10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP PHẦN 4

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 04)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 04) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.



cos 2 x
dx
Bài 1. Tính các tích phân sau : 1) I1  


3

sin x sin  x  
6
4

Giải :
4



2) I 2 

4


0

tan 3 x  3
dx
sin 2 x  sin 2 x  3cos 2 x



cos 2 x
dx
1) I1  


3

sin x sin  x  
6
4

4




2



4
cos x
cos x
cot 2 x
dx
dx  2  3
dx  2 
. 2


3

 sin x  sin x  cos x 
 1  cot x sin x
sin
x
sin
x



6
6
6
4

dx



+) Đặt t  cot x  dt   2
; Đổi cận x   t  3 và x   t  1
sin x
6
4
4

+) Ta có: I1  

3

+) Khi đó I1  2 
1

2

4

t2
t 2 1 1
1 

dt  2 
dt  2   t  1 
 dt
1 t
t 1
t 1 
1

1 
3

3

3

 t2

3 1
 2   t  ln t  1   2 2  6  2 ln
2
2
1

+) Vậy I1  2 2  6  2 ln

3 1
2

dx

và x : 0  thì t : 0  1
2
cos x
4
1
1
1
1

3

t 3
7t  3 
6(t  1)  t  3 
6
1 


 I2   2
dt    t  2  2
dt

t

2

dt





t  2 
 dt


t  2t  3
t  2t  3 
(t  1)(t  3) 

t  3 t 1 
0
0
0
0

+) Đặt t  tan x  dt 

1

5
 t2

   2t  6ln t  3  ln t  1    7 ln 2  6ln 3
2
0 2
Bài 2. Tính các tích phân sau:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





3

0

6

dx
cos x  sin x  cos x 
0

dx
2) I 2  
2
 1  2sin 2 x  2 cos x

1) I1  



3) I 3  
0

4

2

2

4

sin x
4) I 4  
dx
cos6 x
0

5) I 5  


3 sin x  cos x



3

dx









sin x

3

sin xdx

 sin x  cos x 

6) I 6  

3



4

dx
sin x.cos3 x

4

Giải :

6

dx
cos x(sin x  cos x)
0

1) I1  

Cách trình bày 1:




6

6
dx
dx
+) Ta có : I1  

2
cos x(sin x  cos x) 0 cos x(tan x  1)
0

+) Đặt t  tan x  dt 

+) Khi đó I1 

3
3


0

+) Vậy I1  ln

dx


3
; Đổi cận x  0  t  0 và x   t 
2
6
3
cos x

3
dt
3 3
 ln t  1 03  ln
t 1
3

3 3
3






6

dx
dx
d (tan x  1)
3 3
6  ln




ln
tan
x

1
2

0
cos x(sin x  cos x) 0 cos x(tan x  1) 0 tan x  1
3
0
6

6

Cách trình bày 2: I1  
0

dx

2) I 2  
2
 1  2sin 2 x  2cos x


4

Đặt t  tan x  dt 

0

1
dx
 1  tan 2 x  4 tan x  2. cos2 x 



4

0

 tan



2

1
dx
.
x  4 tan x  3 cos 2 x

4

dx

; Đổi cận x    t  1 và x  0  t  0
2

cos x
4

dt
1 (t  1)  (t  3)
1  1
1 
1 t 3
 
dt   

Khi đó I 2   2
dt  ln
t  4t  3 2 1 (t  1)(t  3)
2 1  t  3 t  1 
2 t 1
1
0

0

0





3

3

3) I 3  
0



sin x
3 sin x  cos x

dx  
3



0

0

1 3
 ln
2 2
1



cos3 x



sin x

3

dx  
3



3 tan x  1

0



tan x



3 tan x  1

3

.

dx
cos 2 x


3dx
dx

dt


dt 
2
2

cos x
cos x
3 ; Đổi cận x  0  t  1 và x    t  4
+) Đặt t  3 tan x  1  
3
 tan x  t  1

3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

4

1 t 1
1 1 1
1 1 1 
3
+) Khi đó I 3   3 dt    2  3  dt     2  
31 t
3 1t t 
3  t 2t  1 32
4

4




2

4


2

4

4
sin x
sin x 1
dx
4) I 4  
dx  

.
  tan 2 .(1  tan 2 x)d tan x
6
2
2
2
cos x
cos x cos x cos x 0
0
0





 tan x tan x  4 8
   tan 2 x  tan 4 x d tan x  

 
5  0 15
 3
0
3

4

5







2

2

2

5) I 5  


sin xdx

 sin x  cos x 

3




4

4

sin xdx
sin x 1  cot x  

2






2

sin xdx
sin x. 1  cot x 

3

3




4

dx
sin x. 1  cot x 
2

3

4





 

3



d (1  cot x)

1  cot x 

3



2

1
2 1  cot x 

2

4




3
3

. Vậy I 5 
8
8

4

( Ngoài ra các bạn có thể tính I 5 theo Cách 2 như sau :




2

I5  


 sin x  cos x 

3




4

4

Đặt t  x 

I5 

3
4

1
2 2





2


4



2

sin xdx

sin xdx

 

 2 sin  x  4  




 dt  dx và x :


4




2

3

1



2

thì t :


2

2

sin xdx

3
sin

x



4
4


2 



3
. Khi đó:
4

3
3
 
3
 34

sin  t  
4
4
dt
d sin t  1 
1  4 3
 4  dt  1 sin t  cos t dt  1 


   cot t 
  )
8
sin 3 t
4  sin 3 t
4   sin 2 t  sin 3 t  4 
2sin 2 t  
2
2
2
2










3
3
3
dx
dx
1
1
dx
1  tan 2 x dx



.
.

