : (a 1) x  (b 1) y  a  b  3  0

+) Do A BC  4(a 1)  5(b 1)  a  b  3  0  3a  4b  12
+) EF  IA  (3; 4) và EF đi qua K (a ; b) nên có ph ng trình:
3( x  a )  4( y  b)  0  3x  4 y  (3a  4b)  0  3x  4 y 12  0
 x  0; y  3
3x  4 y  12  0
Khi đó t a đ đi m E , F là nghi m c a h : 

2
2
 x  16 ; y  3




x
y
(
1)
(
1)
5

5
5


 16 3 
 16 3 
V y E  ;  , F  0;3 ho c E  0;3 , F  ;  .
 5 5
 5 5

Bài 3. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho đ
 : x  y  1  0 . Tìm t a đ đi m M thu c đ
MA, MB đ n đ

ng tròn (C ) : x2  y2  2 x  4 y  4  0 và đ

ng th ng  sao cho qua M k đ

ng th ng

c hai ti p tuy n

3

ng tròn (C ) ( v i A, B là các ti p đi m), đ ng th i kho ng cách t đi m N  1;  đ n
2


AB l n nh t.

Gi i:

+)

ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R  IA  3 . G i M (m; m 1)  .
t M k đ

c hai ti p tuy n t i (C ) thì :

MI  R  (m  1)2  (m  3)2  3  2m2  4m  1  0 (*)

+) Ta có MB  MA  IM 2  R2  2m2  4m  1
Suy ra A, B thu c đ ng tròn tâm M (m; m 1) bán kính b ng 2m2  4m  1
có ph ng trình:
( x  m)2  ( y  m  1)2  2m2  4m  1  x2  y2  2mx  2(m  1) y  2m  0
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

Khi đó t a đ A, B là nghi m c a h :
 x2  y2  2mx  2(m  1) y  2m  0

 (m  1) x  (m  3) y  m  2  0

 2
2

x  y  2x  4 y  4  0

Suy ra ph

ng trình AB : (m 1) x  (m  3) y  m  2  0

+) G i K ( x0 ; y0 ) là đi m c đ nh mà AB luôn đi qua, khi đó :
(m  1) x0  (m  3) y0  m  2  0 luôn đúng m
 ( x0  y0  1)m  x0  3 y0  2 luôn đúng m

5

 x0   4
 x0  y0  1  0
 5 1


 K ; 
 4 4
 x0  3 y0  2  0
y  1
0

4
+) G i H là hình chi u vuông góc c a N lên AB , khi đó: d ( N, AB)  NH  NK 

26

4

26
khi H  K hay NK  AB (2*)
4
1
 1 5
Mà ta có: NK    ;     (1;5) và u AB  (m  3;1  m)
4
 4 4
Suy ra (2*)  m  3  5(1  m)  0  m  2 (th a mãn (*))

Suy ra d ( N , AB)max 

V y M (2;3)

Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ
đ

ng tròn (T ) qua A và tâm c a đ

cho kho ng cách t đi m A đ n đ

ng tròn (T ') , đ ng th i c t đ

ng trình

ng tròn (T ') t i hai đi m B, C sao

ng th ng BC là l n nh t.

Gi i:

+) G i I là tâm và R là bán kính c a đ
R  IO  IA
Suy ra I thu c đ
x  3y  5  0

ng tròn (T ') : x2  y2  1 và đi m A(1;3) . Vi t ph

ng tròn (T ) , khi đó

ng trung tr c c a OA có ph

ng trình  :

+) Khi đó I (5  3m; m)  và bán kính

R  OI  10m2  30m  25
Suy ra ph ng trình đ ng tròn (T ) :

( x  3m  5)2  ( y  m)2  10m2  30m  25  x2  y2  2(3m  5) x  2my  0
 x2  y2  2(3m  5) x  2my  0

Khi đó t a đ B, C là nghi m c a h :  2
 2(3m  5) x  2my  1  0
2

x  y  1

Suy ra ph

ng trình BC : 2(3m  5) x  2my  1  0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+) Ta có d ( A, BC ) 

