33 dạng bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KH O SÁT
HÀM SỐ H

BA CÔNG THỨC TÍNH NHANH ðẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ

số

ðể hàm

+y
+

y

trên

ℝ

∆ ≤

0

(cx + d )

ax 2 + bx + c
adx 2 + 2aex + (be − cd )
=
⇒ y' =
dx + e
(dx + e)2

a1 x 2 + b1 x + c1
=
a 2 x 2 + b2 x + c2

⇒

biến

a>0
thì y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ 

+ y = ax + b ⇒ y ' = ad − bc
2

cx + d

ñồng

(a b − a b ) x 2 + 2(a1 c2 − a2 c1 ) x + b1c 2 − b2 c1
y' = 1 2 2 1
(a 2 x 2 + b2 x + c2 ) 2

CHUYÊN ðỀ: CÁC CÂU HỎI THỨ HAI TRONG
ðỀ THI KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH

Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể hàm số nghịch biến trên ℝ ?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ

Ta có: y’ = ax2 + bx + c
ðể

hàm

số

ñồng

biến

trên

ℝ

a<0
thì y ' ≤ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ 

∆ ≤

0

Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số có cực trị?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể hàm số ñồng biến trên ℝ ?
Phương pháp:

TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c

Ta có: y’ = ax2 + bx + c
ðồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0 có 2
nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó

a≠0
⇔  0
∆ >


Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Chứng
minh rằng với mọi m ñồ thị hàm số luôn luôn có cực trị?

Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0)?

Phương pháp:

Phương pháp:

TXð: D = ℝ

TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c

2

Ta có: y’ = ax + bx + c

Xét phương trình y’ = 0, ta có:

 f '( x0 ) = 0

ðể hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0) thì 

∆ =….>0, ∀m

 f ( x0 ) = y0

Vậy với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn luôn có cực trị.
Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số không có cực trị?
Phương pháp:

Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) và
M(x0;y0)∈(C). Viết PTTT tại ñiểm M(x0;y0) ?
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x0)

TXð: D = ℝ

Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M(x0;y0) là

Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Hàm số không có cực trị khi y’ không ñổi dấu trên toàn

a ≠ 0
∆ ≤ 0

y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
Các dạng thường gặp khác :

tập xác ñịnh ⇔ 

1/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm có
hòanh ñộ x0.

Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñạt cực ñại tại x0?

Ta tìm: + y0 = f(x0)

Phương pháp:

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là

TXð: D = ℝ

y – y0 = f’(x0).( x – x0 )

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm
thỏa mãn phương trình f”(x)= 0.

 f '( x0 ) = 0
ðể hàm số ñạt cực ñại tại x0 thì 
 f ''( x0 ) < 0

Ta tìm: + f’(x)

Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñạt cực tiểu tại x0?

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

a/ song song với ñường thẳng y = ax + b.

 f '( x0 ) = 0
ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x0 thì 
 f ''( x0 ) > 0

b/ vuông góc với ñường thẳng y = ax + b.
Phương pháp:

Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m
ñể ñồ thị hàm số ñạt cực trị bằng h tại x0?
Phương pháp: TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
số

 f '( x0 ) = 0

 f ( x0 ) = h

+Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x0
Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Viết phương
trình tiếp tuyến (d) của (C)

TXð: D = ℝ

hàm

+ f”(x)
+ y0 và f’(x0). Suy ra PTTT.

Phương pháp:

ðể

+ f’(x) ⇒ f’(x0)

ñạt

cực

trị

bằng

h

tại

x0

thì

a/ Tính: y’ = f’(x)

Vì tiếp tuyến (d) song song với ñường thẳng y = ax + b
nên (d) có hệ số góc bằng a.
Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là
hoành ñộ tiếp ñiểm)
Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 = a. ( x – x0 )


b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với ñường thẳng y = ax + b
nên (d) có hệ số góc bằng −
Ta có: f’(x) = −

1
.
a

Phương pháp:

1
(Nghiệm của phương trình này chính
a

là hoành ñộ tiếp ñiểm)

1
. ( x – x0 )
a

f(x) = g(x)
(*)

Dạng 15: Dựa vào ñồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo
m số nghiệm của phương trình f(x) + g(m) = 0

