10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP PHẦN 5

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 05)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 05) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Tính các tích phân sau:




2

3


3

3

sin x
dx
cos5 x
0

3
2
1) I1   (cos x  1) cos xdx (A – 2009)

2) I 2  

0

3) I 3  


dx
sin x cos 4 x
2

4





4

2

4) I 4   sin 2 x.(sin 3 x sin 3x  cos3 x cos 3 x)dx

5) I 5  


0

cos3 x
dx
sin 2 x

6)

6



cos 2 x ln(sin x  cos x)
dx
3  4sin 2 x  cos 4 x
0
4

I6  







cos 2 x.sin 3 x
dx
7) I 7  
1  cos x


2

(sin 4 x  cos 4 x)sin 4 x
dx
sin 6 x  cos6 x
0

2

4

sin 2 x
8) I8  
dx
3  4sin x  cos 2 x
0

9) I 9  

3

Giải




2

2

0

0

5
2
1) Ta có : I1   cos xdx   cos xdx  A  B







12
1
1
2 
2
+) Tính B   cos xdx   (1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x  
20
2
2
0 4
0
2


2

5
+) Tính A   cos xdx ( ở đây m  0; n  5 )

Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x : 0 

0




2

thì t : 0  1



1

 t5 2 3 
8
Khi đó : A   cos x cos xdx   (1  sin x) cos xdx   (1  t ) dt   (t  2t  1)dt    t  t  
5 3
 0 15
0
0
0
0
2

1

2

4

2

2

1

2 2

4

2



sin 3 x
dx
cos5 x
0
3

2) I 2  

+) Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ; Đổi cận x  0  t  1 và x 


3

t 

1
2


1

1

1

2

2

2

1  cos 2 x
1 t2
1 
9
1 1
 1
.sin
xdx


dt    5  3 dt    4  2  
+) Khi đó I 2  
5
5

cos x
t
t 
2t  1 4
 4t
1
1t
0
3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





3

3
3
3
(sin 2 x  cos 2 x)
1
1
dx
dx
 1

dx


dx

.

4
 sin 2 x cos4 x
  cos4 x sin 2 x cos2 x   cos2 x cos2 x  sin 2 2 x

4

4

dx


3) I 3   2
4
 sin x cos x







3

4



4




d (2 x) 
tan 3 x
  1  tan x  .d (tan x)  2  2
  tan x 
 2 cot(2 x) 
3

 sin 2 x



3

3

2

4

4


3





4

8 34
3

4


4

4) I 4   sin 2 x.(sin 3 x sin 3x  cos3 x cos 3 x)dx
0

Ta có: sin3 x sin 3x  cos3 x cos3x = sin x(1  cos2 x)sin 3x  cos x(1  sin 2 x) cos3x
=  sin x sin 3x  cos x cos3x   sin x cos x  cos x sin 3x  sin x cos3x 
= cos 2 x  sin x cos x.sin 4 x
 cos 2 x  2sin x cos x.sin 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 2 x cos 2 x
 cos 2 x  sin 2 2 x cos 2 x  cos 2 x(1  sin 2 2 x)  cos3 2 x

(Trong trường hợp này các bạn có thể sử lý nhanh bằng kĩ thuật vi phân :






1
14
cos 4 2 x
I 4   sin 2 x cos 2 xdx    cos3 2 xd (cos 2 x)  
4 )
8
20
8
0
0
4

3

Nhận xét : Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, ta có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi
phân.


2

5) I 5  


cos3 x
dx
sin 2 x

6

+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x :



6




2

thì t :

1
1
2



1

1

2

2

1
2
1
cos 2 x
1  sin 2 x
1 t2
1 
 1 
cos
xdx

cos
xdx

dt    2  1 dt     t  
+) Khi đó I 5  
2
2
2




 t 1 2
1t
 sin x
 sin x
1 t
2

6

6

2



cos 2 x ln(sin x  cos x)
dx
3  4sin 2 x  cos 4 x
0
4

6) I 6  

cos 2 x
cos2 x  sin 2 x
1 (cos x  sin x)(cos x  sin x)

 .
+) Ta có:
2

3  4sin 2 x  cos 4 x 3  4sin 2 x  (1  2sin 2 x) 2
(1  sin 2 x) 2
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
cos x  sin x


4
(sin x  cos x)
(sin x  cos x)3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân



(cos x  sin x) ln(sin x  cos x)
dx +) Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx
(sin x  cos x)3
0
4

+) Do đó I 6  

Đổi cận x  0  t  1 và x 


4

2

 t  2 , suy ra I 6 

1

dt

du 
u  ln t
2

ln t
1


t
Đặt 
, khi đó I 6   2 
dt  
2t 1
2
dv  t 3
v   1

2

2t
1  ln 2
+) Vậy I 6 
8




2


1

ln t
dt
t3

dt
1
1
  ln 2  2
3
t
8
4t



2

1

1
1 1  ln 2
  ln 2  
8
8
8



2
cos x.sin x
cos x.(1  cos x)(1  cos x)sin x
dx  
dx   cos 2 x.(1  cos x).sin xdx
7) I 7  
1  cos x
1  cos x



