TÍCH PHÂN VÀ SƠ ĐỒ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

TÍCH PHÂN VÀ S

Nguyên hàm – Tích phân

GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân và s đ gi i thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này, b n
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.



sin  x  
4

2) I 2  
dx
3
cos
x
0


3  ln x
dx

x
1

e

4

1) I1  

Bài 1: Tính các tích phân sau:

Gi i:

3  ln x
dx
x
1

e

1) I1  

e

e
e
e
e

3  ln x

ln x
ln 2 x 
7
dx
dx
Cách trình bày 1: I1  
dx  3  
dx  3   ln xd ln x   3ln x 
 
2 1 2
x
x 1 x
x 1

1
1
1
e

e

(3  ln x) 2
7
Cách trình bày 2: I1   (3  ln x)d (3  ln x) 

2
2
1
1
e

V y I1 

7
2



sin  x  
4

2) I 2  
dx
3
cos x
0


4







1 sin x  cos x
1
sin x
1 4 cos x

Cách trình bày 1: I 2 
dx 
3

 3 dx  2 0 cos3 x dx
2 0 cos x
2 0 cos x
4

4






4



Cách trình bày 2: I 2 



dx
1 d cos x 1
1
tan x  4
1








3
2


2
2 0 cos x
2 0 cos x  2 2 cos x
2 0
2 2
4





1 sin x  cos x
1 tan x  1
1 4
dx
dx


3


 2
 (tan x  1)d (tan x  1)
2 0 cos x
2 0 cos x
20
4

4

(tan x  1)2

2 2


4



0

1
2 2

1

Bài 2: Tính các tích phân sau:

V y I2  

1) I1  

0

1  2 x.e x
x
dx
e2 x

1
2 2
2

2) I 2  
1

dx
x  x 1

Gi i:
1

1) I1   x 
0

1  2 x.e x
1
1
1

dx   x  2. x. x  2 x dx    x  x  dx
2x

e
e e
e 
0
0 

Hocmai.vn – Ngôi tr

1

ng chung c a h c trò Vi t

1

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1

 x2 1 
1 1  3 1

   x  e  dx    x      1  
 2 e 0 2 e  2 e
0
1

2

2) I 2  
1

x

2

dx

x  x  1 1

2

 2 x x 2( x  1) x  1 
4 2

x  x  1 dx  
 
3
3
 3
1





1

Bài 3: Tính các tích phân sau:

3

2) I 2   x x  1.dx

1) I1   (4 x  1)(2 x  1) dx
5

0

0

Gi i:
1

1) I1   (4 x  1)(2 x  1)5 dx
0

1

1

0

0

I1   (4 x  1)(2 x  1)5 dx    2(2 x  1)  3 (2 x  1)5 dx 

1

1
2(2 x  1) 6  3(2 x  1)5  d (2 x  1)
2 0 

1

1  2(2 x  1)7 (2 x  1)6 
912
 



2
7
2
7
0
3

2) I 2   x x  1.dx
0

3

3

0

0

3
1


2
x  1.dx   ( x  1)  ( x  1) 2  .d ( x  1)

0
3

Cách 1: I 2   x x  1.dx    x  1  1
5
3

2
2( x  1)
2( x  1) 2



5
3




3


  116

15

0

5  3x
dx
2
( x  5 x  6)( x2  2 x  1)
1
0

Bài 4: Tính các tích phân sau:

2

1) I1  





2) I 2   min x; 3 2  x .dx
0

5  3x
( x2  5 x  6)  ( x2  2 x  1)
1
1


1) I1   2
 2
dx  
dx    2
 dx
2
2
2
( x  5 x  6)( x  2 x  1)
( x  5 x  6)( x  2 x  1)
x  2 x  1 x  5x  6 
1
1
1 
0

0

0

dx
( x  2)  ( x  3)
dx

1 
 1

 

dx  
dx
2
2
( x  1) 1  x  3 x  2 
x  2 x  1 1 ( x  2)( x  3)
1
1
0

0



0

x3
1

 ln
x  1 1
x 2
0

V y I1 

2

0


1

0

1
9
 ln
2
8

1
9
 ln
2
8





2) I 2   min x; 3 2  x .dx
0

+) Xét x  3 2  x  x3  2  x  x3  x  2  0  ( x  1)( x2  x  2)  0  x  1
3



 x   0;1  x  2  x
 x khi x   0;1
 min x; 3 2  x  
V y
3
x0;2 
3

 x  1;2   x  2  x
 2  x khi x  1;2 




Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t



T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)



2



1

2

1

2

0

1

0

1

Nguyên hàm – Tích phân

1

Khi đó I 2   min x; 3 2  x .dx   xdx   3 2  xdx   xdx   (2  x) 3 d (2  x)
0

2

1

4
3
5
x2

 (2  x) 3 
2 0 4
4
1

V y I2 

5
4

( x  1) 2013
dx
( x  1) 2015
0

2x  5
dx
( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)
0

1

1

2) I 2  

1) I1  

Bài 5: Tính các tích phân sau:

