De thi thu Quoc gia mon toan truong Hong ngu 2

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT HỒNG NGỰ 2

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 – LẦN 1
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

2 x −1
x−2
Câu 2: (1điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x 2 − 3x + ln x trên
1 
đoạn  ;3
2 

Câu 1: (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =

Câu 3. (1,0 điểm)
2
a) Tìm các số phức z biết z 2 + z = z
b) Giải phương trình 25x − 4.5x + 3 = 0
Câu 4 (1,0 điểm)

Tính tích phân

π
2

cos x
dx
0 sin x + 3 + 2sin x

I=∫

x +1 y z − 2
= =
, mặt phẳng (P): x + y − 2 z + 5 = 0
2
1
1
và điểm A ( 1; −1;2 ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N

Câu 5 : (1.0 điểm) Cho đường thẳng d :
sao cho A là trung điểm của đoạn MN.
Câu 6 : (1.0 điểm)
a) Giải pt (0,5đ)

( sin x + cos x )

2

+ 3 cos 2 x = 2

b )( 0,5đ) Bạn Hồng có một bộ sách tham khảo gồm 17 quyển khác nhau, trong đó
có 7 quyển sách Văn, 6 quyển sách Sử và 4 quyển sách Địa. Bạn Hồng muốn lấy bốn
quyển sách để tham khảo. Tính xác suất để 4 quyển lấy được có cả ba môn
Câu 7: (1.0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, I
tâm của hình vuông biết SA=SB=SI= a 2
a.) Tính thể tích khối chóp theo a
b.) Tính khoảng cách từ AC đến SD
Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng 6. Gọi M
là trung điểm của BC, biết trọng tâm của ∆ADC là G(3;5), phương trình đường thẳng

AM: x-2y+1=0 . Tìm tọa độ điểm A, điểm D ( biết xA< 42x 2 − 15x + 24
<1
x 2 − 10x + 17 + 2(x − 1) x − 2
Câu 10: (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thay đổi và thỏa mãn
2
2 ( y + z ) = ( x − 1) + 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 9: (1,0 điểm) Giải bất phương trình:

P = 8xy + 24xz + 84yz − 21(x 2 + 4)

( x + y + z)

2

− 1 (Hết)


SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT HỒNG NGỰ 2

Câu
1

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Môn: TOÁN

Nội Dung

Điểm

* TXĐ: D = R \ { 2}
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
−3
y'=
2
( x − 2)

0,25

y ' < 0, ∀x ∈ D
Hàm số giảm trên các khoảng ( −∞, 2 ) và ( 2, +∞ )
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
lim y = lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.
x →+∞

0,25

x →−∞

lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng.
x → 2+
x → 2−
* Bảng biến thiên:
−∞
x

y’
y
2

+∞

2
+∞

0,25

−∞

y

* Đồ thị:

2

10

8

6

4

y=2

0,25

2

O

-5

5

10

15

x

-2

x=2
-4

-6

Câu
2

Nội Dung
1
1 
f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  ;3 , f '( x ) = 2 x − 3 +
x

2 
 x =1
1
1 
2
Với x ∈  ;3 , f '( x) = 0 ⇔ 2 x − 3 + = 0 ⇔ 2 x − 3 x + 1 = 0 ⇔ 
x = 1
x
2 

2
Ta có:

Điểm
0,25

0,25
0,25


f (1) = −2
f (3) = ln 3
 1  −5
f  ÷=
− ln 2
2 4

Câu
3a

1 
Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn  ;3 lần lượt là -2 và ln3.
2 
2
2
Nội Dung Tìm các số phức z biết z + z = z

0,25
Điểm

Gọi z =a +bi với a, b ∈¡
Ta có a 2 + 2abi − b2 + a 2 + b2 = a + bi
⇔ 2a 2 + 2abi = a + bi
 2a 2 − a = 0

0,25

⇔
2ab − b = 0

a = 0
⇔
b = 0

1

a =
⇔
2
b = 0

hoặc

0,25

1
Vậy, z =0 hoặc z = 2
Câu
3b

Nội Dung Giải phương trình 25x − 4.5x + 3 = 0
25x − 4.5x + 3 = 0

Điểm

Đặt t = 5x, t > 0
Phương trình trở thành: t2 - 4t + 3 = 0
t = 1(n)

0,25

⇔

t = 3( n)

