De thi thu Quoc gia mon toan truong Lap vo 2

ĐƠN VỊ RA ĐỀ:
TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 2

ĐỀ THAM KHẢO
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

x −1
.
x−2
 1 

2
2
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x ( x − 2 ) + 3 trên đoạn  − ;1 .
 2 
Câu 3 (1,0 điểm).

a) Cho số phức z thỏa mãn 3iz − 4 z = −24 + 25i . Tìm môđun của số phức z.
x
x +1
b) Giải phương trình 3 ( 3 − 4 ) + 1 = 0 .
e

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I = ∫

( 1 + ln x )

1

x

2

dx .

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và mặt cầu tâm A đi qua B.
Câu 6 (1,0 điểm).
 π
3
a) Cho cos α = , α ∈  0; ÷. Tính giá trị của biểu thức Q = 1 + sin α − cos 2α
2
4





b) Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20.
Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho qủa được chọn màu xanh hoặc ghi số lẻ.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông , AC = a 2 , SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), SA = a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và BD.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng
BC có phương trình 3 x − y − 3 = 0 . Biết hai đỉnh A, B nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC biết điểm A có hoành độ dương.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình

− x 2 + x + 2 + 2 x + 1 − 2 − x ≥ 3x − 2 .

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
7

121

thức P = a 2 + b 2 + c 2 + 14 ab + bc + ca .
(
)
Hết.

1


ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THAM KHẢO TN THPT QG 2016
Câu

Nội dung

• Tập xác định D= ¡ \ { 2}

Điểm

• Sự biến thiên
Ta có y′ =

−1

< 0 ∀x ∈ D
( x − 2)2

0,25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2);(2; +∞)
Hàm số không có cực trị
Giới hạn và tiệm cận
lim y = lim y = 1 . Đồ thị có tiệm cận ngang y = 1 .
x®+¥
x®- ¥
lim y = +¥ ; lim y =- ¥ . Đồ thị có tiệm cận đứng x = 2 .
x®2+

1
(1,0 đ)

0,25

x®2-

Bảng biến thiên
x
y¢
y

- ¥

+¥

2
−

−

0,25

+¥

1
- ¥

1

1
2
y = 0 ⇒ x =1

Cho x = 0 ⇒ y =
• Đồ thị

0.25

2(1,0 đ)

3(1,0 đ)

 1 
f ( x ) xác định và liên tục trên  − ;1 , y / = 4 x3 − 4 x
 2 

 1 
Với x ∈  − ;1 , f ( x ) = 0 ⇔ x = 0
 2 

0.25
0.25

 1  226
f  − ÷=
; f ( 0 ) = 3; f ( 1) = 2
 3  81

0.25

226
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f ( x ) là 3 và

0.25

81
2
a) Gọi z = a + bi, a, b ∈ R, i = −1 , thay vào giả thiết 3iz − 4 z = −24 + 25i ta

2

0.25


được 3i ( a + bi ) − 4 ( a − bi ) = −24 + 25i ⇔ ( −4a − 3b ) + ( 3a + 4b ) = −24 + 25i
Kết quả a = 3, b = 4. Vậy z = 3 + 4i

Môđun của số phức z là z = 32 + 42 = 5

0.25

x
x +1
b) 3 ( 3 − 4 ) + 1 = 0

( 1) ⇔ 3.32 x − 4.3x + 1 = 0

0.25

1
x
⇔ 3x = 1 hoặc 3 =
3
x
• 3 =1⇔ x = 0
1
x
• 3 = ⇔ x = −1
3
1
Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt = dx .
x
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2

4(1,0 đ)

0.25

0.25

Suy ra
e

I =∫
1

( 1 + ln x )
x
=

5(1,0 đ)

0.25

2

2

2

t3
dx = ∫ t dt =
31
1

0.25

2

7
3

0.25

uuu
r
uuur
AB = ( 2; −3; −1) , AC = ( −2; −1; −1)
uuu
r uuur
 AB, AC  = ( 2; 4; −8) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)



0.25

Phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y - 4z + 6 = 0
AB = 15 là bán kính mặt cầu

