10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP PHẦN 3

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 03)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 03) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
e2 x  3
1) I1    x
dx
e 2
0
1

ln 5

1

dx
e 5
0

dx
2) I 2   x
(B – 2006)

e  2e x  3
ln 3

e2 x
dx
x
1

e
0

1

4) I 4  

5) I 5 

1

e x dx
0 e x  e x

6) I 6 

3) I 3  

(1  e x )3
0 e x dx
1

7) I 7 

2x

ln 2


0

e2 x  3e x
dx
e2 x  3e x  2

Giải
e 3
(e  3)e
dx  
dx
x
e 2
1  2e x
0
0

1

1

2x

1) I1  

2x

x

Đặt t  1  2e x  dt  2e x dx  e x dx 

dt
; Đổi cận x  0  t  3 ; x  1  t  1  2e
2

 t 1 
1 2 e 
1 2 e
  3 dt 1 1 2 e t 2  2t  13
1 
13 
2 

I1  
.  
dt    t  2   dt
t
2 8 3
t
8 3 
t 
3
2

Khi đó

1 2 e


1  t2
   2t  13ln t 
8 2
3



e2  e 13 1  2e
 ln
4
8
3

e2  e 13 1  2e
 ln
4
8
3
ln 5
dx
2) I 2   x
(B – 2006)
e  2e x  3
ln 3

Vậy I1 

Đặt t  e x  dt  e x dx và x : ln 3  ln 5 thì t : 3  5
e x dx
dt
dt
1 
t 2
 1
 2

 

Khi đó: I 2   2 x
 dt  ln
x
e  2  3e
t  3t  2 3 (t  1)(t  2) 3  t  2 t  1 
t 1
ln 3
3
ln 5

5

5

5

5

 ln
3

3
2

1

dx
e 5
0

3) I 3  

2x

+) Đặt t  e2 x  dt  2e2 x dx và x : 0  1 thì t :1  e2
e2

e2

e2 x dx
1
dt
1 1
1 
1
t
 


+) Khi đó: I 3   2 x 2 x
 
dt  ln

e (e  5) 2 1 t (t  5) 10 1  t t  5 
10 t  5
0
1

+) Vậy I 3 

e2


1

1
6e2
ln 2
10 e  5

1
6e2
ln 2
10 e  5

e2 x
4) I 4  
dx

1  e x
0
1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

+) Đặt t  e x  dt  e x dx và cận t :1  1

Nguyên hàm – Tích phân

e

1

1
1
e
1
e 1 1
e x .e x dx
t
t

1 


 I4  
 
dt  
dt   1 
 dt   t  ln t  1  1  ln
x
2
e
1 e
t 1
t 1 
e
1 t 1
1 
0
1
1

e

e

e 1 1

2
e
1

1
e x dx
e2 x dx
5) I 5   x  x   2 x
e e
e 1
0
0
+) Vậy I 4  ln

+) Đặt t  e  dt  2e dx và cận t :1  e
2x

2x

1
 I5 
2

2

e2


1

e2

dt
1

1 e2  1
 ln t  1  ln
t 1 2
2
2
1

1 e 1
ln
2
2
1
x 3
(1  e )
6) I 6  
dx
ex
0
2

+) Vậy I 5 

dt  e x dx
+) Đặt t  1  e x   x
và cận t : 2  1  e
e  t  1
(1  e x )3 e x
dx 
2x
e

0

1

 I6  

1 e


2

t3
dt 
(t  1)2

1 e



3t  2 
dt
2


 t  2  (t  1)
2

e3  6e2  e  2
2e
ln 2

2x
x
e  3e
7) I 7   2 x
dx
e  3e x  2
0
+) Vậy I 6 

+) Đặt t  e x  dt  e x dx và cận t :1  2
ln 2



 I7 

0

(e x  3)e x
t 3
dx   2
dt (*)
2x
x
e  3e  2
t  3t  2
1
2

1

3
2
2
2
(2t  3) 
2
dt
1 d (t 2  3t  2) 3
2
2 dt  1 d (t  3t  2)  3


= 2
t  3t  2
2 1 t 2  3t  2
2 1 (t  1)(t  2) 2 1 t 2  3t  2
2
1
2

2

 1

1 

  t  1  t  2  dt
1

2

3 t 1 
1
  ln(t 2  3t  2)  ln
  3ln 3  4ln 2
2 t  2 1
2
+) Vậy I 7  3ln 3  4ln 2

t 3
t 3
A
B



t  3t  2 (t  1)(t  2) t  1 t  2
 t  3  A(t  2)  B(t  1) (2*) . Ta tìm A, B theo 2 cách:

(Từ (*) các bạn có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

C1: chọn t  1  A  2 và chọn t  2  B  1
A  B 1
A  2

C2: (2*)  t  3  ( A  B)t  2 A  B  
2 A  B  3  B  1

e2 x  1

2ln 3



Bài 2. Tính các tích phân sau: 1) I1 

2ln 2

ex  ex

1

3) I 3  

x
x

0 e 3 e 2

1


0

4) I 4 

dx

ln 3


0

ln 5

 x 
1  e   e 2  1



2) I 2 

dx
2

dx
ex  1

ln 3

5) I 5 



ln 2

x


0

e2 x dx
ex 1

e x dx

6) I 6 

(e x  1)3

dx
2e  2e x  1
2x

Giải :
e 1

2ln 3

1) I1 

2x



x

2ln 2
x  2
1  e   e  1



2

dx

x

Nhận xét: Ở đây có 3 thành phần e 2 ; e x 

1
và e2 x trong đó 2 thành phần sau có thể biểu diễn dễ
x
e

x

x

dàng qua e 2 , cộng với yếu tố cận ( 2ln 2 và 2ln 3 ) giúp ta nghĩ tới việc đặt t  e 2 để chuyển tích phân
về dạng tích phân hữu tỉ cơ bản.
Giải :

 2x  2x  x
 2x  x
x
e  1 e  1 (e  1)e
e  1 e
2ln 3
2ln 3 
2ln 3 
(e x  1)(e x  1)




 dx
dx  
dx  
+) Biến đổi I1  
2
2
x
x
x



2ln 2 
2ln 2
2ln 2
1  2 
e2 1
(e x  1)  e 2  1
 1  x   e  1
 e 



x

+) Đặt t  e 2  t 2  e x  2tdt  e x dx ; Đổi cận x  2ln 2  t  2 ; x  2ln 3  t  3
3

3 2
3
 t2

(t  1)t
t t
2 
4

dt 2
dt 2  t  2 
dt


2
Suy ra I1  2
  2t  2ln t  1   1  4ln

t 1
t 1
t 1 
3
2
2
2
2
2
3

ln 5

2) I 2 



ln 2

e2 x dx
ex 1

x
2tdt  e dx
+) Đặt t  e  1  t  e  1   x 2
và x : ln 2  ln 5 thì t :1  2

e  t  1
x

2

ln 5

+) Khi đó: I 2 



ln 2

+) Vậy I 2 

x

2

2
 t3 t2 
23
t2 1
.e dx  
.2tdt  2  t 2  t  dt  2    
3
t
ex 1
 3 2 1
1

1

ex

2

x

23
3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

ex  ex

1

3) I 3  
0

ex  3 ex  2

Nguyên hàm – Tích phân

dx

Đặt t  e x  t 2  e x  2tdt  e x dx ; Đổi cận x  0  t  1 ; x  1  t  e
Khi đó :
ex  ex

1

I3  
0

ex  3 ex  2
e

 2
1

0

e

e x (e x  3 e x  2)

.e x dx 


1

t2  t
t 1
.2tdt  2  2
dt
2 2
t (t  3t  2)
t

3
t

2
1
e

e
3(t  1)  2(t  2)
2 
e 2
e 1
 1
dt  2  

 4n
 dt  2  ln t  2  2ln t  1  1  2ln
(t  1)(t  2)
t  2 t 1 
3
2
1 

e

e 2
e 1
 4n
3
2

Vậy I 3  2ln
4) I 4 

ex  ex

1

dx  

ln 3


0

dx
ex  1

2tdt  e x dx
+) Đặt t  e  1  t  e  1   x 2
; Đổi cận x : 0  ln 3 thì t : 2  2
e  t  1
x