9
4(3m  5)  4m
2

2



9
2

3


40  m    10
2




Hình h c Oxy

9
10

3
hay ph ng trình đ ng tròn (T ) : x2  y2  x  3 y  0
2
ng tròn (C ) : x2  y2  3x  7 y  12  0 và đi m A(1; 2) . Tìm t a đ các đ nh c a hình ch

D u “=” x y ra khi m 
Bài 5. Cho đ

nh t ABCD n i ti p (C ) và có di n tích b ng 4 . Bi t AB là chi u dài c a hình ch nh t và B có hoành
đ nguyên.
Gi i:
10
3 7
. Khi đó I
ng tròn (C ) có tâm I  ;  và bán kính R 
2
2 2
là trung đi m c a AC  C (2;5)

+)

+)

 AB  a
(v i a  b  0 ) khi đó :
t 
 AD  b

 SABCD  4
ab  4
a  2 2
 2

 2
2
2
2
2
a  b  10

 AB  AD  BD  4 R
b  2

a  2
(lo i)
ho c 
b  2 2
+) V y AB  2 2  B thu c đ

ng tròn tâm A(1; 2) bán kính R '  2 2 có ph

ng trình:

( x  1)2  ( y  2)2  8  x2  y2  2 x  4 y  3  0

+) Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h :
2
2

 x  3 y  15  0
 x  15  3 y
 x  y  3x  7 y  12  0


 2


2
2
2
2

x  y  2x  4 y  3  0
5 y  44 y  96  0
x  y  2x  4 y  3  0

3

x


x  3

5
ho c 
(lo i)  B(3; 4)  D(0;3) ( vì I là trung đi m c a BD )

y
4


 y  24

5
V y B(3;4), C(2,5) và D(0;3) .
Bài 6. Cho đ

ng tròn (C ) : x2  y2  2 x  4 y  2  0 . Vi t ph

ng trình đ

ng tròn (C ') tâm M (5;1) bi t

(C ') c t (C ) t i hai đi m A, B sao cho AB  3 .

Gi i:
+)
ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R  3
Cách 1:
+) G i (C ') có bán kính R ' , khi đó (C ') có ph ng trình:

( x  5)2  ( y  1)2  R '2  x2  y2  10 x  2 y  16  R '2  0

Suy ra ph

ng trình AB có d ng: 8x  6 y  R '2  24  0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+) Ta có AB  3  IAB đ u  d ( I , AB) 



8  12  R '2  24
82  62

+) V y đ

Hình h c Oxy

AB 3 3


2
2

 R '2  43
3
2
  R '  28  15   2
2
 R '  13

ng tròn (C ') c n l p là : ( x  5)2  ( y  1)2  43 ho c

( x  5)2  ( y  1)2  13 .

Cách 2:
+) G i (C ') có bán kính R ' . Ta có MI  5
G i IM

AB  H   AH 

AB
3

2
2

3 3

4 2

3 7
3 13
+) Khi đó MH  MI  IH  5   ho c MH  MI  IH  5  
2 2
2 2
2

2
 R '  MA   7    3   13
 

 2   2 

2

2
 R '  MA   13    3   43

  

2
2





 IH  IA2  AH 2  3 

+) V y đ

ng tròn (C ') c n l p là : ( x  5)2  ( y  1)2  13 ho c ( x  5)2  ( y  1)2  43 .

Bài 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ
(C2 ) : x2  y2  9 . T đi m M thu c đ

ng tròn (C1 ) : x2  y2  18x  6 y  65  0 và

ng tròn (C1 ) k hai ti p tuy n v i đ

ng tròn (C2 ) v i hai ti p

đi m A, B . Tìm t a đ đi m M , bi t đ dài đo n AB  4,8 .
Gi i:
+)

ng tròn (C2 ) có tâm O(0;0) và bán kính R  OA  3

G i H là giao đi m c a OH và AB , suy ra
AB 4,8 12
AH 


2
2
5

9
OA2
5

Suy ra OH  OA  AH   OM 
5
OH
+) V y M n m trên đ ng tròn tâm O bán kính b ng 5 có
2

ph

2

ng trình: x2  y2  25

+) Suy ra t a đ đi m M là nghi m c a h :
 x  4

 x2  y2  25
 x2  y2  25

 y  3  M (4;3)




