Giải toán tích phân bằng nhiều cách Nguyễn Thành Long

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

Gửi tặng: www.toanmath.com

Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại:
+ Trang web: www.toanmath.com
+ Fanpage: www.facebook.com/toanmath
+ Groups: />
Bỉm sơn. 13.03.2011

1


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Bài tập giải mẫu:
3

Bài 1: Tính tích phân sau: I 


0

x3
dx
x2  1

Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t  dt

 
 x  3
t 
Đổi cận 

3
 x  0
t  0
Khi đó

3


3

0

0


3


3

0

0

I   tan 3 tdt   tan t  tan 2 t  1  1 dt   tan t  tan 2 t  1dt    tan tdt

3


3

  tan td  tan t   
0

0

d  cos t 
cos t


 tan 2 t

3


 ln cos t  3  ln 2
 2
0 2


Nhận xét: Đối với tích phân dạng I   R  u, u 2  a 2  du, u  u  x  thì ta có thể đặt u  a tan t


Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần
 du  2 xdx
u  x 2


Đặt 
ln  x 2  1
xdx  
dv


v 
x2  1 

2

1
3

Khi đó I  x 2 ln  x 2  1
2

0

3


0

1
x ln  x  1 dx  3ln 2 
2
2

3

 ln  x

 1 d  x 2  1
0

2

J

3

Tính J 

 ln  x

2

 1 d  x 2  1

0


d  x 2  1
u  ln  x 2  1
du 

Đặt 

x2  1
2
dv

d
x

1

 v  x 2  1



2


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1
3
Khi đó I  3ln 2   x2  1 ln  x2  1

2 
0

 3
2
1
d
x

   ln 2


0
 2
Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì
3

Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I  

P  x
Qn  x 

dx  

f  x  Q'  x 
Qn  x

dx thì

u  f  x 

du
Đặt 

Q'  x 
dv  Q n x dx v
 

Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
'

Nhận xét: Ta có x 3  x 2 .x và  x 2  1  2 x từ đó ta định hướng giải như sau
3

Phân tích I 


0

x3
dx 
x2  1

3


0

x2 x
dx
x2  1

2

x  t  1

Đặt t  x  1  
dt
 xdx 

2
t  4
 x  3
Đổi cận 

 x  0
t  1
2

4
4
4 3
1  t  1

1  1
1
dt

1   dt   t  ln t    ln 2


1 2
21 t
2 1 t
2
Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân
2
3
3
3
x2
1
1  x  1  1
1 
1 
2
2
2
I   2 d  x  1  
d
x

1




1  2
d  x  1 
2

2 0 x 1
2 0 x 1
2 0
x  1

Khi đó I 

3

3

d  x 2  1

x2 3
3 3
2
0 d  x  1  0 x2  1  2 0  ln  x  1 0  2  2 ln 2
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
2
3
3
3
x3
x 

x 2 3 1 d  x  1 3 1
3 3

I   2 dx    x  2
 
  ln  x2  1
  ln 2
dx  2
2
2
2
2
2
x
1
x
1
x
1



0
0


0
0
0
1


2

2

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức
để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có x 3  x  x 2  1  x
3

Khi đó I 


0

x3
dx 
x2  1

3

x 
x2 3 1

x

dx



0  x 2  1 
2 0
2

3


0

d  x 2  1
2

x 1



3 1
3 3
 ln  x2  1
  ln 2
2 2
2
0

3


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Bài 2: Tính tích phân bất định: I  

Email:

3 x3
3 x3
dx

  x  1 x  2  dx
x2  3x  2

Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích x 3  x  x 2  3 x  2   3  x 2  3x  2   7  x  1  1
Khi đó
x  x 2  3x  2   3  x 2  3 x  2  7  x  1  1
3x 3
I  2
dx  
dx
x  3x  2
x2  3x  2


7
1
x2
1
   x  3 

dx


 3 x  7 ln x  2  
dx

2
1
2
2
1
2
x

x

x

x

x










x2

x2
 3 x  7 ln x  2  ln x  2  ln x  1  C   3x  8ln x  2  ln x  1  C
2
2
Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích x 3  x  x 2  3 x  2   3  x  1 x  1   2 x  3


 x  x 2  3 x  2   3  x  1  x  2   3   2 x  3  x 2x  3x  2  3 x  1 x  2  9 x  1   2 x  3
Khi đó
x  x 2  3x  2   3  x  1  x  2  3   2 x  3
3x 3
I  2
dx  
dx
x  3x  2
x 2  3x  2
9 
2x  3
x2

  x 3
dx

dx

 3 x  9 ln x  2  ln x2  3 x  2  C

2


x

x

x

2
3
2
2


Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích x 3  x  x 2  3 x  2   3  x 2  3 x  2   7 x  6
x  x 2  3x  2  3  x2  3x  2   7 x  6
3 x3
Khi đó I   2
dx  
dx
x  3x  2
x2  3x  2
7x  6
x2
   x  3 dx   2
dx   3 x  I1 .
x  3x  2
2
Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
3 x3

