PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA NHIỀU CĂN THỨC PHẦN 5

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHIỀU CĂN THỨC (05)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Phương trình vô tỷ nhiều căn (phần 5) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức
phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. x x  x  12  12

Phương pháp hàm số.



5 x  4 x



Hướng dẫn
Điều kiện: 0  x  4
pt  x x  x  12  12 5  x  12 4  x  0

Xét hàm số: f ( x)  x x  x  12  12 5  x  12 4  x trên D  0; 4
Ta có: f '( x)  x 

x
1

12
12



 0, x  (0; 4)
2 2 x  12 2 5  x 2 4  x

Suy ra hàm số đồng biến trên (0; 4)
 f ( x)  0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta có: f (4)  0  x  4 là nghiệm duy nhất của phương trình
Kết luận: x  4
Bài 2. 12  x 15  x  20  x 12  x  15  x 20  x  x
Hướng dẫn
Điều kiện: x  12
Đặt: 12  x  a (a  0)  x  12  a2
Khi đó, pt  a 3  a 2  a 8  a 2  3  a 2 8  a 2  a 2  12  0
Xét: f (a)  a 3  a 2  a 8  a 2  3  a 2 8  a 2  a 2  12 trên [0; )

f '(a)  3  a 2 

a2
3  a2

 8  a2 

a2
8  a2



a a2  8
3  a2



a 3  a2
8  a2

 2a  0,   0

Suy ra hàm số đồng biến trên (0; )
 f (a)  0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Ta có: f (1)  0  a  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
a  1  12  x  1  x  11

Kết luận: x  11 là nghiệm
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Bài 3. x3  2 x 2  1  15



x 1  x  2

PT – HPT- BPT



3

Hướng dẫn
Điều kiện: x  1
Ta có:

x  1  x  2  0, x  1

Suy ra, pt 

x3  2 x 2  1



x 1  x  2

 ( x3  2 x 2  1)





3

 15

x 1  x  2



Xét hàm số: f ( x)  ( x3  2 x 2  1)

f '( x)  (3x 2  4 x)



3



x 1  x  2

 3( x3  2 x 2  1)



 15



3

x  1  x  2 trên [1; )



3



2
1
1

x 1  x  2 

  0, x  1
 2 x 1 2 x  2 

Suy ra, hàm số đồng biến trên (1; )

 f ( x)  0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta có: f (2)  0  x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 4. x  2  x  2  1  x  ( x  1)2
Hướng dẫn
Điều kiện: 2  x  1
pt  x2  x  2  2  x  1  1  x  0

 x( x  1) 

x

2  2 x



x
0
1 1 x

1
1


 x  x 1

0
2  2  x 1 1 x 

x  0

1
1
x 1

 0 (*)

2  2  x 1 1 x
Xét hàm số: f ( x)  x  1 
Ta có: f '( x)  1 

1

2  2 x



1
trên D  [  2;1]
1 1 x

1
1

2
2 2  x (2  2  x ) 2 1  x 1  1  x





2

 0, x  (2;1)

Suy ra, hàm số đồng biến trên (2;1)

 f ( x)  0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Ta có: f (1)  0  x  1 là nghiệm duy nhất của (8)
Kết luận: x  0  x  1

 





Bài 5. (2 x  1) 2  (2 x  1)2  3  3x 2  9 x 2  3  0
Hướng dẫn
pt  2(3x  1)  (3x  1) (3x  1)2  3  2.(3x)  (3x) (3x) 2  3 (*)

Xét hàm số: f (t )  2t  t t 2  3 trên R
Ta có: f '(t )  2  t 2  3 

t2
t2  3

 0, t

Suy ra, hàm số đồng biến trên R
 (*)  f (2 x  1)  f (3x)  2 x  1  3x  x 

1
5

Bài 6. x3  3x 2  5x  3  ( x 2  3) x 2  1
Hướng dẫn

pt  ( x  1)3  2( x  1)  ( x 2  1) x 2  1  2 x 2  1 (*)
Xét hàm số: f (t )  t 3  2t trên R
Ta có: f '(t )  3t 2  2  0, t  R
Suy ra, hàm số đồng biến trên R

