Bài giảng toán cao cấp a2 th s nguyễn hoàng anh khoa

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ


BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2

Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 02 năm 2014


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Số phức
Tập hợp các số thực R đã rất phong phú. Tuy nhiên nếu chỉ biết các số thực thì một
phương trình đơn giản như
x 2 + 1 = 0 hay x 2 = -1 (1)
sẽ không có nghiệm vì không có số thực nào bình phương lên lại bằng -1.
Giả sử tồn tại i sao cho i2=-1 ta gọi i là đơn vị phức
a. Định nghĩa: Số phức là số có dạng z = a + bi với a,b  R. Trong đó, a gọi là
phần thực của z kí hiệu a=Re(z) và b gọi là phần ảo của z kí hiệu b=Im(z)
b. Số phức liên hợp: Xét số phức z = a + bi. Số phức a - bi gọi là số liên hợp của z
= a + bi và ký hiệu là z
c. Các phép toán
- Phép cộng
- Phép nhân
- Phép chia
- Lũy thừa bậc n
- Căn bậc n
d. Các dạng biểu diễn của số phức

Dạng hình học
Dạng lượng giác của số phức:
Giả sử z = r(cos φ + i sin φ) và z’ = r’(cos φ’ + i sin φ’)
- Tích của hai số phức ở dạng lượng giác:
z.z’= (r + r’)[cos(+’) + i.sin(+’)]
- Thương của hai số phức:
z r
 [ cos(φ -φ’) + i sin(φ -φ’)]
z' r'
- Công thức Moive:
zn = rn (cosnφ + i sinnφ), n  N
- Căn bậc n của z ≠ 0 có n giá trị là:

  2k 
  2k  
z k  n r  cos  
  isin  
  , i = 0;1;2..;(n-1).
n
n
n
n





Ví dụ: Tính các căn bậc ba của 1. Vì 1 = cos0 + isin0 nên các căn bậc ba của 1 là
 0 2k 
 0 2k 

z k = cos  
  isin  
 , k = 0, 1, 2
3 
3 
3
3
1
2

Vậy có ba căn bậc ba của 1 là: z 0 = 1; z 1 =   i

3
1
3
; z2 =   i
2
2
2

1


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
1.1.2. Không gian vectơ
a. Định nghĩa: Cho V là tập hợp khác rỗng mà mỗi phần tử gọi là một vectơ, K là
một trường (K là R hoặc C). Trên V xây dựng 2 phép toán cộng và nhân như sau:
:VV  V
: K  V  V
và

(a, b)  a  b
(,a)  a
Lúc đó V được gọi là một K - KGVT nếu V cùng với hai phép toán “+” và “x” ở
trên thoả 8 tiên đề sau :
TĐ1: u,vV ta có: u + v = v + u
TĐ2: u,v,wV ta có: u + (v + w) = (u + v) + w
TĐ3: V:  + u = u ( gọi là phần tử trung hòa)
TĐ4: uV,  -uV: u + (-u) =  (-u gọi là phần tử đối của u)
TĐ5: u,vV, kK ta có: k(u + v) = ku + kv
TĐ6: uV, k,hK ta có: (k + h)u = ku + hu
TĐ7: uV, k,hK ta có: k(hu) = (kh)u
TĐ8: uV ta có: 1.u = u
Nếu K = R thì V gọi là KGVT thực (gọi tắc là KGVT), nếu K = C thì V gọi là
KGVT phức.
Ví dụ 1: Kí hiệu Rn = {x=(x1;x2;..;xn) | x1,x2,...,xn  R}, trên Rn với 2 phép toán
cộng x + y = (x1 + y1; x2 + y2; ...; xn + yn) và nhân kx = (kx1;kx2; ...; kxn) với mọi
x=(x1;x2;...xn); y=(y1;y2;...yn)  Rn. Chứng minh Rn với hai phép toán cộng và nhân
trên là một KGVT.
Hd:  = (0;0;...;0)
Ví dụ 2: Chứng minh P2 = {p=a+bx+cx2 | a,b,c  R} (tập các đa thức bậc không
quá 2) với 2 phép toán cộng và nhân thông thường (phép cộng hai đa thức và phép
nhân một số với đa thức) là một không gian vectơ.
Hd:  = 0 + 0x + 0x2
b. Các tính chất cơ bản
 Phần tử trung hòa là duy nhất
 Với mọi a, b, c  V : a + c = b + c thì a = b
 Với mọi a  V, (-1).a = -a
 Với mọi k  K, a  V ta có: k.a =   k = 0 hoặc a = .
1.1.3. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Cho V là một không gian vectơ và S = {u1,u2,...,un}  V

a. Biểu thị tuyến tính: Phần tử uV gọi là biểu thị tuyến tính được qua S nếu tồn
tại k1, k2, …, kn  K sao cho: k1u1 + k2u2 + … + knun = u.
Khi đó, k1u1 + k2u2 + … + knun gọi là một tổ hợp tuyến tính của u.
2


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Ví dụ 3: Cho S = {p1=x+x2; p2=1+x2; p3=1+x} P2. và p = 3 + 4x + 5x2. Hãy tìm
biểu thị tuyến tính p qua hệ S (nếu có).
Giải: Ta có k1p1 + k2p2 + k3p3 = p
 k1(x+x2) + k2(1+x2) + k3(1+x) = 3 + 4x + 5x2
k 2  k3  3

 k1  3


 k 3  4  k 2  2 .
  k1
k  k
k  1
5
 3
2
 1
Vậy p = 3p1 + 2p2 + p3
b. Độc lập tuyến tính: Hệ S gọi là độc lập tuyến tính nếu
k1u1 + k2u2 + … + knun =   k1 = k2 =…= kn = 0
c. Phụ thuộc tuyến tính: Hệ S gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu S không độc lập
tuyến tính.
Ví dụ 4: Trong KGVT R3 cho T = {u1 = (0;1;1); u2 = (1;0;1); u3 = (1;2;3)}. Kiểm

tra xem T độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải: Ta có k1u1 + k2u2 + k3u3 =   k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;2;3) = (0;0;0)
k 2  k 3  0 k1  2t