2

2

3

3

2

2

3

3

+) Đặt t  cos x  dt   sin xdx ; Đổi cận x 
1
2


3

t 

1

; x t 0
2
2
1
2

t t 
11
+) Khi đó I 7   t 2 (1  t ).(dt )   (t 2  t 3 )dt     

1
 3 4  0 192
0
0

3

4

2







2

2

2



2
sin 2 x
sin 2 x
2sin x cos x
sin x cos x

dx  
dx

dx

dx
2
2


3  4sin x  cos 2 x
3  4sin x  (1  2sin x)
2(sin x  1)
(sin x  1) 2
0
0
0
0

8) I8  

+) Đặt t  sin x  1  dt  cos xdx ; Đổi cận x  0  t  1 ; x 


2

t 2

2

(t  1)dt
1
1
1 1 

+) Khi đó I8  
    2  dt   ln t      ln 2
2
t
t t 
t 1
2

1
1
2

2



(sin 4 x  cos 4 x)sin 4 x
dx
6
6
sin
x

cos
x

0
4

9) I 9  

1
1  cos 4 x 3  cos 4 x
 4
sin x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  1 



2
4
4
+) Ta có: 
sin 6 x  cos6 x  1  3 sin 2 2 x  1  3 . 1  cos 4 x  5  3cos 4 x

4
4
2
8



3  cos 4 x
.sin 4 xdx
5

3cos

4
x
0
4

+) Suy ra I 9  2 

+) Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx  
1

dt

; Đổi cận x  0  t  1 và x   t  1
4
4
1

1
3  t  dt  1  1
4 
11 4
1 4

.      
dt   t  ln 3t  5    ln 2
Khi đó I 9  2 

5  3t  4  2 1  3 3(3t  5) 
23 9
 1 3 9

1

Bài 2. Tính các tích phân sau:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





2

2

2) I 2  

1) I1   (1  sin 2 x)3 .sin 2 xdx

sin 2 x  cos x 2sin x  1

1 



0

6

2sin x  1



3

dx

Giải

2

1) I1   (1  sin 2 x)3 .sin 2 xdx
0

Cách trình bày 1:
+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  0  t  0 và x 


2

 t 1


1

1

0

0

+) Khi đó I1  2  (1  sin 2 x)3 sin x.cos xdx  2 (1  t 2 )3 t.dt 2  t 7  3t 5  3t 3  t  dt
2

0

1

 t 8 t 6 3t 4 t 2 
15
15
. Vậy I1 
 2  
  
4
 8 2 4 2 0 4
Cách trình bày 2:
+) Đặt t  1  sin 2 x  dt  sin 2 xdx ; Đổi cận x  0  t  1 và x 
2

2

t4
15
+) Khi đó I1   t dt 

41 4
1
3


2

t 2

15
4

. Vậy I1 





(1  sin 2 x)4
Cách trình bày 3: I1   (1  sin 2 x)3 .sin 2 xdx   (1  sin 2 x)3 d (1  sin 2 x) 
4
0
0
2

2


2

2) I 2  


6



sin 2 x  cos x 2sin x  1



1  2sin x  1



3

2

dx  


6

 2sin x 

1 


2sin x  1 


2

0



15
4

2sin x  1 cos x
3

dx



Phân tích và hướng giải : Do tích phân có dạng I   f (sin x) cos xdx nên ta nghĩ tới việc đặt t  sin x




và đưa về tích phân về dạng

 f  g ( x),



n



g ( x) .g '( x)dx (Dạng 1 – dạng tích phân chúng ta đã tìm hiểu

trước đó) , đến đây theo dạng 1 ta đặt u  2t  1 . Song để rút ngắn lời giải, ta sẽ gộp 2 công đoạn đặt
thành một. Nghĩa là ta sẽ đặt luôn t  2sin x  1 (hoặc nhìn trực diện Dạng 1 ta cũng thấy được điều
này) .
Do đó ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:
tdt  cos xdx


+) Đặt t  2sin x  1  t 2  2sin x  1  
; Đổi cận x   t  0 và x   t  1
2
6
2
2sin x  t  1
t 2 1 t
t3  t2  t
(t  1)3  4(t  1) 2  6(t  1)  3
tdt

dt

dt
+) Khi đó I 2  

0 (t  1)3
0
(1  t )3
(t  1)3
0
1

1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

1

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1



4
6
3 

6
3 
23
  1 


dt  t  4ln t  1 

  4ln 2
2
3
2
t  1 (t  1) (t  1) 
t  1 2(t  1)  0 8

0 
1

23
 4 ln 2 .
8
Bài 3. Tính các tích phân sau:

+) Vậy I 2 





sin 4 x  cos 2 x

dx
6
6
sin
x

cos
x
0

2

4

sin xdx
1  cos 2 x
0

1) I1  

2) I 2  
Giải


2

sin xdx
1  cos 2 x
0

1) I1  

0

Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt và cận t :1  0
1

dt
dt
 I1   

2
1 t
1 t2
1
0


du

 (1  tan 2 u )du

dt 
2
t

tan
u

cos u

Đặt
và cận u : 0 

4
1  t 2  1  tan 2 u





(1  tan 2 u )du 4
4 
I1  

du

u
2

0
4
1  tan u
0
0
4

Khi đó

.Vậy I1 


4



sin 4 x  cos 2 x
dx
6
6
sin
x

cos
x
0
4

2) I 2  

3 2
 6
6
sin x  cos x  1  sin 2 x
+) Ta có: 
4

sin 4 x  cos 2 x  (2sin 2 x  1) cos 2 x




4
(2sin 2 x  1) cos 2 x
(2sin 2 x  1) cos 2 x
 I2  
dx  4 
dx
2
3
4

3sin
2
x
2
0
0
1  sin 2 x
4
+) Đặt t  sin 2x  dt  2cos 2xdx và t : 0  1
2
.6t  2
1
1
1
1
1
1
2t  1
2 6tdt

dt
2 d (3t 2  4) 1 ( 3t  2)  ( 3t  2)
3
I 2  2
dt


dt



2



dt
0 3t 2  4
4  3t 2
3 0 3t 2  4 0 3t 2  4
3 0 3t 2  4
2 0 ( 3t  2)( 3t  2)
0
4



4
1
ln 2  3
+) Vậy I 2  ln 2 

3
3
Bài 4. Tính các tích phân sau:







2

2

1) I1   ln(1  cos x).sin 2 xdx
0

cot x
dx
4
 1  sin x

2) I 2  
4

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân




2

4

sin 3x
3) I 3  
dx
1  cos x
0

sin 4 x
dx
(sin x  cos 4 x)(2 cos 2 2 x  3)
0

4) I 4  

4

Giải


2

1) I1   ln(1  cos x).sin 2 xdx
0

Phân tích và hướng giải:
Ở bài toán trên điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới là biến đổi sin 2 x  2sin x cos x , bởi tính thông dụng


của nó . Khi đó I1 có dạng

 f (cos x).sin xdx (dạng

I 9.2 ) với f (cos x)  2ln(1  cos x).cos x nên ta nghĩ

tới việc đặt t  cos x hoặc t  1  cos x . Trong trường hợp này ta sẽ chọn cách đặt thứ hai và đưa tích
phân về
Dạng 3 quen thuộc mà các bạn đã được tìm hiểu trước đó.
Giải:




2

2

0

0

+) I1   ln(1  cos x).sin 2 xdx  2  ln(1  cos x).cos x.sin xdx
+) Đặt t  1  cos x  dt   sin xdx
Đổi cận x  0  t  2; x 


2

dt

du


u  ln t
t

+) Đặt 
2
dv  (t  1)dt v  t  t

2


2

 t  1 . Suy ra I1  2 (t  1) ln tdt
1

2

2
2
 t 2 

 t2 
t
1


. Suy ra I1  2   t  ln t     t  dt   0  2   t  
 2  1 1  2  
 4 1 2



2

2
cot x
cos x
dx

dx
4
4

 1  sin x
 sin x.(1  sin x)

2) I 2  

4

4

Phân tích và hướng giải:


Sau phép biến đổi đầu tiên ta thấy tích phân đã có dạng

 f (sin x).cos xdx vì vậy ta nghĩ ngay tới việc



đổi biến t  sin x . Song với bài toán trên ta hoàn toán có thể biến đổi tiếp để đưa nó về dạng


 f (a  b sin

k

x).sin k 1 x.cos xdx bằng cách nhân cả tử và mẫu với sin 3 x . Cụ thể:


2

I2  


sin 3 x cos x
dx Khi đó ta có thể đổi biến bằng cách đặt t  sin 4 x hoặc t  1  sin 4 x . Vì vậy

4
4
sin x(1  sin x)

4

ta có thể có lời giải của bài toán qua hai cách trình bày sau:
Cách 1:
+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


4

t 


2
; x   t 1
2
2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

1

Suy ra I 2 

1

1

dt
 t.(1  t 4 ) 
2

t 3dt
1
 t 4 .(1  t 4 )  4
2

dt 4
1
 t 4 .(1  t 4 )  4
2

2

2

2

1
t4

 ln 4
4 t 1

1

2
2

1

1

  t

4

2
2



Nguyên hàm – Tích phân

1  4
 dt
t 1 
4

1 5
 ln

4 2

Cách 2:
+) Đặt t  1  sin 4 x  dt  4sin 3 x cos xdx  sin 3 x cos xdx 
+) Đổi cận x 


4

t 

dt
4

5

; x t 2
4
2


2

2

2

2

4

4

4

5
4

sin 3 x cos x
1
dt
1  1 1  1 t 1
dx  
 
   ln
Khi đó I 2   4
4
4 5 (t  1)t 4 5  t  1 t  4
t
 sin x(1  sin x)

1 5
 ln
4 2

1 5
+) Vậy I 2  ln .
4 2
Nhận xét:
+) Sau phần đổi biến ở Cách 1 các bạn gặp một dạng tích phân hàm hữu tỉ có dạng tổng quát



dx


 x(a  x

n

)

, khi đó việc giải tích phân này sẽ được thực hiện bằng phương pháp tách ghép sau:






dx
x n 1dx
1  1
1  n
1
xn
 n

ln
 
dx 
n

n

a.n   x n x n  a 
a.n x n  a
 x( a  x )
 x (a  x )







+) Khi tích phân có thể đưa về dạng

 f (a  b sin


k

x).sin k 1 x.cos xdx ta nghĩ tới việc đặt t  a  sin k x

theo Cách 2 ở trên.

