De thi thu Quoc gia mon toan truong Chuyen NDC

THPT CHUYÊN NĐC
---------------------Đề giới thiệu

ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề
---------------------------------

1 3 1 2 3
15
x − x − x+
.
6
2
2
6
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm m để hàm số y = mx 3 − m 2 − 10 x + m − 2 đạt cực đại tại điểm x0 = 1 .
Câu 3 (1,0 điểm).
3
5
2
a) Giải phương trình x −1 − x −1 + x −1 = 0
4
6
9
b) Biết phương trình z 2 − 6 z + 25 = 0 có hai nghiệm z1 và z 2 .Tính z1 + z 2 .
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

(

)

2

x e
I
=
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
∫1  x  .dx
1

2

x y −1 z − 2
=
=
và mặt
1
2
2
phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) ; viết phương
trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai đáy là AB và CD với
CD = 2. AB . Biết SA vuông góc mặt phẳng ( ABCD ) , tam giác ABC vuông cân tại A , AD = a 5 , và
góc tạo bởi mặt bên ( SBC ) và đáy bằng 60o . Tính thể tích của khối chóp S.BCD và khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng ( SCD ) .
Câu 7 (1,0 điểm).
 3π 
 của phương trình ( sin x + cos x ) 2 + 3 cos 2 x = 3
a) Tìm tất cả các nghiệm x ∈  0;
2 


Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho dường thẳng d :

b) Lập một số có 6 chữ số khác nhau dạng a1 a 2 a3 a 4 a5 a 6 . Tính xác suất để số tạo được thoả điều kiện
a1 + a 6 = a 2 + a5 = a 3 + a 4 = 10 .
Câu 8 (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có
AB = AD < CD , điểm B(1; 2 ) , đường thẳng BD có phương trình y = 2 . Biết rằng đường thẳng
( d ) : 7 x − y − 25 = 0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M , N sao cho BM vuông góc với
∧

BC và tia BN là tia phâng giác của MBC . Tìm điểm D có hoành độ dương.

 x x2 + x + y = x x2 + x + x

Câu 9 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình: 
9
 x + x + x − 1 + y ( x − 1) = 2
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
8
2
P = ( xy + yz + 2 zx ) −
2
( x + y + z ) − xy − yz + 2
----------------Hết -------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………………; Số báo danh:……………………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ
Câu
Đáp Án
Câu 1
1 3 1 2 3
15
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − x − x +
6
2
2
6
 Tập xác định: D = R
1 2
3
/
 Đạo hàm: y = x − x −
2
2
 x = −1
1 2
3
/
 Cho y = 0 ⇔ x − x − = 0 ⇔ 
2
2
 x=3
 Giới hạn: lim y = −∞ ; lim y = +∞
x → −∞

Điểm

1 điểm

x → +∞

 Bảng biến thiên :

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; − 1) và (3; + ∞) , nghịch biến trên khoảng
10
(-1;3).Hàm số đạt cực đại y CĐ =
tại xCĐ = −1 ; đạt cực tiểu y CT = −2 tại xCT = 3
3
2
 2
//
 y = x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = . Điểm uốn là I 1; 
3
 3
 Giao điểm với trục hoành: y = 0
15
Giao điểm với trục tung: x = 0 ⇒ y =
6
 Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm tâm đối xứng

Câu 2

(

)

Tìm m để hàm số y = mx 3 − m 2 − 10 x + m − 2 đạt cực đại tại điểm x0 = 1 .

y = 3mx − m + 10
y // = 6mx
/

2

1 điểm

2

0,25

Hàm số đạt cực đại tại x0 khi
 y / ( x0 ) = 0
− m 2 + 3m + 10
⇔
 //

6m < 0

 y ( x0 ) < 0
Vậy m = −5

0,5

0,25


Câu 3

a) Giải phương trình
2 ( x −1)

3
4

x −1

−

5
6

x −1

+

2
9 x −1

=0

x −1

3
3
⇔ 3. 
− 5.  + 2 = 0
2
2

x
3
  =1
x=0
2
⇔   x
⇔
 3 
2
 x = −1
  =
3
 2 
b) Biết phương trình z 2 − 6 z + 25 = 0 có hai nghiệm z1 và z 2 .Tính z1 + z 2 .
Giải phương trình z1 = 3 − 4i , z 2 = 3 + 4i
z1 + z 2 = 3 + 4 + 3 + 4 = 10
2

Câu 4

2

2

2

0,25

0,25
0,25

2

x e
I
=
Tính tích phân
∫1  x  .dx
1

0,25

1 điểm

2

2
x

1

e
.dx
2
1 x

I=∫

0,25

2

Đặt u =

2
2
⇒ du = − 2 dx
x
x
2

1 u
eu
I = − ∫ e du =
24
2

4

0,25
2

e4 − e2
2
Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P )
I=

Câu 5



u d .n P = 0
⇒ d // ( P )
Ta có 
M ( 0; 1; 2 ) ∈ d ⇒ M ∉ ( P )
Phương trình mặt phẳng ( Q )

