BÀI tập TOÁN CAO CẤP 2

BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 2
I. Tính giới hạn
 x 2 +1 

1. lim  2
x →∞  x − 2 

4.

lim

sin 2
3x 2

x→0

π

7.

lim

2

x2

sin x − arctan x
2. lim
2 xe x
x →0

x
2

5.

ln x
lim
x →0 + cot x

8.

lim

− arctan x
1
x

x →+∞

x →0

 1

− tan x 

lim
13.
π  cos x

x→

2

16.

lim
x →0

2 x 2 +1 −1
4 + x −2
2

tan ( sin x ) − x
19. lim
x3
x →0

6.

tan x − 2 sin x
3x

 x 2 +1 

11. lim  2
x →+∞  x + 3 

sin 2 x + arcsin 2 x − tan x 2
10. lim
3x + 4 x 3
x →0

 2 x +1 
3. lim 

x →∞  2 x + 3 

17.

lim
x →1

20. lim ( x

)

− 4 x + 3 e −5 x

x →+∞

lim ( cot x )

1
ln x

x →0

2x

x +3 −3 x +7
x 2 − 3x + 2

2

1 − e x + x cos x
lim
x2
x →0

9.

1 
 x
−

14. lim 
ln x 
x →1  x −1

x +1

12.

 1

x →0

lim
15.

π − 2 arctan x
1


ln1 + 
x


x →∞

18.

1 

lim  sin x − tan x 

lim
x →0

ln 1 + x
x
2

e −2 x − 3 1 + x 2
21. lim
ln (1 + x 2 )
x →0

II. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định. Tìm điểm gián đoạn và phân
loại (nếu có)
1
−


 e x2
1. f ( x ) = 
 0

khi x ≠ 0
khi x = 0

 x sin x + ln(1 + x )

x

3. f ( x ) = 2 x + 1
 x 2 + 3x + 2

 x 2 − x − 2

2.

khi x > 0
khi − 1 ≤ x ≤ 0
khi x < −1

 sin 3 x

f ( x) =  x
 3

khi x ≠ 0
khi x = 0

 3x 2 + 1 − 2
nêu x > 1

3
 x − 1
2
nêu x = 1
4. f ( x ) = 
 2e x − 1

nêu x < 1
 x + 1


1 − ln(1 + x 2 ) − e x
nêu x > 0

5x

nêu x = 0
5. f ( x ) =  3x − 1
 arcsin x

nêu x < 0
 x
1

1

7. f ( x ) =  1 + e x −1


1



9. f ( x ) = 



 cos x − 1
nêu x < 0
 sin 2 x

nêu 0 ≤ x ≤ 4
6. f ( x ) =  x − 5
 12 − 3x
 2
nêu x > 4
 x − 5x + 4

πx

 cos
2
8. f ( x ) = 
 x −1


khi x ≠ 1
khi x = 1

2 − 7 x + 5x 2 − x 3
x 2 − 3x + 2
1



10. f ( x ) = 



khi x ≠ 2
khi x = 2

khi x ≤ 1
khi x > 1

x−5
2x −1 − 3

( x − 5) 2 + 3

khi x > 5
khi x ≤ 5

III. Tính tích phân
0

∫

1.

−1

3x − 4
dx
− x 2 − 2x + 3

2

∫ ( 2 x + 1)e

2.

7.

∫ ( 4 − x)

10.

∫
0

8.

dx

13.

∫

2

−1
e

∫x

6.

0

∫

−1
1

14.

1

5x − 9
dx
2x 2 + 7x − 4

0

3
dx
2
x + x−2

2

ln xdx

1

∫

11.

2 x + 11
dx
3x 2 − 4 x + 1

∫

0

2x −1
dx
2
x + 4x + 5

+∞

∫

5.

1

3

3.

9 − x 2 dx

2

2

dx

3

23 arctan x
dx
4. ∫
2
x
+
1
0
1

3

−∞

+∞

4

x

∫
0

9.

x

arcsin xdx
1− x2

0

7x + 3
dx
3
x + x 2 − 4x − 4
ln x

∫

2

12.

2

1

−1

dx

2x + 5

∫ ( x − 3) ( x + 6) dx

15.

∫

−1

4

2

dx
x 2x + 1

IV. Xét sự hội tụ của chuỗi số

n +1 
1. ∑



n =1  n − 4 

3n ( n!)
2. ∑
n2n
n =1

4n ( n!)
4. ∑
n =1 ( 2n ) !

 n −1 
5. ∑

n =1  n +1 

2n 2

∞

∞

2

∞

∞

2

n ( n −1)

∞

n

1

3. ∑arctan 
n
n =1 

n2

1 n +2 
6. ∑ n 


n =1 2  n +3 
∞


∞

∞

2.4.6...(2n)
7. ∑
nn

n =1
∞

1
10. ∑
2 n −1
n =1 ( 2 n −1) 2

8.

∑(2n
n =1

( 2 n) 2 n
2

∞

)

+ n +1

n

n2
11. ∑
n =1 n!
∞

3n

9. ∑
2
n =1 ( n!)
n

∞

 ln n 
12. ∑ n

e
−
1

n =3 

V. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa
∞

∞

1.

x

n

∑n
n =1

xn
4. ∑
2
n =1 ( n!)
∞

∞

2.

x

n

∑n.2
n =1

n

3.

∞

1
n
5. ∑ 2 ( x −2 )
n =1 n

∑
n =0

∞

6.

xn
n2

 n +1 


 n 

∑n!( x −5)
n =1

n