2

sin 3x
dx
1  cos x
0

3) I 3  

Phân tích và hướng giải:
Dưới dấu tích phân có 1  cos x và sin 3x nên ta sẽ nghĩ đưa về cùng góc là x . Do đó ta sẽ biến đổi
sin 3x  3sin x  4sin3 x  sin x.(3  4sin 2 x)  sin x.(4cos 2 x 1) . Khi đó

sin 3x
4cos 2 x  1

.sin x
1  cos x
1  cos x



Như vậy với cách biến đổi đó ta đã đưa tích phân về dạng

 f (cos x).sin xdx

và dùng cách đổi biến



t  cos x , song với bài toán trên ta có thể “linh hoạt” đặt t  1  cos x . Vì vậy ta có lời giải như sau:
Giải:






2
2
sin 3x
sin x.(3  4sin 2 x)
4cos 2 x  1
dx  
dx  
.sin xdx
+) Ta có : I 3  
1  cos x
1  cos x
1  cos x
0
0
0
2

+) Đặt t  1  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ; Đổi cận x  0  t  2 ; x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12


2

 t 1

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

2
4(t  1)2  1
4t 2  8t  3
3

.dt  
.dt    4t  8   .dt   2t 2  8t  3ln t   2  3ln 2
1
t
t
t
1
1
1
2

2

+) Khi đó I 3  

2

Vậy I3  2  3ln 2 .

4

sin 4 x
dx
(sin x  cos 4 x)(2 cos 2 2 x  3)
0

4) I 4  

4

Phân tích và hướng giải:

1
2  sin 2 2 x
Ta không còn xa lạ gì với công thức sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x 
và sin 2 2 x  cos2 2 x  1
2
2
2
Vì vậy mẫu số dưới dấu tích phân có thể chuyển hết về hàm chứa sin 2x hoặc cos2 2x . Ở trên tử


sin 4 x  2sin 2 x cos 2 x . Như vậy ta có thể chuyển tích phân về dạng

 f (sin 2 x).cos 2 xdx . Song với bài



 f (sin

toán trên có thể nhìn theo dạng

2

2 x).sin 2 x cos 2 xdx . Qua các ví dụ trước ta thấy nếu chuyển tích



 f (a  b sin

phân về được dạng

k

x).sin k 1 x cos xdx thì ta sẽ đặt t  a  b sin k x và với bài toán cụ thể này

ta sẽ đặt t  sin 2 2 x . Vì vậy ta có lời giải của bài toán như sau:
Giải:




4

4
2sin 2 x cos 2 x
4sin 2 x cos 2 x

dx  
dx
+) Ta biến đổi I 4  
2
2
1 2 
sin
2
x

2
(2sin
2
x

1)
2


0 1 
0
sin 2 x  (2 cos 2 x  3)

 2


+) Đặt t  sin 2 2 x  dt  4sin 2 x cos 2 xdx

Đổi biến x  0  t  0 ; x   t  1
4

1

dt
1 2t  1  2(t  2)
1  1
2 
1 t 2
1
 
dt   

  ln 6
+) Khi đó I 4  
dt  ln
t  2  (2t  1) 5 0  t  2  (2t  1)
5 0  t  2 2t  1 
5 2t  1 0
5
0 
1

1

1

Bài 5. Tính các tích phân sau:




( x  2 cos x)sin x
1) I1  
dx
cos 2 x
0

( x  2sin x  3) cos x
dx
sin 3 x

2

4

2) I 2  


4





4

2

2
4
3) I 3   sin x cos xdx

4) I 4  

0

0

sin 2 x
dx
4  cos 2 x





2

5) I 5    2  cos 2 x  sin 2 xdx
2

6) I 6  

2



0

cos x.ln(1  sin x)
dx

sin 2 x

6





3sin x  sin 2 x
dx
(cos 2 x  3cos x  1)(3  2sin 2 x)
0
3

7) I 7  

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

cos 3x
dx
1  sin 2 x
0

8) I8  

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





x  sin 2 x
9) I 9  
dx
1

cos
2
x
0

2

4

10) I10  


dx
3sin x  sin 2 x

3





6

11) I11  
0

1  2sin 2 x
dx
4
(sin
x

cos
x
)
0
4

dx
4 cos x  sin 2 x

12) I12  





tan 2 x
dx
13) I13  
 cos x
4

2

14) I14  
0

4sin 3 x cos x  sin 2 x
dx
sin 4 x  2sin 2 x  3

6





3cos x  2sin 2 x
15) I15  
dx
3sin
x


cos
2
x

2
0

sin 4 x
dx
2
cos
x
0

2

4

16) I16  





sin 2 x  sin 4 x

2

17) I17  
0

cos 2 x  2sin x  sin 2 x
dx
(1

cos
x
)(1

cos
2
x
)
0
3

1  1  3cos 2 x

18) I18  

dx

Giải










4
4
4
4
( x  2cos x)sin x
x sin x
sin x
x sin x
d cos x
1) I1  
dx

dx

2
dx

dx

2
 A  2 B (*)
2
2
2





cos x
cos x
cos x
cos x
cos x
0
0
0
0
0
4


4

+) Tính A  
0

x sin x
dx
cos 2 x

u  x
du  dx


Đặt 

sin x

sin x
d cos x
1
dv 
dx v  
dx   


2
2
2
cos x
cos x
cos x cos x






4

4





x
dx

2
cos xdx
2 4 d sin x
Suy ra A 





cos x 0 0 cos x
4
cos 2 x
4
(1  sin 2 x)
0
0
4



2 1 4  1
1 
2 1 1  sin x

 

 ln
d sin x 
4
2 0  1  sin x 1  sin x 

4
2 1  sin x


4
0



2
1
 ln(2  2)  ln 2 (1)
4
2


4

+) Tính B  
0

d cos x
  ln cos x
cos x


2

2) I 2  



4
0

1
 ln 2
2



(2) . Thay (1), (2) vào (*) : I1 

2
3
 ln(2  2)  ln 2
4
2



2
( x  2sin x  3) cos x
x cos x
(2sin x  3) cos x
dx

dx

dx  A  B (*)