6) I 6  
3
4
2
2


 tan x . cos2 x
 sin x.cos x
 tan x.cos x
 tan x cos x cos x 
3

4

4

4

+) Đặt t  tan x  dt 

4




dx
và x :  thì t :1  3
2
4
3
cos x
3

3

1 t2
t2 
1
1 
.dt     t  dt   ln t    1  ln 3
+) Khi đó I 6  
t
t 
2 1
2

1
1 
3

Nhận xét:
+) Ba ý I3 , I 4 , I5 do biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, nên ta đã sử dụng kĩ thuật vi phân.

4

+) Ở tích phân I 5 nếu đổi lại đề (đổi lại cận) I 5  
0


4

đổi I 5  
0

sin xdx

 sin x  cos x 

3

thì cách làm đầu tiên bằng việc biến


4

sin xdx

 sin x  cos x 

3


0

sin xdx

sin x 1  cot x  

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

3

sẽ không chính xác vì sin x  0 tại x  0 . Lúc này ta biến

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)




4

đổi theo cos x như sau I 5  
0



4

sin xdx

 sin x  cos x 



3

0

Nguyên hàm – Tích phân



4

sin xdx
cos x  tan  1 



3

0

4

sin xdx
cos3 x  tan  1

3


0

tan xdx
cos 2 x  tan  1

3


2

…Nếu tiếp tục đổi lại cận I 5  
0

sin xdx

 sin x  cos x 

3

thì cách biến đổi theo cos x khi đó cũng không chính xác.

Song Cách 2 vẫn phát huy tác dụng . Ngoài ra ta còn cách giải khác (sẽ được nói kĩ hơn ở các lớp tích
phân đặc biệt).
Bài 3. Tính các tích phân sau:



3

4

sin x
dx
(2  tan 2 x)3 .cos5 x
0

1) I1  



3

4

tan x

2) I 2  

cos x. 1  2 cos x
2



dx

3) I 3  


4

6





2

4

dx
4) I 4   2
sin x  3cos 2 x
0

sin x
dx
5sin x cos 2 x  2 cos x


tan 3 x
6) I 6  
dx
1  cos 2 x
0
4

sin x
5) I 5  

dx
3
cos x.(1  sin 2 x)
0

Giải




4
sin 3 x
tan 3 x
1) I1  
dx  
dx
(2  tan 2 x)3 .cos5 x
(2  tan 2 x)3 .cos 2 x
0
0
4

+) Đặt t  2  tan 2 x  dt  

2 tan x
tan x
dt

và x : 0  thì t : 2  1 .
dx 

dx  
2
2
cos x
cos x
2
4


2

tan 2 x
tan x
2  t dt 1  2 1 
1  1 1
1
+) Khi đó: I1  
.
dx   3 .    3  2  dt    2   
2
3
2
(2  tan x) cos x
t
2 2 1t t 
2 t
t 1 8
0
1
2

4

+) Vậy I1 

1
8





3

3

2) I 2  


2

tan x



cos x. 1  2 cos 2 x

 1

 2

4 cos x. cos x 
2
 cos x




4

2

+) Đặt t  3  tan 2 x  t 2  3  tan 2 x  tdt 
6

+) Khi đó: I 2 


2

tdt

t

3

tan x

dx  

dx  



tan x
cos 2 x. 3  tan 2 x

dx

4

tan t


dt và x :  thì t : 2  6 .
2
cos t
4
3

6

 dt  t

6
2

 6 2

2

+) Vậy I 2  6  2





4

sin x
dx
cos x 1 
3  cos x
sin x  5 2  2
.