0.25
0.25

Phương trình mặt cầu (S) x 2 + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 15

0.25

3
7

 π
a) cos α = , α ∈  0; ÷⇒ sin α =
4
4
 2

0.25

2

2

7 7
+
4 8

Q = 1 + sin α − cos 2α = sin α + 2sin 2 α =

6(1,0 đ)

1
b) Số phần tử của không gian mẫu là C30
Số kết quả thuận lợi cho biến cố ‘‘quả được chọn màu xanh hoặc ghi số
1
+ C51 = 25 .
lẻ’’ là C20

25 5
Xác suất cần tính là p = = .
30 6

7(1,0 đ)

0,25
0.25
0.25

Tứ giác ABCD là hình vuông có AC = a 2 ⇒ AB = a

0.25

Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1 2
a3
(đvtt).
V = S ABCD .SA = .a .a =
3
3
3

0.25

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Trong (SAC) kẻ OK ⊥ SC ( 1)

0.25

3

 BD ⊥ SA
⇒ BD ⊥ ( SAC )

 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ OK ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra OK là khoảng cách cần tìm.
Xét hai tam giác đồng dạng CSA và COK
OK CO
CO.SA a 6
=
⇒ OK =
=
SA CS
CS
6
Vì B ∈ BC , B ∈ Ox ⇒ B ( 1; 0 )

0.25

r

Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến n =

(

)

3; −1

Do tam giác ABC vuông tại A nên góc B nhọn

0.25

r r
1
·
⇒ cos B = cos n, j = ⇒ ABC
= 60 0
2

( )

·
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ⇒ ABI
= 30 0
Kẻ IH ⊥ AB, H ∈ AB thì IH là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

8(1,0 đ)

⇒ IH = 2

Trong tam giác vuông IHB có HB =
Nên AB = AH + HB = 2 ( 3 + 1)

IH
=2 3
t an30 0

A ∈ Ox ⇒ A ( a; 0 ) . Khi đó AB = a − 1 = 2

(

0.25

)

3 +1

0.25

Suy ra a = 2 3 + 3
 4 + 37 6 + 2 3 
G
;
÷

÷
3
3


Điều kiện −1 ≤ x ≤ 2
Đặt u = x + 1, v = 2 − x , u, v ≥ 0

0.25

Khi đó − x 2 + x + 2 = uv,3x − 2 = u 2 − 2v 2 + 1
Bất phương trình có dạng

0,25

uv + 2u − v ≥ u 2 − 2v 2 + 1 ⇔ ( u + v − 1) ( u − 2v − 1) ≤ 0
u + v ≥ 0, ( u + v ) = 3 + 2
2

9(1,0 đ)

( x + 1) ( 2 − x )

≥3

0,25

⇒ u + v ≥ 3, u + v − 1 > 0

( 3) ⇔ u − 2v − 1 ≤ 0
Với −1 ≤ x ≤ 2 , bất phương trình đã cho tương đương
−1 ≤ x ≤ 2
32 + 4 14
⇔
⇔ −1 ≤ x ≤
25
5 x − 8 ≤ 4 2 − x
 32 + 4 14 
Vậy tập nghiệm của bpt S =  −1;

25



4

x +1 ≤ 2 2 − x +1

0,25

0,25


1 = ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca )
2

⇒ ab + bc + ca =
P=

(

1 − a2 + b2 + c2
2

)

0,25

7
121
+
2
2

a + b + c 7 − ( 1 − ( ab + bc + ca ) )
2

Đặt t = a2 + b2 + c 2
10(1,0 đ) Vì a, b, c > 0 và a + b + c = 1 nên 0 < a, b, c < 1
t = a2 + b2 + c 2 a + b + c = 1

(

1 = ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2
2

1
⇒ t = a +b +c ≥
3
1 
Vậy t ∈  ;1÷
3 
7
121
1 
324
, t ∈  ;1÷ có f ( t ) ≥
Xét hàm số f ( t ) = +
t 7 ( 1− t )
3 
7
324
324
Vậy P ≥

. Suy ra min P =
7
7
2

2

)

0,25

2

5

0,25
0,25