TINH KHOANG CACH TRONG HINH HOC KHONG GIAN lop 11,12 ( Luyen thi dai hoc )

§ 5. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Hoạt động 1: Hình thành khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng, đến một mặt phẳng
Ta đã biết khoảng cách giữa hai điểm A và
B là độ dài của đoạn thẳng AB, đó là độ dài
ngắn nhất nối hai điểm A và B.
Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi M là
điểm bất kì trên a, hãy xác định vị trí của M
trên a sao cho khoảng cách từ O đến M là
ngắn nhất ?
Hình 3.1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên
đường thẳng a, với mọi điểm M nằm trên a,
ta luôn luôn có OH  OM (vì ∆OMH vuông
tại H) và OM = OH  M  H.
Như vậy, với vị trí điểm M là hình chiếu của
O trên a thì OM ngắn nhất.
Tương tự, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi
M là điểm bất trên (P), hãy xác định vị trí
của M sao cho khoảng cách từ O đến M là
ngắn nhất ?
Hình 3.2
Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng
(P), với mọi điểm M  (P), ta luôn luôn có
OH  OM (vì ∆OMH vuông tại H) và OH = OM  M  H. Như vậy, với vị trí của
M là hình chiếu của O trên (P) thì OM ngắn nhất.
Từ đó ta có định nghĩa sau:
ĐỊNH NGHĨA 1
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của O trên a. Khi đó độ dài

đoạn thẳng OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a. Kí hiệu
là d(O, a).
b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên (P). Khi đó độ dài
đoạn thẳng OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P). Kí hiệu
là d(O, (P)).

1


Nhận xét
- Muốn tính khoảng cách từ điểm O đến một đường thẳng a (hay mặt phẳng
(P)), ta phải xác định hình chiếu H của O trên a (trên (P)) thì d(O, a) =
OH (d(O, (P)) = OH).
- Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng
cách ngắn nhất trong các khoảng cách giữa điểm O đến một điểm bất kì
nằm trên a (hoặc (P)).
Ví dụ 1
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy tâm O, tất cả các cạnh đều bằng a.
Hãy tính khoảng cách :
a) Từ S đến đường thẳng CD.
b) Từ S đến mp(ABCD).
c) Từ O đến mp(SCD).
d) Từ A đến mp(SCD).



Hình 3.3a

Hình 3.3b

Hướng dẫn
a) Ta xác định hình chiếu của S trên CD, ∆SCD cân tại S nên nếu gọi I là trung
điểm của CD thì SI  CD  d(S, CD) = SI
a 3
a 3
. Vậy d(S, CD) =
∆SCD là tam giác đều : SI 
.
2
2
b) Ta xác định hình chiếu của S trên (ABCD), vì S.ABCD là hình chóp đều và O là
tâm của mặt đáy  SO  (ABCD)  d(O, (ABCD)) = SO.
a 2
a 2
. Vậy d(S, (ABCD)) =
.
∆SOC vuông tại O : SO  SC 2  OC 2 
2
2
c) Ta xác định hình chiếu của O trên (SCD). Ta có mp(SOI)  mp(SCD) (vì trong
(SCD) có CD  (SOI)), (SOI)  (SCD) = SI, từ O dựng OK  SI  OK  (SCD)
 d(O, (SCD)) = OK.
2


a 6
1
1
1

a 6
.
. Vậy d(O, (SCD))=

 2  OK 
2
2
6
6
OK
OS
OI
d) Ta xác định hình chiếu của A trên (SCD), vì OK  (SCD)  (COK)  (SCD),
(COK)  (SCD) = CK, từ A kẻ AH  CK  AH  (SCD)  d(A, (SCD)) = AH.
a 6
a 6
. Vậy d(A, (SCD)) =
∆CAH : AH = 2OK =
3
3
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song
Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
Cho đường thẳng a song song với mặt
phẳng (P). Gọi A và B là hai điểm tùy ý trên a
và A/, B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên
(P), ta luôn luôn có AA/ = BB/ (do AA/B/B là
hình chữ nhật)  d(A, (P)) = d(B, (P)). Như
vậy, d(A, (P)) không phụ thuộc vào vị trí của
điểm A trên a.