Gi i:
2x  5
1 ( x2  5 x  6)  ( x2  5 x  4)
1) I1   2
.(2 x  5)dx
dx  
( x  5 x  4)( x2  5 x  6)
2 0 ( x2  5 x  4)( x2  5x  6)
0
1

1

1
1
1
1 
1
1
1  d ( x2  5 x  4)
d ( x2  5 x  6) 
 2

  2

 2

d ( x  5 x)    2
2 0  x  5 x  4 x2  5 x  6 
2  0 x  5x  4
x  5x  6 
0

1 x2  5 x  4
 ln 2
2 x  5x  6

 x 1 
2) I 2   

x 1 
0
1

2013

1

0

1 5
 ln
2 4

1 5
. V y I1  ln
2 4

dx
1  x 1 
 
.

2
( x  1)
2 0  x 1 
1

1
 x 1 
 x 1 
.
d


 x  1  2.2014  x  1 

2013

2014 1


0

1
4028



1) I1 

Bài 6: Tính các tích phân sau:

1

x sin x2
dx
cos 2 x2

2


0

2) I 2   (2 x2  9 x  9) x4  3x3 dx
0

Gi i:


1) I1 

2


0


2

x sin x
1
dx 
2 2
cos x
2

2


0


2

sin x
1
dx2  
2 2
cos x
2

1

1

0

0

2


0

d cos x2
1

2 2
cos x
2 cos x2


2
0



2 1
2

2) I 2   (2 x2  9 x  9) x4  3x3 dx   (2 x  3)( x  3) x. x2  3xdx
1

1

2

3
2

1

5
2 2
64
  ( x  3x) x  3x.(2 x  3)dx   ( x  3x) d ( x  3x)  ( x  3x) 2 
5
5
0
0
0
2

2

ln 2

1) I1 

Bài 7: Tính các tích phân sau:

e

0

dx
1

x

2

x
2
dx
2) I 2  
2
 1  2sin x  sin x
0



sin

2

Gi i:
ln 2

1) I1 


0

dx

x
e 1

ln 2


0

Hocmai.vn – Ngôi tr

e xdx

e x (e x  1)

ln 2


0

de x

e x (e x  1)

ng chung c a h c trò Vi t

ln 2


0

ln 2

1  x
ex
4
1
de
ln


 ln
 x

x
x
e 1 0
3
 e e 1 

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

x
2
dx 
2) I 2  
x
1
2sin
sin 2 x



sin

0



2

Nguyên hàm – Tích phân

x
x
x
0
0
d cos
sin
x
2

 (1  sin2x)2 dx  2   x 2 x 2 d 2  2 
x

2



 4 cos 
sin
cos




2
2
2
2 4
2
2

sin

0

0



1

2

0





2

x 
d cos   
1
1 2
2 4 

2
x 
x 
cos 2    2 cos   
2 4
 2 4  
2

V y I1 

1 2
2

Bài 8. Tính các tích phân sau:


ln 3

1) I1 

e

ln(1  ln x)
dx
x.(1  ln x)
1

e

x

 e2 x  1dx
ln 2

2

2) I 2  

3) I 3   sin x cos 2 2 xdx

4)

0

4x  2

dx
( x  1)( x2  2 x)
2
3

I4  

2

2

5) I 5  
1

2

dx

6) I 6  

x2  3

1

dx
x2 . x2  3

7)



(sin 6 x  cos6 x)sin 4 x
dx
sin 4 x  cos 4 x
0
4

I7  



1  x  2 sin  x  
4

dx
8) I8  

sin
x
x




1

2

9) I 9   x( x  1)2015 dx
0

4

tan x
dx
sin 2 x  2 cos 2 x
0

10) I10  

4

Gi i:

ex
de x
1  1
1  x 1 ex 1


1) I1   2 x dx   x

de  ln x
e 1
(e  1)(e x  1) 2 ln2  e x  1 e x  1 
2 e 1
ln 2
ln 2
ln 3

ln 3

ln 3

ln 3

ln 2

1 3
 ln
2 2
e

ln(1  ln x)
d (1  ln x)
ln 2 (1  ln x)
ln 2 (1  e)
2) I 2  
dx   ln(1  ln x).
  ln(1  ln x).d ln(1  ln x) 

x.(1  ln x)
1  ln x
2
2
1
1
1
1
e

e

e







2

2

2

0

0

3) I 3   sin x cos 2 2 xdx   sin x.(2cos 2 x  1) 2 dx    (4cos 4 x  2cos 2 x  1)d cos x
0



2
 4
 2 17
   cos5 x  cos3 x  cos x  

3
 5
 0 15
4x  2
(2 x  1)dx
d ( x2  x)
dx  2
 2 2
4) I 4   2
( x  1)( x2  2 x)
( x  1)( x  1) x( x  2)
( x  x  2)( x2  x)
2
2
2
3

3

3

1
1  2
d ( x2  x)
x2  x  2

(
)
ln
d

x
x
 2 2






( x  x  2)( x2  x) 2  x2  x  2 x2  x 
x2  x
2
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

