10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP PHẦN 1

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

10 D NG TÍCH PHÂN TH

Nguyên hàm – Tích phân

NG G P ( Ph n 01)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng 10 d ng tích phân th ng g p (Ph n 01) thu c khóa h c
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Tính các tích phân sau:

2x 1
dx
2) I 2  
0 1 2x 1

1

4

4

1) I1   x 2  x dx (B – 2013)
2

0

3) I 3 


0

4x 1
dx (D –
2x 1  2

2011)
x4  x  1  1
1 x3 1  x  1 dx

2 3

2

4) I 4 



4

7

 1

7) I 7 

5) I 5 



x dx
3

0

5
64

3

x 1
4



8) I8 


1

dx
x x 4
2

dx
3

x  x
2

0

(A – 2003)

6) I 6 

31


1

9) I 9  
1
2

x
dx
3
x 1

5

xdx
1 2x

2
2

10) I10  
1

xdx
x  x2  1

Gi i:
1

1) I1   x 2  x2 dx (B – 2013)
0

t t  2  x2  t 2  2  x2  2tdt  2 xdx  xdx  tdt ;

+)

i c n x : 0  1 thì t : 2  1

2

2 2 1
t3

+) Khi đó I1    t.tdt   t dt 
3
31

1
2
1

2

2

+) V y I1 
4

2) I 2 

 1
0

2 2 1
3

2x 1
dx
2x 1

t t  2 x  1  t 2  2 x  1  tdt  dx ;

+)

i c n x : 0  4 thì t :1  3

3

3
 t2
3
t
t2
1 

dt    t  1 
 I2  
.tdt  
dt    t  ln(t  1)  1  2  ln 2
t 1
t 1 
1 t
2

1
1
1
3

+) V y I 2  2  ln 2
4

3) I 3 


0

+)

4x 1
dx (D – 2011)
2x 1  2

tdt  dx
t t  2x  1  t 2  2x 1  
;
2
2 x  t  1
3

 I3  
1

i c n x : 0  4 thì t :1  3

3
3
 2t 3
3
2(t 2  1)  1
2t 3  3t
10 


dt    2t 2  4t  5 
 2t 2  5t  10 ln(t  2)  
dt
.tdt  



t2
t2
t2
1
 3
1
1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

34
5
 10 ln
3
3
34

5
 10ln
3
3

+) V y I 3 

2
x4  x  1  1
x4
x 1  1

dx



 3
x3 1  x  1
x  1 x3 1  x  1
1 x 1


2

4) I 4  



1












2
2
x
dx
 dx 
dx

 A B (*)



x3
x 1
1 1
1


2

1 2 3
dx



2 x2 1 8
x3
1

+) Tính B  

(1)

2

x
dx
x 1
1 1

+) Tính A  

dx  2tdt
t t  x 1  t 2  x 1  
;
2
x  t 1

i c n x :1  2 thì t : 0  1

1 3
1
 t3 t2
 1 11
t t
(t 2  1).2tdt
2 

 4 ln 2 (2)
 2

dt  2  t 2  t  2 
dt
2
   2t  2ln(t  1)  

t 1
t 1 
1 t
3 2
0 3
0
0
0

1

 A 

Thay (1); (2) vào (*) ta đ

2 3

5) I 5 



5

+)

dx
x x2  4

c: I 4 

97
 4 ln 2
24

(A – 2003)

tdt  xdx
t t  x2  4  t 2  x2  4   2 2
;
x  t  4

+) Khi đó I 5 

2 3



5



dx
x x2  4

2 3





5

xdx
x2 x2  4

i c n x : 5  2 3 thì t : 3  4

1 [(t  2)  (t  2)]dt
tdt
dt
 2
 
2
(t  4).t 3 t  4 4 3 (t  2)(t  2)
3

4



4

4

4
1  1
1 
1 t 2 4 1 5


dt
ln 


  ln
4 3  t  2 t  2 
4 t2 3 4 3

1 5
+) V y I 5  ln
4 3

6) I 6 

0

31



+)

5

xdx
1 2x

2

5
 4
5t dt  2dx  dx   t 4 dt


2
t t  5 1  2x  t 5  1  2x  
;
5
x  1 t

2


i c n x: 

