Bai tap chon loc nguyen ham tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (168.36 KB, 7 trang )
I. t×m nguyªn hµm b»ng ®n vµ tc
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x +
1
x
2x 4 + 3
x2
x −1
3. f(x) = 2
x
( x 2 − 1) 2
4. f(x) =
x2
2. f(x) =
5. f(x) =
6. f(x) =
ĐS.F(X)=
x+ x+ x
3
1
4
−3
2
x
x
( x − 1) 2
7. f(x) =
x
x −1
8. f(x) =
3
x 3 3x 2
−
+ ln x + C
3
2
2x3 3
− +C
ĐS. F(x) =
3
x
1
ĐS. F(x) = lnx + + C
x
ĐS. F(x) =
x
x3
1
− 2x + + C
3
x
4
3
3
2
5
2x
3x
4x 4
+
+
+C
3
4
5
ĐS. F(x) =
ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C
ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C
5
2
ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C
x
2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
9. f(x) = 2 sin 2
1
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
13. f(x) =
2
15. f(x) = sin3x
16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = ex(ex – 1)
e−x
)
18. f(x) = e (2 +
cos 2 x
x
19. f(x) = 2ax + 3x
20. f(x) = e3x+1
1
1
x + sin 2 x + C
2
4
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
3
1
ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C
5
1 2x
x
ĐS. F(x) = e − e + C
2
ĐS. F(x) = − cos 3 x + C
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
2a x 3 x
+
+C
ln a ln 3
1 3 x +1
ĐS. F(x) = e + C
3
ĐS. F(x) =
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
ĐS. f(x) = 2 x −
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0
x3
+1
3
8 x x x 2 40
ĐS. f(x) =
−
−
3
2
3
1
+ 2 và f(1) = 2
x2
4. f’(x) = x -
ĐS. f(x) =
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
6. f '( x) = ax+
x2 1
3
+ + 2x −
2 x
2
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
x2 1 5
,
f
'(
1
)
=
0
,
f
(
1
)
=
4
,
f
(
−
1
)
=
2
+ +
ĐS.
f(x)
=
x2
2 x 2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách
Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
5.
9.
∫ (2 x
∫ (3 − 2 x)
6.
∫ (x
dx
10.
∫
x cos xdx
14.
∫ cos
18.
dx
∫ cos x
+ 1) 7 xdx
2
3x 2
∫
5 + 2x
13.
∫ sin
17.
dx
∫ sin x
4
3
e x dx
21.
∫
25.
∫x
29.
∫ cos
22.
ex − 3
2
3
5
+ 5) 4 x 2 dx
3
dx
x (1 + x )
∫
5 − 2 x dx
7.
∫
x 2 + 1.xdx
∫
19. tan xdx
∫
e tan x
dx
cos2 x
x sin 2 xdx
30.
23.
∫
27.
∫x
x − 1.dx
31.
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
∫
12.
∫ x.e
cot xdx
15.
∫e
20.
∫
24.
∫
x 2 dx
1− x
dx
+1
x
∫
16.
1 − x 2 .dx
∫
dx
4.
2x −1
x
dx
8. ∫ 2
x +5
ln 3 x
∫ x dx
11.
2
sin x
dx
5
x
∫
3.
dx
26. ∫
1+ x2
1 − x .dx
2
dx
2.
1. ∫ (5 x − 1)dx
28.
2
∫x
32.
e
x 2 +1
dx
tan xdx
cos 2 x
x
dx
x
dx
4 − x2
∫x
2
dx
+ x +1
x 2 + 1.dx
3
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
Hay
∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx
∫ udv = uv − ∫ vdu
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ x. sin xdx
2. ∫ x cos xdx
5.
∫ x sin 2 xdx
6.
9.
∫ x ln xdx
10.
∫ ln
14.
∫ xtg
18.
∫x e
x
∫ cos x dx
17. ∫ e . cos xdx
13.
2
x
∫ x cos 2 xdx
3
2
xdx
2
xdx
x2
dx
∫ ( x + 5) sin xdx
7. ∫ x.e dx
ln xdx
11. ∫
x
2
2
4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx
x
8.
∫ ln xdx
12.
∫e
∫ sin x dx
∫ x ln(1 + x )dx
∫ ln( x + 1)dx
∫ 2 xdx
3.
15.
19.
2
16.
20.
2
x
x
dx
∫ x lg xdx
21.
22.
∫ 2 x ln(1 + x)dx
23.
∫
ln(1 + x)
dx
x2
∫x
24.
2
cos 2 xdx
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN:
1
1. ∫ ( x + x + 1)dx
3
0
e
1 1
2
2. ∫ ( x + + 2 + x )dx
x x
1
π
2
4.