6
sin x sin 2 x 
 sin x

4
sin x
dx

3) I 3  
2

 5sin x cos x  2 cos x

6

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)




4




6

Nguyên hàm – Tích phân

4

dx



sin 2 x 5cot 2 x  2 cot x 1  cot 2 x  



dx
sin x  2 cot x  5cot 2 x  2 cot x 
2

3

6

dx


Đặt t  cot x  dt   2 và x :  thì t : 3  1 . Khi đó : I 3 
sin x
6
4

3

 2t

3

1

dt
 5t 2  2t

1

1
A
B
C

 

 1  A(t  2)(2t  1)  Bt (2t  1)  Ct (t  2)
2
2t  5t  2t t (t  2)(2t  1) t t  2 2t  1

Ta phân tích

3

Lần lượt chọn x bằng 0; 2; 

1
1
4
1
ta được: A  ; B  và C   , suy ra:
2
6
3
2
3

1
1

4 
1
2
1

I3    

dt   ln t  ln t  2  ln 2t  1  

2t 6(t  2) 3(2t  1) 
6
3
2
1
1 
3
1
2
ln 3  ln( 3  2)  ln(2 3  1)
4
6
3
3


2

dx
sin x  3cos 2 x
0

4) I 4  

2

Phân tích và hướng giải:
Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân

1
1
1


2
2
2
2
sin x  3cos x cos x.(tan x  3) sin x.(1  3cot 2 x)
2



Nghĩa là ta có thể đưa tích phân trên về một trong hai dạng



f (tan x)
dx (7*1) hoặc
cos 2 x





f (cot x)
dx
sin 2 x

(7*2) nếu đảm bảo các biểu thức dưới dấu tích phân có nghĩa trên miền cần  ;   . Song một “trở ngại”
trong bài toán này là cận x  0 và x 


2

lần lượt làm cho cot x và tan x không có nghĩa nên ta sẽ

 
không chuyển được I 4 về dạng (7*1) hoặc (7*2) nếu để nguyên miền cận 0;  . Chỉ cần miền cận
 2

không có 0 ta sẽ chuyển được về dạng (7*2) và miền cận không có
ta sẽ đưa được về dạng (7*1) .
2
Điều đó khiến ta nghĩ tới việc tách cận để “khắc phục” những điều nói trên. Vì vậy ta có lời giải sau:
Giải :




2

4



2
dx
dx
dx


2
2
2
2
2


sin x  3cos x 0 sin x  3cos x  sin x  3cos 2 x
0

I4  

4





4

2
dx
dx

 A B
2
2
2

cos x.(tan x  3)  sin x.(1  3cot 2 x)
0



4


4

dx
cos x.(tan 2 x  3)
0

+) Tính A  

2

dx


dt
Đặt t  tan x  dt 
và cận x  0  t  0 ; x   t  1 . Khi đó A   2
2
cos x
2
t 3
0
1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

3
  
Đặt t  3 tan u với u    ;   dt 
du  3(1  tan 2 u )du
2
cos u
 2 2


Đổi cận t  0  u  0 ; t  1  u 
6

6

Suy ra A  
0





3(1  tan u )
36
3 6
3
du

du

u 
2

3(1  tan u )
3 0
3 0
18
2



2

+) Tính B  


dx
sin x.(1  3cot 2 x)
2

4

dx


dt
và cận x   t  1 ; x   t  0 . Khi đó B  
2
sin x
4
2
1  3t 2
0
1

Đặt t  cot x  dt  

1
du
1
1

  
.

(1  tan 2 u )du
tan u với u    ;   dt 
2
3 cos u
3
3
 2 2

Đổi cận t  0  u  0 ; t  1  u 
3
Đặt t 







1 3 1  tan 2 u
33
3 3
3
Suy ra B 
du

du


u 
2


3 0
3 0
9
3 0 1  tan u
Vậy I 4 

3
3
3


9
18
6





4

4
sin x
tan x
dx


dx
3
2
2

cos
x
.(1

sin
2
x
)
cos
x
.(sin
x

cos
x
)
0
0

5) I 5  




4

tan x
dx
(1  tan 2 x).tan x dx

.

.
2
2
2
2

cos
x
.(tan
x

1)
cos
x
(tan
x

1)
cos 2 x
0
0
4

Đặt t  tan x  dt 

dx

; Đổi cận x  0  t  0 và x   t  1
2
cos x
4

(1  t 2 ).t
t3  t
4t  2 

dt

dt    t  2  2
 dt
2
2

(t  1)
t  2t  1
t  2t  1 
0
0
0

1

1

Khi đó I 5  

1

1
1


4(t  1)  2 
4
2 
  t  2 
dt


t  2 
 dt

2

(t  1) 
t  1 (t  1) 2 
0 
0

1

 t2
2 
5

   2t  4ln t  1 
    4ln 2
t 1  0
2
2
5
Vậy I 5    4ln 2
2




4
tan 3 x
dx

6) I 6  
0
1  cos 2 x
0
4


4
tan 3 x
tan 2 x tan xdx
dx  
.
2  tan 2 x cos 2 x
 1


2
0
cos x. 
 1
2
 cos x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Đặt t  2  tan 2 x  dt 

Nguyên hàm – Tích phân

2 tan xdx
tan xdx dt


 ; Đổi biến x  0  t  2 và x   t  3
2
2
cos x

cos x
2
4

3
t  2 dt 1  2 
1
1
3
.   1  dt   t  2ln t    ln
2
t 2 2 2 t 
2
2
2
2
3

3

Khi đó I 6  





3

1) I1  

Bài 4. Tính các tích phân sau:



2 3

dx
4

2) I 2  

sin 3 x.cos5 x



4

sin 3 x  sin x
.cot xdx
sin 3 x

3

Giải

3

dx

1) I1  

4



sin 3 x.cos5 x

4



Phân tích và hướng giải: Tích phân này có dạng I   m n


2



ta sẽ nghĩ ngay tới việc biến đổi tích phân này về dạng




dx

(với m  3; n  5 ) chính vì vậy

m

n

sin x.cos x

f (tan x)dx
(7*1) hoặc về dạng
cos 2 x






f (tan x)dx
cos 2 x

(7*2) . Trong lời giải của bài toán này ta chọn cách đưa về dạng (7*1) .
Giải:






3

3

dx

3



3

I1  


dx
4

3

5

sin x.cos x

4


4

 sin x 
8
4

 .cos x
cos
x











3
3

dx
  tan 4 .d tan x  4 4 tan x 3  4
.
2
3
tan x cos x 
4

1

4



8



3 1

4

4


2 3

2) I 2  


sin 3 x  sin x
.cot xdx
sin 3 x

3





2 3

+) Biến đổi I 2  




2

sin x  sin x cot x
1
cot x
dx
3
. 2 dx   1  2 . 2 dx   3  cot 2 x .cot x 2
sin x
sin x
sin x sin x
sin x


3

2

3

3

3

dx
dx

 dt
2
sin x
sin 2 x


1

+) Đổi cận x   t 
; x t 0
3
2
3

+) Đặt t  cot x  dt  

0

+) Khi đó I 2 



1
3

3

1
3

1
3 5
3

3 8
t 2 .t.(dt )    t dt   t 3

8
0



1
3

8 3

0

( x  x)e
dx
x
x

e
0

1

Bài 5. Tính tích phân sau: I 5  

2

x

Giải :

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

( x 2  x )e x
( x 2  x )e x
( x 2  x )e 2 x
xe x .( x  1)e x
dx

dx

dx

0
0 xe x  1
0 xe x  1 dx
1
x  e x
0
x x
e

x
+) Đặt t  xe  1  dt  (1  x)e x dx ; Đổi cận x  0  t  1 và x  1  t  e  1
1

1

I5  

+) Khi đó I 5 

e 1


1

1

t 1
dt 
t

e 1


1

1

e 1
 1

1  dt   t  ln t  1  e  ln(e  1)
 t

Vậy I5  e  ln(e  1)


1  2sin 2 x
dx (B – 2003)
1

sin
2
x
0
4

1) I1  

Bài 6. Tính tích phân sau:

2

sin 2 x.cos x
dx (B – 2005)
1

cos
x
0

2) I 2  

1

3) I 3  
0

x 2  e x  2 x 2e x
dx (A – 2010)
1  2e x

Giải


1  2sin 2 x
dx (B – 2003)
1) I1  
1  sin 2 x
0
4



dt

cos 2 x
dx ; Đặt t  1  sin 2 x  dt  2cos 2 xdx  cos 2 xdx 
và x : 0  thì
2
4

1  sin 2 x
0
4

Ta có: I1  

t :1  2
 I1 

2
2 1
1 dt 1
 ln t  ln 2

1 2
21 t 2


2

sin 2 x.cos x
dx (B – 2005)
1

cos
x
0

2) I 2  




cos 2 x.sin x
dx ; Đặt t  1  cos x  dt   sin xdx và x : 0 
Ta có: I 2  2 
thì t : 2  1
2
1

cos
x
0
2

2
 t2
(t  1)2
1

.(dt ) 2  t  2   dt  2   2t  ln t
t
t
2
2
1

1

 I 2  2

1

3) I 3  
0

2
  1  2ln 2
1

x 2  e x  2 x 2e x
dx (A – 2010)
1  2e x
1

x 2 (1  2e x )  e x
e x dx
x3
1
2
dx

x
dx


I  I
Ta có : I 3  
x
x



1  2e
1  2e
3 0
3
0
0
0
1

1

1

1

e x dx
Tính I  
1  2e x
0

1
Khi đó: I 
2

1 2 e


3

x
x
x
Đặt t  1  2e  dt  2e dx  e dx 

dt 1
 ln t
t 2

1 2 e

3

dt
và x : 0  1 thì t : 3  1  2e
2

1 1 2e  1
1 2e  1
 ln
 I3   ln
3 2
3
2
3

Bài 7. Tính các tích phân sau:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

e

e

ln(ex)
1) I1  
dx
1  2 x ln x
1

2) I 2  

Nguyên hàm – Tích phân

2 x3  1   x 4  1 ln x
2  x ln x

1

( x3  1) ln x  2 x 2  1
dx
3) I 3  
2  x ln x

1

dx

(3x3  1) ln x  3x 2  1
dx
4) I 4  
1  x ln x
1

e

e





2 x 2 sin 2 x  x cos x  sin x  2
5) I 5  
dx
x
sin
x

1
0

(sin 2 x  cos x  1)  (2 x cos x  1) ln x
dx

sin x  x ln x

2

2

6) I 6  


6

x ln x  x ln x  x  1
dx
x 2  x ln x

e

2

7) I 7  
1

2ln x  ln 2 x
dx
x( x  ln 2 x)
1

e

2

8) I8  


3

9) I 9  


2( x  1) tan x  x(2 tan 2 x  x)
dx
x(2 tan x  x)