ln 3

 I4 

e

2

2tdt
dt
t 1
 2
 2 2
 ln
x
t 1
t 1
e  1 2 (t  1)t
2

e x dx
x

0

x

2

2

2

= 2ln( 2  1)  ln 3
2

+) Vậy I 4  2ln( 2  1)  ln 3
ln 3

5) I 5 


0

e x dx
(e x  1)3
4

+) Đặt t  e  1  dt  e dx ; Đổi cận x : 0  ln 3 thì t : 2  4  I 5  
x

x

2

dt
t3

4

 t

3

4

2

2

2
.dt 

t2

2 1

+) Vậy I5  2  1
6) I 6 

1



dx

2e2 x  2e x  1
Nhận xét:
0

Nếu bài toán này ta đặt t  2e2 x  2e x  1  t 2  2e2 x  2e x  1  tdt  (2e2 x  e x )dx khi đó chúng ta

(2e2 x  e x )dx

1

phải chỉnh lại tích phân ( để rút được theo tdt ) bằng cách biến đổi: I 6  
0

(2e2 x  e x ) 2e2 x  2e x  1

nhưng ta không rút được biểu thức (2e2 x  e x ) dưới mẫu số theo t được . Như vậy hướng đi này không
khả thi. Nếu ta chuyển sang hướng khác bằng cách đặt t  e x thì
1

I6  
0

e x dx
e x 2e2 x  2e x  1

e


1

dt
t 2t 2  2t  1

nếu làm tiếp thì sẽ khá dài và phức tạp. Nhưng chúng ta hãy

quan sát kĩ lại biểu thức : 2e2 x  2e x  1  (1  e x )2  e x giá như nó có dạng u 2  a 2 .
Điều giá như này gợi ý chúng ta nhân thêm e2 x : e2 x (2e2 x  2e x  1)  2  2e x  e2 x  (1  e x )2  1 . Và
khi đó ta có lời giải bài toán như sau:
Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

+) Đặt t  (1  e x )  dt  e x dx và cận t : 2  1  e1

e x dx

1

 I6  

e2 x (2e2 x  2e x  1)

0

d (t  t 2  1)

2





(t  t  1)
2

1 e1

+) Vậy I 6  ln

e x dx

1


0

(1  e x )2  1

 ln t  t  1

2

2

1 e

1) I1 


0

e x  2e x  1

 2  1 e



0

ln 2

 (e

6) I 6 
9) I 9 

0

ln 2

e



1 e1

(t  t 2  1)

.

t 2 1

(2  5)e

 ln

e  1  2e2  2e  1

2 x e x

e x  e x  3
dx
e x  e x  2
0

1

e3 x
dx
2  ex

2) I 2  

ex . ex  1

dx
4) I 4  
ex  3
2ln 2

dx

3ln 2


0

e

13) I13 

dx

1  1  e 1

e

e dx

ln 2

0

0

1  ex  2



3ln 2

ex  2



2

dx
4e x  3  1

e x  e x

0

14) I14 

3

ex



11) I11 

dx

dx

e2 x  24e x

ln15

2x

x

x

ln 2

x
x

ln 3

e.

8) I8 

dx

2e3 x  e2 x

ln 3

15x
dx
x
x
x
25

3.15

2.9
0

10) I10 



0

7) I 7  

ln10

x



5) I 5 

1

dx

e e
dx
(1  e x )4  1
2x



12) I12 



x 3

 9) 3e x  2

0

ln 2



(t  t 2  1)dt

ln15

ex
x

t2 1

1 e1

1

e  1  2e2  2e  1
ln 2

3) I 3 

1



=

2

dt

(2  5)e

Bài 3. Tính các tích phân sau:
ln 2

2

(e  3)
x



e 1  5
x



dx

Giải :
ln 2

e

3x

 2e

1) I1 

x

dx

0

Đặt t  2  e x  dt  e x dx ; Đổi cận x  0  t  3 và x  ln 2  t  4
ln 2

Khi đó I1 


0

4

4
4
 t2

e2 x x
(t  2)2
4
1
4

.e dx  
dt    t  4  dt    4t  4ln t     4ln
x
2e
t
t
2
3
2
3
3
3

e  e x  2  1
dx
dx
e x dx
1
dx   dx   x  x
 x0 
 1  x
2) I 2   x  x
1
e e 2
e e 2
(e  1) 2
0
0
0
0 ex 
0

