PT VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Phương trình vô tỷ thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết
hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Cho phương trình:

x

3

x

6

3

x 6

m (1) . Tìm m để phương trình có

x

nghiệm thực.

Hướng dẫn

Đặt: t

x
x

3
6

Điều kiện:

0
0

x

3

x

3

x

x

2 6
1

0

3,6

1

2 3

t'

x trên D=

6

1

Ta có: t '

6

x . Ta tìm điều kiện của ẩn t

6

Xét hàm số t

x

3

1
x

2 3

x

2 6

0

3

x

6

x

x

3
2

Bảng biến thiên:

x

3
2

3

6

0

t'

3 2

t
3

3

t

Từ bảng biến thiên ta có: 3
Suy ra :

3

x 6

3 2

t2

x

9
2

Khi đó phương trình có dạng:

t2

t

9

t2

m

2

Phương trình có nghiệm
(2)

t2

2t

9

2t

9

2m

0 (2)

(2) có ít nhất một nghiệm 3

t

3 2

2m

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

t2

Xét: f (t )
Ta có: f '(t )

PT – HPT- BPT

9 trên 3;3 2

2t
2t

2; f '(t )

t

0

1

Bảng biến thiên:

t

3 2

3

f '(t )
9

6 2

f (t )
6

Từ bảng biến thiên ta có: (2) có nghiệm thuộc 3;3 2 khi và chỉ khi:

2m

6
Bài 2. x x

9

x

12

6 2

6 2 9
2

m( 5

x

m

3

0. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.

x)

4

Hướng dẫn
Điều kiện: 0

x

4

Ta có: x x

x

12

x x
Vì

5

x
x
x x

(*)

(x x

x

Xét: f (x )

m( 5

12
4

x

0, x

x

12

12)( 5

(x x

Ta có: f '(x )

f '(x )

m( 5

(

x

3
x

2

0, x

x

x

4

0

x ) (*)

[0;4]
m
x

5

x

1
2 x

12

do 5

x

4

x)

4

12)( 5

0;4

x)

4

m

x

4

x)

(x

4)

)( 5

x

4

x)

(x x

4

x, x

x

x

12(

1
2 4

1
x

2 5

x

)

0;4

Bảng biến thiên

t

0

4

f '(t )
12

f (t )
2 3( 5

2)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 3( 5
Bài 3. Cho phương trình: x

3 x

4(x

1

m

2)
x
x

3)

PT – HPT- BPT

12

1
3

m . Tìm m để phương trình có nghiệm thực.

Hướng dẫn
Điều kiện:

Đặt t

x
x

1
3

x

x
x

3

x
x

0
1
3

3
1

(x

3)(x

t2

Khi đó phương trình có dạng: (1)
Phương trình (1) có nghiệm

t2

1)

4t

m

0 (2)

'

điều kiện cần là (2) có nghiệm

0

m

4

m

0

4

Điều kiện đủ:
Giả sử khi đó (2) có nghiệm là t 0 thì t0
Th1: Với t0
Th2: Với t0

x
(x

x2

0

2x

x

3
t 20

3

0

x

3

1

t 20

4

0 ta có:

3

x

0

3)(x

1
3

t 20

TH3: Với t0

(x

x

0

4

x

x
x

1

1) t02

1

3)

0 ta có:

3

3)(x
x

x

0

(x

t

1)

2

Như vậy, với m

x

0

2

x

3

2x

3

t

2

x

0

3

1

t

4

x

2

1

t 20

4

0

4 phương trình luôn có nghiệm

Bài 4. Cho phương trình:

x2

x

1

x2

x

1

m . Tìm m để phương trình có nghiệm thực.

Hướng dẫn

x2

Xét hàm số f (x )

x

x2

1

x

1 trên D

R

Ta có:
2x

f '(x )

2 x

(2x

2x

1

2

x

1) x 2

1

x

1

2 x

2

1
x

=> f '(x )

2x

0

2 x

1

1) x 2

R

hàm số đồng biến trên R

1

x

(2x

2

1) (x

2

2 x

1

(2x

(2x

x

2

2x

1

x

1)(2x
1)

2

1)
(2x

1
x

0
1

0
1)2 (x 2

x

1)

VN
Ta có: f '(0)

1

0, x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

limx

Giới hạn:
y

limx

y

2x

lim

x

x2

x

1

x2

1

x

2x

limx

x2

x

x2

1

PT – HPT- BPT

1

1
x

1

Bảng biến thiên:

t
f '(x )
1

f (x )
1

Từ bảng biến thiên ta có: phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
x2

Bài 5. Cho phương trình:
đúng với x

m2

2x

2m

x

4

m

1

m

1

2 . Tìm m để phương trình có nghiệm

0.

Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm x

0

m2

(1)

0 là nghiệm của (1), khi đó:

x

2m

4

m

m

2

m2

2

2m

4

x

0

Đó chính là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với

0
(m

2)2

m

3

Điều kiện đủ
Với m = 3, khi đó (1) có dạng:

m

x 0

2

2x

1

x

1

x

3 phương trình nghiệm đúng với x

Vậy với m

Bài 6. Cho phương trình:

x4

4x 3

16x

m

x

1

1

0

0 luôn đúng.

0.

