De thi thu Quoc gia mon toan truong Tan hong

Trường THPT
Tân Hồng
Tổ toán

ĐỀ THI THAM KHẢO THPT QUỐC GIA NĂM 2015- 2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
2. (1,0 điểm). :

Cho hàm số y =

2x +1
x +1

x −1
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
2x + 1

tuyến với đồ thị (C). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 2016
Câu II. (1,0 điểm)
1. Cho tan a = 2. Tính giá trị biểu thức: E =

8cos3 a − 2sin3 a + 2 cos a

2 cos a − sin3 a
2. Cho số phức z thỏa mãn: ( 3 − 2i ) z − 4 ( 1 − i ) = ( 2 + i ) z . Tính môđun của z.
Câu III. 0,5 điểm) Giải phương trình: (3 + 5)x + 16(3 − 5) x = 2 x+3
Câu IV. (1,0 điểm) Tính tích phân:

π
4

(e tan x + x)
∫ cos 2 x dx
0

Câu V (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a.
Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a.
2. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABM) theo a.
Câu VI. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng
x −1 y − 2 z − 3
=
=
(P) chứa đường thẳng d:
và song song với đường thẳng ∆:
1
2
3

x = 1 − t

y = t .
z = 1 + t


Tính khoảng cách từ ∆ đến mp(P).
Câu VII. (0,5 điểm) Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15

Tìm hệ số a10.
Câu VIII. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-2;
-1) và trực tâm H(2; 1). Cạnh BC = 20 . Gọi I, J lần lượt là chân các đường cao hạ từ B,
C. Trung điểm của BC là điểm M thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 và M có tung độ
dương. Đường thẳng IJ đi qua điểm E(3; - 4). Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu IX. (1,0 điểm) Giải bất phương trình:

x 2 + 3x + 2 x + 2 £ 2x +

x+

Câu X. (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: a + b + c =
nhỏ nhất của biểu thức P =

6
+5
x

1
. Tìm giá trị
672

1
1
1
+
+
3
a + 2015b 3 b + 2015c 3 c + 2015a

-------------------------------------HẾT--------------------------------------


Câu
Cõu I
(1,0 im)

Hng dn chm
1 .(2,0 điểm) Khảo sát . . .
* Tập xác định: D = R\{ - 1}
* Sự biến thiên
Ta có y ' =

Điểm
0,25

1
> 0 với mọi x - 1
( x + 1) 2

Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
y = lim y = 2 ; tiệm cận ngang: y = 2
- Giới hạn và tiệm cận: xlim
+
x
lim y = +; lim + y = ; tiệm cận đứng: x = - 1

x ( 1)

Bảng biến thiên

x -
y
+

0,25

+

-1
+
+

y

x ( 1)

0,25
2

-

2

* Đồ thị
Giao với trục Oy: (0; 1); Giao với Ox: (-1/2; 0)
Tâm đối xứng I(-1; 2)

0,25

2/. (1,0

điểm)

Gi M(xo; yo) l tip im, h s gúc ca tip tuyn l

y '( x0 ) =

3

( 2x

0

+ 1)

0,25

2

H s gúc ca ng thng (d): y = 3x + 2016 l k = 3
Tip tuyn song song vi (d) khi ch khi y(xo) = k
0,25


3

⇔

( 2x
⇔ ( 2x

0

+ 1)

2

=3

+ 1) = 1
0
2

2 x + 1 = 1
⇔ 0
2 x0 + 1 = −1
x = 0
⇔  0
 x0 = −1

0,25

Với xo = 0 ⇒ yo = – 1 ⇒ Pttt cần tìm là: y = 3x – 1
Với xo =– 1 ⇒ yo = 2 ⇒ Pttt cần tìm là: y – 2 = 3(x + 1)
⇔ y = 3x + 5
0,25
Câu II
(1,0 điểm)

1.(0,5điểm)
Chia cả tử và mẫu cho cos3 x ≠ 0 ta được:

E=

8 − 2 tan 3 a +
2
cos 2 a

=

2

cos 2 a =
− tan 3 a

(
)
2 ( 1 + tan 2 a ) − tan 3 a

8 − 2 tan 3 a + 2 1 + tan 2 a

0,25

Thay tan a = 2 ta được: E = 1
0,25
2. (0,5điểm)
Giả sử z = a + bi ( a,b ∈ R )

Gt ⇔ ( 3 − 2i ) ( a − bi ) − 4 + 4i = ( 2 + i ) ( a + bi )