2
x
e
1

1

x

1

1

1

1
d (e x  1)
e 1
 1  ln(e x  1)  1  ln
x
2
0
(e  1)
2
0

1

 1 

Vậy I 2  1  ln
ln 2

3) I 3 

e 1
2

e x  2e x  1

 2  1 e

0





x 3

dx

Đặt t  (1  e x )3  dt  3(1  e x )2 dx  (1  e x )2 dx 

dt
3

Đổi cận x  0  t  8 và x  ln 2  t  27

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)
ln 2



Khi đó I 3 

0

(1  e x )2

27

1 dt
1
dx  
 ln 2  t
x 3
3 8 2t 3
2  1  e 

27

8

Nguyên hàm – Tích phân

1 29
 ln
3 10

ex . ex  1
 e x  3 dx
2ln 2
ln15

4) I 4 

Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx
Đổi cận x  2ln 2  t  3 ; x  ln15  t  4
t
t2
4 
1
1 


.2
tdt

2
dt  2 1  2

dt  2 1 
dt
2
2

t

4
t

4
t


4
t

2
t

2




3
3
3
3
4

4

Khi đó I 4  

4

4

4


t 2 

5
5
 2  t  ln
 2  2ln . Vậy I 4  2  2 ln

t2 3
3
3

3ln 2

5) I 5 


0



dx
3

ex  2



2

Đặt t  3 e x  t 3  e x  3t 2 dt  e x dx ; Đổi cận x  0  t  1 ; x  3ln 2  t  2
3ln 2

Khi đó I 5 


0





dx
3

e 2
x

3ln 2



2




0

ex .



e x dx
3

ex  2

2



2

2

3t 2 dt
dt
 3
 3
2
t (t  2)
t (t  2)2
1
1

2
2
2
3 t  2t
3  1
1 
3 1 1

1 
1 
dt


dt

dt
 



2
2



2 1 t (t  2)
2 1  t (t  2) (t  2) 
2 1  2  t t  2  (t  2) 2 

2

31
t
1 
3 3 3
  ln

 ln 


2  2 t  2 t  2  1 4 2 24
3 3 3
Vậy I 5  ln  .
4 2 24
ln 2

6) I 6 

 (e
0

ex
x

 9) 3e x  2

dx

2

x
x
2tdt  3e dx  e dx  3 tdt
Đặt t  3e x  2  t 2  3e x  2  
2
e x  t  2

3
Đổi cận x  0  t  1 ; x  ln 2  t  2

2
tdt
2
2
2
dt
1  1
1 
1 t 5
3
 2 2
 

Khi đó I 6   2
dt  ln
t  25 5 1  t  5 t  5 
5 t 5

1 t 2
1
 9t

 3


2

1

1 9

 ln
5 14

1 9
Vậy I 6  ln .
5 14

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

x

5
1
1
 
x
15
3
7) I 7   x
dx


dx
x
x
x
x

25  3.15  2.9
5
0
0  25 
   3.    2
 9 
3
x

x

x

5
dt
5
5
5
+) Đặt t     dt    ln dx    dx 
3
ln 5  ln 3
 3
 3

3
5
Đổi cận x  0  t  1 và x  1  t 
3
5

5

3
3
1
dt
1
1 
1
t 1
 1
+) Khi đó I 5 


ln

 dt 
2


ln 5  ln 3 1 t  3t  2 ln 5  ln 3 1  t  1 t  2 
ln 5  ln 3 t  2

+) Vậy I 5 



1

ln12  ln11
ln 5  ln 3

2e3 x  e2 x

ln 3



dx 
e x . 4e x  3  1

0



ln12  ln11
ln 5  ln 3

2e3 x  e2 x

ln 3

8) I8 

5
3

0

dx
4e3 x  3e2 x  1

+) Đặt t  4e3 x  3e2 x  t 2  4e3 x  3e2 x  2tdt  (12e3 x  6e2 x )dx  (2e3 x  e2 x )dx 

tdt
3

Đổi cận x  0  t  1 và x  ln 3  t  9

1 tdt 1 
1 
1
8  ln 5
8  ln 5
.
  1 
+) Khi đó I8  
. Vậy I8 
dt   t  ln t  1  
t 1 3 3 1  t 1 
3
3
3
1