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với
Hình 3.4
nhau. Gọi A và B là hai điểm tùy ý trên (Q) và
/
/
A , B lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P),
tương tự ta luôn luôn có AA/ = BB/  d(A, (P))
= d(B, (P)). Như vậy, d(A, (P)) không phụ thuộc
vào vị trí của điểm A trên (Q).
Ta có định nghĩa :
ĐỊNH NGHĨA 2
a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song
Hình 3.5
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm
bất kì của a đến (P), kí hiệu là d(a, (P)).
a // (P) : d(a, (P)) = d(A, (P)), A  a.
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((P), (Q)).
(P) // (Q) : d((P), (Q)) = d(A, (P)), A  (Q).
∆SOI vuông tại O :

3


Nhận xét
1. Để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song, đều qui về việc tính khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng.
2. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là ngắn nhất so với
khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc (P).
Thậy vậy, gọi A là một điểm tuỳ ý trên A và M là
một điểm tuỳ ý trên (P), dựng H là hình chiếu của
A trên (P), ta có AH  AM (∆AHM vuông tại H)
và AH = AM  M  H. Vậy d(a, (P)) = AH là
ngắn nhất.
Tương tự, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song là ngắn nhất trong các khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì
Hình 3.6
của mặt phẳng kia.
Ví dụ 2
Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa :
a) AC và (BA/C/).
b) (ACD/) và (BA/C/).



Hình 3.7a

Hình 3.7b

Hướng dẫn
a) Ta có AC // A/C/  AC // (BA/C/). Để tính d(AC,
(BA/C/)), ta lấy trên AC một điểm tùy ý và tính
khoảng cách từ điểm đó đến (BA/C/).
Ta dựng hình chiếu H của A trên (BA/C/).
Ta có (ADC/B/)  (BA/C/) (vì BA/  AB/, BA/  AD)

 BA/  (ADC/B/)); (ADC/B/)  (BA/C/) = C/K (K
4
Hình 3.7c


là tâm hình vuông ABB/A/), dựng AH  C/K  AH  (BA/C/)  d(AC, (BA/C/))
AH
AK
a 3
= AH. ∆AHK  ∆C/B/K :
.

 AH 
C' B' C' K
3
b) Ta có (ACD/) // (BA/C/) (vì AC // A/C/ và AD/ // BC/).
a 3
.
Từ điểm A trên (ACD/), ta có AH  (BA/C/)  d((ACD/), (BA/C/)) = AH =
3
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Hoạt động 3: Hình thành khái niệm đường vuông góc chung giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
Giả sử có hai đường ống nước nằm vị trí chéo nhau, người ta muốn nối thông hai
đường ống nước đó với nhau. Hỏi đường ống thứ ba để nối chúng lại với nhau nên
nối như thế nào sao cho tiết kiệm nhất ?
Như vậy, ta tìm hai vị trí lần lượt nằm trên mỗi ống nước sao cho đoạn ống nối hai
vị trí đó là ngắn nhất.

Hình 3.8a

Hình 3.8b

Xét bài toán
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, hãy tìm đường thẳng  cắt cả a và b đồng
thời vuông góc với cả a và b. Khi đó chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai giao
điểm của  và a,  và b là ngắn nhất.

Hình 3.9a

Hình 3.9b
5


Hướng dẫn
Vì a và b chéo nhau nên có duy nhất một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b và
song song với đường thẳng a.
Gọi a / là hình chiếu vuông góc của a trên (Q), vì
a // (Q) nên a / cắt b tại N. Gọi (P) là mặt phẳng
chứa a và a /, gọi  là đường thẳng đi qua N và
vuông góc với (Q), khi đó (P)  (Q)   nằm
trong (P) nên cắt a tại M và  vuông góc với cả
a và b, đồng thời MN là đoạn thẳng cần tìm.
Thật vậy, lấy một điểm A tuỳ ý trên a và một
điểm B tuỳ ý trên b. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên (Q) thì AH nằm trong (P) và MN
= AH, ∆AHB vuông tại H  AH  AB và AH =
Hình 3.9c
AB khi và chỉ khi H  B  N nên A  M.
Mặt khác, ta còn có đường thẳng  như trên là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai

đường thẳng  và  / cùng thỏa mãn điều kiện của bài toán thì  /  (Q)   //  /
và khi đó hai đường thẳng a và b cùng nằm trong mp(,  /), điều này trái với giả
thiết là a và b chéo nhau. Vậy    /.
ĐỊNH NGHĨA 3
a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng  cắt hai đường thẳng a, b chéo nhau và cùng vuông góc với mỗi
đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Nếu đường
vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M và N thì
đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của a và b
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó. Kí hiệu d(a, b).
Nhận xét
1) Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau a và b.
- Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b
và song song với a.
- Tìm hình chiếu a / của a trên (Q) bằng cách:
Lấy một điểm A tùy ý trên a, dựng AH  (Q),
từ H dựng đường thẳng a / song song với a (a /
là hình chiếu của a trên (Q)), đường thẳng a /
cắt b tại N.
Hình 3.10a
6


- Từ N dựng đường thẳng  song song với AH cắt a tại M thì  là đường vuông
góc chung cần dựng. Đoạn thẳng MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường
thẳng này và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng kia.