3

 ln
2

5
4
- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

2

5) I 5  
1

2

dx
x2  3


1

x



x2  3 dx



2

x2  3 . x2  3





d x  x2  3
x  x2  3

1

  ln x 

2

x2  3

2

 ln

1

3

d 1  2 
dx
dx
1
1
3
x 

I6  

  
  . 1 2
2
2
x
61
3
3
x2  3
1 x . x 3
1 3
1 2
x.
x
x
2

6)

x

Nguyên hàm – Tích phân

2

2

2 7

3

4 7
6


1



(sin 6 x  cos6 x)sin 4 x
dx
sin 4 x  cos 4 x
0
4

7) I 7  

1 2
1  cos 4 x 3  cos 4 x
 4
4

sin x  cos x  1  2 sin 2 x  1 
4
4
+) Ta có 
sin 6 x  cos6 x  1  3 sin 2 2 x  1  3(1  cos 4 x)  5  3cos 4 x

4

8
8


+) Khi đó I 7 



1 5  3cos 4 x
1 4 3.(3  cos 4 x)  4
.sin
4


.d cos 4 x
xdx
2 0 3  cos 4 x
8 0
3  cos 4 x
4









1 

4
3
1 4 d (3  cos 4 x)





3
.
cos
4
cos
4
d
x
d
x


8 0  3  cos 4 x 
8 0
2 0 3  cos 4 x
4

4



1

 3
4 3 1
   cos 4 x  ln 3  cos 4 x    ln 2
2
 8
0 4 2

+) V y I 7 

3 1
 ln 2
4 2





1  x  2 sin  x  
2
2
1  x  (sin x  cos x)
x  sin x  (1  cos x)
4

dx  
dx  
dx
8) I8  
x  sin x
x  sin x

x  sin x





2

4

4

4







2




2
d ( x  sin x) 
1  cos x
dx  x 2  
  ln x  sin x

x
x

sin
4
 x  sin x

4

4

4

2

  dx  
V y I8 


4


2



4




4

 ln

2  4
 2 2

4

 ln

2  4
 2 2

1

1

0

0

1

9) I 9   x( x  1)2015 dx   ( x  1  1)( x  1) 2015 dx   ( x  1) 2016  ( x  1) 2015  d ( x  1)
0

1

 ( x  1)2017 ( x  1) 2016 
1
1
1






2016  0 2017 2016
4066272
 2017
V y I9  

1
4066272

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)




Nguyên hàm – Tích phân



4

tan x
14
tan x
1 4 tan x
dx
10) I10  
.
dx
dx


2
2


sin 2 x  2cos x
2 0 sin x cos x  cos x
2 0 tan x  2 cos 2 x
0






4
1 4 tan x
1 4
2
1
1
3

 
.d tan x   1 
 .d tan x   tan x  2ln tan x  2    ln
2 0 tan x  2
2 0  tan x  2 
2
2
2
0

V y I10 

1
3
 ln
2
2

Bài 9. Tính các tích phân sau v i k  1;5 (có 40 câu tích phân trong bài này) :






2

2

4

A   sin k xdx

B   cos k xdx

0


2

D   cot k xdx

C   tan k xdx

0



0

4


2

E


4

6

1
dx
sin k x







1
dx
cos k x
0

G

F 



3

3

1
dx
tan k x

H 


1
dx
cot k x

4

6

Gi i:
*) V i k = 1 . Ta có:



2

+) A1   sin xdx   cos x 02  1
0




2

+) B1   cos xdx  sin x 02  1
0





4

4



0

4
d cos x
sin x
dx   
  ln cos x
cos x

cos x
0
0





2

2

+) C1   tan xdx  

+) D1   cot xdx  




4

4


4
0

  ln

2 1

 ln 2
2
2


2
cos x
d sin x
 ln sin x
dx  
sin x
 sin x


2



  ln

4

2 1
 ln 2
2
2

4



2

+) E1  


1
dx
sin x

3





2

2

Cách 1: E1  




2
1
sin x
sin x
dx   2 dx  
dx .

2
sin x
 sin x
 1  cos x

3



3

3



d cos x
12
1
1
1 1  cos x

E1   
  

 d cos x   ln
2   1  cos x 1  cos x 
2 1  cos x
 (1  cos x)(1  cos x)
2

3

Hocmai.vn – Ngôi tr

2





1
ln 3
2

3

3

ng chung c a h c trò Vi t



T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)




