PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA NHIỀU CĂN THỨC PHẦN 2

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PH

PT – HPT- BPT

NG TRÌNH VÔ T

Áẫ ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Ph

gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn.
h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Ph
Bài 1. Gi i ph
H ng d n

ng trình :

i u ki n: 1  x  5
Ph ng trình t

ng trình vô t

thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c

có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t

ng pháp dùng B t đ ng th c - Vector.
4 x  2  x2  5x  6  5x2  20 x  15

ng đ

ng v i

 3 5
56  9 5
(1)
4  2 x   x2  4 x  5  x2  4 1 
 x 
5 
5

2

 3 5
 3 5 
56  9 5 
  x  2 1 
Ta có: x  4 1 
 x 
   3 5  3 5
5
5
5





 

2

 3 5
ng th c x y ra khi x  2 1 
.
5 


M t khác: 4  2 x   x2  4 x  5  2  2  x   x2  4 x  5  (1  4) (2  x)2  x2  4 x  5  3 5
 3 5
x  2
ng th c x y ra khi 


x
2

2
2
1  5  .






x
x
x
2(
4
5)
(2
)




V y nghi m c a ph
Bài 2. Gi i ph
H

 3 5
ng trình là: x  2 1 
.
5 


ng trình : 13 x2  x4  9 x2  x4  16

ng d n

k: 1  x  1



Bi n đ i pt ta có : x2 13 1  x2  9 1  x2



2

 256

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki:



13. 13. 1  x2  3. 3. 3 1  x2

  13  27 13 13x  3  3x   40 16 10x 
2

2

2

2

2

 16 
Áp d ng b t đ ng th c Côsi: 10 x2 16  10 x2      64
 2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

2


x
1  x2

2
5
 1 x 
D u b ng x y ra  
3 
2

10 x2  16  10 x2

x   5


Bài 3. x2  2 x  4  3 x3  4 x
H

ng d n

K: x  0
Áp d ng b t đ ng th c Côsi v i 2 s không âm: 4 x; x2  4 có

1
1 x2  4 x  4 x2  4 x  4
x2  2 x  4 x2  4 x  4
4 x( x2  4)  .



 ( x  2)2  0 Ta có:
2
2
2
4
3
4
2
( x  2)  0, x nên x  2  0  x  2 . Th l i x = 2 là nghi m c a ph ng trình
x3  4 x 

V y ph

ng trình đã cho có nghi m x = 2

 6 5
36  9 5
ng trình :  x2  4 x  5  x2  2 1 
 x 
5 
5


Bài 4. Gi i ph
H

ng d n

i u ki n: x  
Chia hai v ph

1
2

ng trình cho

x  3 ta có đ

c

4x  2
 x  2  5( x  1)
x3

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có

VT  4 x  2
Do đó ph

1
x 2
 x  3.

x3
x3

Bài 5. Gi i ph
H

9  65
x3
.
 x
8
x 2

ng trình  4 x  2 

K t h p đi u ki n ta có x 

1
x 2 

  5( x  1)  VP
 x3 x3 

 4 x  2  x  3 

9  65
là nghi m c a ph
8

ng trình x  x 

ng trình .

1
1
 1
x
x

ng d n

K:

 x0
 1
x   0

x
 x 1

1  1  0
 x

 x0


Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s v không âm, ta có:

x

1
1
1

 1    x   .1 
x
x
x


Hocmai.vn – Ngôi tr

 x  1

1 1
1  1
1
  x   1   x  1    x
x x
x  x
x

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT


1 5
 1
1
1


x 
 x
2
D u “=” x y ra, do đó: 
 x2  1  x  x2  x  1  0  

1 5
x 1  1
x


x


2

V y ph

ng trình có nghi m x 

Bài 6. Gi i ph
H ng d n

ng trình

1 5
2

x2  x  x  x2  x  1

 x2  x  0
 0  x 1
K: 
2
x  x  0
Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s

x2  x; x  x2 ta có:

x2  x  1 x  x2  1
x  x  x  x  ( x  x).1  ( x  x )1 

 x 1

2
2
D u “=” x y ra, do đó
2

2

2

2

 x2  x  1
 x0

2
x  x  1
Th l i x = 0 không là nghi m c a ph ng trình
V y ph ng trình đã cho vô nghi m.
Bài 7. Gi i ph
H ng d n

ng trình 16 x4  5  6 3 4 x3  x

Do 16 x4  5  0  6 3 4 x3  x  0  x(4 x2  1)  0  x  0
Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 3 s d ng 4x; 4x2 + 1; 2 ta có:
4 x  (4 x2  1)  2  3 3 4 x(4 x2  1).2  6 3 x(4 x2  1)