1
9

ln 2

9) I 9 


0

9

9

e2 x  e x
dx
(1  e x )4  1

+) Đặt t  (1  e x )2  dt  2e x (1  e x )dx  (e2 x  e x )dx 

dt
2

Đổi cận x  0  t  4 và x  ln 2  t  9
9

1 dt
1  1
1 
1 t 1

1 4
 

 ln
+) Khi đó I 9   2
 dt  ln
2 4 t 1 4 4  t 1 t  1 
4 t 1 4 4 3
9

9

1 4
+) Vậy I 9  ln
4 3
ln10

10) I10 


0

ex
1  1  ex 1

dx

+) Đặt t  1  e x  1  t 2  1  e x  1  (t 2  1)2  e x  1  4t (t 2  1)dt  e x dx
Đổi cận x  0  t  1 và x  ln10  t  2
2

2
 t3 t2 
4t (t 2  1)dt
10
 4 (t 2  t )dt  4    
+) Khi đó I10  
1 t
 3 2 1 3
1
1
2

+) Vậy I10 
ln 2

11) I11 


0

10
3

ex
e x  e x

ln 2

dx 


0

ex
e2 x  1

dx

+) Đặt t  e x  dt  e x dx ; Đổi cận x  0  t  1 và x  ln 2  t  2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

2

+) Khi đó I11  

ln 2

12) I12 

e



t2 1

1

+) Vậy I11  ln

2

dt

1

1
t  t2 1

.

t  t2 1
t2 1

2

dt  
1



d t  t2 1

t  t2 1

Nguyên hàm – Tích phân

  ln t 

2

t 2  1  ln
1

2 5
1 2

2 5
1 2

2 x e x

dx

0

+) Đặt t  e x  dt  e x dx ; Đổi cận x  0  t  1 và x  ln 2  t  2
ln 2

+) Khi đó I12 



2

e x .ee .e x dx   t.et dt
x

0

1

2
2
u  t
du  dt
t 2


I

te

et dt  2e2  e  et  e2 . Vậy I12  e2
Đặt 

12

t
t
1
1
dv  e dt v  e

1
ln 3

13) I13 

e

ln 2

e2 x dx
x

1  ex  2

+) Đặt t  e x  2  t 2  e x  2  2tdt  e x dx
Đổi cận x  ln 2  t  0 và x  ln 3  t  1
ln 3

+) Khi đó I13 

e

x

ln 2

t2  2
t 3  2t
.2
tdt


2
0 t 2  t  1 dt
t 2 1 t
0

1

ex
1  ex  2

1

.e x dx  

+) Vậy I13  1  2ln 3 .

e2 x  24e x

ln15

14) I14 



3ln 2

(e  3)
x



e 1  5
x



dx

+) Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx ; Đổi cận x  3ln 2  t  3 và x  ln15  t  4

e x  24

ln15

+) Khi đó I14 



3ln 2

(e x  3)



t 2  25
t 2  5t
 5t  4 
e dx   2
.2tdt  2 2

dt  2 1  2
dt
x
(t  4)(t  5)
t 4
t 4
e 1  5
3
3
3
4



4

4

x

4
4
 1 3(t  2)  7(t  2) 
  3
7 
 2 1  .
dt

2


 dt



2 (t  2)(t  2) 
 t  2 t  2 
3
3
4
6
  2t  3ln t  2  7 ln t  2   2  3ln 2  7 ln
3
5
6
+) Vậy I14  2  3ln 2  7 ln .
5
Bài 4. Tính các tích phân sau:

103

1) I1 


1

log x  2
dx
x log x  1

2) I 2 

e


1

1  3ln x ln x
dx (B – 2004)
x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