 2k 3  0  k 2   t , t R  T phụ thuộc tuyến tính.
  k1
k  k  3k  0 k  t
2
3
 3
 1

d. Một số tính chất
 Bất kỳ một hệ vectơ nào chứa θ thì hệ đó phụ thuộc tuyến tính.
 Hệ S độc lập tuyến tính trong V. Khi đó nếu bất kỳ vectơ nào biểu thị tuyến
tính được qua S thì sự biểu thị đó là duy nhất.
1.1.4. Hệ sinh, cơ sở. Tọa độ của vectơ
Cho V là một không gian vectơ và S = {u1,u2,...,un}  V
a. Hệ sinh: S gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ u  V, u biểu thị tuyến tính được
qua hệ S.
hay hệ k1u1 + k2u2 + … + knun = u có nghiệm với mọi u  V.
b. Cơ sở: S là cơ sở của V nếu S độc lập tuyến tính và S là hệ sinh.
hay hệ k1u1 + k2u2 + … + knun = u có duy nhất nghiệm với mọi u  V.
c. Định lí: (Không gian vectơ n chiều)
- Nếu V là KGVT có một cơ sở gồm n vectơ thì mọi cơ sở khác đều có đúng n
vectơ. Khi đó ta nói V là một KGVT n chiều.
- Nếu V là một KGVT n chiều thì mọi hệ độc lập tuyến tính của V có n vectơ đều
là cơ sở.

Chú ý: E = {e1=(1;0;0;...;0;0); e2=(0;1;0;...;0;0); en=(0;0;0...;0;1)} là một cơ sở của
KGVT Rn (gọi là cơ sở chính tắc) nên Rn là KGVT n chiều.
3


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
d. Toạ độ của vectơ
Nếu T = {u1 ;u2 ; . . . ;un } là cơ sở của V thì mọi vectơ x thuộc V đều tồn tại duy
nhất bộ (x1 ;x2 ;. . . xn) sao cho x=x1u1+x2u2+…+xn un. Khi đó, ta gọi bộ
(x1;x2;...;xn) là toạ độ của x đối với cơ sở T.
Kí hiệu xT = (x1 ;x2 ;. . . ;xn ) hay viết đưới dạng ma trận  x T

 x1 
x 
  2 .
 ... 
 
xn 

Ví dụ 5: Trong KGVT R3 cho T = {(0;1;1); (1;0;1); (1;1;0)}. Chứng minh T là cơ
sở của R3. Tìm tọa độ của vectơ x = (3 ;4 ;5) đối với cơ sở T.
Giải: Với mọi (x;y;z)  R3 ta có
k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;1;0) = (x;y;z)
k2  k3  x


 k3  y
  k1
k  k
z

2
 1
0 1 1
Ta có D = 1 0 1  2  0  hệ có duy nhất nghiệm  T là cơ sở.
1 1 0

Tìm tọa độ của x = (1;2;3) đối với cơ sở T
Ta có x1(0;1;1) + x2(1;0;1) + x3(1;1;0) = x
x 2  x 3  1  x1  2



 x 3  2  x 2  1
  x1
x  x
 3  x 3  0
2
 1

Vậy xT=(2;1;0).
e. Bài toán đổi cơ sở
Giả sử T = {u1 ;u2 ; . . . ;un } và T’ = {u’1 ;u’2 ; . . . ;u’n} là hai cơ sở của KGVT n
chiều V, x  V và
 x1 
 x '1 
x 
x ' 
2
 x T   ...  và  x T '   ...2  .
 

 
xn 
 x 'n 
Hãy tìm mối liên hệ giữa [x]T và [x]T’ .

4


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
 p1i 
p 
,
Giả sử  u i    2i  , i  1,2,..,n.
T
  
 
 p ni 
Ta có x = x1u1 + x2u2 + … + xnun
= x’1u’1 + x’2u’2 + … + x’nu’n
= x’1(p11u1 + p21u2 + … + pn1un) + x’2(p12u1 + p22u2 + … + pn2un) + ... +
+ x’n(p1nu1 + p2nu2 + … + pnnun)
= (x’1p11 + x’2p12 + … + x’np1n)u1 + (x’1p21 + x’2p22 + … + x’np2n)u2 + … +
+ (x’1pn1 + x’2pn2 + … + x’npnn)un
 x1  p11x’1  p12 x’2    p1n x’n
 x  p x’  p x’    p x’

21 1
22 2
2n
n

Suy ra  2
hay [x]T = P. [x]T’


 x n  p n1x’1  p n2 x’2    p nn x’n

trong đó

 p11 p12
p
p 22
'
'
'
P  [u1 ]T ,[u 2 ]T ,...,[u n ]T    21
 


 p n1 p n 2

 p1n 
 p 2n 

  

 p nn 

gọi là ma trận chuyển cơ sở từ T sang T’.
Ví dụ 6: Trong KGVT R3 cho hai cơ sở T ={u1=(0;1;1); u2=(1;0;1); u3=(1;1;0)} và
B={v1=(1;1;1); v2=(1;1;0); v3=(1;0;0)}. Tìm ma trận đổi cơ sở từ T sang B. Cho

xT=(1;2;3), tìm tọa độ của x đối với cơ sở B.
Giải: Ta có: k1u1 + k2u2 + k3u3 = v1  k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;1;0) = (1;1;1)
k 2  k3  1


 k3  1 
  k1
k  k
1
2
 1

 k1  1 / 2
1 / 2 



k 2  1 / 2   v1 T  1 / 2 
k  1 / 2
1 / 2 
 3

0
 1 / 2 
Tương tự, ta có:
 v 2 T  0 và  v3 T   1 / 2 
1 
 1 / 2 
1
0 1 

2
2

Vậy ma trận đổi cơ sở từ T sang B là: P   1
0 1 
2
2

1
1 1 
 2
2
Ta có [x]T = P. [x]B  [x]B = P-1. [x]T = ....

