Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và câu hỏi phụ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (516.49 KB, 7 trang )
Chủ đề I
A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
I / Hàm số :
1) Tập xác định : +/ D = R \{ . }
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ = .
y’ > 0 ( y’ < 0 ) , D
+/ Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
và => tiệm cận ngang : y = .
? và ? => tiệm cận đứng : x = .
+/ Bảng biến thiên :
x
∞
y’
?
?
y
?
?
+ ∞
3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = .
*Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ,
*Đồ thị nhận giao điểm I(;) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .
1
y’ = 0 <=>
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = ….
x
y’
y
+ / Giới hạn ở Vô cực :
? ; ? .
+/ Bảng biến thiên :
∞ ?
?
? + ∞
?
?
?
?
?
?
3) Đồ thị :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác …
Đồ thị :
III / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
2
+/ Chiều biến thiên :
y’ = 3ax2 + 2bx + c .
y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ? .
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
? ; ? .
+/ Bảng biến thiên :
x ∞ ?
?
? + ∞
y’
?
?
?
y
?
?
?
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .
+) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : …
+) Đồ thị :
3
Bài tập mẫu dạng 1: Khảo sát sự biên thiên và v
́
ẽ đô th
̀ ị hàm số:
a)
b)y =
c).
d)y =
Cách giải: a)
1) Tập xác định : +/ D = R \{ ….. }
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ =
y’ … 0 , D
+/ Hàm số đồng biến trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
và => tiệm cận ngang : y =…
và => tiệm cận đứng : x =…. .
+/ Bảng biến thiên :
x
∞
+ ∞
…..
y’
…..
…..
y
…..
…..
3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = …. .
*Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =…..
*Đồ thị nhận giao điểm I(…..;…..) của hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng
4
Bài tập mẫu dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a)
b) y = –x4 + 2x² + 3
Cách giải: a)
1) Tập xác định : +/ D = ….
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ = … x3 + … x = 2x(….. x2 + … ) .
y’ = 0 <=>
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
… ; … .
+/ Bảng biến thiên :
∞ … … … + ∞
x
y’
y
… … … … … … …
… … …
3) Đồ thị :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = … . Các điểm khác …
Đồ thị :
5
Bài tập mẫu dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1.b)y = x³ – 2x² + x – 2 c)
Cách giải: a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1
1) Tập xác định : +/ D = … .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ = … x2 + … x + … .
y’ = 0 <=> xi = … ; f(xi) = … .
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
…. ; .... .
+/ Bảng biến thiên :
x ∞ … … + ∞
y’
… … … … …
y
… …
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = .. .
+) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = .. ., Các điểm khác : …
+) Đồ thị :
6
B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C )
2/ y = ax4 + bx2 + c ( C )
3/ ( C )
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) :
1/ Tại điểm M0 (x0 ; y0 )
Xác định:
Viết phương trình: y= +
2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
Trong đó k.k’ = 1 k = .
thế k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*)
5/ Đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ) € ( C ) :
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x1 ) + y1 ( * )
k = f’(x1) ; thế k , x1 , y1 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm
Bài 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).
(2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m )
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với
đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)
Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ).
Bài 3 : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
7