2

2

Cách 2: E1  


1
dx  
sin x


3

3

Nguyên hàm – Tích phân




x
x
x
x
x 
x

dx
dx
 cos 2
2 sin
2 cos
2 d cos
2 d sin
1
1
2
2 dx 
 2 x  2  2x   x2   x2
x
x
2
2sin cos
cos
sin
cos
sin
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2

sin 2



x
x2
x

   ln cos  ln sin   ln tan
2
2 
2

3







2

2

2


2





1
ln 3
2

3



x
2 d tan
1
1
dx
2  ln tan x

dx  
dx  
Cách 3: E1  
x
x
x
x 
x
2
 sin x

 2sin
 2 tan
cos
cos 2
tan
3
3
3
3
2
2
2
2
2




6

6



1
1  1
1 
1 1  sin x
d sin x
 


 d sin x  ln

2 0 (1  sin x)(1  sin x) 2 0  1  sin x 1  sin x 
2 1  sin x
6



4





6

6

6







3

3

3

+) H1  



4



 ln 2 

3

4


6
0



1
ln 3
2

6

1

ln 2
2

6



3
1
sin x
d cos x
dx   tan xdx  
dx   
  ln cos x
cot x
cos
cos
x
x




4

1
ln 3
2



4
4
4
1
cos x
d sin x
 ln sin x
dx   cot xdx  
dx  
tan x

 sin x
 sin x

+) G1  





ng t nh E1 - ho c đ i bi n ho c vi phân)



6



2



6
1
cos x
cos x
+) F1  
dx  
dx  
dx ( tính t
2
cos x
cos x
1  sin 2 x
0
0
0





4


3



4

  ln

2 1
 ln 2
2
2

4

*) V i k = 2 . Ta có:




2

+) A2   sin 2 xdx 
0



1
1
1
2 
(1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x  

20

2
2
4
0
2







12
1
1
2 
+) B2   cos 2 xdx   (1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x  
4
20
2
2
0
0
2





4


4 
 1

+) C2   tan 2 xdx   



1
dx
tan
x
x

 04 

2
cos x 
4
0
0
4






2
4 

 1

+) D2   cot 2 xdx    2  1 dx    cot x  x 2 
4


  sin x
4
2

4

4


2

+) E2  



1
3
2
dx
cot
x


 

2
sin x
3
3

3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân



3
1
6 
dx
tan
x


2
0
cos x
3
0

6

+) F2  







4
4
1

 1

2
4
dx
cot
xdx
1
dx
cot

x
x






+) G2  
3 1 


 
 2

2


12

 tan x

  sin x
6
4

6

6

6








3
3
1
 1

2





dx
tan
xdx
1
dx
tan
x
x
+) H 2  


 3 


2
2



 cot x

  cos x
4
3

4

4

3 1 


12

4

*) V i k = 3 . Ta có:









cos3 x  2 2
3
2
2
+) A3   sin xdx   sin x.sin xdx    (1  cos x)d cos x    cos x 
 
3

0 3
0
0
0
2

2

2










sin x  2 2
3
2
2
+) B3   cos xdx   cos x.cos xdx   (1  sin x)d sin x   sin x 
 
3 0 3

0
0
0
2

2



3

2







4

 tan x

3
3
2
+) C3   tan xdx    tan x  tan x  tan x dx    tan x(1  tan x)  tan x dx    2  tan x dx
cos x

0
0
0
0 
4

4





4





4
4
tan x
tan 2 x 4

1 1





 C1   ln 2
tan
tan
tan
dx
xdx
xd
x
C
1
2


cos x
2 0
2 2
0
0
0
4

1
( các b n có th xem l i cách tính C1  ln 2 đã tính
2





tr

c đó v i k = 1 )





 cot x

+) D3   cot 3 xdx    cot x  cot 3 x  cot x dx   cot x(1  cot 2 x)  cot x dx    2  cot x dx




  sin x
2

2

4

4





2

2

4

4





2
2
cot x
cot 2 x 2
1 1
  2 dx   cot xdx    cot xd cot x  D1  
 D1   ln 2
2 
2 2
 sin x


2

4

4

4

4

1
(các b n có th xem l i cách tính D1  ln 2 đã tính
2




2

2

+) E3  


tr

c đó v i k = 1 )



2
1
sin x
sin x

dx
dx
dx


3
4
2
2


sin x
 sin x
 (1  cos x)

3

3

3

t t  cos x  dt   sin xdx và t :
1
2

1
0
2

1

1

1 2  (1  t )  (1  t ) dt 1 2 (1  t ) 2  (1  t ) 2  2(1  t ).(1  t )
dt
dt

 
Khi đó E3  
(1  t 2 )2 4 0 (1  t ) 2 .(1  t ) 2
40
(1  t ) 2 .(1  t ) 2
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1

Nguyên hàm – Tích phân

1


12 1
1
2
12 1
1
1
1 
dt
dt
 








2
2
2
2

4 0  (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t ) 
4 0  (1  t ) (1  t ) 1  t 1  t 
1

1
1 1
1
1 t  2 1
 

 ln
 ln 3 

3
4  1 t 1 t
1 t  0 4






6

6
6
1
cos x
cos x
F
dx
dx
dx




+) 3 
3
4
2
2


cos
cos
(1
sin
)
x
x
x

0
0
0

t t  sin x  dt  cos xdx và x : 0 
1
2

1
2


6

thì t : 0 

1
2

1
2

1  (1  t )  (1  t ) dt 1 (1  t ) 2  (1  t ) 2  2(1  t ).(1  t )
dt
dt

 
(1  t 2 )2 4 0 (1  t )2 .(1  t ) 2
40
(1  t ) 2 .(1  t ) 2
0

Khi đó F3  


2

1
2

1

2


1  1
1
2
1  1
1
1
1 
dt   
dt







2
2
2
2

4 0  (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t ) 
4 0  (1  t ) (1  t ) 1  t 1  t 
1