Chú ý:
+ ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x.
+ ðường phân giác của góc phần tư thứ hai y = - x.
Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Tìm GTLN,
GTNN của hàm số trên [a;b]
Phương pháp:

Phương pháp:
Ta có: f(x) + g(m) = 0
⇔ f(x) = g(m)

(*)

Số nghiệm của (*) chính là số giao ñiểm của ñồ thị (C): y
= f(x) và ñường g(m).
Dựa vào ñồ thị (C), ta có:…v.v…

Ta có: y’ = f’(x)
Giải phương trình f’(x) = 0, ta ñược các ñiểm cực trị: x1,
x2, x3,…∈ [a;b]
Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),…
[ a ;b ]

Phương pháp:

OI = ( x0 ; y0 ) .

[a ;b ]

Dạng 13: Cho họ ñường cong y = f(m,x) với m là tham
số.Tìm ñiểm cố ñịnh mà họ ñường cong trên ñi qua với
mọi giá trị của m.

 x = X + x0
x+2
y=
x−3
 y = Y + y0

Công thức ñổi trục: 

Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra
I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C).

Phương pháp:
Ta có: y = f(m,x)
Am + B = 0, ∀m

Hoặc Am2 + Bm + C = 0,

Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñiểm
I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C).
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ

max y = ; min y =

Phương pháp chung ta thường lập BBT

⇔

y = f(x) và

Số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2) chính là số nghiệm
của phương trình (*).

Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):

Từ ñó suy ra:

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của
y = g(x) là
⇔ f(x) – g(x) = 0

Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược.

y – y0 = −

Dạng 14: Giả sử (C1) là ñồ thị của hàm số y = f(x) và
(C2) là ñồ thị của hàm số
y = g(x). Biện luận số
giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2).

∀m

(1)

Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñường
thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C).

(2)

Phương pháp:

ðồ thị hàm số (1) luôn luôn ñi qua ñiểm M(x;y) khi (x;y)
là nghiệm của hệ phương trình:

ðổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI = ( x0 ;0 )

A = 0

B = 0

Công thức ñổi trục 

(a)

A = 0

Hoặc  B = 0 (b)
C = 0


(ñối với (1))

 x = X + x0
y = Y

Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X)
(ñối với (2))

Giải (a) hoặc (b) ñể tìm x rồi→ y tương ứng.
Từ ñó kết luận các ñiểm cố ñịnh cần tìm.

Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy
ra ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C).


Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai ñường cong có phương trình
y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:
Hai ñường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi
và chỉ khi hệ phương trình

 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)
Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành
ñộ tiếp ñiểm của hai ñường cong ñó.

Dạng 21: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm bậc 3 có Cð , CT
nằm về cung 1 phía ñốI vớI (D).
Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các
ñiểm cực trị M 1 (x1 , y1 ) & M 2 ( x 2 , y 2 )

( x1 , x 2 là nghiệm của pt y' = 0)
1)Nếu (D) là trục Oy thì
ycbt ⇔ x1 < x 2 < 0 ∨ 0 < x1 < x 2
2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì

Dạng 19: Tìm ñiểm A ,từ A kẻ ñc n tiếp tuyến tới ñồ
thị y = f (x) (C)
Phương pháp
+Giả sử A(x 0 , y 0 )
+ Pt ñthẳng ñi qua A(x 0 , y 0 ) có hệ số góc k có dạng :

(d ) : y = k (x − x0 ) + y 0

ycbt ⇔ x1 < x 2 < m ∨ 0 < x1 < x 2
3)Nếu (D) là ñthẳng ax + by + c = 0 thì:
ycbt ⇔ (ax1 + by1 + c )(ax 2 + by 2 + c ) > 0
@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3)

+ðthẳng (d) tiếp xúc vớI ñồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

 f (x ) = k (x − x0 ) + y 0 (1)
 '
 f ( x ) = k ( 2)
Thay (2) vào (1) ñược : f (x ) = f ' (x )(x − x0 ) + y 0 (3)
+Khi ñó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ từ
A tớI ñồ thị (C)
Do ñó từ A kẻ ñược k tiếp tuyến tớI ñồ thị (C)

⇔ có k nghiệm phân biệt ⇒ ñiểm A (nếu có)
Dạng 20: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð ,