9x  8 
9x  8

I 2
dx    x  3  2
dx
dx    x  3 dx   2
x  3x  2
x  3x  2 
x  
3x  2 


I1

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….

x3
x3
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I   2
dx  
dx
2
x  2x 1
 x  1
Giải:
Cách 1: Phương pháp đổi biến số

4

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

du  dx
Đặt u  x  1  
 x  u 1
Khi đó I  

 u  1
u2

3

du  

u 3  3u 2  3u  1
3 1 
u2
1

du

u

3



du

 3u  3ln u   C

2
2 

2
u
u u 
u


với u  x  1
Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích x 3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3  x  1  1
x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3  x  1  1
x3
Khi đó I   2
dx  
dx
x  2x 1
x2  2x 1

3
1 
x2
1
  x  2 


dx

 2 x  3ln x  1 
C

2
x  1  x  1 
x 1
2

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu
3
Phân tích x 3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  1   2 x  2 
2
3
x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  1   2 x  2
x3
2
Khi đó I   2
dx  
dx
x  2x 1
x2  2 x  1
1 
3
2x  2
x2
3

  x 2

dx

dx

 2 x  ln x  1  ln x2  2 x  1  C

2

x 1 
2 x  2x 1
2
2

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích x 3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3x  2
x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3x  2
x3

dx
dx

x2  2x 1
x2  2x 1
x2
3x  2
   x  2 dx   2
dx   2 x  I1 .
x  2x 1
2
Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản

3
1 
x3
x3
I 2
dx  
dx


x

2


dx
2
2

x  2x  1
x

1
x

1

 x  1




x2
1

 2 x  3ln x  1 
C
2
x 1
Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  x 3
du  3x 2 dx


dx  
Đặt 
1
dv 
v
2


 x  1
x 1


Khi đó
Khi đó I  

5

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

x3
x2
x3
x2  1  1
 3
dx  
 3
dx
x 1
x 1
x 1
x 1
 x2

x3
1 
x3


 3  x  1 
dx




3
  x   ln x  1  C

x 1
x 1
x 1  2


I 

Bài 4: Tìm nguyên hàm: I  

x 2 dx
39

1  x 

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
2

2

Phân tích x 2  1  x   1  1  x   2 1  x   1
2

1  x   2(1  x)  1  1  2  1



39
39
37
38
39
1  x 
1  x 
1  x  1  x  1  x
x2

I

1

1  x 

37

dx  2 

1

1  x 

38

dx  

1

1  x 

39

dx 

1
1
2
1
1
1


C
36
37
36 1  x 
37 1  x 
38 1  x38

Cách 2:
Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt
2
1  t  dt
1
1
1
1 1
2 1

1 1
 I  
   39 dt  2  38 dt   37 dt 


C
39
38
37
38 t
37 t
36 t 36
t
t
t
t
Nhận xét:
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  x 2
du  2 xdx


1
dx  
Đặt 
v
dv 
38
39



38  x  1
1  x 


1
1
x
 
dx …. đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Khi đó I  x 2
38
19  x  138
38  x  1
Bài 5: Tìm nguyên hàm: I  

x 3 dx
( x  1)10

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
3

3

2

Sử dụng đồng nhất thức: x 3   x  1  1   x  1  3  x  1  3  x  1  1
x3
1

3
3
1





10
7
8
9
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1)10
Khi đó
dx
dx
dx
dx
I 
 3
 3


7
8
9

( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1)10
1 1
3 1
3 1
1 1




C
6
7
8
6 ( x  1)
7 ( x  1)
8 ( x  1)
9 ( x  1)9

6


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số

Đặt t  x  1 ta có: x  t  1 nên dx  dt

 t  1

3

(t 3  3t 2  3t  1)dt
  t 7 dt 3  t 8 dt 3  t 9 dt   t 10 dt
t10
t10
1 1
3 1
3 1
1 1




C
6
7
8
6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  x 3
du  3 x 2 dx


dx  
1

Đặt 
dv 
v
10
9


9  x  1
 x  1


Khi đó
x2
1
1
I   x3

dx ...
9
3   x  19
9  x  1

A

dt



I1

đến đây rùi ta có thể tính I1 bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích

x 2   x 2  1  1   x  1 x  1  1
Nhận xét :
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không,
chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý
P  x
- Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I  
dx thì đặt t  x  a là một phương pháp hiệu quả nhất
n
 x  a
- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I  

P  x
Qn  x 

dx  

f  x  Q'  x 
Qn  x

dx thì ta sử

dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của  x  a  là n  1, 2
u  f  x 

du
Đặt: 