3
3


sin x
sin 3 x
 sin x

2

4

4


2

+) Tính A  


4

u  x
du  dx


Đặt 

cos x
cos x

d sin x
1
dv 
dx v   3 dx  


3
3
sin x
sin x
sin x
2sin 2 x



x cos x
dx
sin 3 x

4







2
x
1 2 dx

1
1


0

cot
x

Suy ra A  
(1)
2
2


2sin x  2  sin x
2
2
2

4

4

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

4

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)


Nguyên hàm – Tích phân





2
(2sin x  3) cos x
3 
2
3 2
 2

dx


+) Tính B  
 2  3  d sin x   
  2 2  2 (2)
3
2

sin x

sin x 
 sin x 2sin x  

  sin x
2

4

4

4

Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I 2  2 2 

3
2


4

3) I 3   sin 2 x cos 4 xdx
0

1
1 1  cos 4 x 1  cos 2 x
+) Ta có : sin 2 x cos 4 x  sin 2 2 x cos 2 x  .
.

4
4

2
2
1 1
1

 1  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 
16  2
2

+) Khi đó

1  cos 2 x  cos 4 x 

cos 6 x  cos 2 x
2

16





1 4 1
1
1
1
1
1
1


4 
I 3   1  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  

16 0  2
2
16 
4
4
12

 0 64 48

2

4) I 4  
0

sin 2 x
dx
4  cos 2 x

Cách trình bày 1: +) Đặt t  cos2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx  dt

Đổi cận x  0  t  1 và x   t  0
2
1
dt
4
+) Khi đó I 4  
  ln 4  t  ln

4t
3
0

2

Cách trình bày 2: I 4  
0


2
sin 2 x
d (4  cos 2 x)
dx


  ln 4  cos 2 x
2
2

4  cos x
4  cos x
0


2
0

 ln

4
3



5) I 5    2  cos 2 x  sin 2 xdx
2

2

0

Cách trình bày 1:
+) Đặt t  cos x  dt   sin xdx ; Đổi cận x  0  t  1 và x 


2

t 0


1

1

0

0

+) Khi đó I 5  2  (2  cos 2 x) 2 cos x.sin xdx  2 (2  t 2 ) 2 t.dt 2   t 5  4t 3  4t  dt

2

0

1

 t6

19
 2   t 4  2t 2  
6
0 3
Cách trình bày 2:
+) Đặt t  2  cos2 x  dt   sin 2 xdx ; Đổi cận x  0  t  3 và x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


2

t 2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)
3

3

t3
19
+) Khi đó I1   t dt 

32 3
2
2

. Vậy I 5 

Nguyên hàm – Tích phân

19
3





Cách trình bày 3: I 5    2  cos 2 x  sin 2 xdx     2  cos 2 x  d  2  cos 2 x   
2

2

2

0

2

0

 2  cos x 
2


3 2



3

19
3

0



cos x.ln(1  sin x)
dx
sin 2 x

2

6) I 6  


6

1

; x   t 1
6
2
2
dt

u  ln(1  t ) du 


1 t

Đặt 
dt
dv


v   1
t2

t

+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x 

ln(1  t )
dt

t2
1
1

Suy ra I 6  
2



t 

ln(1  t )
dt
3
1 1 

  ln 2  2ln    
Khi đó I 6  
 dt
1
t
2 1  t t 1 
1 t (t  1)
1

2

1

1

2

2

3
t
  ln 2  2ln  ln
2
t 1

1

1
2

 3ln 3  4ln 2 . Vậy I 6  3ln 3  4ln 2





3
3sin x  sin 2 x
sin x.(3  2cos x)
dx

dx
2
2

2

(cos
2
x

3cos
x

1)(3

2sin
x
)
(2cos
x

3cos
x
)(3

2sin
x
)
0
0
3

7) I 7  


3


0





3
sin x.(3  2cos x)
 sin x
cos x
dx

dx


.sin xdx
2
2
2
2


 cos x.(3  2cos x)(1  2cos x)
cos
x
.(1


2cos
x
)
cos
x
.(1

2cos
x
)
0
0
3

Đặt t  2cos 2 x  dt  4sin x cos xdx  sin x cos xdx  
Đổi cận x  0  t  2 ; x 



3

t 

1
2



1 3 dt

1 3 1 1 
1
t
Khi đó I 7  
  
 dt  ln
2 0 t (t  1) 2 0  t t  1 
2 t 1


dt
4



1
2
2

1
  ln 2
2





2
cos 3x
4cos x  3cos x

cos x.(4cos x  3)
1  4sin 2 x
dx

dx

dx

0 1  sin 2 x
0 1  sin 2 x
0 1  sin 2 x .cos xdx
1  sin 2 x
0
2

3

2

8) I8  

2

2

+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  0  t  0 ; x 


2

 t 1

1  4t 2
4(t 2  1)  4
dt
dt

dt  4 dt  4
 4  4 A
Khi đó I8  
2
2

1 t
1 t
1 t 2
0
0
0
0
1

1

1

1

1

dt
1 t2
0

Tính A  

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

du
  
+) Đặt t  tan u với u    ;   dt 
 (1  tan 2 u )du
2
cos u
 2 2




4


1  tan 2 u

4 
Đổi cận t  0  u  0 ; t  1  u  . Khi đó A  
, suy ra 4A  
du

du

u
2

0
4
1  tan u
4
0
0







4



4
4
x  sin 2 x
x
sin 2 x
9) I 9  
dx  
dx  
dx  A  B
1  cos 2 x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
0
0
0
4