CT nằm về 2 phía (D)
Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các
ñiểm cực trị M 1 (x1 , y1 ) & M 2 ( x 2 , y 2 )

Dạng 22: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số (C) cắt ñthẳng
(D) tạI 2 ñiểm phân biệt thoả 1 trong nhưng ñkiện sau:
1)Thuộc cùng 1 nhánh ⇔ (I) có nghiệm phân biệt nằm
cùng 1 phía ñốI vớI x = m
( (I) là PTHðGð của
(C) và (D) ; x = m là t/cận ñứng của (C) )
2) Cùng 1 phía Oy ⇔ ( I ) có 2 nghiệm phân biệt cùng
dấu
3)Khác phía Oy ⇔ ( I ) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Dạng 23: Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho:
Tổng các khoảng cách từ ñó ñến 2 t/cận là Min
Phương pháp:

(

+Xét M 0 (x0 , y 0 ) thuộc (C) ⇔ x0 , , y 0

( x1 , x 2 là nghiệm của pt y' = 0)

thoã y = thương +dư /mẫu

1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2

+Dùng BðT Côsi 2 số ⇒ kquả

)

2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2
3)Nếu (D) là ñthẳng ax + by + c = 0 thì:
ycbt ⇔ (ax1 + by1 + c )(ax 2 + by 2 + c ) < 0
@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3)

Dạng 24:Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao
cho:khoảng cách từ ñó ñến 2 trục toạ ñộ là Min
Phương pháp:
+Xét M 0 (x0 , y 0 ) thuộc (C)


+ðặt P = d (M 0 , Ox ) + d (M 0 , Oy ) ⇒ P = x0 + y 0

⇒ y ' = 0 ⇔ U x' 1V x1 = V x'1U x1 ⇔

+Nháp :Cho x 0 = 0 ⇒ y 0 = A; y 0 = 0 ⇒ x 0 = B

+ GọI B (x 2 , y 2 ) là ñiểm cực trị của (C m )

GọI L = min ( A , B )

⇒

+Ta xét 2 trường hợp :
TH1: x 0 > L ⇒ P > L
TH2: x0 ≤ L .Bằng ppháp ñạo hàm suy ra ñc kquả

Dạng 25:Tìm ñkiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M,N,P cung

thuộc ñthị (C) thẳng hàng?

M ,N,P thẳng hàng ⇔ vetơ MN cùng phương vớI vectơ

−b
a

MP ⇔ x M + x N + x P =

U x' 2
V x' 2

(2)

U x'
Từ (1), (2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị là y = '
Vx
Dạng 28:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hsố bậc 3
(C m ) , khi ko tìm ñc 2 ñiểm cực trị

+Chia

y
cx + d
(cx+d :là phần dư của phép
= ax + b +
y'
y'

⇒ y = (ax + b ) y '+ cx + d

+Goi A( (x1 , y1 ), B (x 2 , y 2 ) là 2 ñiểm cực trị của hàm số

(C m )

⇒ y ' x1 = y ' x 2 = 0

+Do A ∈ (C m ) nên y1 = (ax1 + b ) y1 '+cx1 + d

Phương pháp:
+Tập hợp những ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ trong (Oxy)
là ñường thẳng y = x và y = -x .Do ñó :
+Toạ ñộ của ñiểm thuộc (C) :y = f(x) ñồng thờI cách ñều

 y = f ( x)

y = x
2 trục toạ ñộ là nghiệm của : 
⇒ kquả
 y = f ( x)

 y = − x

Dạng 27:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hàm số hữu

ax 2 + bx + c
a ' x + b'

⇒ y1 = cx1 + d

(1)

+Do B ∈ (C m ) nên y 2 = (ax 2 + b ) y 2 '+ cx2 + d

⇒ y 2 = cx 2 + d

(2)

Từ (1),(2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị : y = cx + d

Dạng 29:ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có ñiểm
Cð và CT ñốI xứng nhau qua 1 ñ/t y = mx + n

(m ≠ 0)
Phương pháp:

(C m )

+ðịnh ñkiện ñể hàm số có Cð, CT (1)
+Lập pt ñ/t (D) ñi qua 2 ñiểm cực trị

Phương pháp :

+Gọi I là trung ñiểm ñoạn nốI 2 ñiểm cực trị

U (x)
V( x )

(U ) V
'

+ có y ' =

⇔ .......y 2 =

chia)

Dạng 26: Tìm trên ñồ thị (C) :y = f(x) tất cả các ñiểm
cách ñều 2 trục toạ ñộ

ðặt y =

. ⇔ ..........