 4 x2  4 x  3  6 3 4 x3  x
 4 x2  4 x  3  16 x4  5
 8 x4  2 x3  2 x  1  0

 (2 x  1) 2 .(2 x2  2 x  1)  0
 (2 x  1) 2  0(do2 x2  2 x  1  0, x)
Mà (2x – 1)2  0, x nên 2x – 1 = 0  x 
Th l i x 
V y x

1
là nghi m ph
2

1
là nghi m c a ph
2

Bài 8. Gi i ph
H ng d n

1
2

ng trình
ng trình

ng trình: 2 7 x3  11x2  25x  12  x2  6 x  1

Ta có: 2 7 x3  11x2  25x  12  x2  6 x  1  2 (7 x  4)( x2  x  3)  x2  6 x  1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

4
1
11
vì( x2  x  3  ( x  )2   0)
7
2
4
2
Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s âm 7 x  4, x  x  3

k: (7 x  4)( x2  x  3)  0  7 x  4  0  x 

Ta có:
(7 x  4)  ( x2  x  3)  2 (7 x  4)( x2  x  3)

 x2  6 x  1  2 7 x3  11x  25x  12
 x 1
(tho đi u ki n)
D u đ ng th c x y ra khi : 7 x  4  x2  x  3  x2  8 x  7  0  

x  7
Th l i x  1; x  7 là nghi m
V y ph

ng trình đã cho có nghi m x  1; x  7

Bài 9. Gi i ph
H

ng trình 1  x  1  x 

x2
 2 v i ( x  0)
4

ng d n

V i x  0  x 1  0
1 x  0  x  1
K: 0  x  1
Ta có: ( 1  x  1  x  2)( 1  x  1  x  2)  ( 1  x  1  x)2  4
Vì th
1
( 1  x  1  x  2)( 1  x  1  x  2)( 1  x2  1)  ( 1  x2  1)( 1  x2  1  (1  x2 )  1   x2 (1)
2
Do v y: 1  x  1  x  2 

2 x2
( 1  x  1  x  2)( 1  x2 1)

V i 0  x  1 , ta có 1  x2  1  2
Theo b t đ ng th cCôsi:
( 1  x  1  x2 )   (1  x)2  (1  x)2  (1  1)  2.2  4  1  x  1  x  2  1  x  1  x  2  4



Suy ra:

2 x2
( 1  x  1  x  2)( 1  x2  1



 x2
(2)
4

 x2
 x2
x2
 1 x  1 x 
 1 x  1 x   2
4
4
4
 0  x 1

Do d u: “=” x y ra nên 
 x0


 1 x  1 x
T (1), (2)  1  x  1  x  2 

Bài 10. Gi i ph
H ng d n

ng trình 4 1  x2  4 1  x  4 1  x  3

K: 1  x  1 áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta có:
4

1  x2  4 (1  x)(1  x) 

4

1  x2 

1  x.1 

Hocmai.vn – Ngôi tr

1  x. 1  x 

1 x 1
2

1 x 1
2
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

C ng t ng s b t đ ng th c cùng chi u ta có:

1  x2  4 1  x  4 1  x  1  1  x  1  x
M t khác, theo b t đ ng th c Côsi ta có:
(1  x)  1 2  x
1  x  (1  x)1 

2
2
(1  x)  1 2  x
2 x 2 x
1  x  (1  x)1 

 1 1 x  1 x  1

3
2
2
2
2

4

V y 4 1  x2  4 1  x  4 1  x  3
Do đó ph ng trình có nghi m  d u b t đ ng th c trong (1) x y ra.
 1 x  1 x

 x  0 (Tho đi u ki n)
 1 x  1
 1 x  1

V y ph ng trình đã cho nghi m x = 0

Bài 11. Gi i ph
H ng d n

x2  8x  816  x2  10 x  267  2003

ng trình

gi i bài toán này ta c n ch ng minh b t đ ng th c Min-c p-xki:
a 2  b2  c2  d 2  (a  b)2  (b  d )2