e

3) I 3  

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

1

x  ( x  2) ln x
dx
x

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

x  ( x  2) ln x
dx
4) I 4  
x.(1  ln x)
1
e

e3



7) I 7 

1

5) I 5 

2  ln x

e3

Nguyên hàm – Tích phân

1  ln x
dx
x ln x

e

e

6) I 6  
1



x ln x 3  1  ln x



ln 4 x  ln 3 x  2ln 2 x  1
dx
10) I10  
2
x
(1

ln
x
)
1

e

e

11) I11  

x 
2

3

x 1  ln 2 x

2
2x
 log 22
2
x  1dx
9) I 9   ln 2
x( x  1)
1

( x 2  1  x 2 ln 2 x) ln x
dx
8) I8  
2
x
.(1

ln
x
)
1

1

e

dx

dx

3



1  7 ln 2 x ln x
dx

x

1

Giải :
103

1) I1 


1

log x  2
dx 
x log x  1

103



1

log x  2 dx
.
log x  1 x

+) Đặt t  log x  1  t 2  log x  1  2tdt 

dx
dx

 2t ln10.dt
x ln10
x

+) Đổi cận x  1  t  1 ; x  103  t  2
2

2
 t3 
t 2 1  2
20
Khi đó I1  
.2t ln10dt  2ln10 (t 2  1)dt 2ln10.   t   ln10
t
 3 1 3
1
1
2

1  3ln x ln x
dx (B – 2004)
x

e

2) I 2 


1

3dx

 dx 3
2tdt  x
 x  2 tdt
2

Đặt t  1  3ln x  t  1  3ln x  
và x :1  e thì t :1  2
2
2
ln x  t  1 ln x  t  1
3
3


2

2

116
t 2 1 2
2 4 2
2  t5 t3 
. tdt   (t  t )dt     
 I 2   t.
3 3
91
9  5 3  1 135
1
2

Vậy I 2 
e

3) I 3  
1

116
135

x  ( x  2) ln x
 2ln x 
dx   1 
 dx   ln xdx  A  B
x
x 
1
1
e

e

e
ln x
 2ln x 
dx   dx  2 ln xd ln x   x  ln 2 x   e  2
+) Tính A   1 
 dx   dx  2
1
x 
x
1
1
1
1
1
e

e

e

e

e

dx

u  ln x du 

Đặt 

x
dv  dx v  x


e

+) Tính B   ln xdx
1

e

Suy ra B  x ln x 1   dx  e  x 1  1
e

e

1

Vậy I3  e  1
e

4) I 4  
1

x  ( x  2) ln x
x.(1  ln x)  2ln x
ln x
dx  

dx   dx  2
dx  A  2B
x.(1  ln x)
x.(1  ln x)
x.(1  ln x)
1
1
1
e

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

e

e

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

e

+) Tính A   dx  x 1  e  1
e

1
e

+) Tính B  
1

ln x
dx
x.(1  ln x)

Đặt t  1  ln x  dt 

dx
x

Đổi cận x  1  t  1 ; x  e  t  2
2
t 1
 1
dt   1   dt  (t  ln t ) 1  1  ln 2 . Vậy I 4  e  1  2(1  ln 2)  e  3  2ln 2
t
t
1
1
2

2

Suy ra B  

5) I 5 

e3

dx

2tdt 
x và cận t : 2  2
Đặt t  1  ln x  t  1  ln x  
ln x  t 2  1


1  ln x
dx
x ln x

e

2

t
t2
1 
 1 t 1 

 I 5   2 .2tdt 2  2
dt 2  1  2  dt 2  t  ln

t 1
t 1

t 1 
 2 t 1 
2
2
2
2

2

e

6) I 6 

x
1

1
2

 I6  
0

2

dx

Đặt t  ln x  dt 

1  ln x
2

2

 4  2 2  2ln( 2  1)  ln 3
2

dx
1
và x :1  e thì t : 0 
x
2


1

dt  cos udu
  
Đặt với t  sin u với u    ;   
và t : 0  thì u : 0 
2
2
6
 2 2

 1  t  cos u

dt
1 t2





cos udu 6


  du  u 06 
. Vậy I 6 
6
cos u
6
0
0
6

Khi đó I 6  
7) I 7 

e3


1

2  ln x



x ln x 3  1  ln x



dx

+) Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  (t 2  1)2  ln x  4t (t 2  1)dt 