 2

2





3
15
0
x
y

5
x





18
6
65
0
x
y
x
y


 M (5;0)



  y  0

V y M (4;3) ho c M (5;0) .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 8. Cho đ
K c tđ

ng tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  2)2  4 và đi m K (3; 4) . L p ph

Hình h c Oxy

ng trình đ

ng tròn (T ) tâm

ng tròn (C ) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t v i I là tâm c a đ

ng

tròn (C )
+)

Gi i:
ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R  2

+) Ta có: SIAB

R2
R2
1
sin AIB 
. D u “=” x y ra khi sin AIB = 1  AIB  900
. .sin AIB =
 IAIB
2
2
2

R2
khi IAB vuông t i I  AB  R 2  2 2
V y SIABmax 
2
+) Khi đó bài toán t ng t nh Bài 6 nên ta có đáp s
ng tròn (T ) c n l p là : ( x  3)2  ( y  4)2  4 ho c ( x  3)2  ( y  4)2  20 .
Bài 9. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ
đ

ng tròn có tâm K (1;3) c t đ

v i I là tâm c a đ

ng tròn (C ) : x2  y2  2 x  4 y  3  0 . Vi t ph

ng trình

ng tròn (C ) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác IAB b ng 4 ,

ng tròn (C ) .
Gi i:

+)

ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R  2 2

+) G i IM

IH . AB
 R2  AH 2 . AH  8  a 2 .a  4
2
 a 2 (8  a 2 )  16  (a 2  4)2  0  a 2  4  a  2  AH  2  AB  4

AB  H  và đ t AH  a , khi đó : SIAB 

+) Khi đó bài toán t ng t nh Bài 6 nên ta có đáp s
ng tròn (C ) c n l p là : ( x  1)2  ( y  3)2  13 ho c ( x  1)2  ( y  3)2  53 .
Bài 10. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ

ng tròn (C1 ) : ( x 1)2  ( y  2) 2  9 và

(C2 ) : ( x  2)2  ( y 10)2  4 . Tìm t a đ các đ nh c a hình vuông ABCD , bi t đi m A thu c (C1 ) , đi m

C có t a đ nguyên thu c (C2 ) và các đ nh B, D thu c đ

ng th ng x  y  6  0 .

Gi i:

+) G i (T ) là đ

ng tròn đ i x ng v i (C1 ) qua đ

ng th ng d

Khi đó tâm I c a (T ) đ i x ng v i tâm I1 (1; 2) qua đ
+)

ng th ng II1 có ph
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng th ng d và có bán kính R  R1  3

ng trình: x  y  3  0 . Khi đó t a đ giao đi m H c a II1 và d là nghi m

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

c ah :

3

x

x  y  3  0

2  H   3 ; 9   I (4;7)




 2 2
x  y  6  0
y  9

2
+) Khi đó ph

ng trình đ

ng tròn (T ) : ( x  4)2  ( y  7)2  9

Do A, C đ i x ng nhau qua d nên A (C1 )  C  (T )
Suy ra t a đ đi m C là nghi m c a h :

16

x

( x  4)  ( y  7)  9
 x  4


 16 106 
13
ho c 
 C (4;10) ho c C   ;


 (lo i)
2
2
 13 13 

 y  10
( x  2)  ( y  10)  4
 y  106

13
Do A đ i x ng v i C qua d nên đ ng th ng AC có ph ng trình: x  y  6  0
2

2

Khi đó t a đ giao đi m K c a AC và d là nghi m c a h :

x  y  6  0
x  0

 K (0;6)  A(4; 2)

x  y  6  0
y  6
+)

ng tròn tâm K ngo i ti p hình vuông ABCD có bán kính KA 4 2
có ph ng trình: x2  ( y  6)2  32

Khi đó t a đ đi m B, D là nghi m c a h :

 x2  ( y  6)2  32  x  4
x  4
 B(4; 2), D(4;10)

ho c 


y  2
 y  10
 B(4;10), D( 4; 2)
x  y  6  0
V y A(4;2), B( 4;2), C( 4;10), D(4;10) ho c A(4;2), B(4;10), C( 4;10), D( 4;2) .

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN






Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-