⇔ 3a − 2b − 4 − ( 2a + 3b − 4 ) i = 2a − b + ( a + 2b ) i

3a − 2b − 4 = 2a − b
a = 3
⇔
⇔
⇒ z = 10
4
−
2a
−
3b
=
a
+
2b
b
=
−
1



Câu III
(0,5 điểm)

x

x

 3+ 5 
3− 5 

Phương trình ⇔ 
÷ + 16 
÷ =8
2
2





0,25
0,25


x

3+ 5 
Đặt t = 
÷
 2 

16
2
( t > 0 ) ⇒ pt : t + t = 8 ⇔ t − 8t + 16 = 0 ⇔ t = 4
x

3+ 5 
Với t =4 ⇒ 
÷ = 4 ⇔ x = log 3+ 5 4
2



2

0,25

0,25

KL: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất
Câu IV
(1,0 điểm)

I=

π
4

e tan x

∫ cos2 x

dx +

0

π
4

x

∫ cos2 xdx = I1 + I2
0

Tính I1 : Đặt t = tanx ⇒ dt =
1

⇒ I1 = ∫ e t dt = e t
0

dx
cos 2 x

; x = 0 ⇒ t = 0; x =

0,25

π
⇒ t =1
4

1
= e −1
0

0,25

u = x
du = dx

Tính I2: Đặt 

dx ⇒ 
 v = tan x
dv =
2
cos x

π
4

π

d ( cosx ) π
π
+∫
= + ln cos x 04
π
4
⇒ I 2 = x tan x 4 − tan xdx = 4 0 cosx
∫
0
0
π
2
= + ln
4
2
2 π
Vậy: I = e − 1 + ln
+
2

4
π
4

0,25

0,25


S

Câu V
(1,0 điểm)

M

1/
0,5 điểm

N

B

C

H
A

a)

D

1
3

Ta có VS . ABCD = S ABCD .SH Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có

các cạnh bên bằng nhau và SH ⊥ ( ABCD) .
2
b)
Ta có S ABCD = a
Xét tam giác SAC vuông tại S nên SH là trung tuyến và là đường cao của
1
a 2
AC =
( AC 2 = 2a 2 )
2
2
1
a 2 a3 2
= .a 2 .
=
W
3
2
6

tam giác nên ta có SH =
Vậy: VS . ABCD
2/

0,5 điểm

c)

Vì M là trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD tại N là trung điểm

0,25
0,25

SD.
Ta có VS . ABMN = VS . ABN +VS .BMN
1
2

Mặt khác ∆BCD = ∆ABD ⇒ VS . ABD = VS .BCD = VS . ABCD
VS . ABN SA.SB.SN 1
=
= (vì N là trung điểm SD)
VS . ABD SA.SB.SD 2
VS . BMN SB.SM .SN 1 1 1
=
= . =
VS .BCD
SB.SC.SD 2 2 4
1
1
VS . ABMN = VS . ABN + VS . BMN = VS . ABD + VS .BCD
2
4
1

1
3
3 a3 2 a3 2
= VS . ABDC + VS . ABCD = VS . ABCD = .
=
W
4
8
8
8 6
16

Xét tỉ số

Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ;

a
a 3
3a 2 a 2 a 11
MN = ;AN =
⇒ đ cao MK =
−
=
2
2
4 16
4
a
a + a 11 3a 2 11
.

2.
⇒ SABMN =
=
2
4
16

0,25


1
3

Mà VS.ABMN = SABMN .d ⇒ d =

3VS.ABMN
SABMN

3a 3 2
a 22
d( S,( ABM ) ) = d = 16
=
11
3a 2 11
16
r
r
(P) có 1 cặp véc-tơ cp u1 = ( 1;2;3) & u 2 = ( −1;1;1)
r r r
Câu VI

n
= [ u1,u 2 ] = ( −1; −4;3) và
Nên
(P)
có
1
véc-tơ
pháp
tuyến
(1,0 điểm)
M1 ( 1;2;3) ∈ ( P ) .
Suy ra phương trình mp(P): x + 4y – 3z = 0.

Lấy

0,25
0,25

0,25

M 2 ( 1;0;1) ∈ ∆

⇒ d = d( ∆ ,(P) ) = d ( M ,(P) )
2
1− 3
2
26
=
=
Vậy: d =

13
26
12 + 42 + 32

(

P(x) = 1 + x + x 2 + x 3

0,25
0,25

) = (1 + x ) .(1 + x )
5

2 5

5

Hệ số a10 là hệ số của x10
Câu VII
(0,5 điểm)

+ Ta có: ( 1 + x ) 5 = C50 + C51 x + C52 x 2 + C53 x3 + C54 x 4 + C55 x5

(

+ Ta có: 1 + x 2

)

