Bất đẳng thức AM – GM (Côsi) và giới thiệu dạng biến thể đồng cấp bậc 2 (tiếp)

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

D NG

BDT- GTLN - NN

NG C P B C 2

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng đ ng c p b c 2 (ti p theo) thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho x, y, z là các s th c d

có th n m v ng ki n th c

ng th a mãn x  y  1  z .

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P 

x
y
z2  2



x  yz y  zx z  xy

Gi i
Ta có: z  xy  x  y  1  xy  ( x  1)( y  1)
x  yz  x  y( x  y  1)  x  y  y( x  y)  ( x  y)( y  1)
T

ng t ta có: y  zx  ( x  y)( x  1)

Khi đó P 

x
y
z2  2
x2  y2  x  y
z2  2




( x  y)( y  1) ( x  y)( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y)( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1)

 2
( a  b) 2
2
a  b 
2
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 
,ta có:
2

ab  (a  b)

4
 2
( x  y) 2
2
x
y



2

2
2
( x  1)( y  1)  ( x  1  y  1)  ( x  y  2)

4
4
( x  y) 2
 x y
z2  2
2
4( z2  2)
2
4( z2  2)
2






 f ( z) v i z  1
Suy ra P 
( x  y  2) 2 ( x  y  2) 2 x  y  2 ( x  y  2) 2 z  1 ( z  1) 2
( x  y).
4
4
2
4( z2  2)
2
8( z  2) 6( z  3)

Xét hàm s f ( z) 
v i z  1 . Ta có f '( z)  
;


2
2
z  1 ( z  1)
( z  1)
( z  1)3 ( z  1)3
f '( z)  0  z  3
B ng bi n thiên

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

T b ng bi n thiên, suy ra P  f ( z) 

13
. D u “=” x y ra khi
4

BDT- GTLN - NN

 x  y; z  3  x  y  1


x  y 1  z
z  3

13
, khi x  y  1 và z  3 .
4
Bài 2. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn đi u ki n x2  y2  z2  1 .

V y P đ t giá tr nh nh t b ng

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( y  z  x)  9 xyz

Gi i:
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b  2(a 2  b2 ) và ab 

P  2( y  z  x)  9 xyz  2

Xét hàm s





2( y2  z2 )  x  9 x.

y2  z2
2
2

a 2  b2
, ta đ
2

c:





9
2(1  x2 )  x  x.(1  x2 )
2

9
5
 2 2(1  x2 )  x3  x  f ( x)
2
2

9
5
f ( x)  2 2(1  x2 )  x3  x v i 0  x  1
2
2

Ta có f '( x) 

2 2 x
1  x2



27 2 5
4 2 x  (27 x2  5) 1  x2
x  
2
2
2 1  x2

0  x  1
1

Khi đó f '( x)  0  4 2 x  (27 x2  5) 1  x2  27 x2  5  0

 x
3
(3x2  1)(9 x2  1)(27 x2  25)  0


B ng bi n thiên

 1  10
T b ng bi n thiên suy ra P  f ( x)  f    .
3 3
1
2
10
10
Khi x  ; y  z  thì P  . V y giá tr l n nh t c a P là
.
3
3
3
3
Bài 3. Cho a , b, c là các s th c không âm đôi m t phân bi t và th a mãn ab  bc  ca  4 .

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 

1
1
1


2

2
(a  b) (b  c) (c  a ) 2

Gi i:
Bi n đ i P ta đ

c:
2

1
1
1
1
1 
1
1
1
1
1 
 1
 1
P
.
.
.








  2

2
2
2
(a  b) (b  c) (c  a )  a  b b  c c  a 
 a b b c b c c a c a a b 
1
1 
1
1 
c a  a bbc  1
 1






  2.

(a  b)(b  c)(c  a )  a  b b  c c  a 
 a b b c c a 
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

a  c  a

Không m t tính t ng quát gi s a  b  c  0 và ta có ab  bc  ca  4  b  c  b
ab  4

Áp d ng b t đ ng th c d ng ( x  y)2  4 xy , ta đ

c:

1
1 
1  1
1 
4
ba
4
4

 1
.
1



.



  4.

a  b  b  c c  a  a  b (b  c)(c  a ) (a  c)(b  c) ab
 a b b c c a 
c  0
c  0
 1

1
1

Suy ra P  1 . D u “=” x y ra khi 


 b  5  1 và các hoán v
a  b b  c c  a

a  5  1
ab  4
V y giá tr nh nh t c a P là 1 .

