00 DU DOAN CAC VAN DE TRONG TAM HAM BAC 3

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

DỰ ĐOÁN CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM HÀM BẬC 3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 + 2 ( C ) và đường thẳng d : y = 3 ( mx + 1) .
a) Tìm m để hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho MN = 2 5

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt sao cho OB 2 + OC 2 = 14.OA trong đó A là điểm có hoành độ
không đổi.
c) Tìm m biết rằng tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm E ( 2; −3) .
d) Biện luận số ngiệm của phương trình sau: x3 + 3 x 2 + 2 = log 2 ( 2k + 1) theo giá trị của tham số k.
Câu 2 [ĐVH]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + m + 1 ( C ) và đường thẳng d : y = ( m − 1) x .
a) Tìm m để hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho OM .ON = 4

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt có tung độ thoã mãn y12 + y22 + y32 = 8
c) Tìm m biết tiếp tuyến tại giao điểm của ( C ) với trục Oy đi qua điểm E ( 0; 2 ) .

d) Biện luận số nghiệm của PT : x3 − 3 x + m + 1 = 0 theo tham số m.
Câu 3 [ĐVH]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + 2 ( C ) và đường thẳng d : y = k ( x − 1) .
a) Tìm điểm E thuộc trục tung biết rằng E tạo với 2 điểm cực trị một tam giác có diện tích bằng 1.
b) Tìm k để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A (1; 0 ) ; B; C sao cho diện tích tam giác OBC bằng
c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm x0 thoã mãn y '' ( x0 ) = 12 .

d) Tìm m để phương trình: x3 − 3 x = m2 + 4m có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 [ĐVH]: Cho hàm số y = x 3 − (2 m − 3) x 2 + (2 − m ) x + m có đồ thị là (Cm).
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.
Câu 5 [ĐVH]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 . Tìm m để đường thẳng y = 2 x + 1 cắt đồ thị

hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C(0; 1) nằm giữa A và B đồng thời AB = 30 .
Câu 6 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) giao Ox
tại 3 điểm phân biệt.
Câu 7 [ĐVH]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = x − 4 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương.

Câu 8 [ĐVH]: Cho hàm số y = 2 x3 − 6 x − 7 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = 2m − 5 . Tìm m để

( C ) giao

d tại 2 điểm phân biệt.

Câu 9 [ĐVH]: Cho hàm số: y = ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất.

b) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn x12 + x22 + x32 = 10 .
Câu 10 [ĐVH]: Cho hàm số: y = ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn :
A = x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 8

Câu 11 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 3 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A ( 0;3) , B, C sao cho A là trung điểm của BC .
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Câu 12 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = x + 3 .
Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A, B, C , trong đó A là điểm cố định và độ dài BC = 2 10 .

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ví dụ 1 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 + 2 ( C ) và đường thẳng d : y = 3 ( mx + 1) .
a) Tìm m để hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho MN = 2 5

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt sao cho OB 2 + OC 2 = 14.OA trong đó A là điểm có hoành độ
không đổi.
c) Tìm m biết rằng tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm E ( 2; −3) .
d) Biện luận số ngiệm của phương trình sau: x3 + 3 x 2 + 2 = log 2 ( 2k + 1) theo giá trị của tham số k.
Lời giải:
x = 0
a) Ta có: y ' = 3 x 2 + 6mx = 0 ⇔ 
 x = −2m
Để hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0 . Khi đó 2 điểm cực trị M ( 0; 2 ) ; N ( −2m; 2 + 4m3 )
Lại có: MN 2 = 4m 2 + 16m6 = 20 ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1 ( t / m ) .

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: x3 + 3mx 2 + 2 = 3 ( mx + 1)
 x = 1 ⇒ A (1;3 + 3m )
⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 3mx ( x − 1) = 0 ⇔ 
.
2
 g ( x ) = x + ( 3m + 1) x + 1 = 0
2
∆ = 9m + 6m − 3 > 0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
 g (1) = 3m + 3 ≠ 0

 x1 + x2 = −3m − 1
Khi đó gọi B ( x1 ; −3mx1 + 1) ; C ( x2 ; −3mx2 + 1) ta có: 
 x1 x2 = 1
.
m = 1
Theo giả thiết ta có: OB + OC = x + x = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9m + 6m − 1 = 14 ⇔ 
5 (t / m ) .
m = −
3

c) Ta có: x = 1 ⇒ y = 3m + 3 . PT tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là:
2

2

2
1

2
2

2

2

y = ( 3 + 6m )( x − 1) + 3m + 3 ( d1 )

Do tiếp tuyến đi qua điểm E ( 2; −3) nên −3 = ( 3 + 6m ) + 3m + 3 ⇔ m = −1 .

d) Đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 + 2 (1) có dạng như hình vẽ.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = x3 + 3x 2 + 2 (1) và đường thẳng

d1 : y = log 2 ( 2k + 1) . Dựa vào đồ thị trên ta có:

63

k > 2
log 2 ( 2k + 1) > 6
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
k < 3
log 2 ( 2k + 1) < 2

2
63

k
=

log 2 ( 2k + 1) = 6
2 thì PT đã cho có 2 nghiệm .