( x 2e x  2 x  1)e x
dx
xe x  1
0

1

10) I10  

4

( x 4  2 x 3 )e x
11) I11  
dx
x 2  e x
0

2

1

12) I12  
1

x 1
dx
x e  2x
2 x



cos x  x sin x
dx
13) I13  
2
 ( x  cos x)

4

2

14) I14  
1

x 2 x  ln x

3

e2

x  e2 x
15) I15   x 2 x dx
xe  e
0
1

16) I16  
1



x  ln x  1



dx

x  1  ln x
dx
( x ln x  2) 2

Giải
e

ln(ex)
dx
1  2 x ln x

1

1) I1  

+) Vì (1  2 x ln x) '  2ln x  2  2(1  ln x)  2ln(ex) nên

ln(ex)
1 d (1  2 x ln x) 1
1
dx  
 ln 1  2 x ln x  ln(1  2e)
1  2 x ln x
2 1 1  2 x ln x
2
2
1
1
e

e

e

I1  

1
+) Vậy I1  ln(1  2e)
2
e

2) I 2  

2 x3  1   x 4  1 ln x
2  x ln x

1

e

dx  
1

x3 (2  x ln x)  1  ln x
1  ln x 

dx    x3 
dx
2  x ln x
2  x ln x 
1
e

e


e2  1
e2
d (2  x ln x)  x 4
 ln
  x dx  

   ln 2  x ln x  
4
2
2  x ln x
 4
1
1
1
e

e

3

e2  1
e2
 ln
Vậy I 2 
4
2
CHÚ Ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các bạn có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật
vi

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)


Nguyên hàm – Tích phân



u'
du

dx  
 ln u   ?
 u
 u

phân. Ở I 2 ta đã sử dụng : I  

( x3  1) ln x  2 x 2  1
x 2 (2  x ln x)  1  ln x
1  ln x
dx

dx   x 2 dx  
dx
1

2  x ln x
2  x ln x
2  x ln x

1
1
1
e

e

3) I 3 

e

e

e


d (2  x ln x)  x3
e3  1
e2
  x dx  
   ln 2  x ln x  
 ln
2  x ln x
3
2
 3
1
1
1
e

e

2

(3x3  1) ln x  3x 2  1
dx
4) I 4  
1  x ln x
1
e

các bạn làm tương tự như I 3 ta được đáp số I 4  e3  1  ln(1  e)




2
2 x sin x  x cos x  sin x  2
2( x sin x  1)( x sin x  1)  ( x cos x  sin x)
dx  
dx
x sin x  1
x
sin
x

1
0
2

2

5) I 5  
0

2





2

sin x  x cos x
dx  2 A  B
x
sin
x

1
0
2

 2  ( x sin x  1)dx  
0







2

2

2

0

0

0

+) Tính A   ( x sin x  1)dx   x sin xdx   dx


2



u  x
du  dx



Đặt 
, suy ra A   x cos x 02   cos xdx  x 02  0  sin x 02   1 
2

2
dv  sin xdx v   cos x
0





2

sin x  x cos x
d ( x sin x  1)


+) Tính B  
dx  
 ln x sin x  1 02  ln   1
x sin x  1
x sin x  1
2 
0
0
2



Vậy I 5  2    ln   1
2 




2
(sin 2 x  cos x  1)  (2 x cos x  1) ln x
2 cos x.(sin x  x ln x)  1  cos x  ln x
dx  
dx
6) I 6  
sin x  x ln x
sin x  x ln x


2

6

6









2
2
1  cos x  ln x
d (sin x  x ln x)

 2  cos xdx  
dx  2  cos xdx  
sin x  x ln x

 sin x  x ln x


2

2

6

6

6



  2sin x  ln sin x  x ln x  2  1  ln
6

1

6



ln



2 2
1  
 ln
2 6 6

x 2 ln x  x ln 2 x  x  1
( x 2  x ln x) ln x  ( x  1)
dx  
dx
7) I 7  
x 2  x ln x
x 2  x ln x
1
1
e

e

e

e

1

1

  ln xdx  

x 1
dx  A  B
x( x  ln x)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

dx

e
u  ln x du 
e
e
+) Tính A   ln xdx
Đặt 

x , Suy ra A  x ln x 1   dx  e  x 1  1
dv  dx v  x
1
1


1
e
e 1
e
x 1
x dx  d ( x  ln x)  ln x  ln x e  ln(e  1)
+) Tính B  
dx  
1 x  ln x
1
x( x  ln x)
x  ln x
1
1
e

Vậy I 7  1  ln(e  1)

