FREE CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG LÌ THI QUỐC GIA 2016 PHẦN 4 MÔN TOÁN THẦY ĐẶNG VIỆT HÙNG

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P4
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1
4
 1
+
=
 2
y −1
2 x2 + 2 y
Ví dụ 1. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  x + 1

2
3
 y − 2 x + ( y − 2 ) ( x − 2 ) = 4
Lời giải:
y >1
1 1
2 2
ĐK:  2
. Đặt a = x 2 + 1; b = y − 1 ta có + =
a b
a 2 + b2
x + y > 0

4

1 1
1 1
2 2
a + b ≥ a + b
Mặt khác với a; b > 0 ⇒ 
⇒ + ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b > 0
a 2 + b2
 2a 2 + 2b 2 ≥ ( a + b ) a b


(

)

Khi đó: x 2 = y − 2 thế vào PT(2) ta có x 2 − 2 x + 3 x 2 x 2 − 2 = 2, (1)
Do x = 0 không phải là nghiệm nên ta có: (1) ⇔ x − 2 + 3 x −

(1) ⇒ t 3 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ x −

2 2
2
= . Đặt t = 3 x − ta có:
x x
x

 x = −1 ⇒ y = 3
2
=1⇔ 
x

x = 2 ⇒ y = 6

Vậy nghiệm của hệ phương tình ( x; y ) = {( −1;3) ; ( 2; 6 )}

Ví dụ 2. [ĐVH]: Giải bất phương trình

x + 2 + x 2 − x − 2 ≤ 3x − 2

Lời giải:
ĐK: x ≥

⇔

2
(*). Khi đó (1) ⇔ x + 2 − 3 x − 2 + x 2 − x − 2 ≤ 0
3

2 ( x − 2)
x + 2 − 3x + 2
+ ( x + 1)( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2 ) −
≤0
x + 2 + 3x − 2
x + 2 + 3x − 2

2


⇔ ( x − 2)  x + 1 −
≤0
x + 2 + 3x − 2 


Với x ≥

2
2
2
⇒ x +1−
≥ +1−
3
x + 2 + 3x − 2 3

(2)

2
2
+2 +0
3

Do đó ( 2 ) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2. Kết hợp với (*) ta được

=

10 − 3 6
> 0.
6

2
≤ x ≤ 2 thỏa mãn.
3

2 
Vậy (1) có nghiệm là T =  ; 2  .
3 

(

Ví dụ 3. [ĐVH]: Giải bất phương trình 4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 2 x + 3
2

)

2

Lời giải:
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

( 2 x + 10 )(1 − 2 x − 3)
3
2
ĐK: x ≥ − (*). Khi đó (1) ⇔ 4 ( x + 1) <
2
2
1+ 2x + 3

(

⇔ 4 ( x + 1) <

2

8 ( x + 5 )( x + 1)

(1 +

x +1 ≠ 0

⇔
 1 + 2 x + 3

(

)

2

2x + 3

)

2

2

2

)

(

⇔ ( x + 1) 1 + 2 x + 3
2

Facebook: Lyhung95

)

2

< 2 ( x + 1) ( x + 5 )
2

 x ≠ −1
⇔
< 2 ( x + 5)
2 x + 4 + 2 2 x + 3 < 2 x + 10

 x ≠ −1
 x ≠ −1
 x ≠ −1

⇔
⇔
⇔ 3
 2 x + 3 < 3 0 ≤ 2 x + 3 < 9
− 2 ≤ x < 3
Kết hợp với (*) ta được x ≠ −1 và −

3

≤ x < 3 thỏa mãn.
2

 3 
Vậy (1) có nghiệm là T =  − ;3  \ {−1} .
 2 
 2 x ( x − y ) + 2 y ( 4 y − x ) = x + 2 y
Ví dụ 4. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
( x + 2 y + 3 ) 5 − 2 y + ( 3 x − 4 y − 9 ) 2 x − 1 + x = 2 y
Lời giải:
2 x ( x − y ) ≥ 0

2 y ( 4 y − x ) ≥ 0
Điều kiện: 
5 − 2 y ≥ 0, 2 x − 1 ≥ 0
 x ≥ 0, y ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:

2x ( x − y ) + 2 y ( 4 y − x) = x ( 2x − 2 y ) + 2 y ( 4 y − x) ≤

( x + 2 y )( 2 x − 2 y + 4 y − x ) = x + 2 y

x
2y
=
⇔ 4 xy − x 2 = 4 xy − 4 y 2 ⇔ x 2 = 4 y 2 ⇔ x = 2 y
2x − 2 y 4 y − x
Với x = 2 y thay vào phương trình (2) ta ta có:
⇒

( 2 x + 3)

5 − x + ( x − 9 ) 2 x − 1 + x = x ⇔ ( 2 x + 3) 5 − x + ( x − 9 ) 2 x − 1 = 0 (*)

Đặt a = 5 − x , b = 2 x − 1 phương trình (*) trở thành

(b

2

+ 4 ) a − ( a 2 + 4 ) b = 0 ⇔ ab 2 + 4a − a 2 b − 4b = 0

a = b
⇔ ab ( b − a ) − 4 ( b − a ) = 0 ⇔ ( b − a )( ab − 4 ) ⇔ 
 ab = 4
+) Với a = b ⇒ 5 − x = 2 x − 1 ⇔ 5 − x = 2 x − 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1
+) Với ab = 4 ⇒
Ta có

( 5 − x )( 2 x − 1) = 4 (**)

( 5 − x )( 2 x − 1) =

1

(10 − 2 x )( 2 x − 1) ≤

2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 2;1)

9
2 2

< 4 ⇒ (**) VN

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

( x + 6 y + 3) xy + 3 y = y ( 8 y + 3 x + 9 )
Ví dụ 5. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
2
 − x + 8 x − 24 y + 417 = ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16

Lời giải:
ĐK: y ≥ 1; xy + 3 y ≥ 0; − x 2 + 8 x − 24 y + 417 ≥ 0 (*)
Khi đó (1) ⇔ ( x + 6 y + 3) . y . x + 3 = y ( 8 y + 3 x + 9 ) .

Đặt

x + 3 = a ≥ 0;

y = b ≥ 1 ⇒ (1) trở thành

(a

+ 6b 2 ) ab = b 2 ( 8b 2 + 3a 2 )

2

⇔ b ( a 3 + 6ab 2 − 8b3 − 3a 2b ) = 0 ⇔ b ( a − 2b ) ( a 2 − ab + 4b 2 ) = 0

(3)

2

b  15b 2

Với b ≥ 1 có a − ab + 4b =  a −  +
> 0. Do đó ( 3) ⇔ a − 2b = 0 ⇔ a = 2b
2
4

2

2

⇒ x + 3 = 2 y ⇒ x + 3 = 4 y ⇔ x = 4 y − 3.
Thế vào (2) ta được

− ( 4 y − 3) + 8 ( 4 y − 3) − 24 y + 417 = ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16
2

⇔ −16 y 2 + 32 y + 384 = ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16 ⇔ 4 − y 2 + 2 y + 24 = ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16
⇔4

( y + 4 )( 6 − y ) = ( y + 2 )

y − 1 + 4 y + 16 ⇔ 4 y + 4. 6 − y = ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16

Áp dụng BĐT Cô-si ta có 4 y + 4. 6 − y ≤ 4.

( y + 4 ) + ( 6 − y ) = 20.
2

Với y ≥ 1 ⇒ ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16 ≥ 0 + 4 + 16 = 20.
Do đó 4 y + 4. 6 − y ≤ ( y + 2 ) y − 1 + 4 y + 16. Dấu " = " xảy ra ⇔ y = 1 ⇒ x = 4.1 − 3 = 1.
Thử lại x = y = 1 thỏa mãn hệ đã cho. Đ/s: ( x; y ) = (1;1) .

Ví dụ 6. [ĐVH]: Giải bất phương trình ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 2 > x 2 + x − 1
Lời giải:
ĐK: x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ (*)
2

Khi đó (1) ⇔ x 2 + x − 1 − ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 2 < 0

)

(

⇔ ( x2 − 2 x − 7 ) + 3 ( x + 2) − ( x + 2) x2 − 2 x + 2 < 0 ⇔ ( x2 − 2 x − 7 ) + ( x + 2) 3 − x2 − 2 x + 2 < 0
⇔ ( x − 2x − 7) +
2

( x + 2) (9 − x2 + 2 x − 2)
3 + x2 − 2 x + 2

< 0 ⇔ ( x − 2x − 7) −
2



x+2
2
⇔ ( x2 − 2 x − 7 ) 1 −
 < 0 ⇔ ( x − 2x − 7)
2
 3 + x − 2x + 2 
Với ∀x ∈ ℝ có

x2 − 2 x + 2 =

(1 − x )

2

+1 >

(1 − x )

2

(

( x + 2 ) ( x2 − 2 x − 7 )
3 + x2 − 2 x + 2

)

x2 − 2x + 2 +1 − x < 0

<0

(2)

= 1 − x ≥ − (1 − x ) ⇒ x 2 − 2 x + 2 + 1 − x > 0.