3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Hình 3.10b

Hình 3.10c

Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh
a, SA  (ABCD) và SA = a. Xác định đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
sau đây và tính khoảng cách giữa chúng :
a) AB và SC
b) BD và SC.


Hướng dẫn
a) - Ta tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia, đó là mặt
phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB
(vì AB // CD  (SCD)).
Hình 3.11a
- Ta tìm hình chiếu của A trên (SCD) : Ta có
(SAD)  (SCD) (vì CD  AD, CD  SA  CD  (SAD), CD  (SCD)). (SAD) 
(SCD) = SD, nên từ A kẻ AK  SD thì AK  ((SCD).
- Từ K dựng đường thẳng song song với AB cắt SC tại I. Từ I dựng đường thẳng
song song với AK cắt AB tại J. Ta có IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SC
 d(AB, SC) = IJ = AK.
7

SD a 2
a 2

. Vậy d(AB, SC) =
.
2
2
2
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa AB và SC thì ta chỉ
cần tính AK, nghĩa là tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng chứa SC song
song với AB (không cần phải dựng đoạn vuông góc chung của AB và SC).
b) Cách 1:
– Ta tìm mặt phẳng chứa đường này và
song song với đường kia : Gọi E là trung
điểm của SA và O là tâm của hình vuông thì
OE // SC  (EBD) chứa BD và song song
với SC.
- Tìm hình chiếu của S trên (EBD) : (SAC)
 (EBD) (vì BD  AC, BD  SA  BD 
(SAC), BD  (EBD)), (SAC)  (EBD) =
OE, từ S kẻ SF  OE thì SF  (EBD).
- Từ O dựng đường thẳng song song với SF
cắt SC tại H thì OH là đoạn vuông góc
chung của BD và SC
Hình 3.11b
Cách 2:
- Ta tìm mặt phẳng chứa SC và song song
với BD : Từ C dựng đường thẳng song
song với BD cắt AB, AD lần lượt tại M

và N. Như vậy (SMN) chứa SC và song
song với BD.
- Từ điểm O trên BD, ta dựng hình chiếu
của O trên (SMN) : Vì BD  (SAC), BD
// MN  MN  (SAC), MN  (SMN)
 (SAC)  (SMN), (SAC)  (SMN) =
SC, nên từ O dựng OH  SC  OH 
(SMN)  OH  MN, mà MN // BD 
Hình 3.11c
OH  BD. Vậy OH là đoạn vuông góc
chung của BD và SC.
Cách 3: Ta nhận xét BD  (SAC)  SC  BD 
SC, BD  (SAC) = O, nên từ O ta dựng OH  SC
thì OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
∆SAD vuông cân tại A  AK 

Hình 3.11d

8


OH OC
a 6
a 6

 OH 
. Vậy d(BD, SC) =
SA SC
6
6

Nhận xét: Trong trường hợp nếu BD  SC, ta có cách dựng đường vuông góc
chung như sau:
- Dựng một mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD (ở đây là (SAC)).
- Dựng giao điểm O của BD và (SAC).
- Trong (SAC) dựng OH  SC thì OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Tính OH: ∆COH  ∆CSA :

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
a) Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu ∆
vuông góc với a và ∆ vuông góc với b.
b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó
đường vuông góc chung ∆ của a và b luôn luôn vuông góc với (P).
c) Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và
b thì ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, ∆) và (b, ∆).
d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M
trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung
của a và b.
e) Đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong
mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
Hướng dẫn
a) Câu a là câu sai vì ta chỉ có khái niệm đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau. Hơn nữa, đường vuông góc chung phải
cắt cả hai đường thẳng chéo nhau đó.
b) (P) // a, (P) // b   a /, b /  (P) : a / // a, b / //
b, a / và b / cắt nhau (vì a và b chéo nhau). Mà ∆
 a, ∆  b  ∆  a / , ∆  b /  ∆  (P). Do
đó câu b là câu đúng.

c) ∆  a = M, ∆  b = N  ∆ = (a, ∆)  (b, ∆)
Hình 3.12a
nên câu c là câu đúng.
d) Câu d là câu sai vì ta chưa kết luận được đường thẳng đã cho vuông góc với
đường thẳng a.
e) Hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta chưa kết luận được có một mặt phẳng
chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. Thậy vậy, giả sử có
9


mặt phẳng (P) chứa b và (P)  a  b  a, điều này có thể không xảy ra vì a
và b chéo nhau chưa hẵn đã vuông góc với nhau, nên câu e là câu sai.
2. Cho tứ diện S.ABC có SA  (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b) Chứng minh rằng SC  (BHK) và HK  (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.