dx
x

Đổi cận x  1  t  1 và x  e3  t  2

2  (t 2  1)2
t 5  2t 3  3t
198 

2
.4
t
(
t

1)
dt

4
dt  4  t 4  3t 3  7t 2  21t  66 
dt
2

(t  1)(3  t )
t 3

t 3
1
1
1
2

2

+) Khi đó I 7  

2

2

 t 5 3t 4 7t 3 21t 2

2747
5
 4 


 66t  198ln t  3  
 792ln
3
2
15
4
5 4
1
+) Vậy I 7 

2747
5
 792ln
15
4

( x 2  1  x 2 ln 2 x) ln x
x 2 (1  ln 2 x) ln x  ln x
ln x
dx

dx   x ln xdx  
dx  A  B (*)
8) I8  
2
2

x.(1  ln x)
x.(1  ln x)
x.(1  ln 2 x)
1
1
1
1
e

e

e

e

e

+) Tính A   x ln xdx
1

dx

du 
e
e
e

u

ln
x

x2
1
e2 x 2
e2 e2  1 e2  1

x

 A  ln x   xdx  
 


Đặt 
(1)
2
2
21
2 4 1 2
4
4
dv  xdx v  x
1

2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)
e

+) Tính B  
1

ln x
dx
x.(1  ln 2 x)

Đặt t  1  ln 2 x  dt 
2

Suy ra B 

Nguyên hàm – Tích phân

2ln xdx
ln xdx dt
; Đổi cận x  1  t  1 và x  e  t  2


x
x
2

1 dt 1
 ln t
2 1 t 2

2


1

ln 2
2

(2)

+) Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I8 

e2  1  2ln 2
4
2

2x 

ln


2
  x 1 
2
2
2x
ln 2  ln 2 
2 2x
 log 22
1
1
1 2  ln
2
1

 dx 
x  1dx 
x  1dx
9) I 9   ln 2
2



x
(
x

1)
x
(
x

1)
ln
2
x
(
x

1)
1
1
1
3

3

+) Đặt t  ln

3

2x
2
dx
dt
1
 dt 
dx 

; Đổi cận x   t   ln 2 và x  1  t  0
x 1
x( x  1)
x( x  1) 2
3
0

0
1
1 
t3 
1
2ln 2
2
+) Khi đó I 9 
(2

t
)
dt

2

t





2
2

2ln 2  ln 2
2ln 2 
3   ln 2 ln 2
3

+) Vậy I 9 

1
2ln 2

ln 2
3

e

e

e

ln 4 x  ln 3 x  2ln 2 x  1
(1  ln 2 x) 2  ln 3 x

1  ln 2 x
ln 3 x
dx  
dx  
dx 
dx  A  B (*)
10) I10  
x(1  ln 2 x)
x(1  ln 2 x)
x
x(1  ln 2 x)
1
1
1
1
e

e

1  ln 2 x
dx
x
1

+) Tính A  

Đặt t  ln x  dt 

dx
; Đổi cận x  1  t  0 và x  e  t  1

x
1

 t3 
4
Khi đó A   (1  t )dt   t   
3 0 3

0
1

2

(1)
e

e

1  ln 2 x
ln 3 x 
4
dx   1  ln 2 x  d ln x   ln x 
(Ta có thể tính A theo cách sau: A  
  )
x
3 1 3

1
1
e

e

+) B  
1

ln 3 x
dx
x(1  ln 2 x)

Đặt t  1  ln 2 x  dt 
e

2ln xdx
ln xdx dt
; Đổi cận x  1  t  1 và x  e  t  2


x
x
2

ln 2 x ln xdx 1 t  1
1  1
1
1  ln 2
.
 
dt   1  dt   t  ln t  
Suy ra B  

2
1  ln x
x
21 t
2 1 t
2
2
1
1
2

+) Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I10 

2

2

(2)

4 1  ln 2 5  3ln 2


3
2
6

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

x 
2

e

11) I11  

3



1  7 ln 2 x ln x
x

1
e

+) Ta có : I11  

Nguyên hàm – Tích phân

x 
2

3

dx



1  7 ln 2 x ln x
x

1

e

e 3

1

1

dx   x ln xdx  

1  7 ln 2 x ln x
dx  A  B (*)
x

dx

du 

u  ln x


x

+) Tính A   x ln xdx Đặt 
2
dv  xdx v  x
1

2
e

e

e

x 2 ln x
1
e2 x 2
e2  1
Khi đó A 
(1)
  xdx  

2 1 21
2 4 1
4
e 3

+) Tính B  
1

e

1  7 ln 2 x ln x
dx
x

Đặt t  3 1  7 ln 2 x  t 3  1  7 ln 2 x  3t 2 dt 

14ln xdx
ln xdx 3 2

 t dt
x
x
14

Đổi cận x  1  t  1 và x  e  t  2
2

+) Khi đó ta có B   t.
1

2

3 2
3
3 2 45
t dt   t 3dt  t 4 
14

14 1
56 1 56

(2)

e2  1 45 14e2  31


+) Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I11 
.
4
56
56
Bài 5. Tính các tích phân sau:
e