Q'  x 
dv  Q n x dx v
 

3

Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I 


0

dx

x  x3

3

dx

 x 1  x 
2

0

HD:
Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho x 2
3

I


0

dx

x  x3

3

3

dx



xdx

 x 1  x   x 1  x 
2

0

2

2

0

7

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

x2  t  1

Đặt t  1  x 2  
dt
 xdx 

2
Cách 3: Biến đổi số
Đặt x  tan u … Bạn đọc tự giải
Cách 4: Đưa vào vi phân
Phân tích tử 1  1  x 2  – x 2
3

Khi đó I 


0

3

dx

x

x
0 1  x 2 dx 

3


0

2

Bài 12: Tính tích phân sau: I  
1

dx 1

x 2

3


0

d 1  x 2 
1 x

2

 ln x

3

1
3
6
 ln x2  1
 ln
2
2
0
0

dx
x  x3
5

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Cách 1.1: Phân tích: 1  x 2  1  x 2
x2  1  x2
x
1
1
1
1 x2  1  x2
1 1
 3 2
 3 2
 3 



 3  2
2
3
2
x x 1
x ( x  1) x
x( x  1) x
x( x  1)
x
x x 1





Khi đó
2
2
2
1
1
1
1 5
x
 1 1
2 3
I   3 dx   dx   2
dx   
 ln x  ln x 2  1    ln 2  ln

2
2
2 2
x
 2x
1 8
1 x
1
1 x 1
Cách 1.2: Phân tích: 1  x 4  1  x 4  x 4  1  x 2 1  x 2 




x3







4
2
2
x4  1  x 4 x  1  x 1  x
x
1  x2
x
1

 3 2

 2
 3  2
 x 3 
3
2
2
x
x ( x  1)
x ( x  1)
x 1
x
x 1
x 1

1



... tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
2
2
1
1
1
Phân tích I   3 2
dx   . 2 2
dx

x x x 1
x 1
1 x
1









1

x

1

t
Đặt t   
x
dx   1 dt

t2
 1
 x  2 t 
Đổi cận 
 2
x  1

t  1

8


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1
1
t3
t2
Khi đó I    t
dt   2
dx... đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
1
1
t

1


1
1
  1
2
t2  t2


Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số
2
2
1
x
I 3 2
dx   4 2
dx
x 1
x 1
1 x
1 x
1
2









dt
 xdx
2
 x  2 t  5
Đổi cận 

x  1

t  2

Đặt t  x 2  1 

5
1  1
1
1
1 1
t 5 3
1 5
Khi đó I  



 ln

 dt   
 2   ln 2  ln
2
2

2 2   t  1
t 1 t 
2  t 1
t 1 
8
2 2
2 t  t  1



Hoặc các bạn có thể đặt u  t  1 hoặc phân tích 1  t   t  1 hoặc đồng nhất thức
5

dt

Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
2
2
2
1
x
1
1
I 3 2
dx   4 2
  4 2
d x2  1 
2 1 x x 1
x 1
x 1
1 x
1 x





















2
2
2
2
2
1 x 1  x
1 1
1
1
2
2
  4 2
d x 1   4 d x 1   2 2
d x2  1 
2 1 x x 1
21 x

2 1 x x 1



2


1



















2

1

1
dx  
dx... ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
3
2
x
1 x x 1





Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
1
A B C Dx  E
đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I  A, B, C , D, E tuy nhiên
 3  2   2
3
2
x
x
x 1
x  x  1 x
việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả
nhất
Cách 6: Đặt x  tan u  dx   tan 2  1 dt … bạn đọc tự làm
1

Bài 14: Tính tích phân sau: I  
0

dx
x 1
3

Giải:
Nhận xét: x 3  1   x  1  x 2  x  1
Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:
1  x 2   x 2  1  x 2   x  1 x  1
1

Khi đó I  
0

1

x2
x 1
dx   2
dx  I1  I 2
3
x 1
0 x  x 1

9


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

3
1
1 d  x  1
Tính I1 bằng cách đặt t  x  1 hoặc I1  
3 0 x3  1

3

1
1
 2 x  1  (kĩ thuật nhảy tầng lầu)
2
2
1
1
1
1
2x  1
1
x 1
dx
Ta có I 2   2
dx   2
dx  
2
2 0 x  x 1
20
1 3

0 x  x 1
x 2  4


Cách 2: Đồng nhất thức
1
A
Bx  C

 2
 1  A  x 2  x  1   Bx  C  x  1
Xét 3
x 1 x 1 x  x 1
Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là
1
2
1
x  1  A  ; x  0  C  ; x  1  B   …Bạn tự giải tiếp nhé
3
3
3
1