Hướng dẫn

Hình 3.13a

Hình 3.13b

Hướng dẫn
a) Ta thấy hai tam giác ABC và SBC có chung cạnh BC, gọi I là chân đường cao
AH của ∆ABC, ta chứng minh ba điểm S, K, I thẳng hàng.
BC  AI, BC  SA (vì SA  (ABC)  BC)  BC  (SAI)  BC  SI, mà SK 
BC và SK, SI cùng nằm trong (SBC)  S, K, I thẳng hàng hay SK đi qua I.

Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.
b) - Ta có SC  BK (gt), do đó ta chứng minh SC  BH.
BH  AC (gt), BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC, BK  SC  SC  (BHK).
- Cách 1:
Ta chứng minh HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (SBC).
SC  ( BHK )  SC  HK 
  HK  ( SBC )
BC  ( SAI )  BC  HK 
Cách 2:
Ta thấy HK là giao tuyến của (SAI) và (BHK), ta chứng minh (SAI) và (BHK)
cùng vuông góc với (SBC).
10


Vì SC  (BHK), SC  (SBC)  (BHK)  (SBC) (1).
BC  (SAI), BC  (SBC)  (SAI)  (SBC) (2).
(BHK)  (SAI) = HK (3). Từ (1), (2) và (3)  HK  (SBC).
c) Ta có AI  BC (cmt), AI  SA (SA  (ABC)  AI)  AI là đường vuông góc
chung của BC và SA.
3. Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng
cách từ các điểm B, C, D, A/, B/, D/ đến đường chéo AC/ đều bằng nhau. Tính
khoảng cách đó.



Hình 3.14a

Hình 3.14b

Hướng dẫn

Cách 1:
Ta nhận xét các tam giác vuông bằng nhau và có cạnh
huyền AC/ chung :
∆ABC/ = ∆ADC/ = ∆C/CA = ∆AA/C/ = ∆C/B/A =
∆C/D/A, nên các đường cao kẻ từ các đỉnh góc vuông
của mỗi tam giác đến cạnh huyền AC/ đều bằng nhau.
Do đó các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A/, B/, D/
Hình 3.14c
đến đường chéo AC/ đều bằng nhau và bằng đường
cao BI của tam giác ABC/ vuông tại B, BA = a, BC/ = a 2 .
1
1
1
a 6


 BI 
.
2
2
2
3
BI
BA
BC'
Cách 2: Ta có AB = AD = AA/ = a và C/B = C/D = C/A/ = a 2  AC/ là trục
của tam giác đều A/BD, có cạnh bằng a 2 . Gọi I là giao điểm của AC/ và (BDA/)
11

thì I là tâm của tam giác đều A/BD. Ta có DI, BI và A/I cùng vuông góc với AC/ và
BD a 2 a 6


là khoảng cách từ A/, B, D đến AC/.
DI = BI = A/I =
3
3
3
/
Tương tự, AC là trục của tam giác đều CB/D/ có
cạnh bằng a 2 . Gọi K là giao điểm của AC/ và
(CB/D/) thì K là tâm của tam giác đều CB/D/. Ta
a 6
là khoảng cách từ
có CK = B/K = D/K =
3
C, B/, D/ đến AC/.
4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có
AB = a, BC = b, CC/ = c.
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACC/A/).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB/
và AC/.

Hình 3.14d



Hình 3.15a

Hình 3.15b
Hướng dẫn
a) Ta dựng hình chiếu của B trên (ACC/A/).
Vì (CC/A/A)  (ABCD) và cắt nhau theo giao tuyến AC, nên từ B ta dựng BK 
AC thì BK  (ACC/A/).  d(B, (ACC/A/)) = BK.
∆ABC vuông tại B có BA = a, BC = b
1
1
1
1
1
ab



 2  2  BK 
2
2
2
BK
BA
BC
a
b
a 2  b2
12


b) Ta có AC/ nằm trong (ACC/A/), BB/ // (ACA/C/)  d(BB/, (ACC/A/))=
ab

d(B,(ACC/A/))= BK =
.
a 2  b2
5. Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a.
a) Chứng minh rằng B/D  (BA/C/).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA/C/) và (ACD/).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC/ và CD/.