Bài 4. Cho các s th c d ng th a mãn x  y  1  z . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
2

x3 y3
( x  yz)( y  xz)( z  xy)2
Gi i
Ta có: z  xy  x  y  1  xy  ( x  1)( y  1)
P

x  yz  x  y( x  y  1)  x  y  y( x  y)  ( x  y)( y  1) . T

Khi đó P 

ng t ta có: y  zx  ( x  y)( x  1)

x3 y3
( x  y)2 ( x  1)3 ( y  1)3

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng (a  b)2  4ab và a  b  c  3 3 abc , ta đ

( x  y)2  4 xy và x  1 
Suy ra P 

x x
x2
27 x2
 1  33
 ( x  1)3 
.T
2 2

4
4

x3 y3

( x  y) 2 ( x  1)3 ( y  1)3

c:

ng t : ( y  1)3 

27 y2
4

4
x3 y3

2
2
27 x 27 y
729
4 xy.
.
4
4

4
4
. V y giá tr nh nh t c a P b ng
.

729
729
Bài 5. Cho x, y, z là các s th c th a mãn 5 x  5 y  5 z  1 . Ch ng minh r ng:

Khi x  y  2 và z  5 thì P 

25x
25 y
25x
5x  5 y  5z



5 x  5 y  z 5 y  5 z  x 5 z  5 x y
4
Gi i

a  5x  0

a2
b2
c2
a bc
1 1 1



t b  5 y  0 , khi đó    1 và P 
4
a  bc b  ca c  ab

a b c
c  5 z  0

1 1 1
1 1 1
Ta có: (a  b  c)  (a  b  c)      3 3 abc .3 3 . .  9
a b c
a b c
1 1
1
b  c a 1
a (b  c)
a2
a2
a
a2  a

 bc 




Bi n đ i   1  
b c
a
bc
a
a 1
a  bc a  a (b  c) 1  b  c a  b  c  1
a 1

a 1
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

T

ng t ta có:

BDT- GTLN - NN

b2
b2  b
c2
c2  c
và


b  ca a  b  c  1
c  ab a  b  c  1

( a  b  c) 2

a 2  b 2  c 2  (a  b  c)
. M t khác a 2  b2  c 2 
3
a  b  c 1
2
(a  b  c)
 (a  b  c)
a bc 3
3
P
 (a  b  c).

a  b  c 1
3(a  b  c  1)

Suy ra P 

1

1
2
2  a bc
 (a  b  c)  
 ( a  b  c)  


4
 3 3(a  b  c  1) 
 3 3.(9  1) 
Hay P 

a bc
. D u “=” x y ra khi a  b  c  3  x  y  z  log5 3
4

Chú ý: Có th đ t t  a  b  c  9 , r i dùng hàm s ch ng minh hàm f (t ) 

t 2  3t t

3(t  1) 4

có giá tr nh nh t là 0 khi t  9 , khi đó ta đ c đi u ph i ch ng minh.
Bài 6. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x2  y2  z2  2 xyz  1 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  xy  yz  zx  2 xyz
Gi i
Theo nguyên lý Dirichlet trong ba s (2 x 1);(2 y 1);(2 z  1) luôn t n t i hai s cùng d u, không m t
tính t ng quát gi s :
z
(2 x  1)(2 y  1)  0  4 xy  2( x  y)  1  0  4 xyz  2( x  y) z  z  0  xz  zx  2 xyz  (1)
2
1 z
M t khác, ta có: 1  z2  2 xyz  x2  y2  2 xyz  2 xy  2 xy( z  1)  xy 
(2)
2
z 1 z 1
C ng t ng ng hai v c a (1) và (2) ta đ c: P  

2
2
2

1
1
1
Khi x  y  z  thì P  . V y giá tr l n nh t c a P b ng .
2
2
2
Bài 7. Cho các s th c d

ng x, y, z th a mãn x4   y2  1  z4  3.
2

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2 y  x  z  

1
.
x  y  z2  1
2

2

Gi i

( a  b) 2
a 2  b2
và
 a 2  b2
2
2
2

2
2
(suy ra t 2(a  b )  (a  b)  4ab ) ta đ c:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab 

2 y2   x  z 
1
1
 2
 y2  x2  z2  2
P
.
2
2
2
x  y  z 1
x  y  z2  1
2
2
2
1
T gi i thi t ta có 3  x4   y2  1  z4   x2  y2  z2  1 , suy ra 0  x2  y2  z2  4.
3
2
2
2
t t  x  y  z  1  1  t  5.
2

1
1
Xét hàm s f  t   t  1  ; t  5. Ta có f '  t   1  2  0 v i t  1;5 .
t
t
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

1 21
Suy ra f (t ) đ ng bi n trên 1;5 , khi đó P  f (t )  f  5  4   .
5 5

21
x  z  1
ng th c x y ra khi 
. V y max P  .
5

y  2

Bài 8. Cho các s th c d ng a , b, c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

