De thi thu Quoc gia mon toan truong Lai vung 2

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đơn vị ra đề: THPT Lai Vung 2
Tổ Toán

ĐỀ THI THỬ
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1: (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = − x 4 + 8 x 2 − 4 .
Câu 2: (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = − x 4 + 2(m + 2) x 2 + m(m − 4) có duy
nhất một cực trị .
Câu 3: (1 điểm)
a) Tìm số phức z thoả mãn z + (2 + 3i) z = 1 − 9i .
x2 − 3 x + 2

e
b) Giải bất phương trình:  ÷
3

> 1.

1

1
I

=
Câu 4: (1 điểm) Tính tích phân
∫0 x  2 + 4 − x 2


÷dx .


Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;1;2), B(1;2;1) và mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 z + 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời vuông góc với
AB và chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 6: (1 điểm)
a) Giải phương trình

1

cos 2 x

− 2 3 tan x + 2 = 0 trên tập hợp các số thực.

b) Kỉ niệm ngày thành lập Đoàn 26 tháng 03, Đoàn thanh niên tổ chức cuộc thi Dân vũ. Trọng tài
chia ngẫu nhiên 8 bạn học sinh An, Bình, Hạnh, Phúc, Vui, Tươi, Khỏe, Đẹp làm 2 nhóm mỗi
nhóm 4 bạn để thi môn kéo co. Tính xác suất để 2 bạn An, Bình cùng thuộc một nhóm?
Câu 7: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, cạnh SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một
góc 60o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,SC.
Câu 8: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(–4; –5), phương
trình đường cao AD: x + 2y – 2 = 0, đường trung tuyến BB 1: 8x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ các điểm
A, B.
4

4

2 x − 2 y − 9 x + 7 y = 0
Câu 9: (1 điểm) Giải hệ phương trình:  2
trên tập hợp các số thực.
2

x − y = 2

Câu 10: (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z ≥ 0 thoả mãn x + y + z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P =

x 3 + y 3 + 16 z 3

( x + y + z)

3

. Hết


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Đơn vị ra đề: THPT Lai Vung 2
Môn thi: TOÁN

HDC ĐỀ THI THỬ
(Gồm có 04 trang)

Câu
1
(1,0
điểm)

Đáp án

Điểm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = − x 4 + 8 x 2 − 4 .
● Tập xác định: D = ¡
+ Sự biến thiên:
3
2
- Chiều biến thiên: y ' = −4 x + 16 x = −4 x ( x − 4 ) ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±2
● Hàm số nghịch biến trên ( −2; 0 ) và ( 2;+ ¥
● Cực đại tại

) ,đồng biến trên ( −∞; −2 ) và ( 0; 2 )
x = ±2 ; yCĐ = y ( ±2 ) = 12 , cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y ( 0 ) = −4

0,25

y = −∞ và
- Giới hạn: xlim
→−∞

- Bảng biến thiên:
x
- ¥
+
y'
y

- 2
0
12

0,25

lim y = −∞

x →+∞

-

- ¥

0
0

+

- 4

2
0

12

+¥

0,25
+¥

● Đồ thị:

0,25

2
(1,0
điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = − x 4 + 2(m + 2) x 2 + m(m − 4) có duy nhất một
cực trị .
● Tập xác định: D = ¡
y / = −4 x 3 + 4( m + 2) x = −4 x ( x 2 − (m + 2))

● Để hàm số có một cực trị cần phương trình y / = 0 có nghiệm duy nhất
x = 0
/
2
● y = −4 x( x − ( m + 2)) = 0 ⇔  2
x = m + 2

3

● y / = 0 có nghiệm duy nhất khi m + 2 ≤ 0 hay m ≤ −2

Vậy m ≤ −2 thoả đề
a) Tìm số phức z thoả mãn z + (2 + 3i) z = 1 − 9i .
● Đặt z = a + bi , ( a, b Î ¡ ) .Ta có:
z + ( 2 + 3i ) z = 1- 9i Û ( a + bi ) + ( 2 + 3i ) ( a - bi ) = 1- 9i Û ( 3a + 3b) + ( 3a - b ) i = 1- 9i (*)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


(1,0
điểm
ìï
ïï a = - 13
ìï 3a + 3b = 1
ï
−13 5
6
Û ïí
+ i
● (*) Û ïíï
. Vậy z =
ï
5
3
a
b
=9

6 2
ïï b =
ïî
ïïî
2

0,25

x2 − 3 x + 2

e
b) Giải bất phương trình:  ÷
 3

> 1.

2

x −3x + 2
e
e
● ÷
> 1 ⇔ x 2 − 3 x + 2 < 0 (do < 1 )
3
3
● x 2 − 3 x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2 . Vậy nghiệm bất phương trình x ∈ (1;2)

4
(1,0
điểm

1



0



Tính tích phân I = ∫ x  2 +

0,25


÷dx
4 − x2 
1

1
1

1 
x
dx
● I = ∫ x 2 +
÷dx = ∫ 2 xdx + ∫
2
4− x 
4 − x2
0 

0
0
1

1

0,25

0,25
0,25

1

2
● I1 = ∫ 2 xdx = x 0 = 1
0

1

● I2 = ∫
0

x
4 − x2

dx .Đặt t = 4 − x 2 ⇒ tdt = − xdx
3

x = 0 ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 3 ⇒ I 2 =

∫
2

−tdt
= 2− 3
t
0,25

● I = I1 + I 2 = 3 − 3
5
(1,0
điểm

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;1;2), B(1;2;1) và mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 z + 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời vuông
góc với AB và chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
r uuur
● Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) và có vec tơ pháp tuyến n = AB = (0;1; −1)
● ( P) : y − z + 1 = 0
● (S) có tâm I (2;0; −1) và R = 2
● d ( I ;( P )) =