31
 0 thì t : 2  1
2

1 t5  5 4 
2
.   t dt 
1
2
5 3 8
5  t4 t9 
9545
2  2

 I6  
   t  t  dt      
41
4  4 9 1
t
144
2

+) V y I 6  

9545
144

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
4

7

 1

7) I 7 

x3dx
3

0

x4  1

3
t t  3 x4  1  t 3  x4  1  3t 2 dt  4 x3dx  x3dx  t 2 dt ;
4

+)

 I7 

Nguyên hàm – Tích phân

i c n x : 0  4 7 thì t :1  2

2
2
2 3 3 3
3 t 2 dt 3 
1 
3  t2
t
dt




1
  t  ln(t  1)    ln




t 1 
4 1 1 t 4 1 
4 2
1 8 4 2

3 3 3
+) V y I 7   ln

8 4 2
64

8) I8 



dx
3

1

x2  x

5

dx  6t dt
tt  x  x  t  
3 2
4
; x  t3

 x t
6

6

;

i c n x :1  64 thì t :1  2

2

2 2
2
 t2

t dt
6t 5 dt
1 
3
3

dt
6
 I 8   4 3  6
6   t  1 

  t  ln t  1   3  6ln . V y I8  3  6 ln

t t
t 1 1 
t 1 
2
2
2
1
1
1
2

Nh n xét: Trong bài toán trên đ ng th i xu t hi n c n b c 2 và c n b c 3 nên chúng ta đã tìm cách đ i
bi n đ đ ng th i m t c hai c n. Khi đó ta s ngh t i vi c đ t t  6 x hay x  t 6 (
6  BCNN(2;3) ) .

đây

b

Nh v y khi g p I   f ( m g ( x), n g ( x))dx thì ta đ t t  k g ( x) v i k là BCNN c a m và n.
a

1

1

x
dx  
3
x 1
1

9) I 9  
1
2

1

x
1


x 1  3 
 x 
3

2

dx  
1
2

1
1
x 1 3
x

1

dx  
1
2

x2
1
x 1 3
x

dx

3

1
1
1
2
t
2t
dt  x2 dx   . 2
dt
 t 2  1  3  x3  2
 3x2 dx  2
3
2
(t  1)
3 (t  1)2
x
x
t 1
1
i c n x :  1 thì t : 3  2 . Khi đó :
2

t t  1

+)

2
I9  
3

1

ln
3



2


3

2

1
(t 2  1)2 . 2 .t 3
t 1
tdt



2 1

3

2
dt
 t 2 1  3
2

3

1
dt
 (t 1)(t  1)  3
2

1 
1 t 1
 1
  t 1  t  1  dt  3 ln t  1
2
3

3


2

2

2

1
+) V y I 9  ln
3
2

10) I10  
1





2 1

2

2

xdx
x  x2  1

Nh n xét: N u đ t t  x2  1  t 2  x2  1  tdt  xdx nh ng ta không chuy n đ
Khi đó ta ngh t i vi c nhân liên h p. C th ta có l i gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

c x theo t

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

2

I10  
1

x  x2  1


1





x x  x2  1 dx

2

xdx

x



x2  1 x  x2  1

2







Nguyên hàm – Tích phân

2

2

1

1

  x x  x2  1 dx   x2 dx   x x2  1dx
1

1 2
7
 x3  I   I
3 1
3

(1)

2

Tính I   x x2  1dx
1

t t  x2  1  t 2  x2  1  tdt  xdx và x :1  2 thì t : 0  3
3

I 

 t.tdt 
0

3

2
 t dt 
0

t3 3
7
 3 (2) .T (1) và (2)  I10   3
3 0
3

Chú ý: Do x  x2  1  0 v i x  1; 2 nên ta có th nhân c t và m u c a bi u th c tích phân trên
v il

ng liên h p x  x2  1 . N u trong tình hu ng bi u th c ta nhân có th b ng 0 thì ta không đ

phép bi n đ i nh th . Các b n có th tham kh o tr

c

ng h p này qua tích phân I 5 trong Bài 7.