Kết quả ta được I  ln 2 
3
3 3
Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
1
1
1

dx
dx
d  x  1


I 3

  x 2  x  1 0  x  1  x  12  3  x  1  3
0 x 1
0 x 1

Tính I 2 phân tích x  1 

Đặt x  1  t  dx  dt
 x  0 t  1
Đổi cận 

x  1
t  2
2
2
2

1  t 2  3t  3   t 2  3t 
1  dt
t 3
dt


dt 


2



2
2

 31
3  1 t 1 t  3t  3 
t  t  3t  3
1 t t  3t  3
2
2
2

1  dt 1 d  t 2  3t  3 3
dt
    2
 

2
3
3  1 t 2 1 t  3t  3
21
3
t
 

2

4

2



dt



 

t2

11
2t  3  2 1
  ln 2
 3 arctan
  ln 2 
3  2 t  3t  3
3 1 3
3 3
3x 4  5 x 3  7 x  8
Bài 15: Tính tích phân bất định: I  
dx .
 x  2 50
Giải :
Cách 1: Biến đổi số
x  t  2
Đặt x  2  t  

dx  dt
4

3

3  t  2   5  t  2  7  t  2   8
3x 4  5 x 3  7 x  8
Khi đó I  
dx  
dt
50
t 50
 x  2
Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức

10


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

4

3

2

Phân tích 3x 4  5x 3  7 x  8  a  x  2   b  x  2  c  x  2   d  x  2   e … đồng nhất để tìm a, b, c, d, e

…
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt P4  x   3 x 4  5 x3  7 x  8
Áp dụng khai triển taylor ta có
 
 
P4  2 
P4 2 
P4 3  2 
P4 4  2
2
3
 x  2 
 x  2 
 x  2 
 x  2 4
P4  x   P4  2  
1!
2!
3!
4!
2
3
4
 P4  x   66  149  x  2   48  x  2   29  x  2  3 x  2
2

3

4

66  149  x  2   48  x  2   29  x  2  3  x  2
I
dx
 x  2 50
   66  x  2 


66
49  x  2 

49

50



 149  x  2
149
48  x  2

48

49



 48  x  2 
48

47  x  2

47



48

 29  x  2
29

46  x  2
1 5
2

Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I 


1

46



47

46
 3 x  2  dx

3

45
45  x  2

C

x2  1
dx
x4  x 2  1

Giải:
1 5
2

Ta có


1

2

x 1
dx 
x  x2  1
4

1 5
2



1

1
x2

1
x 1 2
x
2

1

1 5
2

dx 


1

1 

1  2 
x 

dx
2
1

 x  x  1




1
1 

 dt  1  2  dx .
x
x 

x  1
t  0

Đổi cận 
1  5  t  1

x 
2

1
dt
Khi đó I  
. Đặt t  tan u  dt  1  tan 2 u  du .
2
0 1 t
Đặt t  x 

u  0
t  0 
Đổi cận 



t  1
u  4

4


4


dt
1  tan u

Khi đó I  

du   du  u 4  .
2
2
4
0 1 t
0 1  tan u
0
0
Cách khác:
1

2

11

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Ta có thể gộp hai lần đặt là x 

Email:

1
1 

 tan u   1  2  dx  1  tan 2 u  du … bạn đọc tự giải
x
x 


2

x2 1
Bài 17: Tính tích phân: I   4 dx
x 1
1

Giải:
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho x 2  0 ta được
1
1
1 2
2
2

x dx 
x
Biến đổi I  
dx
2

1
2
1


1 x 
1
x  2
x2
x

2

Đặt u  x 

1
1 

 du  1  2  dx
x
x 

5
2

Khi đó I 

1

u
2

du
1
u  2 5/ 2
1
(5  2 2)(2  2)
ln


ln
2 2 2 u 2 2
2 2
6 2

2

2







Cách 2: Phân tích x 4  1   x 2  1  2 x 2  x 2  2 x  1 x 2  2 x  1 và sử dụng đồng nhất thức

x2  1
Ax  B
Cx  D
… đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp
 2
 2
4
x  1 x  2x  1 x  2x  1
nên không đưa ra
Nhận xét:
- Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích
phân đơn giản hơn
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai P  x   x 2  1 còn mẫu là một đa thức
bậc 4: Q  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e sao cho hệ số a  e  1

1
1 
1 
1 


- Tích phân trên đưa về dạng I   f  x   1  2  dx đặt t  x   dt   1  2  dx
x
x 
x 
x 



Tương tự ta có thể giải bài toán này
2

1. Tính tích phân sau I  
1

x2 1
dx
x4 1

1
1
1 2
2
2
1
1 

x dx 
x
I
dx . Đặt u  x   du   1  2  dx
2

1
x
x 

1

1 x2 
1 
x  2
x2
x

2

1

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:

12


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

I

Email:

x2  1

1 x2  5x  1
dx


ln
C

8 x2  3x  1
 x 2  5x  1 x 2  3x  1
1

4

Bài 18: Tính tích phân sau: I   x3  x4  1 dx
0

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số
dt
Đặt t  x 4  1 dt  4 x 3 dx  x3 dx 
4
x  1
t  2
Đổi cận 

 x  0 t  1
1

2
1 4
 1  2 31
t dt   t 5   .