5

= C50 + C51 x 2 + C52 x 4 + C53 x 6 + C54 x8 + C55 x10

0,25

Suy ra hệ số của số hạng x10 của f(x) là:

C50C55 + C52C54 + C53C54 = 1.1 + 50 + 50 = 101

0,25

( do x10 = x10 x 0 = x8 x 2 = x 6 x 4 )
A

E

I

J

Câu VIII
(1,0 điểm)

H

B

d

M

C

Tứ giác AIHJ nội tiếp đ tròn đường kính AH, có phương trình:


x 2 + y 2 = 5 (C). Vì M thuộc d nên tọa độ M(2b + 1 ; b).
Đường tròn tâm M, đường kính BC có pt : ( x − 2b − 1) + ( y − b ) = 5
(C’). Dễ thấy I, J thuộc đường tròn (C’). (vì tứ giác BCIJ nội tiếp đường
kính BC)
Vậy I, J là giao điểm của 2 đường tròn (C), (C’) nên pt IJ có dạng :
2

2

x 2 + y 2 − 5 = x 2 + y 2 − 2 ( 2b + 1) x − 2by + ( 2b + 1) + b 2 − 5
2

⇔ 2 ( 2b + 1) x + 2by − ( 2b + 1) − b 2 = 0
Vì IJ qua E nên ta có b 2 = 1 ⇔ b = ±1 . Mà b > 0 nên b = 1 suy ra M(3; 1)
uuur
Đường thẳng BC qua M, có véc-tơ pháp tuyến AH .

0,25

0,25

2

Vậy phương trình BC:

Câu IX
(1,0 điểm)

2x + y – 7 = 0.

0,25

ìï x 2 + 3x ³ 0
ïï
ïï x + 2 ³ 0
ï
Û x > 0.
● Điều kiện: ïíï x ¹ 0
ïï
ïï x + 6 + 5 ³ 0
ïïî
x

( *) Û
Û x

x ( x + 3) + 2 x + 2 - 2x -

( x + 2) ( x + 3)

x+ 3
x

x

x+ 3
x- x+ 2
x
æx + 3
ç
Û x- x+ 2 ç
ç
ç
x
ç
è
Û

(

(

)

0,25

0,25

x 2 + 5x + 6
£0
x

+ 2 x + 2 - 2x £ 0

) - 2( x -

)

x+ 2 £ 0

ö
÷
2÷
£0
÷
÷
÷
ø

 x +3
 x+3
−2≤0
−2≥0


⇔ x
v x
x − x + 2 ≥ 0
x − x + 2 ≤ 0



x + 3

 x+3
 x+3
 x ≤4
−2≤0 
≤2 

⇔ x
⇔ x>0
 x

x − x + 2 ≥ 0
x ≥ x + 2
 
Hệ: 

 x 2 − x − 2 ≥ 0
x ≥ 1
⇔
⇔x≥2
x ≥ 2

0,25


x + 3
4
x+3
x+3

20

2 x

x
x > 0 (KX)
x

x x + 2 0
x x + 2

H:

x 2 x 2 0
x 1

0 < x 1
0 < x 2
KL: bpt cú tp nghim S = ( 0;1] [ 2; + )
p dng Bt ng thc Cụsi cho ba s dng ta cú
Cõu X
(1,0 im)

0,25
0,25

1 1 1
3
1 1 1
9
(x + y + z ) + + 33 xyz
=9 + +

(*)
3
x y z x+y+z
xyz
x y z

áp dụng (*) ta có:
P=

1
1
1
9
+
+

3
a + 2015b 3 b + 2015c 3 c + 2015a 3 a + 2015b + 3 b + 2015c + 3 c + 2015a

ỏp dng Bt ng thc Cụsi cho ba s dng ta cú:
a + 2015b + 1 + 1 1
3 ( a + 2015b ) 1.1
= ( a + 2015b + 2 )
3
3
b + 2015c + 1 + 1 1
3 ( b + 2015c ) 1.1
= ( b + 2015c + 2 )
3
3

c + 2015a + 1 + 1 1
3 ( c + 2015a ) 1.1
= ( c + 2015a + 2 )
3
3
1
Suy ra 3 a + 2015b + 3 b + 2015c + 3 c + 2015a 2016 ( a + b + c ) + 6
3

1
1
= 2016.
+ 6 = 3
3
672

Do đó P 3

0,25

0,25

0,25
Dấu = xảy ra

1
1
a + b + c =

a=b=c=

672
2016
a + 2015b = b + 2015c = c + 2015a = 1

1
2016
Ghi chỳ: Hc sinh lm ngoi hng dn chm ỳng chm im tng ng tng phn theo hng
dn

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a = b = c =

0,25