D u “=” x y ra  a.d  b.c
Ch ng minh:
Do 2 v không âm, bình ph ng c 2 b t đ ng th c ta đ

c

a 2  b2  c2  d 2  2 (a 2  b 2 )(c2  d 2 )  (a  c)2  (b  d )2
 (a 2  b2 )(c 2  d 2 )  ac  bd (1)

N u ac  bd  0 b t đ ng th c đ
N u ac  bd  0 , ta có

c ch ng minh

(1)  (a  c)2 .(b  d )2  (ac  bd )2  a 2d 2  b2d 2  2adbc  0  (ad  bc)2  0 (đúng)
D u “=” x y ra  ad  bc
Ta có:
D u “=” x y ra nên

 4  x11
V y ph

2  20 2  x  5   44  11x  20 x  100  x  

ng trình có nghi m x 

Bài 12. Gi i ph
H

ng trình

56
31

56
31

x2  x  1  x2  x  1  4 x2  4 

32
x  2 x2  32 
2

ng d n

Xét : 4 x2 

32

x2  2 x2  3

2




1 2
64
 4 x   2 x2  3   2 x2  3  2
 3
2
2
2
3
x
x








Áp d ng b t đ ng th c Côsi:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)


2
1
64
2
2
4x 

4 4 x .  2 x  3 .
2
2
2

x2  2 x2  3
x2  2 x2  3

32
Suy ra v trái  4 x2 
 4  5 4 1
2
2
x  2 x2  3
32

2

PT – HPT- BPT


  3  1 4 4 6.64  3  5

2


Xét :

x2  x  1  x2  x  1  1  x2  x  1  1  x2  x  1
 x2  x  1  1  x2  x  1  2 x2  x  1
 2 x  1  2 x2  x  1
1
N u 2 x  1  0  x   (1) luôn đúng
2
1

N u 2x 1  0  x 
2
2
(1)  4 x  4 x  1  4( x2  x  1)  1  4 đúng. V trái < 1  v ph i. V y ph
Bài 13. Gi i ph
H

ng trình x y  1  y x  4 

ng trình vô nghi m

3
xy
4

ng d n

K: x  4, y  1
Áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có:
y
x y  1  y x  4  x  y  11  .
2

 x  4  .4  x

y  1  1 y x  4  4 xy xy 3
 .
 
 xy
2

2
2
2
4 4

 y 1  1
x  8

tho đi u ki n
Do d u “=” x y ra nên 
y  2
x  4  4
V y nghi m ph ng trình là x  8; y  2
Bài 14. Gi i ph
H

x  4 xy  x y  9 z  xy x  1 11

xyz
12

ng trình

ng d n

K: x  4; y  9; z  1
Áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta có:

x  4 yz  x y  9 z  xy z  1


xyz


 x  4  .4
2x



 y  9  .9
3y



x 4

x

 z  1 .1
z



y9
2 1

y
2

x  4  4 y  9  9 2  1  1 1 1 1 11



   
z.2
2 x.2
3 y.2
4 6 2 12

x  4  4
 x8


Do d u “=” x y ra nên  y  9  9   y  18
 z 1  1
 z2


V y ph

ng trình có nghi m  x; y; z  8;18; 2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 15. Gi i ph
H

PT – HPT- BPT

2002 x2  6000 x  6 x3  2 x2  x  2  7995
ng trình
 2003
x2  3x  4

ng d n

K:
2
3
2


x  2x  x  2  0
 x  1  x  2   0

 x 2
 2
x  3x  4  0
x
1
x
3

0











v i x  2 thì x2  3x  4  0

2002 x2  6000 x  6 x3  2 x2  x  2  7995
x2  3x  4
Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s không âm x2  1 và 9 x  18 ta đ

V trái

x

2

 1   9 x  18  2

c

9 x  18  x2  1

2
2002 x2  6000 x  x2  1   9 x  18  7995 2003x2  6009 x  8012 2003  x  3x  4 
 VT 


 2003(1)
x2  3x  4
x2  3x  4
x2  3x  4

V y ph

ng trình đã cho có nghi m  d u th ng đ ng


9 5
x 

2
 x2  1  9 x  16  x2  9 x  19  0  
x  9  5

2
V y ph

ng trình có nghi m là x 

Bài 16. Gi i các ph

5.