5


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
1.2. Ánh xạ tyến tính
1.2.1 Định nghĩa
Cho X,Y là hai KGVT. Ánh xạ f:XY gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa 2 tính
chất sau:
i) f(x+y)=f(x)+f(y)
ii) f(kx)=kf(x)
Ví dụ 1: Chứng minh ánh xạ f:R2R3 với f(x;y)=(y; x; x + y)là ánh xạ tuyến tính.
Giải
2
Với mọi u=(x;y), v=(x’;y’)  R và với mọi k  R.
Ta có: f(u + v) = f(x + x’; y + y’) = (y + y’; x + x’; x + x’ + y + y’)
(1)

Mặt khác: f(u) + f(v) = f(x;y) + f(x’;y’) = (y; x; x + y) + (y’; x’; x’ + y’)
= (y + y’; x + x’; x + x’ + y + y’)
(1’)
Từ (1) và (1’) suy ra: f(u + v) = f(u) + f(v)
(I)
Ta có:
f(ku) = f(kx;ky)=(ky; kx; kx + ky) = k(y; x; x + y)
(2)
Mặt khác kf(u) = kf(x;y) = k(y; x; x + y)
(2’)
Từ (2) và (2’) suy ra: f(ku) = kf(u)
(II)
Từ (I) và (II) suy ra f là AXTT
Ví dụ 2: Chứng minh ánh xạ f:P2P1 với f(p(x))=p’(x)là ánh xạ tuyến tính.
Định lí: f:XY là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi f(hx+ky)=hf(x)+kf(y) với mọi
x,yV và h,k  R.
Nhận xét: Ánh xạ tuyến tính được xác định khi biết ảnh của một cơ sở.
Ví dụ 3: Cho f:R2R2 là ánh xạ tuyến tính biết f(1;1)=(3;4), f(2;3)=(5;2). Xác
định ánh xạ f.
Giải
2
Với mọi (x;y)  R
Ta có k1(1;1) + k2(2;3) = (x;y)
k  2k 2  x
k  3x  2y
 1
 1
k1  3k 2  y
k 2  y  x
Mặt khác

f(x;y) = f(k1(1;1) + k2(2;3))
= k1f(1;1) + k2f(2;3)
= k1(3;4) + k2(5;2)
= (3k1 + 5k2; 4k1 + 2k2)
= (4x – y; 10x – 6y)
Vậy f(x;y) = (4x – y; 10x – 6y)

6


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
1.2.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f:XY.
Tập hợp Kerf :={xX |f(x)=0Y} gọi là hạt nhân của AXTT f
Tập hợp Imf :={yY|xX sao cho f(x)=y} gọi là ảnh của AXTT f
Ví dụ 4: Tìm ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f:R3R2 với f(x;y;z)=(x–y; y–z).
1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa: Cho f: XY là AXTT, B là cơ sở của X và B’ là cơ sở của Y. Ma
trận A sao cho A[x]B=[f(x)]B’ gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ
sở B, B’.
Định lí: Cho f: XY là ánh xạ tuyến tính, B={u1,u2,…,um} là một cơ sở của X và
B’={u’1,u’2,…,u’n} là một cơ sở của Y . Khi đó
A=[[f(u1)]B’, [f(u2)]B’,…, [f(um)]B’]
là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở B, B’.
Đặc biệt
- Nếu X=Y và B=B’ thì ta nói A là ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở B.
- Nếu B và B’ là các cơ sở chính tắc thì A gọi là ma trận chính tắc của f.
Ví dụ 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 3 với f(x; y; z) = (x+y ; x+z ; y+z) và 2
cơ sở của R3 là B={u1=(1;1;0); u2=(1;0;1); u3=(0;1;1)} } và T={v1=(0;1;1);

v2=(1;0;1); v3=(1;1;0)}. Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B.
Giải
Ta có f(u1) = f(1;1;0) = (1+1; 1+ 0; 1+ 0) =(2;1;1)
 k 2  k 3  2  k1  0
0


f(u1) = k1v1 + k2v2 + k3v3   k1  k 3  1   k 2 1  [f(u1)]T= 1 
 
k  k 1
k  1
1 
2
 1
 3
 1
Tương tự f(u2) = (1;2;1)  [f(u2)]T= 0 
 
 1
1 
Tương tự f(u3) = (1;1;2)  [f(u3)]T= 1 
 
0 

0 1 1 


Vậy A  1 0 1 
1 1 0 

7


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
1 2 
Ví dụ 2: Cho A  
là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :R2R2 đối với cơ

3 4 
sở B={u1=(1;1); u2=(2;3)}. Xác định f.
Định lí (Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong phép đổi cơ sở)
Nếu A là ma trận của f đối với cơ sở B và A’ là ma trận của f đối với cơ sở B’ thì
A’=P-1AP
với P là ma trận đổi cơ sở từ B sang B’
 0 1
Ví dụ 3: Cho A  
là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :R2R2 đối với cơ sở

 2 3
B={u1=(1;1); u2=(1;2)}. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở
B’={u’1=(3;1); u’2=(1,4)}.
1.3.2. Hạng của ánh xạ tuyến tính
Hạng của ánh xạ tuyến tính là hạng của ma trận của ánh xạ tuyến tính đó.

