ChIII : Bài 3 : Ứng dụng của tích phân

Chương III
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
(Bài này ở chế độ : on click nên chủ động – xử lý thời gian cho phù hợp)
Bài 3

I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = - 2x - 1 , trục hoành và 2
đường thẳng x = 1 , x = 5 . So sánh với kết quả diện tích thang vuông trong bài 2
click
Giải :
Vẽ hình biễu diễn
O
x
y
1 5
- 3
-1
y

=

-

2
x

-

1
- 11
Tính diện tích S của hình thang vuông
S
11 3
.4 28
2
S
+
= =
(đvdt)
So với kết quả trong bài 2 nó giống nhau .

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] .
O
x
y
a b
A
B
Được biết cách tính diện tích hình thang cong y
= f(x) ; trục hoành và x = a , x = b
( ) ( )
1
b
a
S f x dx=

∫
Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0
và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích
hình thang cong
B’
A’
aA’B’b là hình đối xứng của
hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó :
S
( )
( )
( )
' '
2
b
aABb aA B b
a
S S S f x dx= = = −
∫
Trường hợp tổng quát :
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên)
O
x
y
a b
y = f(x)
Được tính theo công thức :
( )

∫
b
a
S = f x dx
( )
3
click

Ví dụ 1 :
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x
3
, trục
hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2
Giải :
O
x
y
-1 1
2
Ta có x
3
< 0 trên đoạn [- 1 ; 0]
y = x
3
x
3
≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ]
Áp dụng công thức có :
2
3

1
S x dx
−
=
∫
( )
0 2
3 3
1 0
x dx x dx
−
= − +
∫ ∫
0 2
4 4
1 0
4 4
x x
−
= − +
17
4
=
click

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong :
Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2

(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b .
O
x
y
a b
y = f
1
(x)
y = f
2
(x)
D
Xét trường hợp f
1
(x) ≥ f
2
(x) với mọi x ∈ [a ; b]
Gọi S
1
, S
2
là diện tích hai hình thang cong giới
hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường
cong y = f
1
(x) , y = f
2
(x) tương ứng .
Khi đó diện tích D sẽ là :

( ) ( )
1 2 1 2
b b
a a
S S S f x dx f x dx= − = −
∫ ∫
trường hợp tổng quát và có
( ) ( )
1
−
∫
b
2
a
S = f x f x dx
( )
4
Chú ý : Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích
phân . Ta phải giải phương trình : f
1
(x) – f
2
(x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c
< d . Khi đó f
1
(x) – f
2
(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên
[a ; c] thì :
( ) ( ) ( ) ( )

( )
1 2 1 2
.
c c
a a
f x f x dx f x f x dx− = −
∫ ∫
click

Ví dụ 2 :
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y
= sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x = π .
Giải :
O
x
y
1
4
π
2
π
π
-1
y = sin x
y = cos x
Đặt f
1
(x) = cos x ; f
2
(x) = sin x

Ta có : f
1
(x) - f
2
(x) = cosx - sin x = 0
4
x
π
⇔ =
[ ]
0;x
π
⇒ ∈
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :
0
cos sinS x x dx
π
= −
∫
/ 4
0 / 4
cos sin cos sinx x dx x x dx
π π
π
= − + −
∫ ∫
( ) ( )
/ 4
0 / 4
cos sin cos sinx x dx x x dx

π π
π
= − + −
∫ ∫
( ) ( )
/ 4
0 / 4
cos sin cos sinx x x x
π π
π
= − + −
2 2=
click