Bài 2. Tính các tích phân sau:




2

sin 2 x

1) I1  

cos x  4sin x
2

0



3) I 3 

  sin x 
2

2

sin 2 x 1  sin x
dx
8  sin x
0
2

2) I 2  

dx (A – 2006)





4) I 4 

1  cos x sin xdx

0

2



6

1  cos3 x sin x cos5 xdx

0

Gi i:

2

sin 2 x

1) I1  

cos x  4sin 2 x
2

0

+)

dx

2
t t  cos2 x  4sin 2 x  1  3sin 2 x  t 2  1  3sin 2 x  2tdt  6sin x cos xdx  sin 2 xdx  tdt
3
2
2
2 tdt 2
2 2 2

  dt  t 
i c n x : 0  thì t :1  2  I1  
31 t
31
3 1 3
2

+) V y I1 

2
3



sin 2 x 1  sin x
dx
8  sin x
0
2

2) I 2  
+)

t t  1  sin x  t 2  1  sin x  2tdt   cos xdx  cos xdx  2tdt

i c n x  0  t  1 và x   t  0
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân



sin x. 1  sin x
(1  t 2 )t
72 
t4  t2


.cos xdx  2
.2
4
tdt
dt  4  t 2  8  2
 dt
2
2

8  sin x
8 1 t
t 9
t 9 
0
0
0
0
1

2

+) Khi đó I 2  2 

1

1

1

 t3
t 3 
1 
100

 1
dt
4
 4 t 2  8  12 


 48ln 2
  8t  12ln
 

t 3 0
3
 t  3 t  3 
3
0 
1

+) V y I 2 



3) I 3 

100
 48ln 2 .
3

  sin x 





2

1  cos x sin xdx 

0



+) Tính A 



2
 sin xdx 
0

2



+) Tính B 

2
 sin xdx 
0

2





2

2



1  cos x sin xdx  A B (*)

0

1  cos 2 x
 x sin 2 x   2 
dx



 

0 2
4  0
4
2
2

(1)

1  cos x sin xdx

0

t t  1  cos x  t 2  1  cos x  2tdt   sin xdx ;
2

2

 B  2  t.tdt  2  t 2 dt 
1

1

2t 3 2 4 2  2

(2)
3 1
3

i c n x: 0 


2

thì t : 2  1
c: I 3 

. Thay (1), (2) vào (*) ta đ


4



4 2 2
3

(Các b n có th trình bày :


I3 



2

 sin xdx 
2

0

2


0



1  cos 2 x
1  cos x sin xdx  
dx 
2
0
2



2



1  cos xd (1  cos x)

0

 4 2 2
 x sin 2 x 2


 

(1  cos x)3  2  
)
4
3
4
3
2
 0


4) I 4 

2



6

1  cos3 x sin x cos5 xdx

0

+)

6t 5 dt  3cos 2 x sin xdx  sin x cos 2 xdx  2t 5dt
6
3
6

3
1
cos
1
cos
t
x
t
x






t
 3
6
cos x  1  t
i c n x : 0   2 thì t : 0  1


2



 I4 

0

6

1
1
 t 7 t13  1 12
1  cos3 x cos3 x sin x cos 2 xdx   t (1  t 6 ).2t 5dt 2 (t 6  t 12 )dt  2    
 7 13  0 91
0
0

12
91
Bài 3. Tính các tích phân sau:

+) V y I 4 

4

1) I1  
0

sin 4 x
sin 6 x  cos6 x

dx

2) I 2 

e3


1

3  2 ln x
dx
x 1  2 ln x

3) I 3 

e 3 1



e1

1  ln 2 ( x  1)
dx
( x  1).ln( x  1)

Gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân


4

sin 4 x

1) I1  

sin 6 x  cos6 x

0

dx





4

+) Ta có I1  

sin 6 x  cos6 x

0

+)



4

sin 4 x

4
sin 4 x
sin 4 x
dx  2 
dx
2
3 2

4
3sin
2
x
0
1  sin 2 x
4

dx  
0

1
t t  4  3sin 2 2 x  t 2  4  3sin 2 2 x  2tdt  12sin 2 x cos 2 xdx  sin 4 xdx   tdt
3


i c n x  0  t  2 và x   t  1
4
2

1 1  2
2
2
+) Khi đó I1  2 .   tdt    dt  t 
t  3  31
3 1 3
2
2
+) V y I1 
3
1

2) I 2 

e3


1

+)