4

4
x
x
+) Tính A  
dx  
dx
1  cos 2 x

2 cos 2 x
0
0

u  x
du  dx


Đặt 
dx  
1
dv 
v  tan x


2
2 cos x

2





4

4



x
1 sin x
 1 4 d cos x  1
Khi đó A  tan x  
dx   
  ln cos x
2
2 0 cos x
8 2 0 cos x
8 2
0




sin 2 x
1 4 d (1  cos 2 x)
1
+) Tính B  
dx   
dx   ln 1  cos 2 x
1  cos 2 x
2 0 1  cos 2 x
2
0
4


4
0





1
 ln 2
8 4


4
0

1
 ln 2
2



1
1
 1
 ln 2  ln 2   ln 2
8 4
2
8 4

Vậy I 9 







2

2

2

3

3

3



2
dx
dx
sin xdx
sin xdx

 2
10) I10  
2

 3sin x  sin 2 x

 sin x.(3  2 cos x)
 sin x.(3  2 cos x)  (1  cos x).(3  2 cos x )
3

Đặt t  cos x  dt   sin xdx

1

Đổi cận x   t  ; x   t  0
3
2
2
1
2

1
2

 1

dt
dt
1
4

 


dt
(t  1)(t  1).(3  2t ) 0  2(t  1) 10(t  1) 5(2t  3) 

1 (1  t ).(3  2t )
0
0

Khi đó I10  

2

2

0

1
2
9
6
1

  ln t  1  ln t  1  ln 2t  3   ln 3  ln 2
10
5
5
2
 1 10
2


6

11) I11  

0

dx
4 cos x  sin 2 x

Đặt t  sin x và làm tương tự như I10 ta được đáp số I11 


1 108
ln
12 25



4
1  2sin x
cos 2 x
dx

dx
4

(sin x  cos x)
(1  sin 2 x) 2
0
0
4

12) I12  

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Đặt t  1  sin 2 x  dt  2cos 2 xdx  cos 2 xdx 

Nguyên hàm – Tích phân

dt

; Đổi cận x  0  t  1 ; x   t  2
2
4

2

2

dt
1
1
Khi đó I12   2  


2t
2t 1 4
1







2

4
tan x
sin x
sin x
 sin x 
dx  
dx

cos
xdx

13) I13  

 cos xdx
3
4
2



 cos x
 cos x
 cos x
  1  sin x 
2

4

2

4

6

2

4

6

6

6

+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x 

I13 

2
2


1
2

1

4

2

1
 t 
dt 

2 
4
 1 t 
2
2

2
2


1
2


6

2

1 
1
 1


 dt 
4
 t  1 t 1 

t 
2
2


1
2

1

2
; x t 
. Khi đó
2
4
2

 1
1
2 
 (t  1) 2  (t  1) 2  t 2  1  dt


2

 1
1
1
1 
1 1
1
t 1  2
3 2 2 1 63 2



dt




ln
 
 ln



 (t  1) 2 (t  1) 2 t  1 t  1 
4  t 1 t 1
t 1  1
6
4 2 2




1
2

2





2

14) I14  
0

2
4sin 3 x cos x  sin 2 x
2sin x cos x.(2sin 2 x  1)
dx

0 (sin 2 x  1)(sin 2 x  3) dx
sin 4 x  2sin 2 x  3

+) Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx ; Đổi cận x  0  t  0 ; x 


2

 t 1

2t  1
1 7(t  1)  (t  3)
1  7
1 
dt  
dt   

 dt
(t  1)(t  3)
4 0 (t  1)(t  3)
4 0  t  3 t 1 
0

1

1

Khi đó I14  

1

1

1
7 2 1
7
7 ln t  3  ln t  1   ln  ln 2  2ln 2  ln 3

0
4
4 3 4
4
Chú ý : Ở trên ta sử dụng kĩ thuật đồng nhất hệ số bằng cách phân tích :
a  b  2
7
1
2t  1  a(t  1)  b(t  3)  
 a  và b 
4
4
a  3b  1







2
3cos x  2sin 2 x
(3  4sin x) cos x
15) I15  
dx  

dx
3sin x  cos 2 x  2
2sin 2 x  3sin x  1
0
0
2

Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  0  t  0 ; x 








2

 t  1 . Khi đó



4
sin x
sin x(1  cos x)
1  cos 2 x 
 1
2
2
dx


dx

tan
x

sin
x
dx

1 



 dx
2
2
2



cos
x
cos
x
cos
x
2



0
0
0
0
4

16) I16  

4

4

2

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

4

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)


Nguyên hàm – Tích phân



cos 2 x 3 
1
3  4 10  3
 1

 

  dx   tan x  sin 2 x  x  
2
cos x
2
2
4
2 0
8

0
4





sin 2 x  sin 4 x

2

17) I17  
0

1  1  3cos 2 x

2

dx  
0



sin 2 x(1  2cos 2 x)
1  1  3cos 2 x

4cos 2 x  1

2

dx  
0

1  1  3cos 2 x

.sin 2 xdx

2tdt

2tdt  3sin 2 xdx  sin 2 xdx   3
+) Đặt t  1  3cos 2 x  t 2  1  3cos 2 x  

2
cos 2 x  t  1

3

Đổi cận x  0  t  2 và x   t  1
2
2
t 1
1
2 4.
2
2
2tdt 2 4t 3  7t
2 
3 
3
+) Khi đó I17  
.
 