1 1
1

1 t  2 1
1
 

 ln
 ln 3 

4  1 t 1 t
1 t  0 4
3








4
4
4
1
3
3
cot x(1  cot 2 x)  cot x dx
dx
cot
xdx
cot
x

cot
x
cot
x
dx





+) G3  


3



 tan x



4

6

6

6

6









3

3

3

+) H 3  


3
1
3
3
 tan x(1  tan 2 x)  tan x dx





dx
tan

xdx
tan
x
tan
x
tan
x
dx


3



cot x




4

4

4



4









3
tan x
sin x
d cos x
 tan x sin x 
  2 




dx
dx
dx
tan
xd
tan
x
2






cos x 
  cos x
 cos x
 cos x

 cos x
3

4

3

3

3

4

4

4

4



 tan 2 x
3
1


 ln cos x   1  ln 2
2
 2

4

*) V i k = 4 . Ta có:








1
1 
1  cos 4 x 
 1  cos 2 x 
4
2
+) A4   sin xdx   
 dx   1  2cos 2 x  cos 2 x dx   1  2cos 2 x 
 dx
2
40
4 0
2



0
0
2

2

2

2



2



1 23
1
13
1

 2 3
    2cos 2 x  cos 4 x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x  
4 02
2
42
8

 0 16
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)






Nguyên hàm – Tích phân


12
1 2
1  cos 4 x 
 1  cos 2 x 
2
+) B4   cos 4 xdx   




1

2cos
2
cos
2
dx
x
x
dx



1  2cos 2 x 
 dx


2
40
4 0
2


0
0
2

2

2





1 23
1
13
1

 2 3
    2cos 2 x  cos 4 x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x  
16
4 02
2
42
8

0








4
 tan 2 x
4
2
4

2
2
2
2
2 
+) C4   tan xdx    tan x  tan x  tan x dx    tan x(1  tan x)  tan x dx    2  tan x dx
cos x

0
0
0
0 
4

4

4









4
4
tan 2 x
tan 3 x 4

1 4   3  8
2
2
tan
tan
tan
dx
xdx
xd
x
C





 C2  

2
2


cos x
3 0
3
4
12
0
0
0

4

(các em có th xem l i cách tính C2 




4 
đã tính
4

tr

c đó v i k = 2 )





2
 cot 2 x

+) D4   cot 4 xdx    cot 2 x  cot 4 x  cot 2 x dx   cot 2 x(1  cot 2 x)  cot 2 x dx    2  cot 2 x dx



  sin x

2

2

2

4

4





4

4





2
2
cot 2 x
cot 3 x 2
1 4   3  8
  2 dx   cot 2 xdx    cot 2 xd cot x  D2  
 D2  

12
3 

3
4
 sin x


2

4

4

4

4

(các em có th xem l i cách tính D2 




4 
đã tính
4

tr

c đó v i k = 2 )





2

1
1
1
cot 3 x  2 10 3
+) E4   4 dx   2 . 2 dx    1  cot 2 x .d cot x    cot x 
 
3 
27
 sin x
 sin x sin x


2

2

3

3



3

3







6

1
1
1
tan 3 x  6 10 3
2





.
1
tan
.
tan
tan
dx
dx
x
d
x
x

+) F4  



 
0 cos2 x cos2 x 0
cos 4 x
3 0
27

0
6

6









4
1
4
2
4
2
dx   cot xdx    cot x  cot x  cot x dx   cot 2 x(1  cot 2 x)  cot 2 x dx

+) G4  
4
 tan x



4

4

6

6

4

6



6









4
 cot x
cot x
 1

2 
2
2
   2  cot x dx   2 dx   cot xdx    cot xd cot x    2  1 dx

  sin x
 sin x


  sin x

4

2

4

6

2

6

4

4

6

6

6



 cot 3 x
 4 8
 
 cot x  x  
3
12


6

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)






Nguyên hàm – Tích phân



3

3
3
3
1
4
2
4
2
 tan 2 x(1  tan 2 x)  tan 2 x dx





dx
tan
xdx

tan
x
tan
x
tan
x
dx
+) H 4  


4



 cot x



4

4

4

4











3
3
3
3
 tan 2 x

tan 2 x
 1

2
2
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
x
   2  tan 2 x dx  



 1 dx


2
2




  cos x
 cos x


  cos x

3

4

4

4

4

4



 tan 3 x
 3 8

 tan x  x  

12
 3

4

*) V i k = 5 . Ta có:








2

2

2

2

0

0

0

0

5
4
2
2
2
4
+) A5   sin xdx   sin x.sin xdx   (1  cos x) .sin xdx    (1  2cos x  cos x).d cos x



2
1

2
8
   cos x  cos3 x  cos5 x  
3
5

 0 15
(có th đ t t  cos x )