2

3  2 ln x
dx
x 1  2 ln x

dx

tdt 
x
t t  1  2 ln x  t  1  2 ln x  
;
2
2 ln x  t  1

2

i c n x :1  e3 thì t :1  2

2

t3  2 5
3  (t 2  1)
.tdt   (4  t 2 )dt   4t   
t
31 3

1
1
2

 I2  

+) V y I 2 
3) I 3 

+)

e 3 1



e1

5
3

1  ln 2 ( x  1)
dx
( x  1).ln( x  1)

t t  1  ln 2 ( x  1)  t 2  1  ln 2 ( x  1)  tdt 

ln( x  1)
dx ;
x 1

i c n x : e  1  e 3  1 thì

t: 2 2
+) Khi đó I 3 
2





e 3 1


e1

1  ln 2 ( x  1) ln( x  1)
.
dx 
ln 2 ( x  1)
x 1

1 (t  1)  (t  1) 
dt 
(t  1)(t  1) 

 1  2 .
2

1
+) V y I 3  2  2  ln
2

Hocmai.vn – Ngôi tr





2 1

2



1  1

2

t
 t 2  1 .tdt 
2

1 

2

t2
 t 2  1 dt 
2



1

2



 1  t

2

t 1 

2

1 
 dt
1 

2

 1  2 . t 1  t  1  dt   t  2 ln t  1 
2

 2
2

1 
2  ln
2



2 1

2

3

2

3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
ln 5

1) I1 

Bài 4. Tính các tích phân sau:



ex 1
ex  1

ln 3

Nguyên hàm – Tích phân

ln 3

2) I 2 

dx

 (e

e xdx
x

0

 1) e x  1

Gi i:

e 1

ln 5

x



1) I1 

ex  1

ln 3

dx

t t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e xdx
i c n x  ln 3  t  2 và x  ln8  t  3

+)
+)

3

1 
3
t 1 

 1
3
 2 dt   

 2  ln
. V y I1  2  ln
dt   2t  ln

2
t 1 t  1 
t 1  2
2

2
2
3

ln 3

 (e

2) I 2 

0

3

e xdx
x

 1) e x  1

t t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e xdx và x : 0  ln 3 thì t : 2  2

+)

2

2

dt
2tdt
2
 I2   2  2  2  
t .t
t
t

2
2

2



2 1

2

+) V y I 2  2  1
Bài 5. Tính các tích phân sau:
3



1) I1 

0

2



4) I 4 

2

2014

dx



2) I 2 

3  x2

1

20142  x2 dx

3) I 3 

0

dx

5) I 5 

x 1
2

2
2


0


0

3

x2 dx

6) I 6 

1 x

2


0

x2
4  x2

dx
e

x2
3 x

2

dx

7) I 7 

x
1

dx
1  3ln 2 x

Gi i:
3

1) I1 



dx

3  x2
Cách trình bày 1:
0


3dt
dx 





cos 2 t
t x  3 tan t ( v i t    ;  )  

 2 2
3
3
 3  x2  3  3 tan 2 x 

2

cos t cos t

i c n x  0  t  0 và x  3  t 
. Khi đó
4








dt
cos t
1 4 1
1 
1 1  sin t




I1  

dt

d sin t  ln
2

2 0  1  sin t 1  sin t 
2 1  sin t
3 0 cos t 0 1  sin t
0
cos 2 t.
cos t
4

4

3dt



V y I1  ln 1  2

4


4



 ln 1  2



0



Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Cách trình bày 2:
3

1

 x

I1 

3  x2

0

.