+) Với 
⇔
3
log 2 ( 2k + 1) = 2
k =

2
3
63
+) Với 2 < log 2 ( 2k + 1) < 6 ⇔ < k <
thì PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
Ví dụ 2 [ĐVH]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + m + 1 ( C ) và đường thẳng d : y = ( m − 1) x .
a) Tìm m để hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho OM .ON = 4

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt có tung độ thoã mãn y12 + y22 + y32 = 8
c) Tìm m biết tiếp tuyến tại giao điểm của ( C ) với trục Oy đi qua điểm E ( 0; 2 ) .
d) Biện luận số nghiệm của PT : x3 − 3 x + m + 1 = 0 theo tham số m.
Lời giải:
x = 1
a) Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1
Khi đó 2 điểm cực trị M (1; m − 1) ; N ( −1; m + 3)

m = 2
Lại có: OM .ON = −1 + ( m − 1)( m + 3) = 4 ⇔ 
.
 m = −4
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: x3 − 3x + m + 1 = ( m − 1) x

 x = 1 ⇒ A (1; m − 1)
⇔ x3 − 2 x + 1 − m ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x − 1 − m ) = 0 ⇔ 
.
2
 g ( x ) = x + x − 1 − m = 0
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

∆ = 5 + 4m > 0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
 g (1) = 1 − m ≠ 0
 x1 + x2 = −1
Khi đó gọi B ( x1 ; ( m − 1) x1 ) ; C ( x2 ; ( m − 1) x2 ) ta có: 
 x1 x2 = −1 − m
.
m = 2
2
2
2
Theo giả thiết ta có: ( m − 1) + ( m − 1) ( x12 + x22 ) = 8 ⇔ ( m − 1) ( 4 + 2m ) = 8 ⇔ 
(t / m) .
 m = −1

c) Ta có: x = 0 ⇒ y = m + 1 . PT tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là: y = −3x + m + 1 ( d1 )
Do tiếp tuyến đi qua điểm E ( 0; 2 ) nên 2 = m + 1 ⇔ m = 1 .

d) Ta có: PT ⇔ x 3 − 3 x + 1 = − m

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = x3 − 3x + 1 (1) và đường thẳng
d1 : − m . Dựa vào đồ thị trên ta có:

−m > 1
 m < −1
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
 − m < −3
m > 3
−m = 1
 m = −1
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 2 nghiệm .
 − m = −3
 m = −3
+) Với −3 < − m < 1 ⇔ 3 > m > −1 thì PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + 2 ( C ) và đường thẳng d : y = k ( x − 1) .
a) Tìm điểm E thuộc trục tung biết rằng E tạo với 2 điểm cực trị một tam giác có diện tích bằng 1.
b) Tìm k để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A (1; 0 ) ; B; C sao cho diện tích tam giác OBC bằng

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm x0 thoã mãn y '' ( x0 ) = 12 .
d) Tìm m để phương trình: x3 − 3 x = m 2 + 4m có 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
x = 1
a) Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1

Khi đó 2 điểm cực trị M (1;0 ) ; N ( −1; 4 ) ⇒ MN : 2 x + y − 2 = 0 . Gọi E ( 0; t ) ∈ Oy ta có:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Lại có: S MNE =

FB: LyHung95

t−2
t = 1
1
1
MN .d ( E; MN ) = 2 5.
=1⇔ 
⇒ E ( 0;1) ∨ E ( 0;3) .
2
2
5
t = 3

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: x3 − 3x + 2 = k ( x − 1)
 x = 1 ⇒ A (1; 0 )
⇔ ( x − 1) ( x 2 + x − 2 − k ) = 0 ⇔ 
.
2
 g ( x ) = x + x − 2 − k = 0

∆ = 9 + 4k > 0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
 g (1) = − k ≠ 0
 x1 + x2 = −1
Khi đó gọi B ( x1 ; k ( x1 − 1) ) ; C ( x2 ; k ( x2 − 1) ) ta có: 
. Trong đó: BC : y = k ( x − 1)
 x1 x2 = −2 − k
Khi đó: BC =

(k

2

+ 1) ( x1 − x2 ) =

Theo giả thiết: SOBC =

2

(k

2

+ 1) ( 9 + 4k )

1
1
BC.d ( O; BC ) =
2
2

(k

2

+ 1) ( 9 + 4k ) .

k 2 ( 4k + 9 )
⇔
= 100 ⇔ k = 4 ( t / m ) .
4
.
c) Ta có: y '' ( x0 ) = 6 x0 = 12 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 4

k
k 2 +1

= 10

Do tiếp tuyến đi qua điểm tại điểm ( 2; 4 ) là : y = 9 ( x − 2 ) + 4 hay y = −9 x − 14 .

d) Ta có: PT ⇔ x 3 − 3 x + 2 = m 2 + 4m + 2

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = x3 − 3x + 2 ( C ) và đường thẳng

d1 : m 2 + 4m + 2 . Dựa vào đồ thị trên ta có phương trình có 2 nghiệm

 m = −2 ± 6
 m 2 + 4m + 2 = 4
là các giá trị cần tìm.

