ĐỀ ÔN TẬP HÌNH OXY THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

ÁP ÁN

Hình h c Oxy

THI CU I CHUYÊN

Th i gian: 120 phút
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Bài 1 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr ng tâm G(1;0) và
tr c tâm H . Bi t B, C thu c đ

 1 1
ng th ng 2 x  y  4  0 và K   ;  là trung đi m c a AH . Tìm t a
 3 3

đ các đ nh c a tam giác ABC .

Gi i:

Cách 1:
A

K
G
H
B

C

M

Ta có AH đi qua K vuông góc v i BC nên có ph

ng trình: x  2 y  1  0


 AG  (2  2a ; a )
G i M (m; 4  2m) là trung đi m c a BC và A(2a  1; a )  AH , suy ra 

GM  (m  1; 4  2m)
Do G là tr ng tâm tam giác
2  2a  2(m  1)
a  m  2
a  0
 A(1;0)



ABC  AG  2GM  
a  2(4  2m)
a  4m  8 m  2 M (2;0)
1 2
Vì K là trung đi m c a AH , suy ra H  ;  .
3 3


 11 14


CH   b  ;  2b 
3 3
G i B(b;4  2b)  BC  C(4  b;2b  4) (vì M là trung đi m c a BC )  


 AB  (b  1; 4  2b)

14 
 11 

Do H là tr c tâm tam giác ABC nên CH . AB  0   b    b  1   2b   (2b  4)  0
3
3


b  1  B(1; 2), C (3; 2)
 5b2  20b  15  0  

b  3  B(3; 2), C (1; 2)

V y A(1;0), B(1;2), C(3; 2) ho c A(1;0), B(3; 2), C(1;2) .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

Nh n xét:
AG 2GM
AAH
t ?  M
+) Ta có th tìm A, M b ng cách tham s hóa M (t ) 
 A(t ) 
 f (t )  0 

A
+) Ngoài cách tìm đi m B, C nh trên ta có th tìm đi m I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

b ng h th c quen thu c đã đ c p chùm tính ch t 1 (trong bài tr c) là AK  IM (hay AH  2IM ).
T đây ta s d ng d ki n IB  IA (ho c tìm giao c a đ ng th ng BC v i đ ng tròn ( I , IA) ) đ tìm ra
đi m B và C .
Cách 2:
A

K
T
I

G
H
B

N
C

M
J

G i M là trung đi m c a AB , khi đó theo chùm tính ch t 1 ta có MIAK là hình bình hành.
(đã ch ng minh theo 2 cách chùm tính ch t 1- khi làm bài thi các b n ch ng minh l i nh sau:
G i J là giao đi m th hai c a AI và đ ng tròn tâm I , khi đó :
 JC  AC; BH  AC  JC / / BH

 JBHC là hình bình hành, suy ra M là trung đi m c a HJ

 JB  AB; CH  AB
 JB / /CH
Khi đó IM là đ

 AH / / IM
ng trung bình c a tam giác AHJ , suy ra 
 AH  2IM (1)
 AH  2 IM

Do K là trung đi m AH nên AH  2 AK (2)
T (1) và (2) , suy ra IM  AK  MIAK là hình bình hành ).
1
1
2
G i T là giao đi m c a AM và KI , khi đó: MG  MA  .2MI  MI , suy ra G là tr ng tâm KIM
3
3

3
5
4

xN 
 2  xN  1


3

5 1
3

 N  ; 
G i N là trung đi m c a IM  KG  2GN  
3 6
 1  2  y  0 
y   1
N
N
 3

6



Khi đó IM đi qua N vuông góc v i BC nên có ph

ng trình: x  2 y  2  0

x  2 y  2  0
x  2

 M (2;0)
Suy ra t a đ đi m M là nghi m c a h 
2 x  y  4  0
y  0
 4 1
Do N là trung đi m c a IM  I  ;  
 3 3
M t khác, MIAK là hình bình hành nên suy ra IA  MK  A(1;0) .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Do B thu c đ

Hình h c Oxy

ng th ng 2 x  y  4  0  B(t;4  2t )

2

2
t  1
13  50
 4 
 t 2  4t  3  0  
Khi đó IB  IA  IB  IA   t     2t   
3
9
 3 
t  3
2

2

 B(1; 2)  C (3; 2)