4

tho mãn đi u ki n.

9 5
2

ng trình sau

1. x2  2 x  2 x  1  3x2  4 x  1
3. 1  x4  1 

(1) x y ra

x2  4
1 x 1
4

 2 x2  4

2. 6 x3  2 x2  x  2  x2  9 x  19
4. 2 x2  3  8  2 x  x2  x

(4  x)( x  2)  4 4  x  4 x  2  6x 3x  x3  30

6. x2  4 x  6  2 x2  5x  3  3x2  9 x  5
7.

x2  x  1  x  x2  1  x2  x  2

8. x4  3x3  4 x2  16  12 3 3x2  4

9. 3 14  x3  x  2(1  x2  2 x  1)

10. x3  3x2  8x  40  8 4 4 x  4  0

11. x x  1  3  x  2 x2  1

12. 2 4 27 x2  24 x 

13. 1  2 x  1  2 x 
15.

4

1 2x
1 2x

1  2x
1  2x

x  4 1 x  x  1 x  2  4 8

x  3x2
 2 x4  x3  7 x2  3x  3  2
17.
2
H ng d n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

14.

28
27
 1
x 6
3
2

8  x3  64  x3  x4  8x2  28

16. 16 x4  5  6 3 4 x3  x
18.

2  x2  2 

1
1

 4  x 
2
x
x


T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

1
.
2
Áp d ng B T Bunhiacopski ta có:

1. i u ki n: x 

VT  x. x  2  2 x  1  ( x  1)(3x  1)  VP .
1
1 5
x 2
.

 x
2
x
2x 1

ng th c có 
i u ki n: x  2

2.

Ta có: VT  6 ( x  2)( x2  1)  2 ( x2  1) 9 x  18  x2  9 x  19  VP

 x  2
ng th c có  x2  1  9 x  18   2
 x  9 x  17  0
9  149
là nghi m c a ph
2
3. i u ki n: | x | 1
 x

Ph

ng trình 







 
2

1  x4  1 

1  x4  1  x2  4



2

ng trình .

x2  4



2

 2 x2  4





1  x4  1

 0  1  x4  1  x2  4 (*)

VT (*)  2  VP (*)  (*)  x  0
i u ki n: 2  x  4

4.

Ph

ng trình  2 x2  3  x  9  ( x  1)2  x  3

 4 x2  12  x2  6 x  9  3( x  1)2  0  x  1
Th l i ta th y x  1 là nghi m c a ph ng trình .

 4 x x 2 
5. Áp d ng B T Côsi ta có: (4  x)( x  2)  
 1
2


 4 (4  x)( x  2)  1
(1)
2

6 x 3x  2 27 x3  x3  27 (2)
Áp d ng B T Bunhiacopski, ta có:



4

4  x  4 x 2

  2
4

4  x  2 x 2

T (1), (2) và (3) ta có nghi m c a ph
6. Ta có: VT  ( x  2)2  2  2 (1)



2

 16  4 4  x  4 x  2  2 (3).

ng trình là x  3 .

VP  2( x2  4 x  2)  2 2  ( x  2) 2   2 (2)
T (1) và (2)  x  2 là nghi m c a ph ng trình
1 5
1  5
7. i u ki n:
 x
2
2
Áp d ng B T Bunhiacopski, ta có:
VT  2( x2  x  1  x  x2  1)  2 x (1)

Áp d ng B T Côsi, ta có: VP  ( x  1)2  x  1  x  1  2 x (2)
T (1) và (2)  x  1 là nghi m ph ng trình .
2 3
8. k: x 
3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

G i A, B l n l

t là VT và VP c a ph

PT – HPT- BPT

ng trình . Ta có:

A  ( x  x  1)( x  2)  3x  12  2 x  ( x2  4)  8
Áp d ng B T Côsi cho ba s ta có:
2

2

2

2

A  3 3 16 x2 ( x2  4)  6 3 2 ( x2  4) 2  12 x2  16  12 3 3x2  4  B
ng th c có  x  2
V y ph ng trình có nghi m duy nh t x  2 .
9. i u ki n: x2  2 x  1  0 (1)
Ta có: 3 14  x3  x  2(1  x2  2 x  1)  2

 3 14  x3  2  x  14  x3  8  12 x  6 x2  x3
 x2  2 x  1  0 (2)
T (1) và (2)  x2  2 x  1  0  x  1  2 là nghi m c a ph
10. Ta ch ng minh :

ng trình đã cho.