⇔ 2
⇔
m
+
4
m
+
2
=
0
m
=
−
2
±
2



Ví dụ 4 [ĐVH]: Cho hàm số y = x 3 − (2 m − 3) x 2 + (2 − m ) x + m có đồ thị là (Cm).
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 x = −1
x3 − (2m − 3) x 2 + (2 − m) x + m = 0 ⇔ ( x + 1)[x 2 − 2(m − 1) x + m] = 0 ⇔  2
 x − 2(m − 1) x + m = 0
∆ ' > 0
1

0S < 0

3

⇔
Theo bài ta có điều kiện  P > 0
3− 5
1

 3 < m < 2
3m − 1 ≠ 0
Ví dụ 5 [ĐVH]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 . Tìm m để đường thẳng y = 2 x + 1 cắt đồ thị
hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C(0; 1) nằm giữa A và B đồng thời AB = 30 .
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số: y = 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 là nghiệm phương
x = 0 ⇒ y =1
trình 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x(2 x 2 − 3mx + m − 3) = 0 ⇔  2
 2 x − 3mx + m − 3 = 0 (*)
Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A; C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*)
có 2 nghiệm trái dấu, tức là 2.(m − 3) < 0 ⇔ m < 3
3m

 x A + xB = 2

 y = 2 xA + 1
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn 
và  A
( vì A và B thuộc (d))
=
2
+
1
y
x
m
−
3

B
B
 x .x =
 A B
2
Ta có AB = 30 ⇔ ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 = 30

m = 0
9m 2
m−3
2
⇔ ( xB − x A ) = 6 ⇔ ( xB + x A ) − 4 xB . x A = 6 ⇔
− 4.
= 6 ⇔ 9 m − 8m = 0 ⇔ 
8
m =

4
2
9

8
Đối chiếu với đk ta được m = 0; m = là các giá trị cần tìm.
9
3
Ví dụ 6 [ĐVH]: Cho hàm số y = x − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) giao
2

2

Ox tại 3 điểm phân biệt.

Lời giải :
Phương trình hoành đọ giao điểm

x = 3
x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3) ( x 2 − mx + 1) = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − mx + 1 = 0
Để ( C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3
m > 2, m < −2
∆ > 0
m2 − 4 > 0

⇔
⇔
⇔

10
10 − 3m ≠ 0
 g ( 3) ≠ 0
m ≠ 3
 10   10

Vậy m ∈ ( −∞; −2 ) ∪  2;  ∪  ; +∞ 
 3  3

Ví dụ 7 [ĐVH]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = x − 4 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương.

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 = x − 4 ⇔ 2 x 3 − 5 x 2 − ( 4m − 1) x + 6m + 3 = 0
3

x=

2
⇔ ( 2 x − 3 ) x − x − 2m − 1 = 0 ⇔


2
 g ( x ) = x − x − 2m − 1 = 0
3
Ta có x = > 0 nên để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương
2
3
thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm trái dấu khác
2
1

P < 0
m>−
−2m − 1 < 0




2
⇔  3
⇔ 1
⇔
g   ≠ 0
− 4 − 2m ≠ 0
m ≠ − 1
 2

8
 1 1  1

Vậy m ∈  − ; −  ∪  − ; +∞ 

 2 8  8

Ví dụ 8 [ĐVH]: Cho hàm số y = 2 x3 − 6 x − 7 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = 2m − 5 . Tìm m để

(

( C ) giao

2

)

d tại 2 điểm phân biệt.