2ln x  ln 2 x
dx
x( x  ln 2 x)
1

e

8) I8  

+) Đặt t  ln x  dt 

dx

; Đổi cận x  1  t  0 ; x  e  t  1
x

2t  t 2
et  2t  (et  t 2 )
et  2t
+) Khi đó I8   t 2 dt  
dt

0 et  t 2 dt  0 dt
e t
et  t 2
0
0
1

1

1

1

1
d (e t  t 2 )
  dt  ln(et  t 2 )  t   ln(e  1)  1
t
2
0
e t
0

0

1

1



3

9) I 9  



3
2( x  1) tan x  x(2 tan x  x)
(2 x tan x  x 2 )  (2 tan x  2 x tan 2 x)
dx  
dx
x(2 tan x  x)
2 x tan x  x 2

2

4

4





3

3





  dx  
4

2 tan x  2 x tan 2 x
dx  A  B
2 x tan x  x 2

4


3





4

+) Tính A   dx  x 3 


12

4


3

+) Tính B  



3
2 tan x  2 x tan x
d (2 x tan x  x 2 )
dx

 ln 2 x tan x  x 2
2
2

2 x tan x  x
2 x tan x  x

2

4

Vậy I 9 


12

 ln


3



4

 ln

16(  6 3)
9(  8)

4

16(  6 3)
9(  8)

( x 2e x  2 x  1)e x
( x 2e2 x  2 xe x  1)  (e x  1)
dx

dx
10) I10  
0
xe x  1

xe x  1
0
1

1

( xe x  1)2  (e x  1)
ex 1
x
dx

(
xe

1)
dx

dx  A  B
x
x


xe

1
xe

1
0
0

0

1

1



1

1

1

1

1

1

+) Tính A   ( xe x  1)dx   xe x dx   dx   xe x dx  x 0  1   xe x dx
1

0

0

0

0

0

u  x
du  dx

Đặt 
x
x
dv  e dx v  e

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)
1

Nguyên hàm – Tích phân

Khi đó A  1  xe x   e x dx  1  e  e x  1  e  (e  1)  2
1

1

0

0

0

1

1
1 dx x 
x
e 1
1
e 

e dx 
 ln x  x
+) Tính B   x dx  

1
1
xe  1
e
0
0 x
0
x x
x
e
e
Vậy I10  1  ln(e  1)

1

1

x

1

1

 ln
0

e 1
 1  ln(e  1)
e

( x 4  2 x 3 )e x
( x 4  2 x 3 )e x
( x 4  2 x 3 )e 2 x
( x 4  2 x 3 )e 2 x
x 2e x .( x 2  2 x)e x dx
dx

dx

dx

dx


0 2 1
0 x2e x  1
0 x2e x  1
0
x 2  e x
x 2e x  1
0
x  x
e
2 x
2
x
+) Đặt t  x e  1  dt  ( x  2 x)e d ; Đổi cận x  0  t  1 và x  1  t  e  1
1

1

11) I11  

+) Khi đó I11 

e 1


1

t 1
dt 
t

e 1


1

1

1

1

e 1
 1
1  dt   t  ln t  1  e  ln(e  1)
 t

Vậy I11  e  ln(e  1)
2

12) I12  
1

2
2
2

x 1
1 ( x 2e x  2 x)  ( x 2e x  2)
1
x 2e x  2

dx

dx

dx

dx 

2 x
2 x
2 x


x e  2x
21
x e  2x
21
x e  2x 
1


 x 2
2


x
2 e 
2 d e 



1 2
2
x   1 1

x 2 dx   1 1 
 x1 
  ln e x 


2
2
x
1 ex 
 2  1 ex  2  2 2


x
x





2


1

1 1 e2  1
 ln

2 2 e2

1 1 e2  1
 ln
2 2 e2

Vậy I12 


 cos x 
cos x  x sin x

2
2
2 d 1 
2
cos x  x sin x
1
x 

x
dx  
dx   

13) I13  
2
2
2
cos
x

cos x 
cos x 
 ( x  cos x )
 
 
1
1

1



3
3 
3 
x
x 
x 






3
3  2

Vậy I13 
4

14) I14  
1



x  ln x  1

x 2 x  ln x



4

dx  
1

2 x  ln x 





dx 

x 1

x 2 x  ln x





Vậy I14  ln
1

15) I15  
0

2



3
3  2


3

dx
x 1
1 x  1 x 2 x  ln x dx
4

4



x 1
4
4

4 d 2 x  ln x
dx
dx
x
x
  
dx    
 ln
x 1 2 x  ln x
x 1 2 x  ln x
2 x  ln x
1
1
4







4

 ln
1

4
2  ln 2

4

2  ln 2

x  e2 x
dx
xe x  e2 x
1

Ta có: I15  
0

x  e2 x
x  e x  e x (1  e x )
dx 1  e x
d (x  ex )
x
dx

dx


dx

e
dx

0 e x ( x  e x )
0 e x 0 x  e x
0
0 x  e x
xe x  e2 x

1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

1

1

1

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

1

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1

1
1
 1

   x  ln x  e x   1   ln(1  e) . Vậy I15  1   ln(1  e)
e

e
 e
0
e2

16) I16  
1

x  1  ln x
dx
( x ln x  2) 2
e2

e2

e2

x  1  ln x
x2
1  ln x
dx  
dx  
dx  A  B (*)
+) Ta có I16  
2
2
( x ln x  2)
( x ln x  2)
( x ln x  2) 2
1