8


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Bài tập chương 1
1. Trong không gian vectơ R3 cho u = (1;2;3) và hệ B = {u1; u2; u3} với u1=(0;1;1);

u2=(1;0;1); u3=(1;1;0). Chứng minh B là cơ sở của R3. Tìm tọa độ của vectơ u đối
với cơ sở B.
2. Trong không gian vectơ P2 gồm các đa thức bậc không quá 2, cho hệ
B={p1=1+x+x2; p2=x+x2; p3 =1+x } và p=3+2x+x2. Chứng minh B là một cơ sở của
P2. Tìm tọa độ của vectơ p đối với cơ sở B.
3. Trong không gian vectơ R3 cho u=(2;3;4) và cơ sở B={u1;u2;u3} với u1=(1;1;1);
u2=(1;1;0); u3=(1;0;0). Xác định ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở B.
Từ đó tìm tọa độ của vectơ u đối cơ sở B.
4. Trong không gian vectơ P2 gồm các đa thức bậc không quá 2, cho hai cơ sở
B={p1=1+x+x2; p2=x+x2; p3 =x2} và B’={ p’1=1+x; p’2=1+x2; p’3= x+x2}
a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B sang B’.
b) Cho (p)B = (1; 2; 3). Tìm tọa độ của p đối với cơ sơ B’.
5. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 3 biết f(1;2;3) = (3;2;1); f(1;2;0) = (2;1;0);
f(1;0;0) = (1;0;0). Xác định f, tìm ma trận chính tắc của f.
6. Cho ánh xạ f: R2 R3 với f(x;y) = ( x; x + y ; x – y)
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở B={u1=(0;1);
u2=(1;1)} và B’={u1' = (1;0;0); u2' = (1;1;0); u3' = (1;1;1)}
7. Cho ánh xạ tuyến tính f : P2  P2 với f(a + bx + cx2) = b + 2cx và hai cơ sở
B={p1=1+x2; p2=x+x2; p3 =1+x2} và T = {q1=1+x+x2; q2= x+x2; q3=x2} của P2 (P2
là không gian vectơ các đa thức bậc không quá 2). Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến
tính f đối với cặp cơ sở B và T.
1 2 3
8. Cho A  
là ma trận của AXTT f : R3  R2 đối với cặp cơ sở

4 5 6
B={u1=(1;0;0); u2=(1;1;0); u3=(1;1;1)} và B’={u1’=(0;1); u2’=(1;1)}. Xác định f.

1 2 3 



9. Cho A  0 4 5 là ma trận của ánh xạ tuyến tính f:R3R3 đối với cơ sở


0 0 6
B={u1; u2; u3} với u1=(1;2;3); u2=(0;1;2); u3=(0;0;1). Xác định f.

1 2 3


10. Cho Cho A  4 5 6 là ma trận của ánh xạ tuyến tính f:R3R3 đối với cơ


7 8 9 
sở B = {u1=(1;1;1); u2=(1;1;0); u3=(1;0;0)}. Tìm ma trận của f đối với cơ sở
B’={u1=(1;2;3); u2=(0;2;3); u3=(0;0;3)}.
9


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
CHƯƠNG 2. CHÉO HÓA MA TRẬN
2.1. Giá trị riêng, véc tơ riêng
Định nghĩa:
A là ma trận vuông cấp n. Số k gọi là giá trị riêng của A nếu phương trình Ax=kx
có nghiệm x ≠0.
Véc tơ x≠0 nói trên gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng k.
Nhận xét:
- Nếu k là giá trị riêng thì det(A-kI)=0 (gọi là phương trình đặc của A)
- Nghiệm khác không của phương trình Ax=kx là các véc tơ riêng ứng với giá trị

riêng k.
Ví dụ: Tìm véc tơ riêng của ma trận
Phương trình đặc trưng

3k
1

 3 2
A

 1 0 

2
 0 k2-3k+2=0k =1 hoặc k=2.
k

vậy có hai giá trị riêng k=1 và k=2.
t
Với k=1 ta có các véc tơ riêng x=   , t≠0
t 
 2t 
Với k=2 ta có các véc tơ riêng x=   , t≠0.
t 
2.2. Vấn đề chéo hóa ma trận
Bài toán 1: Cho ma trận vuông A có hay không ma trận P sao cho A’=P-1AP là ma
trận chéo? xác định P và A’.
Bài toán 2: Cho ánh xạ tuyến tính f : XX có hay không một cơ sở sao cho ma
trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở đó là ma trận chéo. Xác định cơ sở đó và
tính ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở đó.
Định nghĩa: Hai ma trận A, B gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận P sao cho

B = P-1AP
Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông, A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại P sao cho
P-1AP là ma trận chéo.
Định lí: Nếu ma trận A có n véc tơ riêng p1,p2,…,pn độc lập tuyến tính ứng với n
giá trị riêng k1,k2,..,kn thì P=[ p1;p2,…,pn] làm chéo hóa A. Hơn nữa,

 k1 0
0 k
2
-1
A’= P AP= 
 

0 0





0
0



 kn 

10


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

Nhận xét:
- Nếu pi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng ki (i = 1,2,..,n) thì {p1, p2,...pn} độc
lập tuyến tính.
- Hai ma trận đồng dạng có cùng các GTR và VTR.
1 1 4
Ví dụ 1. Cho A   2 0 4  . Tìm ma trận P làm chéo hóa A, xác định P-1AP.
 1 1 5 