Phương pháp:

Phương pháp

tỉ : y =

U x1 U x' 1
= y1 (1)
=
V x1 V x'1

(x)

− (V( x ) ) U ( x )
'

( x)

(V )

2

( x)

+GọI A (x1 , y1 ) là ñiểm cực trị của (C m )

dk (1)

+ycbt ⇔  y = mx + n ⊥ ( D ) ⇒ kq
 I ∈ y = mx + n



Dạng 30:Tìm 2 ñiểm thuộc ñthị (C) y = f(x) ñốI xứng
nhau qua ñiểm I (x0 , y 0 )

Dạng 33 :Vẽ ñồ thị hàm số y = f (x ) (C)
Phương pháp:
+ Vẽ ñồ thị y = f (x ) (C ')

Phương pháp:
+Giả sử M (x1 , y1 ) ∈ (C ) : y1 = f (x1 ) (1)

+Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x ) (C1)

+GọI N (x 2 , y 2 ) ñốI xứng M qua I suy ra toạ ñộ ñiểm N
theo x1 , y1

CHUYÊN ðỀ :CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ð N
KHẢO SÁT HÀM SỐ

+Do N thuộc (C): y 2 = f (x 2 ) (2)
(1),(2) :giảI hệ , Tìm x1 , y1 ⇒ x 2 , y 2

Dạng 31:Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x ) (C)

Câu 1.Tìm m ñể ñườ ng thẳng y=x+4 cắt ñồ thị
3
hàm
y = xsố
+ 2 mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 ñiểm phân biệt A,
B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B,
C có hoành ñộ khác 0, M(1;3)
Câu 2.. Tìm m ñể hàm số

Phương pháp:

y = x3 − mx 2 + (2 m + 1) x − m − 2 cắt Ox tại 3 ñiểm phân

+ Vẽ ñồ thị y = f (x ) (C ')

biệt có hoành ñộ dương
Câu 3. Tìm hai ñiểm A, B thuộ c ñồ thị
3
hàm
y = xsố
− 3 x 2 + 1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song song

 f (x ), x ≥ 0(C1 )
 f (− x ), x < 0(C 2 )

+Có y = f ( x ) = 

với nhau và AB = 4 2

x+m
Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị
x −1

⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( C1 ) và ñồ thị (C 2 )

Câu 4 Chohs : y =

VớI : (C1 ) ≡ (C ')

tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B
và diện tích tam giác IAB bằng

lấy phần x ≥ 0

(C 2 ) là phần ñốI xứng của (C1 ) qua Oy
Dạng 32 :Vẽ ñồ thị hàm số y = f (x ) (C)

1 Câu 5.Cho hàm sốy =

tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác
có diện tích bằng 8

Câu 6. Cho hàm số y

Phương pháp:

2x
(H) .Tìm các giá trị của m ñể
x −1

=
ñường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt ñồ thị ( H ) tại hai
ñiểm phân biệt A,B và ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất.

+ Vẽ ñồ thị y = f (x ) (C ')

 f (x ), f (x ) ≥ 0(C1 )
− f (x ), f (x ) < 0(C 2 )

+Có y = f (x ) = 

⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( C1 ) và ñồ thị (C 2 )
VớI (C1 ) ≡ (C ') lấy phần dương của (C') (nằm trên
Ox)

(C 2 ) là phần ñốI xứng của

2x + 1
viết phương trình tiếp
x −1

phần âm (nằm dướI

Ox ) của (C') qua Ox
@:Chú ý :ðồ thi y = f (x ) sẽ nằm trên Ox

Câu 7. Cho hàm sốy =

x −1
( H ) . Tìm ñiểm M thuộc (H)
x +1

ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất.
Câu 8. Cho hàm số y =

3x + 1
( H ) và ñường thẳng
x −1

y = ( m + 1) x + m − 2 (d) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt
3
(H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
2
3
2
Câu 9. Cho hàm số y = x − 3 x + 3(1 − m) x + 1 + 3m
(Cm). Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñồng thời các
ñiểm cực trị cùng với gốc toạ ñộ tạo thành tam giác có
diện tích bằng 4