41
 20  1 20
0
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số

dt
Đặt t  x 4 
 x3 dx
4
x

1

t  1
Đổi cận 

 x  0 t  0
4

Khi đó I   x3  x 4  1 dx 

1
1
1
1
1
t 5  1 31
4
2
3
4
2
3
4
Khi đó I   1  t  dt   1  4t  6t  4t  t dt   t  2 t  2t  t   

40
40
4
5  0 20
Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân

5

4
1
4
1
1  x  1 1 31
3
4
4
4
I   x  x  1 dx    x  1 d  x  1  .

40
4
5
0 20
0
Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích
1

4

4

Phân tích x 3  x 4  1  x 3  x16  4 x12  6 x8  4 x 4  1   x19  4 x15  6 x11  4 x 7  x 3 
1

1

 x 20 x16 x12 x 8 x 4  1 31
Khi đó I   x  x  1 dx    x19  4 x15  6 x11  4 x 7  x 3  dx  


   
4
2
2
4  0 20
 20
0
0
Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo
tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất
1
6
1
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx 
168
0
3

4

4

Giải:
1

6

1

6

Ta có I   x5 1  x3  dx   x3 1  x3  x 2 dx
0

0

Cách 1: Đổi biến số

13


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

 dt
2
  x dx
Đặt t  1  x   3

 x3  1  t

x  1
t  0
Đổi cận 

 x  0 t  1
3

0
1
1
1 6
1 6
1 6 7
1  t 7 t8
t

t
dt

t

t
dt

t

t
dt


1
1
 
 

 3 7  8
3 1
3 0
3 0

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân

I 
1

1

6


1

 168

1

6

1

6

7

I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x 3   1  x3  dx   x 2 1  x 3  dx   x2 1  x3  dx
0

0

0

1
1
6
7
1
1 1  x
   1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    .
30
3
7
0

0

3 7



6

8

3
1 1  x  1
1
 .

0 3
0 168
8

1

6

Cách 3: Khai triển 1  x 3  thành tổng các đa thức  x 5 1  x 3  .. cách này không khó nhưng khai triển phức
tạp… chỉ tham khảo thôi
Chú ý: Nếu ta đặt t  x3 cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo
2
2

Bài 20: Tính tích phân sau I   x  x  1 dx
0

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
2
Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x3  2 x 2  x

2
 x 4 2 x 3 x 2  2 34
Khi đó I    x3  2 x 2  x  dx   
  
4
3
2 0 3

0
Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
2
2
3
2
Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1

2

2

2

3

2

2
3

2

Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1 
0

0

0

0

 x  1
4

4



 x  1
3

3



34
3

Cách 3: Đổi biến số
x  t  1
Đặt t  x  1  

dx  dt
 x  2 t  3
Đổi cận 

 x  0 t  1
3

3

 t 4 t 3  3 34
Khi đó I    t  1 t dt    t  t  dt     
 4 3 1 3
1
1
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
2

3

2

14


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

du  2  x  1 dx

u   x  12

Đặt 

x2
v

dv  xdx

2

2
2
2
 x 4 x 3  2 34
2 x 2
2
Khi đó I   x  1
  x  x  1 dx  6    x3  x  dx  6  
  
2 0 0
30 3
 4
0
0

Bài 21: Tính tích phân sau: I 

2

 x  x  1

9

dx

1

Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt t  x  1  dt  dx
 x  1 t  0
Đổi cận 

x  0
t  1
Khi đó
0

I

1
9

1

1

2

2
9
2
9
11
10
9
 x  x  1 dx    t  1 t dt    t  2t  1 t dt    t  2t  t  dt

1

12

0
11

0

0

10

t
t
t 1 1 2 1
1
 2   
 

11 10  0 12 11 10 660

 12
Cách 2: Phương pháp phân tích
2
Phân tích x 2   x  1  2  x  1  1
Khi đó
0

I

0

0

9
2
9
11
10
9
2
 x  x  1 dx    x  1  2  x  1  1  x  1 dx    x  1  2 x  1   x  1  dx

1

1

12

1

11

10

  x  1
 x  1  x  1  0
1

2



11
10  1 660
 12
Hoặc phân tích x 2 theo  x  1 như sau
9
9
x 2  x  1   x 2  1  1  x  1 
Nhận xét:

 x  1  x  1  2  1  x  1

9

11

10

  x  1  2  x  1   x  1

9

9

- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển  x  1 hay phương pháp tích phân từng
phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của  x  1 là lớn
1

Bài 22: Tính tích phân: I   (1  3x )(1  2 x  3x 2 )10 dx
0

Giải:
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t  1  2 x  3 x2  dt  (2  6 x) dx  dt  2(1  3 x)dx 

dt
 (1  3x )dx
2

15


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

 x  0 t  1
.