Giải
Phương trình đặc trưng -k +6k -11k+6=0 có 3 nghiệm k = 1 ; k = 2 ; k = 3
3

 x1 
Với k = 1, ta có A  x 2  = 1.
 x 3 

2

 x1 
 x 2  4x 3  0
 x1  0
 x    2x  x  4x  0   x  4t
 1
 2
2
3
 2



 x 3 
 x1  x 2  4x 3  0  x 3  t

0
Chọn t = 1 ta được vectơ riêng tương ứng p1 =  4 
 
 1 
Tương tự,
1 
k = 2 ta được vectơ riêng tương ứng p2 = 1 
 
0 
 2
k = 3 ta được vectơ riêng tương ứng p3 =  0 
 
1 
 0 1 2
1 0 0
Vậy P   4 1 0  làm chéo hóa A và A '  P 1AP   0 2 0 
 1 0 1
 0 0 3




1 2 
Ví dụ 2. Cho A  
là ma trận của ánh xạ tuyến tính f:R2R2 đối với cơ sở

0 3 

B={u1=(1;1); u2=(1;0)}. Tìm một cơ sở B’ của R2 sao cho ma trận A’ của ánh xạ
tuyến tính f đối với cơ sở B’ là ma trận chéo, xác định A’.
Giải
Phương trình đặc trưng (-1)(-3)=0 =1 hoặc =3
t 
Các véc tơ riêng ứng với GTR =1 là x    , t  0 .
0

11


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
t
Các véc tơ riêng ứng với GTR =3 là x    , t  0 .
 t 
1 1 
Suy ra ma trận P  
 làm chéo hóa A
0

1


Gọi B’={u1’;u2’} là cơ sở của R2 sao cho P là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.
Khi đó, ta có
u1’= u1 + 0.u2 = (1;1)
u2’= u1 - u2 = (0;1)
1 0 
Vậy B’ = { u1’=(1;1); u2’= (0;1)} và A '  P 1AP  

 là ma trận của f đối với
0
3


cơ sở B’.

Bài tập chương 2
1. Tìm ma trận P làm chéo hóa A, xác định P-1AP trong các trường hợp sau:
1 4 0 
 3 1 1
 3 3 1 
a) A  3 2 0 
b) A   1 1 1 
c) A   3 5 3






1 1 5 
 1 1 1 
 4 6 6 
2. Cho ánh xạ tuyến tính T:R3R3 biết T(x;y;z)=(3x-2y;-2x+3y;5z)
Tìm một cơ sở của R3 sao ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo, xác định
ma trận đó.
1 3
2013
3. Cho A  

 . Tính A .
4 2

12


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
CHƯƠNG 3: CHUỖI
3.1. Chuỗi số
3.1.1 Định nghĩa
Cho dãy số u1, u2, …, un, …
Tổng vô hạn
u1 + u2 + … + un + …

(1)


được gọi là chuỗi số (gọi tắt là chuỗi) và được kí hiệu là

u

n

.

n 1

Các số u1,u2, …,un, … gọi là các số hạn của chuỗi, un được gọi là số hạn tổng quát.
n

Tổng Sn   u k  u 1  u 2  ...  u n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
k 1





 u n hội tụ và có tổng là S và ta viết

Nếu limSn  S  R thì ta nói chuổi

n 1

u

n

S

n 1



Nếu chuỗi

u

n

không hội tụ ta nói chuỗi đó phân kì.

n 1

Hiệu Rn = S – Sn gọi là phần dư thứ n của chuỗi số.


Ví dụ 1: Tính tổng của chuỗi

q

n 1

(nếu có), trong đó q là số thực cho trước.

n 1



Giải: Tổng riêng thứ n của chuỗi

 q n 1 với (q≠1) là: Sn 
n 1

Nếu |q| < 1 thì limSn 

1  qn
1 q

1
1 q

Nếu |q| > 1 thì limSn  
Nếu q =1 thì limSn   .
Nếu q = -1 thì (Sn) không có giới hạn.

1
Vậy |q| < 1 thì  q n 1 
và |q| ≥ 1 thì
1 q
n 1



q

n 1

phân kì

n 1



Ví dụ 2: Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi

1

 n(n  1) .
n 1

Giải: Ta có

1
1
1
 
, n
n(n  1) n n  1

Tổng riêng
1 
1
 1 1 1 1 1
1
Sn  1            ...   
1
 1
n 1
 2  2 3 3 4
 n n 1


Vậy

1

 n(n  1)  1
n 1

13

Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
3.1.2. Các tính chất


Định lí 1 (điều kiện cần): Nếu chuỗi

u

n

hội tụ thì lim | u n | 0 .

n 1

Chứng minh


Vì chuỗi

u

n

hội tụ nên limSn  S 

n 1

Mặt khác, ta có u n  Sn  Sn 1 với mọi n  N.

Do đó lim | u n || S  S | 0 .
Chú ý: Điều ngược lại của định lí nói chung không đúng.

1
Ví dụ 3: Xét chuỗi điều hoà chuỗi  . Ta có, limun = 0
n 1 n
1 1
Mặt khác, ta có :  , x  [n;n+1] với mọi n N,do đó,
n x

mọi n N, hay

1

n

n 1


n

n 1


n

n 1

1
dx 

n

1

 xdx

với

n

1
dx với mọi n N
x
n 1

Cộng các bất đẳng thức trên ta có Sn 


1

1
dx  ln(n  1)  ∞ do đó
x



1

n

phân kì.

n 1



Định lí 2: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số

u

n

hội tụ là với mọi >0, tồn tại số tự

n 1

nhiên n0 sao cho với mọi m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| < .
Chứng minh


Vì chuỗi

u

n

hội tụ nên dãy (Sn) hội tụ. Theo định lí Côsi ta có với mọi >0, tồn

n 1

tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| < 
Ngược lại, nếu với mọi >0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m>n0, n>n0 ta


có |sm – Sn| <  thì (Sn) là dãy Côsi do đó (Sn) hội tụ do đó

u

n

hội tụ.

n 1



Định lí 3: Nếu



 u n  S thì
n 1


Định lí 4: Nếu

u
n 1

 au

n

 aS , với a là số thực kất kì cho trước.

n 1


n

 S và

v
n 1


n

 T thì

 (u

n

 vn )  S  T

n 1

Định lí 5: Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi không đổi khi ta thay đổi một số hữu
hạn các số hạn đầu.