+ Với t = 1 suy ra 5x = 1 ⇔ x = 0
+ Với t = 3 suy ra 5x = 3 ⇔ x = log35
3
Vậy phương trình có hai nghiệm S = { 0; log5}
Câu

4

π
2

cos x
Nội Dung (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫
dx
0 sin x + 3 + 2sin x
Đặt t = 3 + 2sin x ⇒ t 2 = 3 + 2sin x
⇒ 2tdt = 2cos xdx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3 ; x =

π
⇒t= 5
2

0,25

Điểm

0,25

Tích phân trở thành
5
2t
2t
dx
=
2

dx
∫
2
3 t + 2t − 3
3 (t − 1)(t + 3)

5

⇔I= ∫

=
Câu

1
2



∫  t − 1 + t + 3 ÷dx = 2 ( ln(t − 1) + 3ln(t + 3) )
1

5

3



Nội Dung

3

1



1
5 −1
5+3 
=  ln(
) + 3ln(
)÷
2
3 −1
3 + 3 ÷
3
5

0,25

0,25
0,25
Điểm


5

x +1 y z − 2
= =
, mặt phẳng (P): x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm
2

1
1
A ( 1; −1;2 ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N
sao cho A là trung điểm của đoạn MN.
Cho đường thẳng d :

 x = −1 + 2t

Ta có: d :  y = t
. Gọi M ( −1 + 2t ; t ; 2 + t ) ∈ d
z = 2 + t

Do A là trung điểm của MN, suy ra N ( 3 − 2t ; −2 − t ;2 − t ) .

Mặt khác: N ∈ ( P ) ⇔ 3 − 2t − 2 − t − 2 ( 2 − t ) + 5 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M ( 3;2;4 ) .
Đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình:
Câu
6a

Nội Dung

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
2
3
2

Giải pt (0,5đ)

( sin x + cos x )

2

+ 3 cos2 x = 2

( sin x − cos x )

2

+ 3 cos 2 x = 2

⇔ sin 2 x + cos 2 x − 2sin x cos x + 3 cos 2 x = 2

1

0,25

0,25
0,25
0,25
Điểm

0,25

⇔ − sin 2 x + 3 cos 2 x = 1
1
3
1

⇔ − sin 2 x +
cos 2 x =
2
2
2
π
1
⇔ cos(2 x − ) =
6
2
π
π

 2 x − 6 = 3 + k 2π

 2 x − π = − π + k 2π

6
3
π

 2 x = 2 + k 2π
⇔
 2 x = − π + k 2π

6
π

 x = 4 + kπ
⇔

(k ∈ Z )
 2 x = − π + kπ

12

Câu
6b

Nội Dung ( 0,5đ) Bạn Hồng có một bộ sách tham khảo gồm 17 quyển khác nhau, trong
đó có 7 quyển sách Văn, 6 quyển sách Sử và 4 quyển sách Địa. Bạn Hồng muốn lấy bốn
quyển sách để tham khảo. Tính xác suất để 4 quyển lấy được có cả ba môn
n ( Ω ) = C174 = 2380
Gọi B là biến cố: “bốn quyển lấy được có cả ba môn” khi đó
n(B) = C72 .C61 .C41 + C71 .C62 .C41 + C71 .C61 .C42 = 504 + 420 + 252 = 1176

0,25

0,25

0,25

Điểm

0,25
0,25
0,25


n( B ) 1176 42
nên P ( B ) = n(Ω) = 2380 = 85

Câu
7

0,25

Câu 7 :(1.0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông Điểm
cạnh bằng 2a, I tâm của hình vuông biết SA=SB=SI= a 2
a.) Tính thể tích khối chóp theo a
b.) Tính khoảng cách từ AC đến SD

0,25

Goi H là hình chiếu của S lên (ABCD)
Do SA=SB=SI và tam giác AIB vuông tại I

Nên H là trung điểm của AB

0,25

SH = SA − AH = a
1
1
2
3
Vậy V= (2a) a = 4a
3
3

0,25

2

2

b) Chọn hệ trục OXYZ sao cho O trùng với H, B ∈ Ox, I ∈ Oy, S ∈ Oz
tauuu
có
r H(0;0;0) B(a;0;0) A(-a;0;0) C(a;2a;0) S(0;0;a) D(-a;2a;0)
AC = (2a; 2a;0)
uuur
SD = ( −a; 2a; − a)
uuur
AD = (0; 2a;0)
uuur uuur
 AC,SD  = (- 2a2; 2a2; 6a2)


uuur uuur uuur
 AC,SD  .AD
4a 3
a 44


=
d(AC,SD)=
uuur uuur
=
11
 AC,SD 
44a 4



Câu
8

Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng 6.
Gọi M là trung điểm của BC, biết trọng tâm của ∆ADC là G(3;5), phương
trình đường thẳng AM: x-2y+1=0 . Tìm tọa độ điểm A, điểm D ( biết xA<
4Nội Dung