Đổi cận: 

x  1
t  6
10
6
6t
dt
t 11 6 611 111 611
I   t10

dt 



1
1
1 2
2
22 1 22 22 22
Cách 2: Đưa vào vi phân
1
1
10
'
1
2 10
I   1  3x  1  2 x  3 x  dx   1  2 x  3 x2  1  2 x  3 x2  dx
0
20

1  2 x  3x
10
1
  1  2 x  3 x 2  d 1  2 x  3 x 2  
20
22
1

2 11



611

1
0 22

1

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
2

Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau: I  
0

3x 3
dx
x2  2 x  1

Đs: I  9 ln 3  8
2

Bài 2: Tính tích phân sau: I  
1

x2  1

x

2

 3x  1 x 2  x  1

dx

HD:
Chia cả tử và mẫu cho x 2 ta được
1
1 2
2
x
I
dx
1
1





1
 x   3   x   1
x
x 


1
1 

Cách 1: Biến đổi số đặt t  x   dt   1  2  dx
x
x 

Cách 2: Biến đổi vi phân
1

1
dx 
1 2
2
2
1 
1 
1
x

 2

x
I

dx  
dx   ln  x   1  ln  x   3  
1
1 
1
1 
2 
x 
x



 1
1 
1 
 x   3  x   1 
 x   3  x   1
x
x 
x
x 




1 7
 ln
2 10
Cách 3: Đồng nhất thức
1

x5
Bài 3: Tính tích phân sau: I   2 dx.
0 x 1
HD:
5
3
2
2
Đồng nhất thức: x  x ( x  1)  x ( x  1)  x

16


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1

1

x 
1
1

1 4 1 2 1

2
 I    x3  x  2

dx   x  x  ln( x  1)]  ln 2  .
4
2
2
0 2
4
x 1
0
Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt x  tan t
1
x
Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I  
dx
3
1

2
x


0
HD:

1
x
1
1
1
1
Phân tích x  1  2 x  1 

 

ta được I 
3
2
3
18
2
1  2 x  2  1  2 x  1  2 x  
Hoặc đặt t  1  2 x Hoặc tích phân từng phần
1
21
13
x2  3
Bài 10: Tính tích phân: I  
dx   ln 2  ln 3
4
2
4
4
1 x  x  3x  2 
2

HD:
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt t  x 2
Cách 2: Phân tích mẫu x  x 4  3 x 2  2   x  x 2  1 x 2  2  và sử dụng đồng nhất thức
1

Bài 5: Tính tích phân: I  
0

2x  5

x

2

 3x  2  x  7 x  12
2

dx 

1 5
ln
2 4

HD:
Phân tích  x 2  3 x  2  x 2  7 x  12    x  1 x  2  x  3 x  4   x 2  5 x  4 x 2  5 x  6
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn
Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t  x 2  5 x
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
1
2 x  5   2 x  5  x2  5 x  6   x2  5 x  4 
2
1
x2  2
3
dx  
Bài 6: Tính tích phân: I   4
3

2
44
1 x  2 x  5x  4 x  4
2

HD:
Phân tích x 4  2 x 3  5 x 2  4 x  4   x 2  x  2

2

Cách 1: Đồng nhất thức
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t  x 
0

Bài 7: Tính tích phân sau: I 



1

2
Hoặc đưa vào vi phân
x

x 2 dx

x

2

3

 1

HD:
Cách 1: Đặt x  tan t
Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

17


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

u  x

Đặt dv  xdx
3
2

1
x




Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián
Phân tích x 2   x 2  1  1

0

Khi đó I 



1

0

x 2 dx

x

2

 1

3





1

0

dx

x

2

 1

2



1

dx

x

2

 1

3

II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
Bài tập giải mẫu:
7
3

Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I  
0

x 1
3

3x  1

dx

Giải:
Cách 1: Biến đối số

u3  1
x


Đặt u  3 3x  1  
3
dx  u 2 du


7

u  2
x 
Đổi cận 
3
u  1
 x  0
u3  1
1
2

2
 2 46
1
1
1  u5
Khi đó I   3
u 2 du    u 3  2  udu    u 4  2u  du    u 2  
u
3
31
3 5
 1 15
1
Cách 2: Biến đối số
u 1

 x  3
Đặt u  3x  1  
dx  du

3
7

u  8
x 
Đổi cận 
3
u  1
 x  0

18


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

u 1
 53
1
2
1
2 
 
8 46
18 3
18u2
1 8 3
1
3u

3
 3u 3  
du   1 du    u  2 u  du  
Khi đó I  
1
31
91 3
9 1

9 5

 1 15
u3
u


Cách 3: Đưa vào vi phân
1
2
Phân tích x  1   3 x  1 
3
3
Khi đó
7 1
7
7
7
7
2
 3x  1 
3
3
3
3
2
1
dx
1 3x  1
2

1
23

3
3
3
I 3
dx   3
dx   3
   3 x  1 d  3 x  1    3 x  1 3 d  3 x  1
3 0 3x  1
3 0 3x  1 9 0
90
3x  1
0
7
7
5
2
1
1
46
3
3
  3x  1 3   3 x  1 3 
15
3
15
0
0