14


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
3.1.3 Chuỗi số dương
a. Định nghĩa:


Chuỗi

u

n

, trong đó an ≥ 0 với mọi n  N được gọi là chuỗi số dương. (2)

n 1

b. Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương


u

Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương

n

hội tụ là dãy tổng riêng

n 1

tương ứng (Sn) bị chặn trên.
Chứng minh


Nếu

u

n

hội tụ thì dãy (Sn) có giới hạn do đó (Sn) bị chặn.

n 1

Ngược lại, Giả sử (Sn) bị chặn trên.
Mặt khác, do Sn+1 – Sn = un+1 > 0 nên (Sn) tăng.


Vậy (Sn) tăng và bị chặn trên, do đó (Sn) hội tụ hay

u

n

hội tụ.

n 1



Tính chất: Chuỗi

1

n

hội tụ khi  > 1, phân kì khi   1.



n 1



Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi

2
n 1

n

1
5

n

n
1

1
1
  k  1  n  1.
Ta có Sn   k
2
k 1 2  5
k 1 2
Vậy (Sn) bị chặn trên do đó chuỗi hội tụ.
Định lí 2: (Dấu hiệu so sánh)


Cho hai chuỗi số dương

u
n 1


n

và

v

n

. Nếu tồn tại số dương c sao cho

n 1

u n  c.v n , n  N thì :



i) nếu chuỗi

v


n

hội tụ suy ra chuỗi

n 1

u

hội tụ.

n

n 1



ii) nếu chuỗi

u


n

phân kì suy ra chuỗi

n 1

v

n

phân kì.

n 1

Chứng minh


Gọi Sn và Tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi

u
n 1


n

và chuỗi

v

n

n 1

15


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa


v

i) Do u n  c.v n , n  N nên Sn  c.Tn , n  N . Vì

n

hội tụ nên (Tn) bị chặn

n 1



do đó (Sn) cũng bị chặn. Theo định lí 1 chuỗi

u

n

hội tụ.

n 1



ii) Do u n  c.v n , n  N nên Sn  c.Tn , n  N . Vì

u

n

phân kì nên (Sn) không

n 1



bị chặn trên do đó (Tn) cũng không bị chặn trên. Theo định lí 1

v

n

phân kì.

n 1



Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi


n 1

Giải: Ta có

3

1
n.3n

1
1
 n , n  1 và chuỗi
n
n.3 .3


Do đó chuỗi

3


n 1

3

n



1

  hội tụ.

n 1  3 

1
hội tụ
n.3n


Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của chuỗi

1

 2n  1 .
n 1

1
1 1
 . , n  0.
2n  1 3 n

1
Và chuỗi điều hoà  phân kì. Do đó, chuỗi
n 1 n

Giải: Ta có,



1

 2n  1 phân kì.

n 1

Định lí 3: (Dấu hiệu CôSi)


Cho chuỗi số dương

u

n

. Nếu lim n u n = L thì

n 1



i) nếu L < 1 suy ra chuỗi

u

n

hội tụ.

n

phân kì.

n 1



ii) nếu L > 1 suy ra chuỗi

u
n 1

Chứng minh
- Với L < 1. Ta chọn  > 0 đủ bé sao cho 0< L +  = q < 1.
Vì lim n u n = L nên với n đủ lớn thì

n

u n  L    q  1 do đó un < qn



Mặt khác, chuỗi

q

n

hội tụ (vì 0  q <1)

n 1



Từ dấu hiệu so sánh ta có

u

n

hội tụ.

n 1

16


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
- Với L > 1. Ta chọn  > 0 đủ bé sao cho L -  > 1.
Vì lim n u n = L nên với n đủ lớn thì

n

un  l    1  un  1



Do đo, chuỗi

u

phân kì

n

n 1

Định lí 4: (Dấu hiệu Đalămbe)


Cho chuỗi số dương

u

n

. Nếu lim

n 1

u n 1
 L thì
un


u

i) nếu L < 1 suy ra chuỗi

n

hội tụ.

n

phân kì.

n 1


u

ii) nếu L > 1 suy ra chuỗi

n 1

Chứng minh


 1
Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của chuỗi  1  
n
n 1 
 1
Ta có lim n 1  
 n

n2

n2

n

 1
 lim 1    e1  1 .

 n
n2



 1
Theo định lí Côsi ta có chuỗi  1   hội tụ.
n
n 1 
5n
Ví dụ 8: Xét sự hội tụ của chuỗi 
.
n 1 n  1


5n 1
5(n  1)
 5  1.
Ta có lim n n 2  lim
5
n2
n 1
5n
phân kì.

n

1
n 1


Theo định lí Đalămbe ta có chuỗi
3.1.4 Chuỗi đan dấu



a. Định nghĩa: Chuỗi có dạng

 (1)

n

u n trong đó an ≥ 0 (hoặc an  0) với mọi

n 1

nN được gọi là chuỗi đan dấu.
b. Định lí: (Tiêu chuẩn Lépnít)


Nếu dãy (un) giảm và lim un = 0 thì chuỗi đan dấu

 (1)

n

u n hội tụ.

n 1

17


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
(1) n 1
Ví dụ 9: Xét sự hội tụ của chuỗi điều hoà đan dấu 
.
n
n 1


1
là dãy giảm và limun=0. Theo dấu hiệu Lépnít ta có
n

(1) n 1
chuỗi điều hoà đan dấu 
hội tụ.
n
n 1

Ta có, dãy (un) với u n 

3.1.5 Chuỗi hội tụ tuyệt đối


a. Định nghĩa: Chuỗi



 u n gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
n 1

| u

n

| hội tụ.

n 1

b. Định lí: Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
(1) n 1
Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của chuỗi 
n2
n 1




Ta có,


n 1


(1) n 1
1
và chuỗi



2
2
n
n 1 n



1

n

2

hội tụ.

n 1

(1) n 1
hội tụ.