6

0,25

0 +1+1
2

a) Giải phương trình:

(

)

= 2 = R . Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
1

cos 2 x

0,25
0,25
0,25
0,25

− 2 3 tan x + 2 = 0 (1)

2
● (1) ⇔ 1 + tan x − 2 3 tan x + 2 = 0 ⇔ tan 2 x − 2 3 tan x + 3 = 0 (2)
π
+kπ k ∈ Z
3
π
Vây phương trình có nghiệm x = + kπ k ∈ Z

0,25

● (2) ⇔ t anx = 3 ⇔ x =

0,25

3

b) Nhân ngày 26/03. Đoàn thanh niên tổ chức cuộc thi Dân vũ. Trọng tài chia ngẫu nhiên
8 bạn học sinh An, Bình, Hạnh, Phúc, Vui, Tươi, Khỏe, Đẹp làm 2 nhóm mỗi nhóm 4
bạn để thi kéo co. Tính xác suất để 2 bạn An, Bình cùng thuộc một nhóm?
4
● Số phần tử không gian mẫu Ω = C8

(1,0

2
● Gọi A là biến cố “An, Bình cùng thuộc 1 nhóm” khi đó Ω A = C 6

0,25
0,25


điểm
7
(1,0
điểm

Vậy P ( A) =

ΩA
Ω

=

C62 3
=
C84 14

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S lên
mp(ABCD) là trung điểm H của AB, cạnh SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 o.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,SC
0,25

● Gọi H là trung điểm AB, ta có SH ^ (ABCD)
·
HC là hình chiếu của SC lên (ABCD) Þ SCH
= 60o
2

+ ABCD là hình vuông nên SABCD = 4a , HC = HB2 + BC2 = a 5
● Tam giác SHC vuông tại H có SH = HC.tan 60o = a 15
1
4a 3 15
+ VS.ABCD = .SABCD .SH =
3
3
● Ta có AB // CD nên AB // (SCD)
Suy ra d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD))
+ Kẻ HI ^ CD suy ra SI ^ CD
Kẻ HK ^ SI nên HK ^ (SCD) Þ d(H,(SCD))=HK
● Tam giác SHI vuông tại H
1
1
1

1
1
19
2 285a
=
+ 2=
+ 2=
Þ HK =
2
2
2
2
HK
HS
HI
15a
4a
60a
19
2 285a
+ Vậy d(AB,SC) =
19
8
(1,0
điểm

0,25

0,25

0,25

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C(–4; –5), phương trình đường cao
AD: x + 2y – 2 = 0, đường trung tuyến BB1: 8x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ các điểm A, B.
A

B1

0,25
B

D

C

● Vì BC ⊥ AD nên phương trình BC: 2x – y + 3 = 0.
● Vì B = BC ∩ BB1 nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình
8 x − y − 3 = 0
x = 1
⇔
. Suy ra B ( 1;5 )

2 x − y + 3 = 0
 y = 5.
a −5

● Do A ∈ AD nên A(2 − 2a; a) . Do đó B1  − a − 1;
÷.
2 


0,25
0,25


● Vì B1 ∈ BB1 nên ta có: 8(−a − 1) −
9
(1,0
điểm

10
(1,0
điểm

a−5
− 3 = 0 ⇔ a = −1 ⇒ A(4; −1).
2

0,25

4
4

2 x − 2 y − 9 x + 7 y = 0 (1)
Giải hệ phương trình:  2
2
(2)

x − y = 2
● Đặt x + y = a, x − y = b .

Từ phương trình (2) của hệ, ta có: ab = 2 nên a ≠ 0, b ≠ 0
a+b
a −b
● x=
,y =
⇒ 2( x 4 − y 4 ) − 9 x + 7 y = 2(a 2 + b 2 ) − a − 8b
2
2
Do đó, phương trình (1) của hệ đã cho tương đương với: 2(a 2 + b 2 ) − a − 8b = 0
● Ta có hệ mới là:

1
 a =
2
 2 8

16
8
2
2

 2(a + b ) − a − 8b = 0
 2a + 2 − a − = 0
(2a − 1)(a − 2 ) = 0

b
=
4
⇔
⇔

⇔ 
a
a
a


 ab = 2
 ab = 2
ab = 2


 a = 2
 b = 1

● Xét hai trường hợp:
3
1
1
9
7
- Nếu a = 2, b = 1 thì x = , y = . Nếu a = , b = 4 thì x = , y = −
2
2
2
4
4
3 1
 9 −7 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x, y ) =  , ÷∨ ( x, y ) =  , ÷ .
2 2

4 4 

Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Trước hết ta có: x3 + y 3 ≥ (

x + y)
4

0,25

0,25

( x + y + z)

3

3

3

( x + y)
4P ≥

3

a

+ 64 z 3

3

( a − z)
=

3

a

+ 64 z 3
3

0,25

= ( 1 − t ) + 64t 3

z
(với t = , 0 ≤ t ≤ 1 )
a
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t ∈ [ 0;1] . Có
1
f '(t ) = 3 64t − ( 1 − t )  , f '(t ) = 0 ⇔ t = ∈ [ 0;1]


9
Lập bảng biến thiên
2

0,25

x 3 + y 3 + 16 z 3

2
x + y)
Vì x3 + y 3 ≥ (
⇔ 3( x 3 − x 2 y − y 2 x + y 3 ) ≥ 0 ⇔ ( x − y ) ( x + y ) ≥ 0 (đúng ∀x, y > 0 )
4

Đặt x + y + z = a. Khi đó

0,25

3

0,25

0,25

2

64
⇒ Minf ( t ) =
⇒ GTNN của P là 16 đạt được khi x = y = 4z > 0
81
t∈[ 0;1]
81

0,25