2

2

2

2

0

0

0

0

5
4
2
2
2
4
+) B5   cos xdx   cos x.cos xdx   (1  sin x) .cos xdx   (1  2sin x  sin x).d sin x



2
1

2
8

  sin x  sin 3 x  sin 5 x  
3
5
15

0
(có th đ t t  sin x )








4
 tan 3 x
5
3
5
3
3
2
3
3 
+) C5   tan xdx    tan x  tan x  tan x dx    tan x(1  tan x)  tan x dx    2  tan x dx
cos x

0
0

0
0 
4

4





4





4
1 1 1
tan x
tan 4 x 4
1
 1
3
3
tan
tan
tan
dx
xdx
xd

x
C





 C3     ln 2   ln 2 
3
2


4 2 2
cos x
4 0
4
 2
0
0
0
4

3

4

( các b n có th xem l i cách tính C3 


1 1

 ln 2 đã tính
2 2



tr

c đó v i k = 3)





2
 cot 3 x

+) D5   cot 5 xdx    cot 3 x  cot 5 x  cot 3 x dx   cot 3 x(1  cot 2 x)  cot 3 x dx    2  cot 3 x dx



  sin x

2

2

4

4





2




4

2

4



4



2
2
1
1 1 1
cot 3 x
cot 4 x 2
 1
3
3

cot
cot
cot
dx
xdx
xd
x
D






 D3     ln 2   ln 2 
3
2


4
4 2 2
sin x
4 
 2


4

4

( các b n có th xem l i cách tính D3 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

4

1 1
 ln 2 đã tính
2 2

tr

c đó v i k = 3 )

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)




Nguyên hàm – Tích phân



2

2
2
1
sin x
sin x
dx
+) E5   5 dx   6 dx  
2
3
 sin x
 sin x
 (1  cos x)
3

3

3

t t  cos x  dt   sin xdx và x :


3




2

thì t :

1
0
2

.

1
2

dt
(1  t 2 )3
0

Khi đó E5  

1
1  (1  t )  (1  t ) 1 (1  t )3  (1  t )3  6(1  t ).(1  t )

 .
.
Ta có:
(1  t 2 )3 8 (1  t )3 .(1  t )3
8
(1  t )3.(1  t )3
3

2

 1 1
1 1
1
6
1
3  (1  t )  (1  t ) 
 


 

 .

8  (1  t )3 (1  t )3 (1  t ) 2 .(1  t ) 2  8  (1  t )3 (1  t )3 2 (1  t ) 2 .(1  t ) 2 

1 1
1
3 (1  t ) 2  (1  t ) 2  2(1  t ).(1  t ) 
 

 .

8  (1  t )3 (1  t )3 2
(1  t )2 .(1  t )2


1 1
1
3 1
1

2
 

 



3
3
2
2
8  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t )  
1 1
1
3 1
1
1
1 
 

 




3
3
2
2
8  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t ) 1  t 1  t  

Suy ra E5 

1
2

1  1
1
3 1
1
1
1 







 dt
3
3
2
2
8 0  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t ) 1  t 1  t  
1
2

1 1
1
3 1

1
1  t 
17 3
 

 

 ln
 ln 3
 

2
2
8  2(1  t ) 2(1  t ) 2  1  t 1  t
1  t   0 36 16




6

6



6
1
cos x
cos x
dx

dx
dx


5
6


cos x
cos x
(1  sin 2 x)3
0
0
0

+) F5  

t t  sin x  dt  cos xdx và t : 0 

1
2

.

1
2

1 3
dt
 ln 3 (các b n xem cách tính E5

2 3 
12 16
(1  t )
0

Khi đó F5  






3

3

3

+) H 5  


ý trên)



3
1
5
3
5

3
 tan 3 x(1  tan 2 x)  tan 3 x dx





dx
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
x
dx


5



cot x




4



4

4



4





3
3
3
3
 tan 3 x
1 
tan 3 x
1
  2 



tan 3 xd tan x  H 3
dx
dx
dx

3 
2
3



cot x 
  cos x
 cos x
 cot x

4

Hocmai.vn – Ngôi tr

4

ng chung c a h c trò Vi t

4

4

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân



tan 4 x 3
 1

1

 H 3  2  1  ln 2   1  ln 2
4 
2
 2

4

1
( các b n có th xem l i cách tính H 3  1  ln 2 đã tính
2

tr

c đó v i k = 3 )

Bài 10. Tính các tích phân sau:




2

2

dx
1  cos x
0

1) I1  



2) I 2  
0



2

dx
2  cos x

dx
1  sin x
0

3) I 3  





5) I 5   (1  2sin x)  sin x  cos x dx

4

4

4) I 4   sin 2 x cos 3x cos 5 xdx

2

0

6

6

0

3

x
x
6) I 6   sin 3 cos dx
2
2
0



cos6 x
dx
7) I 7  
4
 sin x
2

4

Gi i:






2

2

2

x

dx
dx
x2
2



 tan
1
1) I1  
x
x

1
cos
2
x
2
2
0
0
0 2 cos
0 cos
2
2
2dt


dx 
2

dx
x 

1 t2
2) I 2  

t t  tan  
và x : 0  thì t : 0  1
2
2  cos x
2 
2
1 t
0
cos x 
2
1 t

2dt

3
1
1
2
du  3(1  tan 2 u )du
2dt
dt 


t
1
2
3
tan
t
u




 I2  
t
và t : 0 
cos
u

2
2

1 t
t 3
6
0
0
t 2  3  3(1  tan 2 u )
2
2

1 t
d







2 3(1  tan 2 u )du 2 3 6
2 3 6

du

u 
Khi đó I 2  
3(1  tan 2 u )
3 0
3 0
0
6

3
9

2dt

dx 

x 
1 t2
CHÚ Ý: Khi đ t t  tan  
2 
2t
1 t2
sin x 
; cos x 

1 t2

1 t2








2
dx
dx
dx
x 2




cot
3) I 3  
   1
2
0 2  x  
1  sin x 0 
2 4 0

x
x
0
2sin   

 sin  cos 
2 4
2
2

1
1
1
( ho c bi n đ i
)




1  sin x

2 x
1  cos  x   2sin   
2

2 4
2

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)




Nguyên hàm – Tích phân



4

14
14
4) I 4   sin 2 x cos 3x cos 5 xdx   sin 2 x  cos8 x  cos 2 xdx    sin 2 x cos8 x  sin 2 x cos 2 xdx
20
20
0




14
1 1
1
1

13
4
   sin10 x  sin 6 x  sin 4 xdx    cos10 x  cos 6 x  cos 4 x  
40
4  10
6
4
 0 120


5) I 5   (1  2sin 2 x)  sin 6 x  cos 6 x dx
4

0

1  2sin 2 x  cos 2 x

Ta có:  6
3 2
6
2
2
3
2
2
2
2
sin x  cos x  (sin x  cos x)  3sin x.cos x(sin x  cos x)  1  sin 2 x
4








1 4 3
1
1
 3


4 3
Khi đó I 5   cos 2 x 1  sin 2 x  dx   1  sin 2 2 x  d sin 2 x   sin 2 x  sin 3 2 x  
2 0 4
2
4
 4


0 8
0
4







3

3
x
x
x
x 1
x3 1
6) I 6   sin cos dx  2  sin 3 d sin  sin 4

2
2
2
2 2
20 4
0
0
3







2
cos x
cos x.(1  sin x)
cos 2 x.(sin 4 x  2sin 2 x  1)
dx  

dx  
dx
7) I 7  
4
sin 4 x
sin 4 x
 sin x


2

6

4

2

2

2

2

4

4







2
 2
cot x 
dx
1  cos 2 x
 1

2
   cos x  2 cot x  2  dx   
 2  2  1  dx   cot 2 x. 2
sin x 
2
sin x
 sin x  

 

2

2

2

4

4



4



2
2
2 
 5 cos 2 x
  
 2  dx   cot 2 xd cot x
2
sin x 
2

4

4



5
1
cot 3 x  2 5 23
  x  sin 2 x  2 cot x 

 
4
3 

8 12
2
4

Bài 11. Tính các tích phân sau:




cos x  sin x
1) I1  
dx
1  sin 2 x
0

3

4

3) I 3 

3
4





2) I 2  
0

dx
2  sin x  cos x



sin x
3 sin x  cos x



k

dx v i k  1;3





4

3
3
5) I 5   cos 2 x.(sin x sin 3x  cos x cos 3 x)dx

3
4) I 4   cos x.cos 3xdx

0

0

4

Gi i:






4
4
cos x  sin x
d (sin x  cos x)
1
2
dx  


 1
1) I1  
2
1  sin 2 x
(sin x  cos x)
sin x  cos x 0
2
0
0
4

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

2
2

V y I1  1 

3

2) I 2  
0



sin x
3 sin x  cos x



k

dx v i k  1;3

Cách trình bày 1:




3

3

Ta có: I 2  
0

sin x



3 sin x  cos x



k

dx  
0

 

sin  x   
6 6

 3

1
2 
sin x  cos x 
2
 2




k

k

dx 

1
2k

3


0

3
 1



sin  x    cos  x  
2
6 2
6


dx

k
sin  x  
6



 


 dx 
3
3 cos  x 

1
3dx
6


 
 k 1  



2 0
 0


k 1 
sin k  x   
 sin  x  6 
6 







d sin  x  
dx
3
1
6

 k 1 
 k 1 
 2 0


2 0


sin k 1  x  
sin k  x  
6
6


+) V i k  3




3

3



 
3


sin
d
x





33
1 3
1
dx
3
6  3










cot
I2 
x




  16 0


16 0
16

6
32




sin 2  x  
sin 3  x   
32sin 2  x   
6
6  
6   0



+) V i k  2






d sin  x  
dx
3
1
3
1
6


 
I2 

A B

 80

8 0
8
8


sin  x  
sin 2  x  
6
6






3

3

(1)







sin  x  
sin  x  
3
dx
6
6



dx  
dx
*) Ta có: A  
  0 2  

2
0 sin  x 
0
sin  x  
1  cos  x  


6
6
6








3

3



d cos  x  
6

 
  