2
n
n 1


Vậy chuỗi

3.2 Chuỗi luỹ thừa
3.2.1 Định nghĩa



Chuỗi luỹ thừa là chuỗi dạng

a

n

(x  ) n

(3)

n 0



Nếu đặt X  x   khi đó chuỗi (3) trở thành

a X

n

(4)

n

n 0

3.2.2 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Định lí Aben



Nếu chuỗi

a x
n

n

hội tụ tại x0 ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi điểm x mà |x| < |x0|.

n 0



Từ định lí suy ra, tồn tại số thực không âm R sao cho chuỗi luỹ thừa

a x
n

n

hội tụ

n 0

trên khoảng (-R;R) và phân kì trong (-∞,-R) (R; +∞).


Định nghĩa: Số thực không âm R sao cho chuỗi

a x
n

n

hội tụ trên khoảng (-R;R)

n 0

và phân kì trong (-∞,-R) (R; +∞) gọi là bán kính hội tụ của chuỗi đó.

18


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Định lí CôSi
Nếu lim n a n  L thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (4) là:
1
, 0  L  
 L
R    ,
L0
 0 ,
L


Định lí Đalămbe
Nếu lim

a n 1
 L thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (4) là:
an

1
, 0  L  
 L
R    ,
L0
 0 ,
L



Ví dụ 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



x  2

n 1

n

n

tn
Đặt t = x – 2 chuỗi trở thành 
n 1 n


Ta có lim

n 

a n 1
n
 lim
 1 , do đó R = 1.
n  n  1
an


Tại t = 1, ta có chuỗi số

1

 n phân kỳ.
n 1



Tại t = -1, ta có chuỗi số


n 1

 1
n

n

là chuỗi số điều hòa đan dấu thỏa mãn các điều

kiện của định lý Leinitz, nó hội tụ.
 Miền hội tụ -1  t < 1
Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là 1  x < 3.
xn

n 1 n!


Ví dụ 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Ta có lim

n 

a n 1
n!
1
 lim
 lim
0
n   n  1!
n  n  1
an

Do đó R = +  , chuỗi lũy thừa hội tụ trên toàn R.

19

Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa


 nx 
Ví dụ 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  

n 1  n  1 
n
Ta có lim n a n = lim
= 1 => R = 1
n 1

n

n



1
1
 nx 
Khi x = 1, ta có chuỗi số  
 0
 . Số hạng tổng quát u n 
n
e
n 1  n  1 
 1

1  
 n
khi n   , vậy chuỗi số phân kỳ.


n

 n 
Khi x = -1, ta có chuỗi số   1 
 , số hạng tổng quát của nó không dần
n

1


n 1
tới 0 khi n   , chuỗi số phân kỳ.
Vậy miền hội tụ là (-1, 1).
3.2.3 Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa
a. Định nghĩa
Hàm số S(x) gọi là khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trong khoảng (-R;R) nếu
n



tồn tại chuỗi luỹ thừa

a x
n

n

hội tụ về hàm số S(x) trên khoảng (-R;R).

n 0

b. Các định lí
Định lí 1 (Điều kiện cần)


Điều kiện cần để hàm số S(x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa

a x
n

n

trong

n 0

(k)

khoảng (-R;R) là S(x) có đạo hàm các cấp và: a k 

S (0)
với mọi k  N.
k!

Định lí 2 (Điều kiện đủ)

Nếu có số thực dương C sao cho với mọi x  [-R;R] ta có | S(n) (x) | C với mọi
nN thì hàm số S(x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trên đoạn [-R;R] và
S(n) (0) n
S(x)  
x .
n!
n 0


Ví dụ 1: Khai triển các hàm số sau thành chuỗi lũy thừa
a) sinx
b) cosx
c) ex
Ví dụ 2: Chứng minh eix = cosx + i sinx

20


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau:


1
1
a) 
b) 
n 1 n(n  1)
n 1 (2n  1)(2n  1)


1
c) 
n 1 n(n  1)(n  2)



d)

2n  1

2
2
n 1 n (n  1)

3n  2n
g) 
5n
n 1



2n  3
c)  n
2
n 1

2n  1
n(n  1)



f)



n  2  2 n 1  n

n 1




2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1
a) 
n 1 n(n  5)

n

n 1



e)

 (1)

h)



1 
2 


 ln 1  n
n 2



b)


n 1

1
2n  1



 2n 
d)  

n 1  3n  1 

2n
e) 
n 1 n!

 n 1
f)  

n 1  n 

(1) n n
g) 
2n
n 1

(1)n
h) 
n
n 1









n

n



3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau
(2x)n
a) 
n!
n 1




2n  1
(x  2) n
3
n
n 1

c)



e)

(x  3) n

n 1 3n  2





(n  2)(x  4)n

g) 
n 2 .3n
n 1


n

 n 1 n
b)  
x
n 1  n 

n2
(x  3) n
d) 
n 1 n  5
(5x)n

n 1 n  5


f)