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Do đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 2 x − 7 < 0 ⇔ 1 − 2 2 < x < 1 + 2 2.

(

)

Vậy (1) có nghiệm là T = 1 − 2 2;1 + 2 2 .
17 − x 2
= x 3 + x + 2 63 − 14 x − 18 y

Ví dụ 7. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  y
 x x 2 + 2 x + 9 + 12 y = 34 + 2 (13 − 3 y ) 17 − 6 y

)
 (

(

)

Lời giải.
17
Điều kiện 0 ≤ y ≤ ; x ≥ 0;63 − 14 x − 18 y ≥ 0 .
6
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
x3 + 2 x 2 + 9 x = (17 − 6 y ) 17 − 6 y + 2 (17 − 6 y ) + 9 17 − 6 y .
Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 2t 2 + 9t ⇒ f ′ ( t ) = 3t 2 + 4t + 9 = ( t + 2 ) + 2t 2 + 5 > 0, ∀t ∈ ℝ .
Suy ra hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ℝ . Hơn nữa
 x 2 = 17 − 6 y
f ( x ) = f 17 − 6 y ⇔ x = 17 − 6 y ⇔ 
x ≥ 0
Phương trình thứ nhất của hệ lúc đó trở thành
6y
= 3 x + x + 2 63 − 14 x + 3 ( x 2 − 17 ) ⇔ 6 = 3x + x + 2 3x 2 − 14 x + 12
y
2

(

)

3 ( 2 − x ) − x = 2 3 ( x2 − 4 x + 4) − 2 x ⇔ 3 ( 2 − x ) − x = 2 3 ( 2 − x ) − 2 x
2

Đặt 2 − x = u; x = v ( v ≥ 0 ) thu được
3u − v ≥ 0
3u − v = 2 3u 2 − 2v 2 ⇔  2
2
2
2
9u − 6uv + v = 12u − 8v
3u − v ≥ 0
3u − v ≥ 0
3u − v ≥ 0

⇔ 2
⇔
⇔  u = v
2
( u − v )( u + 3v ) = 0
u + 2uv − 3v = 0
 u = −3v

0 ≤ x ≤ 2
3u − v ≥ 0
u ≥ 0; v ≥ 0
0 ≤ x ≤ 2
• 
⇔
⇔
⇔
⇔ x = 1.
x +2 =0

u = v
u = v
2 − x = x
 x − 1
3u − v ≥ 0
−10v ≥ 0
v ≤ 0
v = 0
x = 0
• 
⇔
⇔
⇒
⇔
(Hệ vô nghiệm).
u = −3v
u = −3v
u = −3v u = 0
x = 2
 8
Từ đây đi đến kết luận hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 1;  .
 3

(

Ví dụ 8. [ĐVH]: Giải bất phương trình

( 35 − 12 x )

)(

)

x 2 − 1 > 12 x

Lời giải:
Bất phương trình ⇔ 35 x 2 − 1 > 12 x(1 + x 2 − 1)

Với x ∈ ( −∞; −1] là nghiệm của bất phương trình.
Với x = 1 không là nghiệm.
Với x ∈ (1; +∞ ) chia hai vế cho 12 x 2 − 1 ta được :

x
x −1
2

+x<

35
12

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

2

2
 x
  35 2
x4
2 x2
 35 
⇔
+ x <   ⇔ 2
+
−  < 0
2
x −1
x 2 − 1  12 
 x −1
  12 
x2
25
25
25
5
5
⇔
<
⇔ 144 x 4 − 625 x 2 + 625 < 0 ⇔
< x2 <
⇔ < x<
2
16
9
4

3
x − 1 12
5
5
5 5
Với x > 1 nên < x < Vậy bất pt có nghiệm : x ∈ ( −∞; −1] ∪  ; 
4
3
 4 3

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!