Cách 4: Tính phân từng phần
u  x  1
du  dx


2

Đặt 
1
1
3
dv

dx
v

3
x

1



3

3x  1
2

Khi đó
I

1
 x  1 3 x  1
2

2
3

7
3

7

2
7
2
1
x

3
1
3
1 
1
13
3
 
dx   x  1 3x  1 3    3x  1 3 d  3x  1 ... bạn đọc tự giải
2 0 3 3x  1
2

60
0
1

Bài 2: Tính tích phân: I 



1

x3
x2  1

dx  0

HD:
C1: Đặt x  tan t
C2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x
u  x 2

C3: Đặt 
x
dx
dv 
2
x 1

C4: Đặt x  t
C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1
2

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: I 

x
2

dx
x2  1

Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số

19


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1
sin tdt
1
 
 dx 
với t   0;  hoặc x 
2
cos t
sin t
cos t

 2
 
t  3
 x  2
Đổi cận 

 x  2
t  

4




sin t
3
3
3
2
sin t
  
3 
Khi đó I   cos t dt  
dt   dt  t 
(vì t   ;   sin t  0 )
 12
4 3

1  cos2 t
 sin t


4
4
4
4
cos 2 t
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho x ta được
2
2
dx
xdx
I 
 
2
2
x2  1
2 x x 1
2 x

Đặt x 

x2  t 2  1
Đặt x  1  t  
 xdx  tdt
 x  2
t  3

Đổi cận 
 x  2

t  1
2

3

Khi đó I 

tdt

 t t

2

1

 1

3


1

dt
1
du   tan 2 u  1 du
. Đặt t  tan u  dt 
2
cos u
t 1
2



u  3
t  3
Đổi cận 

t  1
u  

4

tan u  1
4 
du   du  u 
Khi đó I  
2
 12
 tan u  1

3
3
3
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
x2  t  1

Đặt x 2  1  t  
1 … tương tự như cách 2
 xdx  dt
2


Cách 4: Phương pháp biến đổi số
1
1
dx
Đặt x    t  2   dt
t
x
x

4

2


4

20


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1

t

 x  2


2
Đổi cận 

 x  2
t  1
 2
1
2

Khi đó I   
1
2

dt
1  t2

1
2



dt



1  t2

1

. Đặt t  sin x  dt  cos xdx

2


  
Khi đó I  
dx   du  u 4   
 4 6 12


1  sin 2 u
6
6
6
2
2
Cách 5: Phân tích 1    x  1  x 

4

2

Khi đó I 


4

cos u


2

2

2

x2  1
x

dx  
dx … bạn đọc tự giải
2
2
x
x x 1
x

1
2
2
 
dx

I1

I2

2 3

Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân: I 


5

dx
x x2  4

Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
x2  t 2  4
Đặt t  x 2  4  
 xdx  tdt
 x  2 3 t  4

Đổi cận 
t  3
 x  5
4
4
4
dt
dt  1 t  2 4 1 5
1  dt
Khi đó I   2
 

 ln
  ln
43 t 2 3 t 2 4 t 2 3 4 3

3 t 4
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
1
1
Đặt x   dx   2 dt
t
t
1/ 2 3

1/ 2 3
1/ 2 3 1 5
1
d (2t )
1
Khi đó I  
 
  ln 2t  4t 2  1
 ln .
2 1/ 5 (2t )2  1
2
1/ 5 4 3
4t 2  1
1/ 5
Cách 3: Phương pháp biến đổi số

2
Đặt x  2 tan t  dx  2 1  tan 2 t  dt với 0  t  và x 2  4 
.
2
cost

dt

21


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

 
t  3
 x  2 3
Đổi cận: 

.
 x  5
 tan   5

2


1 3 dt
t
1 5
 1  cos  1
Khi đó: I  
 ln tan 3  ln
(trong đó tan 

 )
2  sin t
2
4 3
2 1  cos  5

1

Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   x 3 1  x 2 dx
0

Giải:
1

1

Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 . xdx
0

0

Cách 1: Phương pháp biến đổi số
 x2  1  t 2
Đặt t  1  x 2  
 xdx  tdt
x  1
t  0
Đổi cận 

 x  0 t  1

0

1
2



Khi đó I    t 1  t

2

 dt   t 1  t  dt    t

1

1

1
2

0

2

2

t

0

4



1 
2
1
dt   t 3  t 5  
5  0 15
3

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
x2  1  t

2
Đặt t  1  x  
dt
 xdx  

2
x  1
t  0
Đổi cận 

 x  0 t  1
1

0 1
1 1
1

1
3
3
3

1
1
1 
12
2 
2
Khi đó I    t 2 1  t  dt   t 2 1  t  dt    t 2  t 2 dt   t 2  t 2  
21
20
2 0
2 3
3 
15

0
dt
Cách 3: Đặt t  x 2 
 xdx … tự giải
2
Cách 4: Lượng giác hóa
Đặt x  cos t  dx   sin tdt


2


2

0

0

Khi đó I   sin 2 t cos3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt
Cách 4.1.
Đặt sin t  u  cos tdt  du
Khi đó

22


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1
 u 3 u5 
I   u 2 (1  u 2 ) du    u 2  u 4  du    
5 
 3
0
Cách 4.2.