 


0 
1  cos  x  6   1  cos  x  6  

 





3






1
1
1

 d cos  x  
  


 
2 0
6



 1  cos  x  6  1  cos  x  6  







3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 15 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





1  cos  x  
1
6

  ln

2

1  cos  x  
6


3

 ln



32



(2)

0



3



3 d sin  x 
1
6

*) Ta có: B  

1



0 sin 2  x 
sin  x  



6
60





c: I 2 

Thay (3); (2) vào (1) ta đ

3 ln



(3)



3  2 1
8

+) V i k  1




d sin  x  



3
1
3
1
 3
3 1
6


ln
sin




I2 
dx
x
x
 ln 2

 




  4
4 0
40

4
6
12 4


0
sin  x  
6





3

3


3

Cách trình bày 2:

I2  
0

sin x



3 sin x  cos x





3

3

Ta có: I 2  



sin x





k

dx v i k  1;3


sin x

dx  
k

dx 

k

1
2k

3

sin x
dx

0 sin k  x 


6




 3

1
2k 
sin x  cos x 
2
 2






t t  x   dt  dx và x : 0  thì t : 
6
3
6
2



 
3
1
sin t  cos t

2 sin  t 
2
1
1 2  3 sin t cos t 
 6  dt  1
2
2
dt


Khi đó I 2  k 

 dt
2  sin k t
2k 
sin k t
2k 1   sin k t sin k t 

0

3 sin x  cos x

6

0

6

6





2
d sin t  1
1 2
cos t 
12
+) V i k  1  I 2    3 
 dt    3dt  
 4
4
sin t 
4
 sin t 
6
6

6




+) V i k  2  I 2 

1 

8  
2

6



3t  ln sin t




2





3 1
 ln 2
12 4

6





2
2
d cos t
d sin t 
3 sin t cos t 
1


 dt    3 
2

sin 2 t sin 2 t 
8
 (1  cos t )(1  cos t )
 sin t 
6
6





3 1  cos t

1 2
ln
  

 
16
1
cos
t
8sin
t




3 ln





3  2 1
8

6

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 16 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





 2

2


dt
d sin t  1 
1
3
cos t
1
1 2
3
+) V i k  3  I 2    2  3  dt   3  2  
   3 cot t 


3
2 

16   sin t sin t 
16   sin t  sin t  16 
2sin t   32
6
6
6
 6

2

3) I 3 

3
4

dx

2  sin x  cos x



4

3
4

dx






2  2 cos  x  
4


4



1
2

3
4





4

1
2



3
4



4

1
dx



1  cos  x   2 2
4


3
4



4

dx
x 
sin 2   
2 8

x 

3
d  
4
2
x
1

2
8



 
cot    
2
x 
2
2 8 
sin 2   
4
2 8



3
4) I 4   cos x.cos 3xdx Ta có: cos3 x.cos3x  cos 2 x.(cos x.cos3x) 
0

1  cos 2 x cos 4 x  cos 2 x
.

2
2

1
cos 4 x  cos 2 x  cos 2 x.cos 4 x  cos 2 2 x

4
1
cos 6 x  cos 2 x 1  cos 4 x  cos 6 x  3cos 4 x  3cos 2 x  1
  cos 4 x  cos 2 x 


4
2
2
8









1
1  sin 6 x 3sin 4 x 3sin 2 x

 I 4   (cos 6 x  3cos 4 x  3cos 2 x  1)dx  



 x =
80
8 6
4
2
8
0
Chú ý:
Bài toán trên ta có th có cách bi n đ i :
Xu t phát t công th c nhân 3 c a cos: cos3x  4cos3 x  3cos x ( sau đó nhân c 2 v v i cos3x )
1  cos 6 x
3(cos 4 x  cos 2 x)
 cos2 3x  4cos3 x.cos3x  3cos x.cos3x 
 4cos3 x.cos3x 
2
2
cos 6 x  3cos 4 x  3cos 2 x  1
 cos3 x.cos3x 
8

4

5) I 5   cos 2 x.(sin 3 x sin 3x  cos3 x cos 3 x)dx
0

Ta có: sin3 x sin 3x  cos3 x cos3x = sin x(1  cos2 x)sin 3x  cos x(1  sin 2 x) cos3x
=  sin x sin 3x  cos x cos3x  sin x cos x  cos x sin 3x  sin x cos3x
= cos 2 x  sin x cos x.sin 4 x
 cos 2 x  2sin x cos x.sin 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 2 x cos 2 x

 cos 2 x  sin 2 2 x cos 2 x  cos 2 x(1  sin 2 2 x)  cos3 2 x
Khi đó:








1
 1  cos 4 x 
2
I 5   cos 2 x.cos 2 xdx   cos 2 xdx   
 dx   1  2cos 4 x  cos 4 x dx
2
40

0
0
0
4

4

3

Hocmai.vn – Ngôi tr

4

2

4

4

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 17 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

Nguyên hàm – Tích phân

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 18 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.

Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-