x  3  x2
3  x2

3

dx 



  ln x 



d x  3  x2

0

x  3  x2

Nguyên hàm – Tích phân

3

3  x2



 ln 1  2

0



2014



2) I 2 

20142  x2 dx

0

+)


  
dx  2014cos tdt
t x  2014sin t (v i t    ;  )  
2
2
 2 2

 2014  x  2014 cos t  2014cos t

i c n x  0  t  0 và x  2014  t 
2







2

2

2

0

0

0

+) Khi đó I 2   2014cos t.2014cos tdt  20142  cos 2 tdt  2028098 (1  cos 2t )dt


 1
2
 2028098  t  sin 2t   1014049 . V y I 2  1014049
 2
0
1

3) I 3 


0

+)

x2
4  x2

dx


  
dx  2 cos tdt
t x  2sin t v i t    ;   
;
2
 2 2
 4  x  2 cos t





i c n x  0  t  0 và x  1  t 




6



6
4sin t.2cos tdt
 1
 6 2  3 3
+) Khi đó I 3  
 4  sin 2 tdt  2 (1  cos 2t )dt  2  t  sin 2t  
2cos t
6
 2
0
0
0
0
6

+) V y I 3 
2

4) I 4 


2

Cách 1:

2

6

2  3 3
6

dx
x2  1

sin tdt

dx  cos 2 t
1


    3 
t x
v i t  0;    ;   
và x : 2  2 thì t : 
4
3
cos t
 2  2 
 x2  1  tan t


3

Khi đó I 4  




3
sin tdt
dt

.
2

cos t.tan t  cos t

4

4

gi i ti p I 4 ta có th đ i bi n ho c dùng k thu t vi phân. C th :
Cách 1.1:

t u  sin t  du  cos tdt và t :




3

3

Suy ra I 4  


4

Hocmai.vn – Ngôi tr


4

cos tdt
cos tdt


2
cos t  1  sin 2 t
4

ng chung c a h c trò Vi t


3
2



thì x :

3

du

 1 u
2
2

2



3
2

2
3

2
2

du

1

3
2

 1

1 

 (1  u)(1  u)  2   1  u  1  u  du
2
2

2

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
3
2

1 1 u
 ln
2 1 u

Nguyên hàm – Tích phân

 ln(2 2  6  3  2)

2
2

V y I 4  ln(2 2  6  3  2)
Cách 1.2:








cos tdt 3
cos tdt
1 3  (1  sin t )  (1  sin t ) cos tdt 1  3 cos tdt 3 cos tdt 
I4  

 
 

2
2
(1  sin t )(1  sin t )
2  1  sin t  1  sin t 
 cos t
 (1  sin t )(1  sin t )
 4

4
4
4
4
3


 3

1  d (1  sin t ) 3 d (1  sin t )  1 1  sin t
 


  2 ln 1  sin t
2  1  sin t
 1  sin t
 4

4


3



 ln(2 2  6  3  2)

4

Cách 2:
2

I4 

dx



x 1
2

2

( x  x2  1)dx

2


2

( x  x  1) x  1
2

2

2



d ( x  x2  1)

2

( x  x  1)
2

 ln( x  x2  1)

2

 ln(2 2  6  3  2)
2

Cách 3: (Cách trình bày khác c a Cách 2 )
Cách trình bày 3.1:


t 2 1
dx  2t 2 dt
t2 1 
2
2
2
2

t t  x  x  1  x  1  t  x  x  1  (t  x)  x 
2
2
2
2t
 x2  1   t  1   1  t  1



2t
 2t 

và x : 2  2 thì t :1  2  2  3 , khi đó :

t 2 1
dt 2 3
2 3
2

dt
I 4   2t2
 
 ln t
t 1
t
1 2
1 2
2t
Cách trình bày 3.2:

2 3
1 2

 ln(2 2  6  3  2)


x 
x  x2  1

dx
dx 
t t  x  x2  1  dt  1 

2
2


x
x

1
1



và x : 2  2 thì t :1  2  2  3 , khi đó : I 4 

2 3



1 2

5) I 5 

2
2



t
x2  1

dt
 ln t
t

dx 

2 3

1 2

dx
x2  1



dt
t

 ln(2 2  6  3  2)

x2 dx
1  x2

0


  
dx  cos tdt
t x  sin t v i t    ;   
và c n t : 0  
2
4
 2 2
1
x
cos
t







 I5 

4


0





4
sin 2 t.cos tdt 4 2
1  cos 2 x
sin 2 x   4   2
1
  sin tdt  

dt   x 

8
cos t
2
4  0
2

0
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
3

x2



6) I 6 

3  x2

0

Nguyên hàm – Tích phân

dx


3
dt
dx 
cos 2 t
   
t x  3 tan t v i t    ;   
3
3
 2 2 

3  x2  3(1  tan 2 t ) 

cos t cos t


và c n t : 0   4  I 6 

4


0



4
3 tan 2 t
3
sin 2 t
. 2 dt  3 

dt
cos3 t
3 cos t
0
cos t

t u  sin t  du  cos tdt và c n u : 0 




2
2

4
sin 2 t.cos t
sin 2 t.cos tdt
dt
3
 I 24  3 

3
4
2
2

t
t
cos
(1

sin
)