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm : 2 x 3 − 6 x − 7 = 2m − 5 ⇔ g ( x ) = 2 x3 − 6 x − 2m − 2 = 0
 x = 1 ⇒ y = −2 m − 6
Ta có g ' ( x ) = 6 x 2 − 6; g ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = 2 − 2 m
Để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt thì hàm số y = g ( x ) phải có cực trị và yCD . yCT = 0
 m = −3
⇔ ( −2m − 6 )( 2 − 2m ) = 0 ⇔ 
m = 1
Vậy m = 1 hoặc m = −3

Ví dụ 9 [ĐVH]: Cho hàm số: y = ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất.

b) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn x12 + x22 + x32 = 10 .
Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) = 0
x = 1
⇔
(1)
2
 g ( x ) = x + mx + 1 = 0
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất ⇔ (1) có nghiệm duy nhất là x = 1 .
TH1: PT : g ( x ) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ g ( x ) = m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .

m2 − 4 = 0
∆ g ( x ) = 0
TH2: PT : g ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 1 ⇔ 
⇔
⇔ m = −2 .
m + 2 = 0
 g (1) = 0
Kết luận: Vậy −2 ≤ m < 2 là giá trị cần tìm.
b) ) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) = 0
 x3 = 1
⇔
(1)
2
g
x
=
x
+
mx
+
1

=
0
(
)


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân
2
m2 > 4
∆ = m − 4 > 0
biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔ 
.
⇔
 g (1) ≠ 0
m + 2 ≠ 0

 x1 + x2 = −m
Khi đó cho x3 = 1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo định lý Viet ta có: 
.
 x1 x2 = 1
Theo đề bài ta có: x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9 ⇔ m2 − 2 = 9 ⇔ m 2 = 11 ⇔ m = ± 11 ( tm )
2

Vậy m = ± 11 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 10 [ĐVH]: Cho hàm số: y = ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn :
A = x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 8

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) = 0 .
 x = 2
⇔
(1)
2
 g ( x ) = 2 x + 2mx − m − 1 = 0
Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.

∆ ' = m 2 + 2 ( m + 1) = 0
TH1: g ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2 ⇔ 
( vn ) .
 g ( 2 ) ≠ 0
2
∆ ' = m + 2 ( m + 1) > 0
TH2: g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2 ⇔ 
 g ( 2 ) = 8 + 4m − m − 1 = 0
−7
⇔m=
là giá trị cần tìm.
3
b) Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

∆ ' = m 2 + 2 ( m + 1) > 0
⇔
(*) . Khi đó gọi x3 = 2 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 .
g
2
=
7
+
3
m
≠
0
(
)

 x1 + x2 = − m

Theo Viet ta có : 
−m − 1
 x1 x2 = 2
Theo bài ra ta có: A = x12 + x22 + 4 + 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) + 4 = 8 ⇔ m 2 + 4 = 8 ⇔ m = ±2 ( tm ) .
2

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 11 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 3 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A ( 0;3) , B, C sao cho A là trung điểm của BC .

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 3 = x + 3 ⇔ x 3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − 2mx = 0

x = 0
⇔ x  x 2 − 3 ( m 2 − 1) x − 2m  = 0 ⇔  2
2
 x − 3 ( m − 1) x − 2m = 0

(1)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A ( 0;3) ứng với đề bài đã cho.
Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A ( 0;3) , B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
2
2

2
∆ = 9 ( m − 1) + 8m > 0
9 ( m − 1) + 8m > 0
⇔
⇔
( *) .
2
2

0 − 3 ( m − 1) .0 − 2m ≠ 0
m ≠ 0

Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) .

 x1 + x2 = 3 ( m2 − 1)
Ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 
( 2)
 x1 x2 = 2m
 x1 + x2
 2 = x A = 0
Khi đó A là trung điểm của BC ⇔ 
⇔ x1 + x2 = 0.
x
3
x
3
+
+
+
(
)
(
)
1
2

= yA = 3
2


Kết hợp với (2) ta được 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔ m = ±1. Đối chiếu với (*) ta được m = 1 thỏa mãn.

Ví dụ 12 [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m , có đồ thị là

(C )

và đường thẳng

d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A, B, C , trong đó A là điểm cố định và độ dài
BC = 2 10 .

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m = x + 3 ⇔ x3 + x 2 − 7 x − 3 + 3m ( x + 3) = 0

 x = −3
⇔ ( x + 3) ( x 2 − 2 x − 1) + 3m ( x + 3) = 0 ⇔ ( x + 3) ( x 2 − 2 x + 3m − 1) = 0 ⇔  2
 x − 2 x + 3m − 1 = 0
Với x = −3 ⇒ y = 0. Bài ra A là điểm cố định ⇒ A ( −3; 0 ) .

(1)

Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A, B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −3
2

∆ ' = 1 − ( 3m − 1) > 0
m < 3
⇔
⇔

( *) .
2
( −3) − 2. ( −3) + 3m − 1 ≠ 0
m ≠ − 14

3
Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) ⇒ BC = ( x2 − x1 ; x2 − x1 )
⇒ BC 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 .
2

2

2

 x1 + x2 = 2
Ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 
⇒ BC 2 = 2.22 − 8 ( 3m − 1) = 16 − 24m.
 x1 x2 = 3m − 1

(

Bài ra BC = 2 10 ⇒ 16 − 24m = 2 10

Đ/s: m = −1 là giá trị cần tìm.

)

2

= 40 ⇔ m = −1. Đã thỏa mãn (*).

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016