1) I1 

1

3  2ln x
dx
x 1  2ln x

ln x. 3 1  ln 2 x
dx
x
1

e

4) I 4  

e2

e

2) I 2 

e

5) I 5  
1

e

ln(ln x)
dx
x

ln 3 x  2log 2 x
x 1  3ln 2 x

3) I 3  
1

e

dx

2

6) I 6  
1

1  ln 2 x ln x
dx
x
2ln x  1
dx
x  8ln 2 x  8ln x  3

Giải :
1) I1 

e

x
1

3  2ln x
dx
1  2ln x

dx

tdt 
x
+) Đặt t  1  2 ln x  t  1  2 ln x  

; Đổi cận x :1  e thì t :1  2
2 ln x  t 2  1

2

2

 I1 


1

+) Vậy I1 
2) I 2 

e2

e

2

2

3  (t 2  1)
t3 
10 2  11
.tdt    4  t 2  dt   4t   
t
3 1
3


1

10 2  11
3

ln(ln x)
dx
x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

dx
; Đổi cận x : e  e2 thì t :1  2
x
dt

2
2
2

u  ln t
2
du 


I

t
ln
t

dt

t
ln
t

t
 2ln 2 1
 I 2   ln tdt Đặt 


t

2

1
1
dv


dt

1
1

v  t

+) Đặt t  ln x  dt 

+) Vậy I 2  2ln 2  1

1  ln 2 x ln x
dx
x

e

3) I 3  
1

Đặt t  1  ln 2 x  t 2  1  ln 2 x  tdt 

ln x
dx ; Đổi cận x :1  e thì t :1  2
x

2

2 2 1
2 2 1

t3
. Vậy I 3 
 I 3   t.tdt 

3
3
31
1
2

ln x. 3 1  ln 2 x
dx
x
1
e

4) I 4  

2ln x
ln x
3
dx 
dx  t 2 dt và cận t :1  3 2
x
x
2

Đặt t  3 1  ln 2 x  t 3  1  ln 2 x  3t 2 dt 
e

 I4  

3

1

ln xdx
1  ln x .

x
2

ln 3 x  2log 2 x

e

5) I 5  

x 1  3ln 2 x

1

3

2

32
3
1 t. 2t dt  2

3

62 2  3
3 4
t
dt

t

1
8
8 1

3

2

2

3

dx

6 ln x
ln x
1

2tdt  x dx  x dx  3 tdt
+) Đặt t  1  3ln 2 x  t 2  1  3ln 2 x  
2

ln 2 x  t  1

3
Đổi cận x :1  e thì t :1  2

t 2 1 2

ln x  2log 2 x
ln x  2log 2 e.ln x
ln x  2log 2 e ln x
ln 2 . 1tdt
 I5  
dx  
dx  
.
dx   3
2
t
3
x
x 1  3ln 2 x
1  3ln 2 x
1 x 1  3ln x
1
1
1
e



e

3

e

3

2

2

2
2
1  2
6 
1  t3
6 2 4
t

1

dt

t 

 t 




9 1
ln 2 
9 3
ln 2  1 27 3ln 2

+) Vậy I 5 

4
2

27 3ln 2

e2

e2

2ln x  1
2ln x  1
dx  
dx
6) I 6  
2
2
1 x  8ln x  8ln x  3
1 x.  2  2ln x  1  1


4(2ln x  1)
2ln x  1
dt

dx 
dx 
+) Đặt t  (2ln x  1)2  dt 
; Đổi cận x :1  e2 thì t :1  9
x
x
4
9

+) Khi đó I 6 

9

1 dt
1
1 19
1 19
 ln 2t  1  ln => Vậy I 6  ln

4 1 2t  1 8
8 3
8 3
1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Giáo viên
Nguồn

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn
- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.

Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm

trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-