 (*)  f ( x  1)  f ( x 2  1)  x  1  x 2  1

 x  1
 2
 x0
2
x 1  x  2x 1
Kết luận: x  0
Bài 7.

x2  2 x  3  x2  6 x  11  3  x  x  1
Hướng dẫn
Điều kiện: 1  x  3

pt  x 2  2 x  3  x  1  x 2  6 x  11  3  x (*)

 ( x  1)2  2  x  1  (3  x)2  2  3  x
Xét: f (t )  t 2  2  t trên [0; )

Ta có: f '(t ) 

t
t2  2



1
2 t

 0, t  0

Suy ra hàm số đồng biến trên (0; )

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

 (*)  f ( x 1)  f (3  x)  x 1  3  x  x  2

Kết luận: x  2
Bài 8. 3x(2  9 x2  3)  (4 x  2) 1  x  x 2  1)  0

Hướng dẫn

pt  3x (3x)2  3  2.3x  (2 x  1) 4 x 2  4 x  4  2(2 x  1)
 3x. (3x)2  3  2.3x  (2 x  1) (2 x  1)2  3  2.(2 x  1) (*)

Xét hàm số: f (t )  t t 2  3  2t trên R
Ta có: f '(t )  t  3 
2

t2
t2  3

 2  0, t  R

Suy ra, hàm số đồng biến trên R
 (*)  f (3x)  f (2 x  1)  3x  2 x  1  x  

Kết luận: x  

1
5

1
5

Bài 9. x(4 x2  1)  ( x  3) 5  2 x  0
Hướng dẫn
Điều kiện: x 
pt 

5
2

1
1
1
1
(2 x)3  .(2 x)  (5  2 x) 5  2 x 
5  2 x (*)
2
2
2
2

1
t
Xét hàm số: f (t )  t 3  trên R
2
2
Ta có: f '(t ) 

3t 2 1
  0, t  R
2 2

Suy ra hàm số đồng biến trên R

 (*)  f (2 x)  f ( 5  2 x )  2 x  5  2 x
x  0
x  0

1  21

 2

1  21  x 
4
4 x  5  2 x
x 
4

Kết luận: x 

1  21
4

Bài 10. 4 x3  18x2  27 x  14  3 4 x  5
Hướng dẫn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

pt  8x3  36 x 2  54 x  28  2 3 4 x  5

 (2 x  3)3  2(2 x  3)  4 x  5  2 3 4 x  5 (*)
Xét hàm số: f (t )  t 3  2t trên R
Ta có: f '(t )  3t 2  2  0, t  R
Suy ra hàm số đồng biến trên R
 (*)  f (2 x  3)  f ( 3 4 x  5)  2 x  3  3 4 x  5
 8 x3  36 x 2  54 x  27  4 x  5  8 x3  36 x 2  50 x  22  0
 x  1
 ( x  1)(8 x  28 x  22)  0  
 x  7  5

4
2

 x  1
Kết luận: 
 x  7  5

4
Bài 11.

x 1  2
1

3
2x 1  3 x  2
Hướng dẫn

 x  1

Điều kiện: 
 x  13

pt  ( x  2)





x 1  2  3 2x 1  3

 ( x  1) x  1  x  1  2 x  1  3 2 x  1 (*)

Xét hàm số: f (t )  t 3  t trên R
Ta có: f '(t )  3t 2  1  0, t  R
Suy ra, hàm số đồng biến trên R

 (*)  f ( x  1)  f ( 3 2 x  1)
 x  1  3 2 x  1  x3  3x 2  3x  1  4 x 2  4 x  1

x  0
 x( x  x  1)  0  
x  1 5

2
2

x  0
Kết luận: 
x  1 5


2
Bài 12. 7 x 2  13x  8  2 x 2 3 x(1  3x  3x 2 )

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Hướng dẫn
Với x  0  pt  8  0 Vô lý  x  0 không là nghiệm của phương trình
Với x  0 Chia cả 2 vế của phương trình cho x 3 ta được:

pt 

8 13 7
1 3
 2   23 2   3
3
x x
x
x
x

3

1 3
2 
2  1 3
   1  2   1  2   3  2 3 2   3 (*)
x
x
x
x 
x  x
Xét hàm số: f (t )  t 3  2t trên R
Ta có: f '(t )  3t 2  2  0, t  R
Suy ra hàm số đồng biến trên R
 1 3