1
1
x + 1dx
8. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
0
1
x
2
9. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx 10 . ∫ (e + x + 1)dx
x
π
0
∫
2
3
7. ∫ ( x + x x )dx
0
2
1
1
x
6. ∫ (e + x)dx
π
3
π
2
∫ x − 2 dx
3.
1
5. ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx
3
1
2
2
11. ∫ ( x + x x + x )dx 12. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx
2
3
1
1
3
∫ (x
13.
e2
2
3
3
+ 1).dx
−1
x.dx
14. ∫ 2
x +2
-1
π
2
cos3 x.dx
17. ∫ 3
sin x
π
π
4
18 .
0
π
2
1
dx
x+2 + x−2
∫
2
21.
( x + 1)dx
∫
4x 2 + 8x
1
2
1
23. cosx.dx
∫0 1 + sin x
5
2
e x − e− x
dx
19. ∫ x
e + e−x
0
tan x .dx
cos2 x
∫
6
7x − 2 x − 5
dx 16.
15. ∫
x
1
2
2
3
25. ∫ (2 x − x − )dx
3
0
2
24. ∫ (2 x + x + 1) dx
−1
∫ x( x − 3)dx
26.
−2
1
4
27. ∫ ( x − 4)dx
2
−3
∫
2
x − 2x
dx
29. ∫
x3
1
1
1
28. ∫ 2 + 3 dx
x
1 x
e2
16
31.
2
8
2 x + 5 − 7x
dx
32. ∫
x
1
x .dx
1
33. ∫ 4 x −
1
e
2
30.
∫
1
e
dx
x
dx
3
3 x
1
2
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
π
2
π
2
1. ∫ sin xcos xdx
3
2. ∫ sin xcos xdx
2
π
3
π
6
3
3.
π
3
π
4
5. ∫ cot xdx
2
6.
π
6
10.
0
1
2012
13. ∫ x( x − 1) dx
0
π
2
sin x
17. ∫ e cosxdx
π
4
∫
0
x2
x +1
3
dx
cosx
18. ∫ e sin xdx
1
2
8. ∫ x 1 − x dx
0
1
1
dx
14. ∫ 2
x + 3x + 2
0
π
4
∫ tan xdx
0
7. ∫ x x + 1dx
3
2
11. ∫ x 1 − x dx
0
1
π
2
4.
2
1 + 4sin xcosxdx
1
π
4
0
0
3
2
9. ∫ x x + 1dx
sin x
∫ 1 + 3cosx dx
1
∫
1
π
2
∫
0
1
x
12. sinx.cosx.(1+cosx) 2 dx
∫
x2 + 1
1
dx
x +2
19. ∫ e xdx
0
π
2
0
1
15.
0
2
16.
x
∫ (1 + 3x
0
π
2
2 2
)
dx
3
2
20. ∫ sin xcos xdx
π
3
π
2
21. ∫ sin xcos xdx
2
3
π
3
1
25. ∫ x 1 − x dx
2
0
e
29.
1 + ln x
dx
x
∫
1
e2
1 + ln 2 x
dx
33. ∫
x ln x
e
1
37.
1
dx
x +1 + x
∫
0
π
2
sin x
22.
∫0 1 + 3cosx dx
23.
π
6
1
∫
1 + 4sin xcosxdx
26. ∫ x
1
x + 1dx 27.
2
0
∫
x +1
1
x
dx
34. ∫
x −1
1 1+
0
3
1
dx
x +1 − x
0
1
x
dx
2x +1
∫
35.
∫
39.
1
e 2ln x +1
dx
32. ∫
x
1
e
1 + 3ln x ln x
dx
x
∫
1
2
∫
0
e
31.
3
2
28. ∫ x 1 − x dx
dx
3
0
sin(ln x)
dx
30. ∫
x
1
38.
1
x2
e
1
0
0
1
3
2
24. ∫ x x + 1dx
x +1
dx
x
36. ∫ x x + 1dx
0
π
2
40.
∫ ( sin
4
)
x + 1 cos xdx
0
1
4
41.
∫
4 − x 2 dx
0
dx
42.
1 + x2
0
∫
1
45.
x
∫0 (2x + 1)3 dx
1
2x − 5
∫0 x2 − 4x + 4dx
π
4
1
0
3
x3
dx
50. ∫ 2
x
+
2x
+
1
0
sin 3 x
dx
0 2 cos 3 x + 1
π
2
61. cos3 x sin 2 xdx
∫
π
4
1
65.
∫0 cos4 xdx
69 . ∫ x (1 − x ) dx
3 6
0
π
2
sin 2 x cos x
dx
∫
0 1 + cos x
73.
1
77.