 B(3; 2)  C (1; 2)
(do M là trung đi m c a BC )
V y A(1;0), B(1;2), C(3; 2) ho c A(1;0), B(3; 2), C(1;2) .
Chú ý: Có th tìm t a đ B, C b ng cách vi t ph ng trình đ ng tròn ( I , IA) và tìm giao v i BC .
Nh n xét: Chúng ta có th “gi u k ” các d ki n c a bài toán này b ng cách ra đ nh sau (các b n xem
th y phân tích ph n clip bài gi ng) .
Bài 2 (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD .

ng th ng đi

 3 3 1
ng trình y  1 . G i M  2;  , N  ;   l n l t các đi m
 2 2 2
thu c đo n AH , DC sao cho AM  3MH , DC  4 NC . Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t ABCD .

Gi i:

qua B vuông góc v i AC t i H có ph

A

B

M

1

H
1

D

N

C

AC đi qua M và vuông góc v i BH nên có ph ng trình: x  2
x  2
 H (2;1) .
Khi đó t a đ đi m H là nghi m c a h 
y 1
2  xA  3.(2  2)
 xA  2

M t khác, ta có AM  3MH   3

 A(2;3)
 3 
 yA  3
 2  yA  3. 1  2 



HB 4 HB
BC 4 BC 4 BC
(1) ; Xét BNC , ta có: tan N1 
(2).
Xét MBH , ta có: tan M1 



MH
AH
NC CD
AB
HB AH
HB BC
L i có: ABH ~ ACB 
(3).



CB AB
AH AB
T (1), (2), (3) suy ra : tan M1  tan N1  M1  N1
Khi đó M , N cùng nhìn BC d

i các góc b ng nhau, suy ra MNCB là t giác n i ti p

 BMN  900 hay BM  MN , suy ra ph

ng trình BM : x  4 y  8  0 .

x  4 y  8  0
x  4

 B(4;1) .
T a đ đi m B là nghi m c a hê: 
y 1
y 1
Khi đó DC đi qua N song song v i AB nên có ph ng trình: x  y  2  0
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

x  y  2  0

x  2
Suy ra t a đ đi m C là nghi m c a h : 

 C (2;0) .
x  2
y  0
Do ABCD là hình ch nh t nên CD  BA  (2; 2)  D(0; 2) .
V y A(2;3), B(4;1), C(2;0) , D(0;2) .
Chú ý: Y u t vuông góc trong bài toán, c th BM  MN s luôn đ
MH NC
đ ct s

 k.
AH DC

c gi nguyên n u đ bài đ m b o

Bài 3 (Nguy n Thanh Tùng).Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A và M là trung
đi m c a AB .
giác ACM .
kính b ng





 11 7 
ng trình 5x  7 y  20  0 và K  ;   là tr ng tâm c a tam
 6 6
ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có tâm n m trên đ ng th ng 2 x  4 y  7  0 và có bán

ng th ng CM có ph

5
. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC , bi t A và C có t a đ nguyên .
2
Gi i:

G i G, I l nl

t là tr ng tâm, tâm đ

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC .
CK CG 2
G i N là trung đi m c a MA, khi đó :

  GK // MN hay GK // AB .
CN CM 3
Do I là tâm đ ng tròn ngo i ti p nên MI  AB  MI  GK (1)
G i P là trung đi m c a AC và do ABC cân t i A nên:
 MP / / BC
 MK / / BC

 GI  MK (2)

 AG  BC
GI  BC
T (1) và (2) , suy ra I là tr c tâm c a tam giác MGK  KI  MG hay KI  CM .
Khi đó KI có ph ng trình: 7 x  5 y  7  0

7 x  5 y  7  0
7
7
7 7
 x  và y    I  ;  
Suy ra t a đ đi m I là nghi m c a h 
2
2
2 2
2 x  4 y  7  0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

 G i C (4  7t;5t )  CM , khi đó
2

R  IC 

2

21
5
25
1 
7
25

 IC 2 
  7t     5t   
 74t 2  42t  0  t  0 ho c t  
37
2
2 
2
2
2


(lo i)
 Suy ra C (4;0) .


5
7

G i M (4  7m;5m)  CM , khi đó K là tr ng tâm tam giác ACM nên A 7m  ; 5m  
2
2


Ta có
1

 A(1; 1)
m 

25
2
2
2
2
2
2
 148m  168m  47  0  
   72 12 
IA  R   7m  6    5m 
 A ;  
47
2
m  
  37 37 

74
1 5
Do A có t a đ nguyên nên A(1; 1)  M  ;    B(0; 4) (vì M là trung đi m c a AB )
2 2
V y A(1; 1), B(0; 4), C(4;0) .