(1) n (x  4) n
h) 
n.2n
n 1


21

Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
4.1. Phương trình vi phân cấp 1
4.1.1. Định nghĩa.
- Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F(x, y, y ')  0 ,
Trong đó x là biến số độc lập, y=y(x) là hàm số phải tìm, y’ là đạo hàm của y(x).
- Nghiệm là hàm số y = (x) sao cho F(x;(x); ’(x))=0
- Nghiệm tổng quát là nghiệm dạng y = φ(x,C)
- Tích phân tổng quát là phương trình G(x;C)=0 xác định nghiệm tổng quát
- Nghiệm riêng là một nghiệm trong nghiệm tổng quát
- Nghiệm kì dị là nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát
- Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
4.1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình vi phân cấp 1 : y’ = f(x;y)
f
(x, y) liên tục trong miền D thì trong lân cận nào đó của x0, tồn
Nếu f(x,y) và
y
tại duy nhất nghiệm y=y(x) thỏa điều kiện đầu y(x0)=a.
4.2. Các phương trình vi phân cơ bản.
4.2.1. Phương trình vi phân với biến số phân ly.
Dạng
f(x)dx = g(y)dy
Cách giải
Lấy tích phân hai vế, ta được  f (x)dx   g(y)dy hay F(x) = G(y) + C,
trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(y) là một nguyên hàm của g(y).
Ví dụ: Giải phương trình (1 + x)ydx + (1 - y)xdy = 0.
Giải: Nếu x  0, y  0, phương trình trở thành

 1
1 
  1 dx  1   dy
x 
 y

Lấy tích phân hai vế, ta được
ln|x| + x = y – ln|y| + C
hay
ln|xy| + x - y = C.
Ta có x = 0, y = 0 cũng thỏa mãn phương trình, nên x = 0, y = 0 là hai nghiệm kì dị
của phương trình.
4.2.2. Phương trình đẳng cấp cấp 1
Dạng y’=f(y/x)
Phương pháp: Đặt y = z.x đưa về dạng biến số phân ly
Ví dụ: Giải phương trình vi phân (x2 + xy)y’=y2
22


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
4.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng: y’+ p(x)y = q(x), trong đó p(x) và q(x) là các hàm liên tục.
Phương trình y’+ p(x)y = 0 gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Phương pháp
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y’ + p(x)y = 0
Nếu y  0, có thể viết nó thành
dy
  p(x)dx  ln|y|=   p(x)dx + K
y
 p(x )dx

 y=C e 
, C  0.
Mặt khác y = 0 cũng là một nghiệm và là một nghiệm riêng ứng với C = 0.
 p(x )dx
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C e 
 p(x )dx
Bước 2: Tìm nghiệm của y’+p(x)y = q(x) dạng y = C(x) e 
ta có:
 p(x )dx '
 p(x)dx
 p(x )dx
e 
C (x)  C(x)p(x)e 
 p(x)C(x)e 
 q(x)

hay
p(x )dx
dC(x) = q(x) e 

Do đó
C(x) =  q(x)e 

p(x )dx

dx  K

trong đó K là một hằng số tùy ý.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
 p(x )dx

 p(x )dx
p(x )dx
y = Ke 
+e 
.  q(x) e 
dx

4.2.4. Phương trình Becnuli
Dạng y’ + p(x)y = q(x)yα với α≠0, α≠1
Phương pháp:
Chia hai vế cho yα phương trình trở thành
y’.y-α + p(x)y1-α =q(x)
Đặt z = y1-α => z’ = y’.y-α nên phương trình trở thành
z’+ p(x)z = q(x)
(z’+p(x)z=q(x) là dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1)
Ví dụ: Giải phương trình y’ + xy = xy2
4.2.5. Phương trình vi phân toàn phần.
Là phương trình vi phân có dạng: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,
trong đó P(x, y), Q(x, y) là những hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một
P Q

liên tục thỏa mãn điều kiện
.
y x
23


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Khi đó Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm số u(x, y) nào đó. Nếu D=R2,
hàm số u(x, y) được cho bởi công thức

y

x

u(x, y) =

 P(x, y )dx   Q(x, y)dy  K
o

xo

yo

y

x

hay u(x, y) =

 P(x, y)dx   Q(x , y)dy  K
0

xo

yo

trong đó x0, y0 là hai số nào đó, K là hằng số tùy ý.
Vậy tích phân tổng quát của phương trình là: u(x;y) = C.
Ví dụ: Giải phương trình [(1 + x + y)ex + ey]dx + [ex + xey]dy.
Giải

Ta có P(x, y) = (1 + x + y)ex + ey, Q(x, y) = ex + xey
P
Q
= ex + ey =
.
y
x
Vậy Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x, y).
y

x

u(x, y) =  1  x  e  1 dx    e x  xe y  dy
x

0

0

x

x

y

= xe + x + e y + xe - x = (x + y)ex + xey
Tích phân tổng quát của phương trình là: (x + y)ex + xey = C
4.3. Phương trình vi phân cấp 2.
4.3.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0

Nghiệm là hàm số y = (x) sao cho F(x;(x);’(x);’’(x))=0
Nghiệm tổng quát là nghiệm dạng y = φ(x,C1,C2)
Tích phân tổng quát là phương trình G(x;C1;C2)=0 xác định nghiệm tổng quát
Nghiệm riêng là một nghiệm trong nghiệm tổng quát
Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
4.3.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán Cauchy.
Cho phương trình vi phân cấp hai y’’ = f(x,y,y’).
f
f
(x, y, y') và
(x, y, y') liên tục trong miền D thì trong lân cận
Nếu f(x,y,y’);
y
y'
nào đó của x0, tồn tại duy nhất nghiệm y=y(x) thỏa các điều kiện đầu y(x0)=a và
y’(x0)=b.
4.3.3. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp được.
a. Phương trình khuyết y: F(x,y’,y’’)=0
Phương pháp: Đặt y’ = p, Khi đó, phương trình trở thành F(x,p,p’)=0
Ví dụ: Giải phương trình vi phân xy’+2y’’=6x (Đs: y = x2+C1/x +C2)
24