dt    4t 2  4t  3 
 dt
1

t
3
9
t

1

9
t

1


1
1
1
2


2  4t 3
2 2 3
 
 2t 2  3t  3ln t  1  
 ln
9 3
 1 27 3 2








3
cos x  2sin x  sin 2 x
1 cos x  2sin x(1  cos x)

1
dx
sin x
dx  
dx


dx
2


(1  cos x)(1  cos 2 x)
20
(1  cos x).cos x
2 0 1  cos x 0 cos 2 x
0
2

3

18) I18  



3

2



3



3
1
dx
d cos x  1
x
1 3
3
3
 

  tan 
 1
. Vậy I18  1 

2
4 0 cos 2 x 0 cos x  2
2 cos x  0
6
6
2
3


4

Bài 6. Tính các tích phân sau: 1) I1  

0



cos 2 x
dx
2  1  sin x  cos x

4

2) I 2  
0

4(sin x  cos x)  cos 2 x
dx
2(sin x  cos x  1)  sin 2 x

Giải



4

1) I1  
0

4
cos 2 x
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
dx  

dx
2  1  sin x  cos x
2  1  sin x  cos x
0

sin x  cos x  t 2  1

2
Đặt t  1  sin x  cos x  t  1  sin x  cos x  
và x : 0  thì t : 0  1
4
(cos x  sin x)dx  2tdt
1 3
1
 t3 2
 1 26
(t 2  1)
t t
6 
 2
 I1  
.2tdt 2
dt 2  t  2t  3 
 12 ln 2
 dt 2   t  3t  6ln t  2  0 
2t
t 2
t 2
3
3


0
0
0
1

CHÚ Ý : Việc đặt t  1  sin x  cos x ở I1 là ta đã gộp 2 công đoạn đặt t  sin x  cos x và u  1  t




4
(sin x  cos x) 1  (sin x  cos x) 
4(sin x  cos x)  cos 2 x
dx  
dx
2) I 2  
2(sin x  cos x  1)  sin 2 x
2(sin x  cos x  1)  sin 2 x
0
0
4

dt  (sin x  cos x)dx


Đặt t  sin x  cos x  
và x : 0  thì t : 1  0
1 t2
4

sin 2 x 

2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

4t
8  2t
12  (2t  4)
12
2t  4
dt   2
dt   2
dt  
dt   2
dt
2
1
1 t
t  4t  5
t  4t  5
(t  1)(t  5)
t  4t  5

1
1
1
1
2(t  1) 
2
0

Suy ra I 2 

Nguyên hàm – Tích phân

0

0

0

0

0

1 
d (t 2  4t  5) 
t 1

 1
 2 

  2ln

 ln t 2  4t  5   5ln 2  3ln 5
 dt   2
t 1 t  5 
t  4t  5
t 5

 1
1 
1
0

0

( Các bạn có thể phân tích

8  2t
8  2t
A
B



 8  2t  A(t  5)  B(t  1)
t  4t  5 (t  1)(t  5) t  1 t  5
2

A 1
8  2t
1
3

Chọn t lần lượt bằng 1; 5 ta được 
hay 2
)


t  4t  5 t  1 t  5
 B  3
Bài 7. Tính các tích phân sau:




4

4

cos 2 x

1) I1  


0 1  sin 2 x cos  x 

 

4


2) I 2  

dx

0



cos 2  x  
8

dx
2  sin 2 x  cos 2 x

3)



1  tan x
dx
3(1  tan x)  4sin x
0
4

I3  

Giải :




4

4
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
cos x  sin x
dx  2 
dx
2
2 sin x  cos x
0  sin x  cos x  .
0  sin x  cos x 
2

1) I1  
0

cos 2 x

1  sin 2 x  cos  x 



4

 2
0



4

d  sin x  cos x 

 sin x  cos x 

2



4

dx  





4
2

sin x  cos x 0

2 1

(các bạn có thể trình bày theo cách đặt t  sin x  cos x )
Vậy I1  2  1

4

2) I 2  
0






cos 2  x  
1  cos  2 x  
4
1
8
4


dx  
dx
2 0 2  sin 2 x  cos 2 x
2  sin 2 x  cos 2 x






cos  2 x  
4
4

 1
1

dx
4

 

dx    A  B 
2  0 2  sin 2 x  cos 2 x 0 2  sin 2 x  cos 2 x  2





4

+) A  
0







dx
1
dx
1
dx
1






tan  x   


8 0
2  sin 2 x  cos 2 x
2 0 1  cos  2 x   
2 0 2 cos 2  x    2 2





4
8


4

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

4

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

4

tan



8
2

- Trang | 15 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân






cos  2 x  
cos  2 x  
4
4
4


dx  
dx
+) B  



2  sin 2 x  cos 2 x
0
0
2  2 sin  2 x  
4

Ta sẽ chỉ ra B  0 theo các cách sau :
Cách 1 :