Caâu 10. Cho hàm sốy =

2x +1
Tìm m ñể ñường thẳng
x +1

y=-2x+m cắt ñồ thị tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho
tam giác OAB có diện tích bằng 3
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1)
• Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(1;3) cắt
ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao
cho AB = 2 3 .
Câu 11. Cho hàm số y =y = x3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m (1),
m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m
= 1.
2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3
ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1 ; x2 ; x3 thoả mãn ñiều kiện

x12 + x2 2 + x32 < 4
Câu 12. Cho hàm sốy =

x+2
(H)
2x − 2

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H).
2) Tìm m ñể ñường thẳng (d): y=x+m cắt ñồ thị hàm số
(H) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 =

37

2

Câu 13. Cho hàm sốy = x 4 − 2 x 2 (C)
1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
2) Lấy trên ñồ thị hai ñiểm A, B có hoành ñộ lần lươt là a,
b.Tìm ñiều kiện a và b ñể tiếp tuyến tại A và B song song
với nhau
Câu 14. Cho hàm số y =

2m − x
( H ) và A(0;1)
x+m

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
2) Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận . Tìm m ñể
trên ñồ thị tồn tại ñiểm B sao cho tam giác IAB vuông cân
tại A.
Câu 15. Cho hàm sốy = x 4 + 2 mx 2 − m − 1 (1) , với m
là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
m = −1 .
2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời
các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện
tích bằng 4 2 .
Câu 16 . Cho hàm sốy = x 4 − 2 mx 2 + m − 1 (1) , với m
là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
m = 1.
2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời
các ñiểm cực trị của ñồ thị

tạo thành một tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp
bằng 1.
Câu 17. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m (1) , với
m là tham số thực.

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
m = −2 .
2) Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng
thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có
góc bằng 120 .
Cau 18 . Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 (1), với m là tham số
thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
m = −1 .
2)Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực tiểu và
hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số và ñường thẳng ñi
qua hai ñiểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
Câu 19. Cho hàm số

y = f ( x ) = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m2 − 5m + 5
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số với m
=1
2/ Tìm các giá trị của m ñể ®å thÞ hµm sè có các ñiểm cực
ñại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân.
Câu 20. Cho hàm số y =

1 3
x − 2 x 2 + 3 x (1)
3

1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) .
2)Gọi A, B lần lượt là các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ
thị hàm số (1). Tìm ñiểm M thuộc trục hoành sao cho
tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Câu 21. Cho hàm sốy = x3 − 6 x 2 + 9 x − 4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1)
2)Xác ñịnh k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của ñồ thị
hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai tiếp ñiểm là
M 1 , M 2 . Viết phương trình ñường thẳng qua M 1 và M 2
theo k .
Câu 22. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 4 (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1)
2. Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng thuộc ñồ thị (C),
tiếp tuyến với (C) tại A, B, C tương ứng cắt lại (C) tại

A' , B ' , C ' . Chứng minh rằng ba ñiểm A' , B ' , C ' thẳng
hàng.
Câu 23. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1).
2)ðường thẳng ( ∆ ): y = mx + 1 cắt (C) tại ba ñiểm. Gọi
A và B là hai ñiểm có hoành ñộ khác 0 trong ba ñiểm nói
ở trên; gọi D là ñiểm cực tiểu của (C). Tìm m ñể góc
ADB là góc vuông.
Câu 24. Cho hàm số

y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 (1), với m là
tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
m = 1.

2. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời
các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc toạ ñộ O tạo
thành một tam giác vuông tại O .
2

Câu 25. Cho hàm số y = x( − 2 ) ( 2 x − 1) (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1).
2.Tìm m ñể ñồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với
ñường thẳng y = mx . Giả sử M , N là các tiếp ñiểm. Hãy
chứng minh rằng trung ñiểm của ñoạn thẳng MN là một
ñiểm cố ñịnh (khi m biến thiên)
Câu 26. Cho hàm sốy = x 3 − 3 x 2 + 4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1).
2)Gọi d k là ñường thẳng ñi qua ñiểm A ( −1;0 ) với hệ số
góc k ( k ∈ R ) . Tìm k ñể ñường thẳng

d k cắt ñồ
thị (C) tại ba ñiểm phân biệt và hai giao ñiểm B, C ( B và
C khác A ) cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam
giác có diện tích bằng 1 .
Câu 27. Cho hàm sốy = x 3 − 3 x 2 + 4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1).
2)Cho ñiểm I ( −1;0 ) . Xác ñịnh giá trị của tham số thực

m ñể ñường thẳng d : y = mx + m cắt ñồ thị (C) tại ba
ñiểm phân biệt I , A, B sao cho AB < 2 2 .
Câu 28. Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong
ñó m là tham số.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho

khi m = - 1.
2)Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại
xCð, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2Cð= xCT.
Câu 29. Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 , m là
tham số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số khi
m=0
2)Tìm các giá trị của m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của
ñồ thị hàm số ñã cho có hoành ñộ là các số dương.
Câu 30. Cho hàm sốy =

m−x
(Hm). Tìm m ñể ñường
x+2

thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao

3
8
3
Câu 31. Tìm m ñể hàm sốy = x − mx + 2 cắt Ox tại một

Câu 34. Cho hàm số:y =

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số
2) Cho ñiểm A( 0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến
tới ñồ thị (C) sao cho 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2
phía của trục hoành
Câu 35. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 (C)
1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C)

2) Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C)
ở N mà MN = 2 6
Câu 36. Tìm m ñể ñườ ng thẳ ng y=x+4 cắt ñồ thị
hàm
y = xsố3 + 2 mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 ñiểm phân biệt A,
B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B,
C có hoành ñộ khác 0, M(1;3)
Caâu 37.
Tìm
m
ñể
hàm
số

y = x3 − mx 2 + (2 m + 1) x − m − 2 cắt Ox tại 3 ñiểm phân

biệt có hoành ñộ dương
Caâu 38. Tìm hai ñiể m A,B thuộ c ñồ thị hàm số

y = x3 − 3 x 2 + 1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song song
với nhau và AB = 4 2
Caâu 39. Chohs : y =

Câu 32. Cho hàm số y =

2x + 4
(H). Gọi d là ñường
1− x

thẳng có hệ số góc k ñi qua M(1;1). Tìm

k ñể d cắt (H) tại A, B mà AB = 3 10
Câu 33. Tìm m ñể ñồ thị hàm sốy = x 3 − mx 2 + 2 m cắt
trục Ox tại một ñiểm duy nhất

x+m
Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ
x −1

thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A,
B và diện tích tam giác IAB bằng 1
Câu 40. Cho hàm số y =

2x + 1
viết phương trình tiếp
x −1

tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác
có diện tích bằng 8
Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðIỂM CỰC
ðẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ
Câu 1) Cho hàm số y =

1 3
x − mx 2 − x + m + 1
3

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu và khoả
ng
cách giữa ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất

cho tam giác OAB có diện tích bằng

ñiểm duy nhất

x+2
(C)
x −1

y=

1 3
x − mx 2 + mx − 1
3

Câu 2) Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị tại x1 ; x 2 thoả mãn

x1 − x2 ≥ 8
Câu 3) Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= -8
b) Tìm m ñể hàm số có ñường thẳng ñi qua ñiểm cực
ñại cực tiểu vuông góc với ñường thẳng y=3x-7


Câu 4) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + m 2 x + m
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñối xứng
qua ñường thẳng y =

1
5
x−
2
2

Câu 5) Cho hàm số

y = − x 3 + 3 x 2 + 3(m 2 − 1) x − 3m 2 − 1
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu cách ñều
gốc toạ ñộ O.
Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN TIẾP
TUYẾN VÀ ðƯỜNG TIỆM CẬN
Câu 1) Cho hàm số y = x − mx − m + 1 (Cm)
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m ñể tiếp tuyến tại giao ñiểm cuả (Cm) với
trục Oy chắn trên hai trục toạ ñộ một tam giác có
diện tích bằng 8
3

y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 (Cm)
Câu 2) Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m ñể ñường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 ñiểm
phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến tại D và E
của (Cm) vuông góc với nhau.
x+m
Câu 3) Cho hàm số y =