2 
 (*)  f   1  f  3 2   3 
x
x 
 x




2
1 
x

Đặt:

3

1 3
  3 (**)
x2 x

1
 t  (**)  2t  1  3 t 2  3t  3
x

 8t 3 12t 2  6t 1  t 2  3t  3
 8t 3 13t 2  3t  2  0

 (t  1)(8t 2  5t  2)  0

t  1
x  1



t  5  89
 x  5  89


16
4
Bài 13. 3x3  11x2  14 x  8  2 x2 3 2 x  x 2
Hướng dẫn
Với x  0  pt  8  0 Vô lý  x  0 không là nghiệm của phương trình

Với x  0. Chia cả 2 vế của phương trình cho x 3 ta được:

pt  3 

11 14 8
2 1
 2  3  23 2 
x x
x
x
x

3

2 1
2 
2  2 1
   1  2   1  2   2 3 2  (*)
x
x
x
x 
x  x
Xét: f (t )  t 3  2t trên R
Ta có: f '(t )  3t 2  2  0, t  R
Suy ra hàm số đồng biến trên R
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

 2 1
2
2 
 (*)  f   1  f  3 2     1 
x
x
x 
 x

Đặt:

3

PT – HPT- BPT

2 1
 (**)
x2 x

1
 a  (**)  2a  1  3 2a 2  a
x



a  1
x  1

1
3
2
2
3
2
 8a  12a  6a  1  2a  a  8a  14a  7a  1  0   a    x  2

2
 x  4

1
a 
4


1
9
1
Bài 14. 2 x 2  x   3 2   1
8
8x
x
Hướng dẫn
Điều kiện: x  0
Nhân cả 2 vế với x ta được:

pt  2 x3  x 2 

x 39
9
9

x  x 2  x3  x3  x   x3  x 2  x  3  x3  x 2  x (*)
8
8
8
8

Xét: f (t )  t 3  t trên R
Ta có: f '(t )  3t 2  1  0, t  R
Suy ra hàm số đồng biến trên R

x  0


9
9
9
3
2
3
3
2
3
2
(*)  f ( x)  f  3  x  x  x   x  3  x  x  x  x   x  x  x  

 x  1  10
8
8 
8


4
x  0
Kết luận: 
 x  1  10

4
Bài 15. Giải phương trình x 5  x 3  1  3x  4  0
Hướng dẫn
f (x)  x5  x3  1  3x  4 với x 

1
3
 0 => f là hàm tăng trên tập
. Ta có f'(x)  5x 4  3x 2 
3
2 1  3x

xác định. Mặt khác f(-1)=0 nên f (x)  0  x  1
Bài 16. Giải phương trình

x 2  15  3x  2  x 2  8

Hướng dẫn : Tập xác định là R
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Đặt f (x)  3x  2 



x 2  8  x 2  15

PT – HPT- BPT



Nếu x 

2
thì f (x)  0 nên suy ra f (x)  0 là vô nghiệm
3

Nếu x 

 1

2

1
2


 0 . Suy ra f (x) là hàm tăng trên  ;  
thì f'(x)  3  x  

2
2
3
3

x  15 
 x 8

Mà f (1)  0 suy ra f (x)  0  x  1
Bài 17. Giải phương trình:

 x  2 2 x  1  3 x  6  4   x  6  2 x  1  3 x  2

Hướng dẫn

PT  f (x)  ( x  6  x  2)( 2x  1  3)  4
Đặt u(x)  x  6  x  2  0  v(x)  2x 1  3  0  x  5
Ta có u'(x) 

2
1
1


 0; v'(x) 
0
2 x6 2 x2
2x  1

Mà u(x), v(x) là các hàm số dương đồng biến trên (5, ) . Suy ra f (x) là đồng biến trên (5, ) .
Mặt khác ta có f (7)  ( 13  3)( 13  3)  4 từ đây ta suy ra x  7 là nghiệm duy nhất.
Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tuấn
:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-