1
∫
4−x
0
2
81. ∫ x
2
2
62.
dx
4 − x dx
e
dx
0
1 + 1 + 3x
0
1 + cos x
0
66.
∫
1
74. ∫ (e
∫x
78 .
82 .
2
3
∫x
7
86.
∫
0
2
3
3
2
−1
π
2
64.
1
67.
∫0 cos xdx
∫ sin 2x(1 + sin
x2 − 1
dx
x)3dx
1 + ln 2 x
dx
68 . ∫
x
1
π
2
π
2
71. ∫ sin 2 x 2 dx 72. ∫ sin 2 x + sin x dx
0 ( 2 + sin x )
0
1 + 3 cos x
π
4
1 + 3 ln x ln x
75. ∫
dx
x
1
2
76 . ∫ 1 − 2 sin x dx
e
79.
3
∫
0
0
π
2
1
∫0 1 + cos x + sin x dx
1+ x4
dx
83. ∫
6
1
+
x
0
87.
2
e
1
dx
2
0
π
4
1
dx
− x +1
1
dx
x + 2x + 5
1
60. ∫
0
+ cos x) cos xdx
1 + x2
∫
63. ∫ x 1 − x dx
xdx
x3
2x + 2
dx
2
x + 2x − 3
−2
0
1
cos 2 x
dx
0 1 + 2 sin 2 x
0
59.
cos x
70.
∫0 6 − 5sin x + sin 2 xdx
sin x
π
4
0
π
6
π
2
53.
55. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 56. ∫
1 + ln x
dx
x
2
1
π
2
0
0
2
5
0
4x + 11
dx 49.
+ 5x + 6
2
π
6
1
∫ cos
∫x
π
4
cos x
dx
0 5 − 2 sin x
π
2
1
48.
3
51. (sin6 x + cos6 x)dx 52. 4sin x dx
∫
∫
58. ∫
1
85. ∫
0
π
2
0
5
1
0
57. ∫
0
47. ∫ x 1 − xdx
54. cos4 2xdx
∫
π
2
1
−1
π
2
1 + sin 2x
∫0 cos2 x dx
−x
44. ∫ e dx
43. ∫ e 2 x +3 dx
x
dx
2x + 1
∫
46.
1
0
x 5 1 + x 2 dx
80.
1 + sin 2 x
2
2
∫
0
x2
1 − x2
dx
−1 x + 2x + 2
0
84. ∫
2
2 3
88.
∫
5
dx
x x2 + 4
dx
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b
b
Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx
b
a
a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
β
∫
@ Dạng 1
α
Đặt
sin ax
f ( x) cosax dx
e ax
u = f ( x)
du = f '( x)dx
sin ax
sin ax
⇒
dv = cos ax dx v = ∫ cosax dx
e ax
e ax
β
∫ f ( x) ln(ax)dx
@ Dạng 2:
α
dx
u = ln(ax)
du = x
⇒
Đặt
dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
∫
β
ax sin ax
@ Dạng 3: ∫ e .
dx
cosax
α
1
e
∫
1. x ln xdx
Ví dụ 1: tính các tích phân sau.
2.
∫x
3.
2
π
2
ln xdx
7.
2
2
xdx
∫
8.
π
4
1
∫ x.e
3x
dx
16.
1
19.
∫ (x
+ 1).e .dx
x
13. (2 − x) sin 3 xdx
∫
π
2
). ln x.dx
21.
x
0
27. ∫ x sin x cos xdx 28. x(2 cos x − 1)dx
∫
2
∫x
2
. cos x.dx
π
2
14. x. sin 2 xdx
∫
0
18.
∫ x. ln(3 + x
2
0
III. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
π2
25.
∫ sin
xdx
2
29. ∫ xtg xdx
0
).dx
π
2
22.
∫ (x
2
+ 2 x ). sin x.dx
0
0
1
2
0
0
24. ∫ e sin xdx
π
4
∫ 4 x. ln x.dx
π
2
11.
x
1
1
20. ∫ x. cos x.dx
0
0
17.
π
1
23. x cos2 xdx
∫
π
0
3
2
∫ e cos xdx
0
π
6
0
1
10.
0
1
2
2
∫ (1 − x
π
2
∫
e
∫ x ln xdx
1
x
9. xe dx
0
e
15.
ln x
dx
x5
12. ( x − 1) cos xdx
∫
0
2
6. ∫ ln( x + x)dx
1
π
2
1
2
1
5. ∫ ( x + ) ln xdx
x
1
0
∫ x tan
+ 1)dx
e
4. ( x + cosx) s inxdx
∫
1
π
3
2
0
1
e
∫ x ln( x
π
3
x
26. x + sin
dx
2
∫
0
1
cos x
2x
30. ∫ ( x − 2)e dx
0
.