0,25
0,25

0,25
Điểm


Gọi a là độ dài cạnh hình vuông
GA= 2 5 GM= 17

0,25

* (C) tâm G bán kính GA có pt là (x-3)2+(y-5)2= 20
*(C’) tâm G bán kính GM có pt là (x-3)2+(y-5)2= 17
Do AM có pt x-2y+1=0 và
biết xA< 4Nên A(1;1) M(7;4)

0,25

(C1) tâm A bán kính DA=6 có pt là (x-1)2+(y-1)2= 36
(C2) tâm M bán kính DM= 45 có pt là (x-7)2+(y-4)2= 45
D là giao điểm của (C1) và (C2) giải hệ ta có D(1;7)

0,25

uuur uuur
DB = 3DG suy ra điểm B(7;1)
Câu
9

Nội Dung: (1,0 điểm) Giải bất phương trình:

2x 2 − 15x + 24
<1
x 2 − 10x + 17 + 2(x − 1) x − 2


2 x−2
2
2
Ta có: x − 10x + 17 + 2(x − 1) x − 2 = ( x − 3 ) 1 +
÷
÷
 x −1 + 2 x − 2 
Do đó, điều kiện của bài toán là 2 ≤ x ≠ 3 (1) . Hơn nữa, ta có

2 x−2
2

x 2 − 10x + 17 + 2(x − 1) x − 2 = ( x − 3 ) 1 +
÷
÷ > 0, ∀x ∈ [ 2; +∞ )
 x −1 + 2 x − 2 
Bất phương trình tương đương:
x 2 − 5x + 7 − 2(x − 1) x − 2 < 0
⇔ ( x − 1) − 2(x − 1) x − 2 − 3(x − 2) < 0
2

(

)(

0,25
Điểm

0,25

{ 3}

0,25

)

⇔ x − 1 + 2 x − 2 x − 1 − 3 x − 2 < 0 (*)
Vì 2 ≤ x ≠ 3 nên x − 1 + 2 x − 2 ≥ 1 > 0 . Do đó, với 2 ≤ x ≠ 3 , ta có :

0,25

(*) ⇔ x − 1 < 3 x − 2
⇔ x 2 − 11x + 19 < 0
11 − 3 5
11 + 3 5
(2)
2
2
Kết hợp (1) và (2), ta có
 11 − 3 5 11 + 3 5 
S = 
;
÷
÷ { 3}
2
2


⇔

Câu
10

tập

nghiệm

của

bất

phương

trình

là
0,25

Nội Dung (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thay đổi và thỏa mãn Điểm
2
2 ( y + z ) = ( x − 1) + 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 8xy + 24xz + 84yz − 21(x 2 + 4)

( x + y + z)

2

−1

2
Từ điều kiện, ta có: 2 ( x + y + z ) = x + 4 ≥ 4 ⇒ x + y + z ≥ 2
Vì x, y, z ≥ 0 nên 8xy + 24xz + 84yz ≤ 60y(x + z) + 24z(x + y) ≤ 21(x + y + z) 2
Đặt t = x + y + z , điều kiện t ≥ 2
P
≤ t 2 − 2t t 2 − 1 = f (t)
Khi đó, ta có:
21
  2 1 2 1 
2  −3  t − ÷ − ÷
 

2 4÷
Ta có: f ′(t) = 2
2
2

 < 0, ∀t ≥ 2
t t − 1 − 2t + 1 =
2
2
2
2
t −1
t − 1 t t − 1 + 2t − 1

)

(

(

Suy ra, f (t) nghịch biến trên [ 2; +∞) . Do đó:
P
≤ f (t) ≤ f (2) = 4 1 − 3 ⇔ P ≤ 84 1 − 3
21
x = 0
x = 0
x + y = z


⇔ y = 1 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi 
x + z = y
z = 1

 x + y + z = 2

(

(

)

)

(

)

0,25
0,25

0,25

)

Vậy, max P = 84 1 − 3 đạt tại x = 0, y = z = 1

0,25