1

2
.
a  b  c  1  a  1 b  1 c  1
Gi i

P

2

2



2

( x  y)2
Áp d ng AM – GM d ng x  y 
, ta có:
2
2

a b c
2

2

2

2

 a  b
1 

2

2

 c  1


2

2

 a  b  c  1


2

4

M t khác theo AM – GM có: a  1  b  1  c  1  3 3  a  1 b  1 c  1

  a  1 b  1 c  1
V y t đó: P 

 a  b  c  3


3

27

2
54

a  b  c  1  a  b  c  3 3

t t  a  b  c  1, t  1
Lúc đó P  f  t  

2
162
2
54
. Ta có: f   t    2 

3
4
t
t t  2
t  2

Lúc đó: f   t   0 

2

162
4

  t  2   81t 2  t  4 vì t  1
4
2
t
t  2

1
1
P
4
4
1
V y giá tr l n nh t c a P  đ t đ c khi t  4 . Lúc đó a  b  c  1 .
4
Bài 9. Cho các s th c d ng x, y, z th a x2  y2  z2  3 .

L p BBT ta suy ra f  t  

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P 

x2  xy y2  yz z2  zx


.
5  z2
5  x2
5  y2

Gi i
Áp d ng b t đ ng th c d ng 2(a  b )  (a  b)2 hay a  b  2(a 2  b2 ) , ta đ
2

2

c:

Ta có: x  y  2  x2  y2   2  3  z2 
T

ng t ta có : y  z  2  3  x2  ; z  x  2  3  y2 

Khi đó P 

2.(3  z2 )
2.(3  x2 )
2.(3  y2 )
x( x  y) y( y  z) z( z  x)





x
y
z
.
.

.
5  z2
5  x2
5  y2
5  z2
5  x2
5  y2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

2 3  t 2 



BDT- GTLN - NN



1
 , t  0; 3 (*). Th t v y:

5t
2
2
2
2
(*)  8(3  t )  (t  5)  (t 2 1)2  0 (luôn đúng). ng th c có khi t  1

M t khác, ta luôn có:

2

Do đó, áp d ng (*) ta đ

c: P 

1
 x  y  z .
2

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 3(a 2  b2  c2 )  (a  b  c)2 hay a  b  c  3(a 2  b2  c 2 ) , ta
đ

c:

1
1
3
 x  y  z  3  x2  y2  z2  
2
2

2
3
D u “=” x y ra khi x  y  z  1. V y max P  .
2
2
Bài 10. Cho x, y, z là các s th c th a mãn x  y2  z2  9 và xyz  0 .
P

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( x  y  z)  xyz
Không m t tính t ng quát, gi s

Gi i:
x  min  x; y; z , do xyz  0  x  0

M t khác x2  y2  z2  9  x2  9  x   3;0
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng y  z  2( y2  z2 ) và yz 





y2  z 2
, ta đ
2

c:





y2  z2
9  x2 x3 5x
2
P  2( x  y  z)  xyz  2 x  2( y  z )  x.
 2 x  2(9  x )  x.
   2 2(9  x2 )
2
2
2 2
Xét hàm s

f ( x) 

2

2

x3 5 x
  2 2(9  x2 ) v i x  3;0
2 2

3x2 5 2 2 x (3x2  5) 9  x2  2 2 x
 

Ta có f '( x) 
2 2
9  x2
2 9  x2
2


3x  5  0
Khi đó f '( x)  0  (3x  5) 9  x  2 2 x   2
2
2
2

(3x  5) (9  x )  8 x
2

2

3x2
 2
x
2

3x  5  0

 6
 2
4
2

9 x  111x  327 x  225  0
 x

  x2

5

1

2
25  x  1  x  1  3;0
3
3



Ta có f (3)  6 ; f (1)  10 và f (0)  6 2  f ( x)  f (1)  10

 x  1; y  z  0
 x  1

D u “=” x y ra khi  2
2
2
y  z  2
x  y  z  9
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , khi x  1 ; y  z  2
Chú ý:
bài toán này có th không c n đi u ki n xyz  0 . Khi đó các b n tham kh o nh ng b
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

c tìm hi u k

c gi i chính sau:

các bài h c sau), ta có:

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

2( x  y  z)  xyz  x(2  yz)  ( y  z).2  ( x2  ( y  z)2  (2  yz) 2  4  (2 yz  9)( y2 z2  4 yz  8)
t t  yz , suy ra: P  2( x  y  z)  xyz  (2t  9)(t 2  4t  8)  f (t )
Gi s

x  max  x , y , z   3x2  x2  y2  z2  9  x2  3  y2  z2  6  yz 

Ta d dàng ch ng minh đ

c

(2t  9)(t 2  4t  8)  10 v i t  3 . Khi đó ta suy ra đ

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

y2  z2
 3 hay t  3
2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

c đáp s bài toán.

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.

Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-