Bài 4 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đ nh

 11 1 
A ;  . M t đi m M (1; 1) n m trong hình bình hành sao cho MAB  MCB và BMC  1350 .
 2 2

Tìm t a đ đ nh D , bi t r ng D thu c đ

ng tròn có ph

ng trình (T ) : x2  y2  2 x  2 y  3  0 .

Gi i:

+) D ng đi m E sao cho ABEM là hình bình hành, khi đó DCEM c ng là hình bình hành

 A1  C2
 C2  E1  BECM n i ti p đ
Ta có: 
 A1  E1

ng tròn  BEC  BMC  1800 (1)

M t khác : BEC  AMD (c.c.c)  BEC  AMD (2) . T (1) và (2) suy ra AMD  BMC  1800 (*)
+)

ng tròn (T ) nh n M (1; 1) làm tâm và có bán kính R  MD  5

Ta có MA

3 10
. Theo (*) ta có: AMD  1800  BMC  450

2

+) Xét tam giác AMD : AD2  MA2  MD2  2MAMD
.
.cos AMD 

 AD 

45
3 10
2 25
 5  2.
. 5.

2
2
2
2

5
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

5
 11 1 
ng tròn tâm A ;  bán kính AD 
có ph
2
 2 2

Suy ra D thu c đ

2

ng trình:

2

1
25
 11  
 x2  y2  11x  y  18  0
 x   y  
2 
2
2


+) Khi đó t a đ đi m D là nghi m c a h :
 x2  y2  11x  y  18  0


 2
2

x  y  2x  2 y  3  0

x  2
x  3
 D(2;1)
ho c 
.


y 1
 y  2
 D(3; 2)

V y D(2;1) ho c D(3; 2) .
Bài 5 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A n i ti p
đ

ng tròn (T ) và C (1;0) . Bi t ti p tuy n c a đ

 1 
ng tròn (T ) t i B c t AC t i E . G i F   ; 2  là
 2 

 3 5
đi m thu c đo n BE và J   ;  là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AEF . Tìm t a đ các đ nh còn
 4 4
l i c a tam giác ABC bi t D(2;1) thu c đ ng tròn (T ) .
Gi i:

B

D
1

F
2

E

1

I

M
1

J
C

A

G i M là giao đi m c a CF và đ

ng tròn (T ) , lúc này ta s ch ng minh M c ng thu c đ

ngo i ti p tam giác AEF hay ta s đi ch ng minh AEFM n i ti p đ

ng tròn

ng tròn tâm J . Th t v y:

Ta có E1  B1 (cùng ph v i ACB ) và B1  M1 (cùng ch n cung AC )
Suy ra E1  M1  E1  FMA  M1  FMA  1800 , suy ra AEFM n i ti p đ
Ph

ng trình đ

ng tròn tâm J (*)

 x  1  3t
ng th ng CF là: 
 M (1  3t; 4t )
 y  4t
2

2

7 
5 5

Khi đó t (*), suy ra: JM  JF  JM 2  JF 2   3t     4t     50t 2  41t  8  0
4 
4 8



Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

  1 32 
8

t


M  ; 

 1 32 
25   25 25 


M ; 
  1 

 25 25 
t   1
M   ;2  F


2
  2 
Ta có ph
ph

ng trình trung tr c d1 c a DC là : x  y  2  0
ng trình trung tr c d 2 c a MC là: 3x  4 y  1  0

Khi đó t a đ tâm I c a đ

ng tròn (T ) ngo i ti p tam giác ABC (hay ngo i ti p tam giác MBC )

x  y  2  0
x  1
là nghi m c a h : 

 I 1;1
3x  4 y  1  0
y 1
Do ABC vuông t i A , suy ra I là trung đi m c a BC , do đó B(1; 2)
ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và ngo i ti p tam giác AEF l n l t có ph ng trình:
3
5
3
x2  y2  2 x  2 y  1  0 và x2  y2  x  y   0

2
2
2
Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h :
1

x
 x2  y2  2 x  2 y  1  0

0
x




 1 32 
25
ho
c
ho
c

A
(0;1)

A

 2

3

5
3
 ;   M (lo i)
2
32
1
y

0
x
y
x
y





 25 25 

y 

2
2
2


25
V y A(0;1), B(1; 2) .

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-