8 4 4 x  4  x  13 và x3  3x2  8x  40  0   x  3  x  3  x  13 .
2

T đó suy ra ph ng trình có nghi m duy nh t x  3 .
11. i u ki n : 1  x  3 .
Trong m t ph ng Oxy xét : a   x;1 , b 



x  1; 3  x



Khi đó a.b  x x  1  3  x, a b  2 x2  1 .
M t khác: a .b  a . b .

ng th c có  a , b cùng chi u

Do đó (1)  a , b cùng chi u 
V y nghi m c a ph

x
x 1


 x  1; x  1  2 .
1
3 x

ng trình : x  1; x  1  2 .

4
12. i u ki n : x   .
9
Ph ng trình đã cho t

ng đ

ng v i ph

ng trình

(9 x  4)2
3(9 x  4)
 4  1
.
3
2
t (9 x  4)  y , suy ra y  0 .
24

3y
3y
y2

y2
 4  1
4
 4  1
 6 y (bình ph
Khi đó ta đ c 2
3
2
3
2
y6
Theo B T Cô-si ta đ c 6 y 
, do đó:
2
4

4

ng hai v ).

 y2

y2
 4  2 y  4  4   4   ( y  2) 2
3
 3


 4 y2  48  3 y2  12 y  12  y2  12 y  36  0  ( y  6)2  0.
2

th a mãn đi u ki n.
9
2
ng trình có nghi m duy nh t là x  .
9

T đó ta đ
V y ph

c y  6 , suy ra x 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

1
1
13. i u ki n :   x  .
2
2

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có

1  2 x  1  2 x  2 1  2 x  1  2 x  2 . D u ’= ‘ x y ra khi x  0
Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có:

1 2x
1 2x

 2 . D u ‘=’ x y ra khi x  0
1 2x
1 2x
V y ph ng trình đã cho có nghi m x  0 .
14. . i u ki n : 2  x  4 .
Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có

8  x3  64  x3  2 8  x3  64  x3   12 . D u ’= ‘ x y ra khi x  3 28
M t khác : x4  8x2  28   x2  4  12  12 . D u ‘=’ x y ra khi x  2 .
2

T đó suy ra ph ng trình đã cho vô nghi m.
15. i u ki n: 0  x  1
Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có:

x  1  x  2  x  1  x  2 . D u ‘=’ x y ra khi x 
4

x  4 1 x  2

Do đó ph
16. T ph





1
2

x  1  x  4 8 . D u ‘=’ x y ra khi x 

ng trình có nghi m duy nh t x 

1
2

1
.
2

ng trình ta có x  0

Ta có: 6 3 4 x3  x  3 3 2.4 x(4 x2  1)  2  4 x  4 x2  1
Nên 16 x4  5  4 x2  4 x  3  8x4  2 x2  2 x  1  0
1
 (2 x  1)2 (2 x2  2 x  1)  0  x  .
2
1
V y x  là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho.
2
17. Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

3x2  x  4 (2 x2  x  1)  ( x2  3)
(1) .

2
2
Áp d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng ta đ c VT(1)  VP(1).
Do đó (1)  2 x2  x  1  x2  3  x2  x  2  0 .
T đó ph ng trình có nghi m là x  1 và x  2 .
(2 x2  x  1)( x2  3) 


2
 2  x  
2 .
18. i u ki n: 
 2
 x 2

 2
V i đi u ki n đó, ph ng trình đã cho t

2  x2  2 
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng đ

ng v i

1

1
 x   4(1) .
2
x
x
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki, ta đ

PT – HPT- BPT

c:

( 2  x2  x)2  ( 2  x2 .1  x.1)2  4

2
2
.

1 1 
1
1 

 2  2     2  2 .1  .1  4
x
x 
x
x 

Suy ra VT (1)  4 = VP (1) .
 2  x2  x  2

Do đó (1)  
, ngh a là d u b ng trong h x y ra.
1 1



2
2

x2 x

T đó ph ng trình có nghi m duy nh t là x  1 .
Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-