1
1
2

e
2

1 2
 2
e
e
e2 d  ln x 

x2
1
1
x
+) Tính A  
(1)
dx   x x 2 dx   

 2
2
2
2
( x ln x  2)
2e  2
2
2
1

1 
1 
ln
x

 ln x  
 ln x  
x1
x
x


2

2

e2

e2

e2

1  ln x
d ( x ln x  2)
1
1
1
dx  

  2

+) Tính B  
(2)
2
2
( x ln x  2)
( x ln x  2)
x ln x  2 1 2 2e  2
1
1
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I16 

1
2

Bài 8. Tính các tích phân sau:




( x  1)sin 2 x  x sin x
dx
1  2 cos x
0
3

3

1) I1  

2) I 2  

0

x  2sin x.(cos x  2 x sin x)
dx
1  sin x sin 3x

Giải :








3
( x  1)sin 2 x  x sin x
x sin x.(1  2cos x)  sin 2 x
sin 2 x
dx  
dx   x sin xdx  
dx  A  B
1  2cos x
1  2cos x
1  2cos x
0
0
0
0
3

3

1) I1  

3

(*)


u  x
du  dx

Đặt 
dv  sin xdx
v   cos x

3

+) Tính A   x sin xdx
0




3

Khi đó A   x cos x 03   cos xdx  
0




6



 sin x 03 

3 

2 6

(1)



3

3
sin 2 x
2sin x cos x
dx  
dx
1  2 cos x
1  2 cos x
0
0

+) Tính B  

Đặt t  1  2cos x  dt  2sin xdx  sin xdx  

dt

và cận x : 0  thì t : 3  2
2
3

3
t  1 dt 1  1 
1
1 1 3
.   1   .dt   t  ln t    ln
Khi đó B  
2
t 2 2 2 t 
2
2 2 2
2
3

3

Thay (1), (2) vào (*) ta được: I1 

(2)

3 1  1 3
  ln

2
6 2 2


3

2) I 2  
0

x  2sin x.(cos x  2 x sin x)
dx
1  sin x sin 3x

Ta có:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

 x  2sin x.(cos x  2 x sin x)  x.(4sin 2 x  1)  sin 2 x



1
1  cos 4 x  1  cos 2 x sin 2 2 x  cos 2 x (4sin 2 x  1) cos 2 x
1

sin
x
sin
3
x

1

cos
4
x

cos
2
x







2
2
4
4




 3

3
x.(4sin x  1)  sin 2 x
x
sin 2 x


dx  4  
dx  
dx   4  A  B  (*)
Khi đó I 2  4 
2
2
2
2
2
(4sin x  1) cos x
(4sin x  1) cos x 
0
0
 0 cos x


2

3



u  x
du  dx

Đặt 
dx  
dv 
v  tan x

cos 2 x


6

x
+) Tính A  
dx
cos 2 x
0




sin x
 3 d cos x 
Khi đó A  x tan x  
dx 



 ln cos x
cos x
3 0 cos x
3
0


3

3
0


3
0




3

 ln 2 (1)





sin x cos x
3

3
2
sin 2 x
tan x
cos x
+) Tính B  
dx

2
dx

2
d tan x
2
2
2


2
4sin
x

1
(4sin
x

1)
cos
x
1


5
tan
x
2


0
0
0
.cos x
cos 2 x
3



2
1 3 d 1  5 tan x  1
 
 ln 1  5 tan 2 x
2
5 0 1  5 tan x  5


3
0

4
 ln 2
5

(2)

4
 
 4 3 4
 ln 2  ln 2  
Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I 2  4 
 ln 2
5
3
5
 3

Bài 9. Tính các tích phân sau:



2

1) I1  
0

e

4) I 4  

x  sin x  sin x
dx
x  cos x

2

2

0

2 x  (1  2ln x) x  ln x
2

x

1

e

2

2

 x ln x 

2

dx

1  x 2 ln x
dx
2
x


x
ln
x
1

x 2  sin 2 x  3cos 2 x  2sin x
dx
x  2 cos x

2

2) I 2  

5) I 5  
1

1  ln x
dx
x 2  ln 2 x

e

3) I 3  

e x (3x  2)  x  1
dx
x
e
(
x


1)

x

1
2

5

6) I 6  

Giải






2
x  sin x  sin x
x  cos x  cos x  sin x  sin x
( x  cos x)( x  cos x)  1  sin x
1) I1  
dx  
dx  
dx
x  cos x
x  cos x
x  cos x