0
0
4

2

2


0

u 2 du
(1  u 2 )2

1
1  (u  1)  (u  1)
1
1 1
1
2 
u2
u2 1  1

 2
 .
 2
 


 2 
Mà ta có:
2 2
2
2
2
2
2
2
(1  u )
(u  1)
u  1 4 (u  1) (u  1)
u  1 4  (u  1) (u  1) u  1 
2


2

3
 I6 
4

2


0

1 1
1 

 

2
2(u  1) 4  (u  1) (u  1) 2 
1
2

3 2 2
 2
1
1 
3  u 1
1
1  2
2  ln
2 2
du





ln
 u 2  1 (u  1)2 (u  1) 2 


2
2
4  u  1 u 1 u  1 0




3 2 2
2 2
V y I 6  ln
2
2
e

7) I 7 

x
1

dx
1  3ln 2 x
1

t t  ln x  dt 

dt
dx
và x :1  e thì t : 0  1 . Khi đó I 7  
2
x
0 1  3t

du

dt 


1
   

3 cos 2 u
tan u v i u    ;   
t t
và t : 0  1 thì u : 0 
1
3
 2 2 
3
1  3t 2 

cos u

Cách 1:



 I7 







1
1 cos udu

1
1 3 1
1 
du
d sin u





 d sin u
2




3 0 cos u
3 0 cos u
3 0 (1  sin u )(1  sin u ) 2 3 0  1  sin u 1  sin u 
3

3

1  sin u

ln
2 3 1  sin u
1

Hocmai.vn – Ngôi tr

3


3
0



1
ln(2  3)
3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

1

1  3t 2

0



1 2
d
t 

t
1
1
dt
1
1
3


dt 





1 2
30
30
1 2
1 2
t
t 
t
t 
t 
3

3

 3


1
3 0



1 2
t 
3


t

1

dt

Cách 2: I 7  

Nguyên hàm – Tích phân

1 2
t 
3


1

1
1 2

t
ln t 
3
3


0

1
ln(2  3)
3
1

Bài 6. Tính các tích phân sau:

x 4

1

2) I 2  

1) I1   1  6 x  3x2 dx
0

0

x  4x  5
2

dx

Gi i:
1

1

1

0

0

0

1) I1   1  6 x  3x2 dx   4  3( x2  2 x  1)dx   4  3( x  1) 2 dx
+)

+)

2

2
  
dx  3 cos t
sin t v i t    ;   

t x 1 
 2 2
3
 4  3( x  1) 2  4  4sin 2 t  4 cos 2 t  2 cos t  2 cos t


i c n x  0  t   ; x 1 t  0
3
0

2
4
cos tdt 
+) Khi đó I1   2cos t.
3
3



V y I1 

0

2
 cos tdt  3
2



3

0

2  1
1 2 3

 (1  cos 2t )dt  3  t  2 sin 2t    2  9
0



3

3

1 2 3

2
9

x 4

1

2) I 2  

3

0

x  4x  5
2

dx


Phân tích và h

ng gi i: Khi g p d ng tích phân




Ax  B
ax  bx  c
2



ta s ngh t i vi c kh x trên t đ đ a tích phân v d ng c b n
1

trên khi đó ta c n đi tính tích phân


0

1

dx

x  4x  5
2


0

dx
( x  2)2  1

đó

dx mà

ax2  bx  c  u 2  k 2

dx




ax2  bx  c

.V m t ph

. V i s li u bài toán

ng pháp thì ta bi t s đ t

x  2  tan t . Song c n c a bài toán x  0 và x  1 làm cho vi c tìm t t ng ng g p khó kh n. Lúc này
ta s kh c ph c b ng vi c s d ng k thu t vi phân . Các b n s th y rõ đi u này qua l i gi i sau:

1
1
1
1
1
 2x  4  2
1
2x  4
x 4
dx
dx   2
dx  
dx  2
Gi i: I 2   2
 A 2B
2 0 x2  4 x  5
x  4x  5
x2  4 x  5
x2  4 x  5
0
0
0
1
1
2x  4
1 d ( x2  4 x  5)
2





 10  5
dx
x
x
4
5
0
2 0 x2  4 x  5
2 0 x2  4 x  5
1

+) Tính A 

1

+) Tính B  
0

1

1

dx
x2  4 x  5

Hocmai.vn – Ngôi tr


0

dx
( x  2)2  1

ng chung c a h c trò Vi t

1


0



x  2  ( x  2) 2  1



x  2  ( x  2)2  1 . ( x  2) 2  1
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

dx
- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

1





d x  2  ( x  2) 2  1
x  2  ( x  2) 2  1

0

  ln x  2 

1

( x  2) 2  1  ln
0

Nguyên hàm – Tích phân

3  10
2 5

3  10
2 5
Chú ý: Cách kh x cho bài toán trên đ c làm t ng quát nh sau
A




 2ax  b   D
Ax  B

A d (ax2  bx  c)
dx
a
2
 ax2  bx  c dx   ax2  bx  c dx  2a  ax2  bx  c  D ax2  bx  c

V y I 2  10  5  2ln

3

4

1) I1  

Bài 7. Tính tích phân :

0

x dx

0

2) I 2  

1 x x

1

4) I 4  

1

2

0

dx
(1  x ) 1  x
3 3

2

dx

5) I 5  

x  4x  3
2

0

3

3) I 3 

3
2


1

dx
x . 2  x3
3 3

x
dx
2 x  2 x

Gi i:
4

1) I1  
0

2

x dx
1 x x

t t  1  x x  t 2  1  x x  x x  t 2  1  x3  (t 2  1)2  3x2 dx  4t (t 2  1)dt
4
 x2 dx  t (t 2  1)dt
3
3

3
3
4 t (t 2  1)dt 4 2
4  t3 

80
  (t  1)dt    t  
i c n x : 0  4 thì t :1  3 , khi đó: I1  
t
31
31
3  3 1
9

1

2) I 2  
0

dx
(1  x ) 1  x3
3 3

Phân tích và h

ng gi i:

V y đ ch nh đ

c vi phân ta ph i bi n đ i I  

N u đ t t  3 1  x3  t 3  1  x3  t 2 dt  x2 dx
1

0

nh ng x2 d
ta

i m u s không rút đ

dx
(1  x3 ) 3 1  x3

1


0

x2 dx
x2 (1  x3 ) 3 1  x3

c theo t và giá nh không có x2 d

i m u s song v n có x2 dx đ

1
nh ng do c n x  0 ta không tìm đ c c n t t
t
nên ta “kh c ph c” b ng cách tính nguyên hàm r i sau đó m i th c n (k thu t d u c n).
Gi i:
dx
dt
1
dt

Tính nguyên hàm: I  
t x   dx   2  I   
3 3
3
t
t
1
1

(1  x ) (1  x )
t 2 1  3  3 1  3
t
 t 

ch nh vi phân. T đây ta ngh t i vi c đ t x 

hay I   

t

t 2 dt

3

 1 t  1

Hocmai.vn – Ngôi tr

3

3

ng ng

t u  3 t 3  1  u3  t 3  1  u 2 du  t 2dt

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1
u 2 du
du 1
x
x
 I   3   2   C 
C 
 C  I2 
3 3
3
3
u .u

u
u
1  x3
1  x3
t 1
(có th dùng k thu t vi phân đ tính : I   

2

t

t dt

3

 1 3 t 3  1


+) Cách trình bày 1: (

i bi n 2 l n)

+) Cách trình bày 2: (

i bi n 1 l n)

1
0

4


3

1 3
1
(t  1) d (t 3  1) 
C )

3 3
3
t 1

dx


 ( a  bx )