Hình 3.16a
Hình 3.16b
Hướng dẫn
a) Cách 1:
Ta chứng minh B/D vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (BA/C/).
BA/  AB/ (hai đường chéo của hình vuông), BA/  AD (vì AD  (ABB/A/))  BA/
 (AB/D)  BA/  B/D (1).
Tương tự BC/  (CDB/)  BC/  B/D (2). Từ (1) và (2)  B/D  (BA/C/).
Cách 2:
Ta có B/B = B/A/ = B/C/ = a và DB = DA/ = DC/ = a 2  B/D là trục của
∆BA/C/  B/D  (BA/C/).
b) Cách 1:
Ta có (BA/C/) // (ACD/), do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên bằng khoảng
cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta có thể chọn điểm A
trên (ACD/) và tính d(A, (BA/C/)).

13


Vì B/D  (BA/C/)  (AB/D)  (BA/C/), (AB/D) 

(BA/C/) = JK (J là tâm của tam giác đều BA/C/, K là tâm
hình vuông ABB/A/). Từ A dựng AH  JK  AH 
(BA/C/)  d(A, (BA/C/) = AH. Tính AH ?
AH
AK
a 3
∆AHK  ∆C/B/K 

 AH =
.
C' B' C' K
3
Cách 2:
Nếu ta sử dụng kết quả đường chéo DB/ vuông góc với
các mặt phẳng (BA/C/) và (ACD/), đi qua trọng tâm của
Hình 3.16c
các ∆BA/C/, ∆ACD/ và các trọng tâm của đó chia đoạn
DB/ thành ba phần bằng nhau thì ta được khoảng cách giữa (BA/C/) và (ACD/)
DB' a 3

.
bằng
3
3
c) Hai đường thẳng BC/ và CD/ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song
(BA/C/) và (ACD/) nên khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách giữa hai mặt
a 3
.
phẳng song song đó và bằng
3

6. Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A/B/C/) thuộc đường thẳng B/C/.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA/ và B/C/ vuông góc với nhau, tính
khoảng cách giữa chúng.



Hình 3.17a

Hình 3.17b
14


Hướng dẫn
a) Ta xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Vì AH  (A/B/C/) và H 
B/C/  HA/ là hình chiếu của AA/ trên (A/B/C/), do đó góc giữa cạnh bên và mặt

phẳng đáy bằng góc 
AA' H  300 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng độ dài đoạn AH.
a
∆AA/H vuông tại H: AH = AA/sin300 = .
2
a 3

b) ∆AA/H vuông tại H: A/H = AA/cos300 =
2
A/H là đường cao của tam giác đều A/B/C/  A/H 

B/C/, AH  B/C/  B/C/  (AA/H)  AA/  B/C/.
Vì B/C/  (AA/H) nên từ H ta dựng HK  AA/ thì HK
Hình 3.17c
là đoạn vuông góc chung của AA/ và B/C/.
a 3
∆A/KH: HK = A/Hsin300 =
.
4
  BAA
'
7. Cho hình hộp thoi ABCD.A/B/C/D/ có các cạnh đều bằng a và BAD
'  600 . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A/B/C/D/).
 DAA



Hình 3. 18a
Hình 3.18b
Hướng dẫn
Ta xác định hình chiếu của điểm A/ thuộc mặt phẳng (A/B/C/D/) trên mặt phẳng
(ABCD). Vì các tam giác AA/B, ABD, AA/D là các tam giác đều nên hình tứ diện
A/ABD là hình tứ diện đều cạnh a, do đó hình chiếu H của A/ trên (ABCD) là
a 6
trọng tâm của tam giác đều ABD và A/H = AA' 2  AH 2 
.
3
a 6
.
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A/B/C/D/) và (ABCD) bằng
3

15


8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 .
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K là điểm bất kì thuộc
đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK
không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.



Hình 3.19a

Hình 3.19b

Hướng dẫn
a) Vì các cạnh bên hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S trên (ABCD) là tâm
O của hình chữ nhật ABCD  d(S, (ABCD)) = SO.
a 5
∆ABC vuông tại B : AC  AB 2  BC 2  a 5  OA =
.
2
2

a 5
a 3
.
∆SOA vuông tại O : SO  SA  OA  a 2  
 

2
 2 
b) EF // (SAD) (vì EF // AB), SK  (SAD)  d(EF, SK) = d(O, (SAD)).
Gọi J là trung điểm của AD, AD  OJ, AD  SO  AD  (SOJ), AD  (SAD)
 (SOJ)  (SAD) và (SOJ)  (SAD) = SJ, từ O kẻ OH  SJ  OH  (SAD).
Vậy d(EF, SK) = OH không đổi (vì O và (SAD) cố định).
1
1
1
4
1
7
a 21
∆SOJ vuông tại O :


 2  2  2  OH 
2
2
2
7
OH
OS
OJ
3a
a
3a
2

2





2

16