π
2
π
2
0
0
1. sin 2 x cos 4 xdx 2. sin 2 x cos 3 xdx
∫
∫
π
2
1
dx
5. ∫
sin
x
π
π
2
dx
∫0 2 − cos x
6 .
3
π
2
9 .
cos x
π
2
10.
∫ 2 − cos x dx
∫
∫
14 .
tan xdx
1
∫0 2 + sin x dx
11 .
π
2
π
2
sin 3 x
∫0 1 + cos 2 x dx
8.
3
cos x
π
2
12.
∫ 1 + cos x dx
0
π
3
cot 3 xdx
15 .
∫
tan 4 xdx
1
∫ sin x + cos x + 1 dx
0
π
6
0
0
π
2
π
4
3
4. (sin 3 x + cos 3 )dx
∫
0
0
π
4
13.
sin x
π
2
3. sin 4 x cos 5 xdx
∫
7.
∫ 2 + sin x dx
0
π
2
π
∫ cos x
16.
sin x dx
0
π
4
IV.BT TỔNG HỢP
π
2
2
1.
∫
x 2 − x dx
2.
0
∫
0
π
5.
2
∫
0
x sin x
dx
cos2x+7
π
4
6.
∫
sinx+sin x
dx
cos2x
0
∫
x 7 . 1 − x 4 dx
∫
10.
0
6 3
13.
∫
1
2
2
17.
∫
1
π
4
21.
∫
1− x
4
dx
1
7.
∫
1
14.
∫
11.
∫
1
( x 2 + 1) ln x
dx
x
1
8.
∫
0
3 xe x + e x + 2
dx
xe x + 1
ln 3
∫
x sin 2 xdx
12.
e
x e x dx
∫
2
1
x +1
.ln xdx 16.
x
dx
2x + 1 + 4x + 1
22.
0
∫
0
e
19.
∫
cos(lnx)dx
20.
1
23.
1. ( PCT KA_B 2012) I=
∫
∫
∫
1
1 e2 x − 1
Kq I= ln 2 x + C
2
e
x 2
2 ( PCT KD 2012) I= ( x + e ) dx Kq I=
∫
1
x2 + 1
ln xdx
x
∫
ln 3 x
dx 24.
x 1 + ln x
V.ĐỀ THI THỬ ĐH TRƯỜNG PCT-TP
dx
2x
e −1
e
e x dx
(e x + 1)3
0
e3
sinx
dx
cos 2 x + 3
1 + ex
ln 3
π
π
2
(1 + t anx) 2 .e2 x dx
2
∫
15.
∫
dx
0
0
0
18.
ln x 2
(
) dx
x
e
π
8
cot x
dx
1 + sin 9 x
6
x
∫
1
6
1+ x
dx
x
3.
e
3
1
9.
sin 2 x + s inx
dx
1+3cosx
x
dx 4.
1+ x −1
x 3 e2 x
+
+ 2 xe x − 2e x + C
3
2
ln 3
∫
0
dx
1 + ex
π
2
∫ 1 − cos x.s inx.cos xdx
3. (TP KD 2011) I=
6
0
π
4
∫
4. (TP KB 2011) I=
−
π
2
5.(TP KA 2010) I=
∫
π
4
3
5
dx
cos x(tan x − 2 tan x + 5)
2
2
Kq I=12/91
Kq I=1/2
sinx.cos3 xdx
1 + cos 2 x + 2
0
π
2
∫
π 2 47
Kq I=
+
16 60
6.(TP KA 2012) I= (sin x − x)cos ( x − π ) dx
2
3
2
0
e
∫
7.(TP KA 2012)
1
e2
∫
8.(TP KA 2012)
1
(1 + x.ln x)e x
dx
x
Kq ee
x +1
ln xdx
x
4e3 + 20
Kq
9
π
4
9.(HSG 2008- 2009)
∫
(1 + t anx) 2 e2 x dx
π
Kq e 2
0
1
10.(TP KB 2010)
∫ (1 + x ) 1 + x
2
0
e3
11.( TP KA 2009)
∫
1
2
13.KB -2011
∫
1
dx
2
2
2
ln 3 x
388
dx Kq
12.(PCT KA 2010)
35
x 1 + ln x
64
∫
9
1 1
76
+
dx Kq
x
3
x
3
2x + 1
dx
x( x + 1)
1
Kq
1 + ln( x + 1)
dx
2
x
1
14.KA-2012 I = ∫
x3
dx.
15. KB_2012 I = ∫ 4
x + 3x 2 + 2
0
16.KD-2012 I =
π/ 4
∫ x(1 + sin 2x)dx
“CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH”
0