[

Câu 6

0,25

]

0,25
1 điểm
0,5

nQ = u d , nQ = ( − 6; 6; − 3) // ( 2; − 2;1)

0,25

( P ) : 2 x − 2( y − 1) + 1( z − 2) = 0 ⇔ 2 x − 2 y + z = 0

0,25

Tính thể tích của khối chóp
S.BCD
.Gọi I là hình chiếu của S lên BC
∧

∧
 SI ⊥ BC


⇒
SBC
,
ABCD
=
SIA
= 60 0 . Đặt



AI
⊥
BC



AB = x ( x > 0) ⇒ AD = 2 AB = 2 x ; AC = x
.Tam giác ADC có : AC 2 + CD 2 = AD 2 ⇒ x = a
1
1 1
1
2
6 a3
.a
=
. VSBCD = S BCD .SA = . CD.CB. sin 135 0.SA = 2a.a 2

3
3 2
6
2
2
6
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
3.VSBCD a 15
d ( B, ( SCD) ) =
=
S SCD
5

1 điểm

0,25
0,25

0,5


Câu 7

 3π 
 của phương trình
a) Tìm tất cả các nghiệm x ∈  0;
2 

( sin x + cos x ) 2 + 3 cos 2 x = 3
⇔ sin 2 x + 3 cos 2 x = 2

π
π

⇔ sin  2 x +  = 1 ⇔ x =
+ kπ
3
12

π
13π
Có 2 nghiệm thoả là x =
và x =
12
12

0,25

0,25

b) Lập một số có 4 chữ số khác nhau dạng a1 a 2 a3 a 4 . Tính xác suất để số tạo được
thoả điều kiện a1 + a 4 = a 2 + a3 = 10 .
Có 4 bộ có tổng bằng 10 là : (1; 9 ) , ( 2; 8) , ( 3; 7 ) , ( 4; 6 ) . Vậy số thoả điều kiện là
C 42 .2!.2!
C 42 .2!.2!
A104 − A93
Tìm điểm D có hoành độ dương.
Xác suất P =
Câu 8

0,25
1 điểm
∧

∧

Kẻ BH ⊥ CD ⇒ ABHD là hình vuông ⇒ CBH = MBA ⇒ ∆CBH = ∆MBA
Từ dó suy ra CB = MB ⇒ ∆CBN = ∆MBN
4 2
⇒ BD = 4
Khi đó d ( B, CD ) = d ( B, MN ) =
2
Vậy D = ( BD ) ∩ ( C ) có tâm B, R = BD = 4
y=2


2
2
( x − 1) + ( y − 2 ) = 16
Vậy D( 5; 2 )
Câu 9

0,25
0,25

0,25
0,25

 x x2 + x + y = x x2 + x + x


Giải hệ phương trình: 
9
 x + x + x − 1 + y ( x − 1) = 2
Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0

(1) ⇔ x(

0,25

1 điểm

)

x2 + x − x2 + y = x − y



x
⇔ ( x − y )
+ 1 = 0
 x2 + x + x2 + y



⇔x= y
Thay y = x vào phương trình ( 2 ) ta được
9
x + x + x − 1 + x( x − 1) =
2
⇔

⇔

(

)

2

(

)

0,25

0,25

x + x −1 + 2 x + x −1 − 8 = 0
x + x −1 = 2

Giải phương trình ta được x =

25
16

 25 25 

Vậy hệ phương trình có một nghiệm  ;
 16 16 

0,25

0,25


Câu 10

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( xy + yz + 2 zx ) −
2

Từ giả thiết ta có P = ( xy + yz + 2 zx ) −
2

( x + y + z)

8
xy + yz + 2 zx + 3

8
2

− xy − yz + 2

1 điểm

0,25

Đặt t = xy + yz + 2 zx
Ta có 0 ≤ ( x + y + z ) 2 = 1 + 2( xy + yz + zx )
1
1 x2 + z2
y2

⇒ xy + yz + 2 zx ≥ − + xz ≥ − −
≥ −1 +
≥ −1
2
2
2
2
Đẳng thức xãy ra khi y = 0, x = − z = ±

0,25

2
2

Vậy t ≥ −1
2
Xét hàm f ( t ) = t −
/
Ta có f ( t ) = 2t +

8
với t ≥ −1
t +3
8

( t + 3) 2

2( t + 1) ( t + 4 )

0,25

2

=

( t + 3) 2

≥ 0 với t ≥ −1

Suy ra min P = min f ( t ) = f ( − 1) = 3 khi y = 0, x = − z = ±

2
2

0,25