(Hm )
x−2
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m ñể từ A(1;2) kẻ ñược 2 tiếp tuyến AB,AC
ñến (Hm) sao cho ABC là tam giác ñều (A,B là
các tiếp ñiểm)
2 mx + 3
Câu 4) Cho hàm số y =
( Hm) *
x−m
1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
2) Tìm m ñể tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt
2 ñường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện
tích bằng 8
Câu 5) Cho hàm số y =

2x
(H ) *
x +1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của
(H)
cắt 2 trục Ox, Oy tại
1 A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 4
Câu 6) Cho hàm số y =

2x − 1
(H ) *

x −1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

b) Gọi I là giao ñiểm 2 ñường tiệm cận của (H). Tìm
M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M
vuông góc với ñường thẳng IM.
Câu 7) Cho hàm số y =

2x
( H)*
x+2

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng
cách từ tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số (H) ñến tiế
p tuyến là lớn nhất.
Câu 8) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ ñiểm

 19 
A ;4 ñến ñồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 5
 12 
Câu 9) Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số
y = − x 3 + 3 x 2 − 2 mà qua ñó chỉ kẻ ñược một tiếp
tuyến ñến ñồ thị
Câu 10) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng y=2 mà từ
ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 3 − 3 x
Câu 11) Tìm những ñiểm thuộc trục4 tung qua
ñó có thể kẻ
y = x − x2 +

ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs
1
2
Câu 12) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng x=2 từ ñó kẻ
ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 3 − 3 x
Câu 113) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy qua ñó chỉ kẻ
ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y =

Câu 14) Cho hàm số y =

x +1
x −1

x+ m
x −1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
b) Với giá trị nào của m ñồ thị hàm số cắt ñường thẳ
ng y=2x+1 tại 2 ñiểm phân biệt sao cho các tiếp
tuyến với ñồ thị tại 2 ñiểm ñó song song với
nhau.
Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ðỒ THỊ
Câu 1) Cho hàm số y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 − 4m 2
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox
Câu 2) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 3 − m 2
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1


2

b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 ñiểm
phân biệt

x4
5
Câu 3) Cho hàm số y =
− 3x 2 +
2
2

3

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình

x2 − 1(

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
b) Tìm ñể phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt

x 4 − 6 x 2 + 5 = m 2 − 2m
3

2

Câu 4) Cho hàm số y = x − 3mx − 6mx
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1/4
3

b) Biện luận số nghiệm 4 x − 3 x 2 − 6 x − 4a = 0
Câu 5) Cho hàm số y = 4 x 3 − 3 x (C )

− −

Câu 10) Cho hàm số y = x + 3 x - x - 3

x+3
) = 2m + 1
3

Phần bốn: CÁC CÂU TOÁN LIÊN QUAN ðẾN
KHOẢNG CÁCH

−5
3x
Câu 1) Tìm M thuộc (H) y = − 2 ñể tổng khoảng
x
cách từ M ñến 2 ñường tiệm cận −
của H là nhỏ nhất
1
x
Câu 2) Tìm M thuộc (H) : y = + 1 ñể tổng khoảng cách
x
từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất
Câu 6) Tìm m ñể hàm số y=-x+m cắt ñồ thị hàm số

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C )
b) Tìm m ñể phương trình 4 x 3 − 3 x = 4 m 3 − 4 m
có 4 nghiệm phân biệt

Câu 6) Cho hàm số

y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − ( m 2 − 1)
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có
hoành ñộ dương
Câu 7) Cho hàm số

y = x 3 + 2(1 − 2m) x 2 + (5 − 7 m) x + 2(m + 5)
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 5/7
b) Tìm m ñể ñồ thị hs cắt Ox tại 3 ñiểm có hoành ñộ
nhỏ hơn 1.
Câu
y 8) Tìm m ñể hàm số

= 2 x 3 − 3( m + 3) x 2 +18 mx −8 có ñồ thị tiếp xúc với

trục Ox

y=

2x + 1
tại 2 ñiểm A,B mà ñộ dài AB nhỏ nhất
x+2