4




dt



Đặt t  sin  2 x    dt  2cos  2 x   dx  cos  2 x   dx 
4
4
4
2



Đổi cận x : 0 

Cách 2 :Đặt t 

4

B
0




4

thì t :

2
2

2
2

 x  dt  dt và t :

4

. Suy ra B  0 ( vì t :


4

2

2
)

2
2

 0 , suy ra



 3


cos 
 2t 
 cos  2t  
4
4
 4


dt  
dt   B  B   B  B  0




2

cos

2
t

sin
2
t
0
2  sin   2t   cos   2t 
2

2




cos  2 x  
1 4 cos 2 x  sin 2 x
4

dx 
dx
2  sin 2 x  cos 2 x
2 0 2  sin 2 x  cos 2 x


4

Cách 3 : B  
0





1 4 d ( 2  sin 2 x  cos 2 x)
1


ln

20
2  sin 2 x  cos 2 x
2

1
Khi đó I 2  .
2

tan

2  sin 2 x  cos 2 x

4

0

0



8  2 1  2  2
4
2
2 2





4
1  tan x
cos x  sin x
3) I 3  
dx  
dx
3(1  tan x)  4sin x
3(sin x  cos x)  2sin 2 x
0
0
4

dt  (cos x  sin x)dx
+) Đặt t  sin x  cos x  
2
sin 2 x  t  1
Đổi cận x  0  t  1 và x 
2

+) Khi đó I 3 


1



1
5


4

t  2
2

dt
dt
1
 2

2
3t  2(t  1)
2t  3t  2 5
1
2

 2

1 

1

  2t  1  t  2 dt  5 ln
1

2


1

2(t  2)  (2t  1)
dt
(t  2)(2t  1)

2

2t  1
1 65 2
 ln
t 2 1
5
6



Bài 8. Tính tích phân sau:

sin 3 x  cos3 x
dx
3  sin 2 x
0

I1  

Giải

sin 3 x  cos3 x
(sin x  cos x)(1  sin x cos x)
Ta có I1  
dx  
dx
3  sin 2 x
4  (sin x  cos x) 2
0
0


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 16 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

dt  (cos x  sin x)dx


+) Đặt t  sin x  cos x  
; Đổi cận x  0  t  1 và x    t  1
1 t2
sin x cos x 

2

1 t2
1
1
1
.dt
1 t 2 1
1 
3 
1  3 1
1 
2
+) Khi đó I1  
  2
dt   1  2

dt   1  
 dt
2
4t
2 1 t  4
2 1  t  4 
2 1  4  t  2 t  2  
1

1

1

1 3 t 2 
3
3
  t  ln
 1  ln 3 . Vậy I1  1  ln 3 .

2  4 t  2  1
4
4
Bài 9. Tính các tích phân sau:



sin  x  
4

2) I 2  
dx
1  sin 2 x
0




4

cos 2 x
dx
sin x  cos x  3
0

1) I1  

x 
cos   
2 4
dx
4) I 4  
x 
0 1  2 sin 
    sin x
2 4



2

3) I 3  


sin x  cos x
dx
3  sin 2 x

2

4

Giải
cos 2 x
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
1) I1  
dx  
dx
sin
x

cos
x

3
sin
x

cos
x

3
0
0




Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx ; Đổi cận x  0  t  1 và x    t  1
1

1

1
t
3 

dt   1 
dt

t

3ln
t

3
 2  3ln 2
Khi đó I1  



1
t 3
t 3
1
1 






sin  x  
4
1
sin x  cos x
1 4 sin x  cos x
4

dx 
dx

dx
2) I 2  
1  sin 2 x
2 0 (sin x  cos x)2
2 0 sin x  cos x
0


4



1 4 d (sin x  cos x)
1


ln sin x  cos x

2 0 sin x  cos x

2

2

3) I 3  



4
0



ln 2
2 2


2
sin x  cos x
sin x  cos x
dx  
dx
3  sin 2 x
4  (sin x  cos x) 2


4

4

Đặt t  sin x  cos x  dt  (sin x  cos x)dx
Đổi biến x 
1

Khi đó I 3  
0


4

 t  0 và x 


2

 t 1

dt
4  t2

dt  2cos udu
   
Đặt với t  2sin u với u    ;   
2
2
 2 2 
 4  t  4cos u  2cos u  2cos u
Đổi cận t  0  u  0 và t  1  u 



6

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 17 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)


Nguyên hàm – Tích phân




2 cos udu 6

Suy ra I 3  
. Vậy I 3 
  du 
2 cos u
6
6
0
0
6


x 
x
x
cos   
sin  cos
2
1
2 4
2
2
dx 
dx
4) I 4  

x

x
x



2
0 1  2 sin
0
1  sin x   sin  cos 
    sin x
2
2
2 4




2


1
x
x
x
x

x
x dt   cos  sin  dx   sin  cos  dx  2dt
2
2
2
2
2
+) Đặt t  sin  cos  

2
2 
2
sin x  1  t
Đổi cận x  0  t  
1
+) Khi đó I 4 
2



2
3


2
và x   t  0
2
2

0



2dt
 11 t 2  t   2
2
2

0

0



dt
2
 t2  t  2  3
2

2

1 
2 t2
 1

ln

dt 
t  2 t 1 
3
t 1
2




2

0




2
2

0

(t  1)  (t  2)

dt
(t  1)(t  2)
2




2

2 10  6 2
2 10  6 2
ln
. Vậy I 4 
ln
3
7
3
7

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 18 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-