2

2



2


2



I   sin t 1  sin t d  sin t   
0

0




 sin 3 t sin 5 t 
2

sin t  sin t d  sin t   
 2  .
5 
15
 3
0
2

4



Cách 4.3.

2


2


2


2

1
1 1  cos 4t
1
1
sin 2 2t costdt  
cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt ….

40
40
2
80
80
Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

1
1
1
1
I    x 2 1  x 2 d 1  x 2   1  x 2  1 1  x 2 d 1  x2
20
20
….bạn đọc tự giải
1
1
3
1
1
  1  x 2 2 d 1  x2   1  x 2 d 1  x 2
20
20
Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần
du  2 xdx
u  x 2

2

Đặt 
1 2
2


v
x
1

 3
dv  x x  1 
3
1
2
2
2
1 21
1
2 1
2
2
2
3
3
Khi đó I  x .  x  1
  x  x  1 dx     x  1 3 d  x2  1... bạn đọc giải tiếp
3
0 30
30
I





 

















2

Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân: I  
1

x
1 x 1

dx

Giải:
Cách 1:
Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt
 x  2 t  1
Đổi cận 


x  1
t  0
Khi đó
1 2
1 3
1
t 1
t t
2 

2tdt  2
I
dt  2  t 2  t  2 
 dt
1 t
t 1
t 1
0
0
0
1

 t3 t 2

1 1
 11
 2    2t  2 ln t  1   2    2  2 ln 2    4 ln 2
3 2
 3
3 2

0
dx  2  t  1 dt
Cách 2: t  1  x  1  
2
 x   t  1  1

23


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

 x  2 t  2
Đổi cận 

x  1
t  1
2
2  t  1  t  1  1
2 3
2
t  3t 2  4t  1
1



Khi đó I  2
.dt  2 

.dt  2  t 2  3t  4   .dt
t
t
t
1
1
1
 t3
2 5
t2
 2   3  4t  ln | t |    2 ln 2
2
3
1 3
b
p ( x)
dx với p  x  là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng số ta đặt t  ax  b  c hoặc
Tổng quát: 
ax

b

c
a

t  ax  b
3

8  3x

Bài 6: Tính tích phân sau: I  

2 2 4 x

dx

Giải:
Cách 1: Dựa vào đạo hàm
8  3x
Đặt f  x  
. Ta biến đổi f  x  về dạng
2 4 x
8  3x
1
'
f  x 
 4 x 
  x 4  x 
2 4 x
2 4 x
Xét hàm số F  x   x 4  x vì F '  x    x 

'



4 x 



'

4x x





'

4  x x  f  x

Vậy F  x   x 4  x  C là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho
3

Khi đó I  

8  3x

dx  F  x 

3

 x 4x

3

2
2
2 4 x

Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số
x  4  t 2
Đặt t  4  x  
dx  2tdt

3

2

 x  3 t  1

Đổi cận 
 x  2 t  2
1

Khi đó I   
2

8  34  t 2 
t

2

tdt 

  3t

2

 4  dt   t 3  4t 

1

2
1

3

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt t  4  x …bạn đọc tự giải
Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  8  3x
du  3dx

Đặt 
dx  
v  2 4  x
dv  4  x


24


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Khi đó I  2  8  3x  4  x

Email:

3

3
 6 4  xdx ....3
2
2

Bài 7: Tính tích phân sau: I 

x 2 dx

 (4  2 x  x

2

) 2  2x  x 2



x 2 dx
[3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2

.

Giải:
Cách 1:
dx   3 sin tdt
Đặt x  1  3 cos t  
2
2
 x  3cos t  2 3 cos t  1
 3 sin t (3cos2 t  2 3 cos t  1)dt

 2 3 cos t
2
Khi đó I = 
)dt .
  (1 

2
2
3  3cos t 3  3 cos2 t
(3  3cos t ) 3 sin t
Cách 2:
dx
(2x  4)dx
I= 
 I1  I 2


2  2x  x 2
[3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2
(2x  4)dx
2tdt
dt
Tính I 2  
 J1  J 2


2


[3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2

(3  t 2 ) 3  t 2
(3  t 2 ) 3  t 2

Tính J1 bằng cách đặt

3  t2  u

3  t 2  u , tính J 2 bằng cách đặt



3 t



Bài tập tự giải có hướng dẫn:
7

1

Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân: I  

2  x 1

2

dx  2  4 ln 2  2 ln 3

HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt t  2  x  1 Hoặc t  2  x

2

Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I  

x 1
3

3x  2

0
7

Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I  

x2
3

x 1

0
3

Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân: I 




1
2

4

Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân: I  



1
28  3 3 4
10



231
10

x
3

2x  2



dx 

2x  1

2x  1
0 1

3

Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I 

3

1

x3
x 1  x  3



12
5

dx  2  ln 2

dx

25