4

x4

4x 3

16x

m

6 (1) . Tìm m để phương

trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn
Đặt

t

(1)

t2

4

x4

t

4x 3

6

0

16x
t
t

m

(t

0)

3(loai )
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

t

2

4

x4

Xét: f (x )

4x 3

16x

x 4 4x 3

m

16 trên D

16x

4(x 3 3x 2

f '(x )

x 4 4x 3

2

16x

PT – HPT- BPT

m

16

R
4(x

16)

2)2(x

1)

0

x
x

1
2

Bảng biến thiên:
1

x
f '(x )

2

0

0

f (x )
27

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
m
27
m 27
Bài 7. Cho bất phương trình: mx

x

m

3

1 . Tìm m để bất phương trình có nghiệm thực.

Hướng dẫn

3

Điều kiện: x

m

Khi đó bất phương trình

x

1
x

Bất phương trình đã cho có nghiệm x

3

f (x )

1

3 khi và chỉ khi m

max f (x )
x 3;

Ta có f '(x )

f '(x )

0

x

1

Xét hàm số f (x )

x

x

5
2(x
x

1

2 x

3

2

3

x

1)
7

3

trên 3;

.

2 3

Bảng biến thiên:

x

3

7

2 3

0

f '(x )

1

3
4

f (x )
1
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

0

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m

1

max f (x )

4

x 3;

Bài 8. Cho bất phương trình: m 2x 2

x

.

m . Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi

x

9

3

PT – HPT- BPT

R.

Hướng dẫn
2x 2

Vì

9

1

x

0,

x

m

f (x )

2x 2

9

m

min f (x )

x R

1
x

Xét hàm số: f (x )

2x 2

9

Ta có: f '(x )

R nên bất phương trình đã cho

2x 2

trên R
9

1

2x 2

9

9(2x 2

2x 2

0

9) 1)2

9

x

9

6

x

6

Bảng biến thiên:
6

x
f '(x )

6

0

0
3
4

f (x )
1
2

3
4

Từ bảng biến thiên ta có, để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x
Bài 9. Cho phương trình: 3 x

4m

3

x

8

(m

5

R thì m

min f (x )
R

3
4

2)x (1) . Tìm m để phương trình có đúng

một nghiệm thực.
Hướng dẫn
Điều kiện: x

3 x

3

4m
4

4

3
8

x

x m

2

x m

2

(m

5
x

2)x
3 x

5

5

x m

8x

2

x

x

1
x

4

3

3 x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

3

0

m

32
3 x

5

4
1

x

5

3

3 x

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

3

2 2

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

(1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (2) có nghiệm duy nhất x
TH1: (2) có nghiệm duy nhất x

4

1

Xét hàm số: f x

x

3 x

5

2 trên [3;

3

1

2 x

5

x

3

3 x

5

3

0,

2

f (x ) là hàm nghịch biến trên [3;
f (x )

)

3

2 x

Ta có: f '(x )

4 hoặc (2) vô nghiệm.

3

)

m nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

(2) có nghiệm duy nhất x

4 khi m

f (4)

11
6

m

TH2: (2) vô nghiệm
Ta có: f (x ) là hàm nghịch biến trên [3;

f (x )

f (3), x

(2) Vô nghiệm

[3;

)

m

f (3)

11
6

Kết luận: m

Bài 10. Cho phương trình: x 2

1

2

2 2

1

m

)

2

2 2

m x2

7

x

x4

1

x2

m( x 2

1

x

1) (1) . Tìm m để

phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn
Chú ý: x 4

x2

x2

pt

(x 2
x2

Đặt: t

x4

1

x

x

x2

1

1)(x 2

x

1)

x2

x

1

x

1

1

x2

Xét hàm số f (x )

2x 2

(x 2

1)2

x2

(x 2

x

1)

x2

m( x 2

x2

1 trên D

x

1)(x 2

x

x

1)

x

7

1)

0 (1)

R

Ta có:
2x

f '(x )

2 x

(2x

1) x 2

Ta có: f '(0)

1

x

1

0, x

2

2x

1
x

1

2 x

2

1
x

f '(x )

2 x

1

(2x

(2x

1) x 2

R

hàm số đồng biến trên R

x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

1

2x

0

(2x

1)2 (x 2

x

2

2x

1

x

1

1)2 (x 2

x

1)

1

2 x

1)(2x

1)

0

(2x

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

0

2

x

1)

1

VN

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

y

Giới hạn: limx

y

limx

2x

limx

x2

x

1

x2

1

x

1

2x

limx

x2

x

1

x2

1

PT – HPT- BPT

x

1

Bảng biến thiên:

t
f '(x )
1

f (x )
1

Ta có: t 2

2x 2

x

2

2

(x

2

t2
t

Xét hàm số: f (t )
Ta có: f '(t )

t

1

x

1)(x 2

1

Từ bảng biến thiên ta có:

2 (x 2

x

1)(x

2

x

x

1)

1)

t2

2
2

t2
t

(1)

12
2

2m

12
trên ( 1;1)
2
2t(t

2) (t 2
(t

12)

2

2)

t2

4t
(t

12
2

2)

0

t
t

6
2

Bảng biến thiên:

t

1

1

f '(x )
13

f (x )

13
3

Từ bảng biến thiên ta có: phương trình có nghiệm thực

13
3

2m

13

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

13
2

m

13
6

: Lê Anh Tuấn
:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI






Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng

thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-