0
0
0
2

2

2

2

2

2

2

2



 x2
 2 2

 1  ln
   sin x  ln x  cos x  
8
2
 2
0





2 2
x  sin x  3cos x  2sin x
x  4cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x
dx  
dx
2) I 2  
x  2cos x
x  2cos x
0
0
2

2

2

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)




Nguyên hàm – Tích phân



2
2
( x  2cos x)( x  2cos x)  1  2sin x
1  2sin x

dx   ( x  2 cos x)dx  
dx
x  2cos x
x  2 cos x
0
0
0
2







 2 2


d ( x  2 cos x)  x 2
 2  ln
  ( x  2 cos x)dx  
   2sin x  ln x  2 cos x  
8
4
x  2 cos x
 2
0
0
0
2

2

1  x 2 ln x
( x  x 2 ln x)  1  x
1 x 

dx

dx   1 
dx
2
2

x  x ln x
x  x ln x
x  x 2 ln x 

1
1
1
e

e

3) I 3  



  1 
1

e

e

4) I 4  

e

1

1 1 
e
 ln x 
 
e
e d

2
x
   x  ln 1  ln x   e  ln(e  1)
x
x dx  dx 



1 1 1
1
x

1
 ln x 
 ln x
x
x


2 x 2  (1  2ln x) x  ln 2 x

x

1

2

 x ln x 

2

e

dx  

x

2

 2 x ln x  ln 2 x   x 2  x

1

x 2 .  x  ln x 

2

 x  ln x   x.( x  1) dx
dx  
2
x 2 .  x  ln x 
1
e

2

1 

e
1

e
e
e
1

1

d  x  ln x 
x 1
dx
1 
2e 2  1
1
x
  2 
dx


dx







2
1  x2  x  ln x 2  1 x2 1  x  ln x 2  x x  ln x  1 e2  e
x  x  ln x  
1 



x


1 ln x

e
e
e
1  ln x
1  ln x
x2 x2
dx

dx

5) I 5   2
1 ( x  ln x)( x  ln x) 1  ln x  ln x  dx
x  ln 2 x
1
1 
1 

x 
x 

e



 1 ln x 
dt   2  2  dx

ln x 
1
x 
x

+) Đặt t  1 
; Đổi cận x  1  t  1 ; x  e  t  1 
x
e
 ln x  t  1
 x
1

Suy ra I 5 

1
e


1

1

dt
1

(2  t ).t 2

1
e


1

1 
1
t
1
 
 dt  ln
2 t 2
t t 2

1

1

1
e

1 e 1
 ln
2 e 1

e x (3x  2)  x  1
dx
x

x 1
2 e ( x  1) 

5

6) I 6  

Phân tích bài toán:
Dễ dàng nhận thấy cấu trúc dưới mẫu số thuộc dạng 8 nên việc đầu tiên chúng ta sẽ biến đổi:
e x (3x  2)  x  1 e x ( x  1)  x  1  e x (2 x  1)
e x (2 x  1)

 1 x
e x ( x  1)  x  1
e x ( x  1)  x  1
e ( x  1)  x  1

f ( g ( x)).g '( x)
e2 (2 x  1)
chưa có dạng
. Vậy làm thế nào để chuyển nó về
x
g ( x)
e ( x  1)  x  1
dạng trên? . Câu trả lời thường là chia cả tử và mẫu cho một đại lượng thích hợp. Lúc này có 3 sự lựa
Lúc này ta nhận thấy

chọn: Chia cho e x ; Chia cho 2 x  1 hay chia cho

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

x  1 ? Và việc nháp sau đó sẽ giúp ta biết được lựa

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 15 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

e x (2 x  1)
2. e x x  1  1 ' 2 g '( x)
e x (2 x  1)
x

1



chọn phù hợp trong bài toán này là x  1 vì x
g ( x)
e ( x  1)  x  1 e x x  1  1
ex x 1  1
(ở đây f ( g ( x))  2 ) . Như vậy ta có lời giải sau:
Giải:





e x ( x  1)  x  1  e x (2 x  1)
e x (2 x  1)
dx

dx

2 2 e x ( x  1)  x  1 dx  A  B
e x ( x  1)  x  1
2

5

5

Ta có : I 6  

5

5

+) Tính A   dx  x 2  3
5

2

e x (2 x  1)
5 ex x 1  1 '

e x (2 x  1)
x

1
dx   x
dx  2 x
dx
+) Tính B   x
x 1
x 1  1
x 1  1
2 e ( x  1) 
2 e
2 e
5



5

5

 2
2

Vậy I 6  3  2ln



  2ln e

d ex x 1  1
ex x 1  1



x

5

x  1  1  2ln
2

2e5  1
e2  1

2e5  1
e2  1

Nhận xét: Ở I 3 , I 4 , I 5 và I 6 sau khi tách thành hai tích phân ta không có được tích phân dạng





f ( g ( x)).g '( x)
khi đó ta nghĩ tới việc chia cả tử và mẫu cho một lượng thích hợp để đưa về dạng trên.
g ( x)

Giáo viên

Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 16 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN






Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải

qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-