Nh n xét: Tích phân I 2 có d ng t ng quát là



1

. c  dxn

n m n

và ta gi i b ng hai cách trình bày:

1

và sau đó đ t u  n c  dt n
t
(ta đã gi i I 2 theo cách trình bày này)
t x

n

t t

c  dxn
(th c ch t là g p luôn 2 b
x

c đ i bi n c a cách

1)
3
2

3



3) I 3 

1

dx
x . 2  x3
3 3

t t

Gi i:

3

6t 2 dt
2t 2 dt
2  x3
2  x3
2
3
2
2
 t3 






x
x
dx
x
dx
3
x
x3

t3 1
(t 3  1)2
(t 3  1)2

i c n x 1 t 1 ; x 
3

Khi đó I 3 

3
2

1

1

3

x6 .

2 x
x

x2  4 x  3

0

3

1

dx

4) I 4  

1
3

3

x2 dx



3
1
t  3
2
3

3


0




1

2t 2 dt
(t 3  1) 2
2

2 
 3  .t
 t 1 

1

2

1

t2
tdt

1
4
3

3

1


1
3

9 1

43 9

3

3

dx
( x  1)( x  3)

t t  x 1  x  3

x 1  x  3
dx
dx
1 
2dt
 1
 dt  

dx  t.


 dx 
t
2 ( x  1)( x  3)
2 ( x  1)( x  3)
( x  1)( x  3)
 2 x 1 2 x  3 
và x : 0  1 thì t :1  3  2  2 . Khi đó: I 4  2

2 2



1 3

2

dt
 2 ln t
t

2 2
1 3

 2 ln

2 2
1 3

x
dx
2 x  2 x

5) I 5  
0

Phân tích và h ng gi i: Khi g p tích phân này, vi c đ t t  2  x ho c t  2  x s khó đ a ra đ c
m t l i gi i hoàn ch nh. Lúc này ph n l n các b n s ngh t i k thu t nhân liên h p ngh a là ta s bi n
đ i

x

2

I5  
0





2 x  2 x

2 x  2 x





2 x  2 x

2



dx  
0

x



2 x  2 x
2x

 dx  1

2

2 0





2  x  2  x dx

và đ a v tích phân khá đ n gi n và d tính. Song n u chú ý t i c n c a bài toán ta s th y phép bi n đ i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

2  x  2  x  0 t i c n x  0 . Tích phân ban đ u

trên là không chính xác vì

2


0

2

tích phân sau khi bi n đ i (b qua b

c trung gian) I 5 

1
2 0



x
dx và
2 x  2 x



2  x  2  x dx hoàn toán xác đ nh .

Nh v y ch có quá trình bi n đ i trung gian là có “v n đ ” – lí do là c n [0; 2] . N u mu n ti p t c đi
theo h ng này ta ta s có m t gi i pháp là b qua c n c a tích phân b ng k thu t d u c n – tính nguyên
hàm sau đó th c n. Ngoài ra bài toán trên ta có th gi i b ng cách đ t t  2  x  2  x . Các b n
cùng xem l i gi i chi ti t cho bài toán này qua 2 cách khác nhau:
Gi i:
Cách 1: (Dùng k thu t d u c n – tính nguyên hàm sau đó th c n)



1
2





 



2  xd (2  x)   2  xd (2  x) 




2

dx 

1
2





2  x  2  x dx

(2  x) 2  x  (2  x) 2  x
C
3
2

(2  x) 2  x  (2  x) 2  x
84 2
x
dx 

3
3
2 x  2 x
0

2

Suy ra I 5  
0

V y I5 



x 2 x  2 x
x
dx  
2
2 x  2 x
2 x  2 x

Ta có I 5  

84 2
3

Cách 2:
t t  2 x  2 x

t 3  4t
 t  4  2 4  x  (t  4)  4(4  x )  4t (t  4)dt  8 xdx  xdx  
dt
2
2

2

2

2

2

2

i c n x 0t  2 2 ; x 2t  2
2 2

2 2

1  t 3  4t  1
1  t3
2
Khi đó I 5   .  
dt    (t  4)dt    4t 
2
2 3
t 
 2 2
2
2 2
2

V y I5 



84 2
3

84 2

3

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.

Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-