PHUONG TRINH LUONG GIAC luyen thi ĐH THPTQG

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 3:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

142
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

Phương trình lượng giác cơ bản:
cos x  cos  x    2k

sin x  sin    x    2k

 x      2 k , k  



tan x  tan   x    k

cot x  cot   x    k

Bài 1. Giải phương trình



2cos 2  cos2 x   1  cos   sin 2 x 
2


Lời giải:
Phương trình tương đương với



2cos 2  cos2 x   1  cos  sin 2 x   1  cos  cos 2 x   1  cos   sin 2 x 
2

 cos   cos 2 x   cos   sin 2 x    cos 2 x   sin 2 x  k 2

 cos2 x   sin 2 x  2k  cos2 x  2sin 2 x  4k  1 (*)
2

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  4k  1  12  22 

1 5
1 5

k
 k  0 .
4
4

Khi đó phương trình (*) trở thành
cos2 x  2 sin 2 x  1  2 cos 2 x  4sin x cos x  0  cos x  cos x  2sin x   0 .

144
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 cos x  0

x   k
1




, k  , tan   .
2
1
 tan x  

2


2
 x    k

1

Vậy phương trình có nghiệm là  x   k ,   k , k  , tan    .
2
2


Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình



cos  3x  9 x 2  160 x  800   1
8






Lời giải:
Phương trình tương đương với


3 x  9 x 2  160 x  800  k 2 , k    9 x 2  160 x  800  3x  16k
8
3x  16k  0
3x  16k  0


 2
25
2  
9 x  24k  40  3k  5
9 x  160 x  800   3 x  2k 





 k  2 k  10
Vậy với x, k    25 3k  5  

 x  7  x  31
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là  x  7, x  31 .

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
 
1 
cos    x 2  2 x     sin  x 2 
2 
 

Lời giải:
Phương trình tương đương với

145
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 
1 


cos    x 2  2 x     sin  x 2   cos     x 2  2 x    sin  x 2 
2 
2

 
  x 2  2 x    x 2  k 2
2
2
 sin   x  2 x   sin  x   
, k 
  x 2  2 x      x 2  k 2






x  k
k  0
3 1

 x 0
 k  0  xmin 

0

1

4
k

3
x 
2
k  

2
Vậy nghiệm của phương trình là x 

3 1
.
2

Bài 4. Tìm nghiệm x thuộc đoạn  0;14 thỏa mãn phương trình

cos3 x  4cos 2 x  3cos x  4  0

Lời giải:
Phương trình tương đương với

4cos3 x  3cos x  4  cos2 x  1  3cos x  0
 4cos3 x  8cos2 x  0  cos x  0  x 
0  x  14  0 


 k , k  
2


 k  14  k  0,1, 2,3
2

  3 5 7 
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là x   ; ; ; 
2 2 2 2 

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  1,10 của phương trình

sin xcos



3
 cos x sin 
5
5
2

Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

146
Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



cos  x 2   cos   x  1

2



Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình



cos 
3x  9 x 2  80 x  40   1
 10






Bài 4. Giải phương trình





 x8  3x 4  2 sin  16 x 2  2 x   0
Bài 5. Tìm các nghiệm thuộc đoạn  0; 2  của phương trình

cos3x +sin3x 

5  sin x 
  cos2 x  3
1  2sin 2 x 

 
Bài 6. Tìm nghiệm x   ;   thỏa mãn phương trình
2 
2sin 2 x  3cos 2 x  2  3sin x  cos x   7

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX

Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến
đổi tương tự.
1
1 





sin x  cos x  2  sin x
 cosx
  2 sin  x  4   2cos  x  4 

2
2






1

3




sin x  3 cos x  2  sin x 
cos x   2sin  x    2cos  x  
2
3
6


2

 3

1





3 sin x  cos x  2 
sin x  cos x   2sin  x    2cos  x  
2
6
3


 2


BÀI TẬP MẪU

147
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Giải phương trình: sin 3x  3 cos 3 x  2sin 2 x
Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

1

3
sin 3x  3 cos 3 x  2sin 2 x  2  sin 3x 
cos3x   2sin 2 x

2
2






3x   2 x  k 2
x   k 2




3
3
 2 sin  3 x    2 sin 2 x  

, k 
3

3x      2 x  k 2
 x  4  k 2


3
15
5

Bài 2. Giải phương trình

sin x  cos x sin 2 x  3cos3 x  2  cos4 x  sin 3 x 

Lời giải:

Phương trình tương đương với
1
1
3
1
sin x  sin 3x  sin x  3cos3x  2cos4 x  sin x  sin 3 x
2
2
2
2


 sin 3x  3cos3 x  2cos4 x  cos  3 x    cos4 x
6






3 x  6  4 x  k 2
 x   6  k 2


3 x    4 x  k 2
 x    k 2


6
42
7


Bài 3. Giải phương trình

3  sin 2 x  sin x   cos2 x  cos x  2

148
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Lời giải:

Phương trình tương đương với

3  sin 2 x  sin x   cos2 x  cos x  2
 3
  3

1
1
 
sin 2 x  cos2 x   
sin x  cos x   1
2

2
 2
  2








 
 cos  2 x    sin  x    1  2sin 2  x    sin  x    0
3
6
6
6







 

x   k

sin
x



0
6
 
6 




  x    k 2 , k  
 
 1


sin  x   
 x   k 2
6 2
 
3


Bài 4. Giải phương trình








3sin  x    4sin  x    5sin  5 x    0.
3
6
6



Lời giải:

Phương trình tương đương với


 
 



3sin  x    4 cos    x     5sin  5 x  
3
6 
6


2 

7 





 3sin  x    4 cos   x   5sin  5 x 
3
6 

3


4
3
Đặt sin   ; cos  , khi đó phương trình tương đương với
5
5


7



5sin  x      5sin  5 x 
3
6




9  k
  k

 
x

 
 x
24 4 2
36 6 3


149
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 5. Giải phương trình:

1  2 sin x  cos x 
1  2sin x 1  sin x 

3

Lời giải:

sin x  1

Điều kiện: 
1 (*)
sin x   2
Khi đó phương trình tương đương với:
cos x  sin 2 x  3 1  2 sin x  sin x  2 sin 2 x   cos x  sin 2 x  3  cos2 x  sin x

1

3
3
1
cos x 
sin x 
cos2 x  sin 2 x
2
2
2
2





2 x   x   2 k
x   2 k








6
3
2
 cos  x    cos s  2 x    


, k 
3
6


 2 x     x    2 k
 x     2k


6
3
18
3
 cos x  3 sin x  3cos2 x  sin 2 x 

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: x  

 2k

, k  .
18
3

Bài 6. Giải phương trình: cos2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  4  0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:

1
 1


3
3
sin 2 x    cos x 
sin x   2  0
 cos2 x 
2
2
2
 2




 




 
 cos  2 x    cos  x    2  0  cos  2  x       cos  x    2  0
3
3
3
3



 










cos2  x    cos  x    2  0  2 cos2  x    1  cos  x    2  0
3
3
3
3





  
 




  cos  x    1 2cos  x    3   0  cos  x    1  0
3  
3 
3






 x



 k 2  x   k 2 , k  .
3
3

150
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



Vậy phương trình có nghiệm là:  x   k 2 , k    .
3







Bài 7. Giải phương trình: sin x  3 cos x sin 3 x  2

Lời giải:
Phương trình tương đương với:

1

3


cos x  sin 3 x  1  sin  x   sin 3 x  1
 sin x 
2
3

2





1  sin  x    1
Do 
nên phương trình tương đương với
3

1  sin 3x  1

 

 sin  x    1
3

 

 sin 3x  1

 x   k

6

 
sin
x



1



 
3

 sin 3x  1

Bài 8. Giải phương trình:
4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x  3  1  tan 2 x tan x  sin 4 x

Lời giải:
Điều kiện: cos x cos 2 x  0 (*).
Phương trình đã cho tương đương với:

 1

 sin x sin 2 x  cos x cos 2 x 
4  1  sin 2 2 x   3 sin 4 x  3  
 sin 4 x
cos x cos 2 x
 2




151
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1
3


cos4 x 
sin 4 x  sin 2 x  sin  4 x    sin 2 x
2
2
6



 2 x  k 2

 x   12  k

, k   thỏa mãn (*).
5


   2 x  k 2
x
k

36
3

 cos4 x  3 sin 4 x  2sin 2 x 



4x  6

4x  

6

Bài 9. Giải phương trình

3  sin 2 x  cos x   sin x  cos 2 x  2

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3
1
1
3
sin 2 x  cos 2 x  sin x 
cos x  1
2
2
2
2








  cos  2 x    cos  x    1  2cos2  x    cos  x    0
3
6
6
6




3 sin 2 x  cos 2 x  sin x  3 cos x  2 



 x  3  k
 


 cos  x  6   0





  x   k 2 , k  

 
2

1

 cos  x    
6
2
 
 x   5  k 2

6


5



Vậy phương trình có nghiệm là x    k ;  k 2 ; 
 k 2 , k   
2
6
3


Bài 10. Giải phương trình

sin x sin 2 x  2 sin x cos2 x  sin x  cos x
 6cos2 x


cos  x  
4


Lời giải:

152
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


Điều kiện: cos  x    0
4


Khi đó phương trình tương đương với

2sin 2 x cos x  2 cos2 x sin x  sin x  cos x
 6cos2 x
1
 sin x  cos x 
2
 1  2sin x cos x  3cos2 x 

3
1
1
cos2 x  sin 2 x 
2
2
2

 



2 x    k 2
x   k





6 3

12
 cos  2 x    cos  

6
3

 2 x       k 2
 x     k


6
3
4
Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm x 


 k thỏa mãn
12



Vậy phương trình có nghiệm x    k , k   
12


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x.

Bài 2. Giải phương trình
4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x  2.

Bài 3. Giải phương trình

2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos2 x.
Bài 4. Giải phương trình

x  
x  
 x 2 
 3x  
2 sin     6cos     2sin  
  2sin    .
 5 12 
 5 12 
5 3 
 5 6
Bài 5. Giải phương trình

153
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC





cos x  sin  2 x    sin  2 x    1  3 1  2cos x  .
6
6




Bài 6. Giải phương trình: 16 cos4  x    4 3 cos 2 x  5  0 .
4

3 cos x tan 2 x  sin x  4 tan x  sin x tan 2 x  3 cos x .

Bài 7. Giải phương trình:

 2  3  cos x  2sin
Bài 8. Giải phương trình:

Bài 9. Giải phương trình:

2cos x  1

 3sin x  1  2



2

x 
  
 2 4   1.

 1.

3 cos x  1



sin x 2 3 cos x  1

2

Bài 10. Giải phương trình:

1  cos x
1

 2  cos x  
sin x
2


Bài 11. Giải phương trình:

3  sin 2 x  cos x   sin x  cos 2 x  2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

Phương trình có dạng
a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0
a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0


t2 1


.
t  sin x  cos x    2; 2   sin x cos x 
2
Đặt 
1 t2

  2; 2   sin x cos x 
t

sin
x

cos
x

.



2

Đưa về giải phương trình với ẩn là t.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình

154
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3
1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x.
2
Lời giải:

Phương trình tương đương với
3

1   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   3sin x cos x.

t2 1
.
Đặt t  sin x  cos x    2; 2   sin x cos x 
2
Khi đó phương trình trở thành
 t 2 1 
 t 2 1 
3
2
2
1  t 3  3
 t  3

  t  3t  3t  5  0   t  1  t  2t  5  0
 2 
 2 
k
 t  1    2; 2   sin x cos x  0  sin 2 x  0  x 
, k  .


2




Vậy phương trình có nghiệm là:  x  k , k    .
2


Bài 2. Giải phương trình:

2 2  sin x  cos x   sin 2 x  1 .
Lời giải:



đặt t  sin x  cos x  2 cos  x      2, 2   sin 2 x  t 2  1.
4

Khi đó phương trình trở thành:




2 2t   t 2  1  1  t 2  2 2t  0  t t  2 2  0  t  0  cos  x    0
4




 x



 
3
  k  x 
 k , k  .
4 2
4

Bài 3. Giải phương trình:

1 

 sin x  cos x  1
2 sin x cos x  1 

2

 2 0.
sin x  cos x  2



Lời giải:

155
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Điều kiện: sin x  cos x  2  0 (*).


t 2 1

Đặt t  sin x  cos x  2cos  x      2, 2   sin x cos x 
.
4
2

Khi đó phương trình trở thành:


 t  1
2 2
t  1   1     2  2  2t 2

 1 
2


 2  2





 2  t  2



  2t 3  2 2t 2  2  2 t  2  2 2  0















 t  2  2t 2  2 2  2 t  2  2  0  t  2  t  1






2cos  x    2

t  2
4






t  1
 2cos  x    1
4





x   k 2



4
 x  4  k 2


  x  k 2

, k   ( thỏa mãn (*) ).
 x      k 2



4 4
 x   k 2
2





Vậy phương trình có nghiệm là:  x   k 2 , k 2 ,  k 2 , k    .
4
2



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

sin x  cos x  7 sin 2 x  1.
Bài 2. Giải phương trình

1  2   sin x  cos x   2 sin x cos x  1 
Bài 3. Giải phương trình

156

Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2.



2t  2  2  0


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


sin 2 x  2 sin  x    1.
4

Bài 4. Giải phương trình
sin 3x  cos3x  2  sin x  cos x   1.

Bài 5. Giải phương trình

1
 1

2   2  sin 2 x  

 tan x  cot x   0.
 sin x cos x

Bài 6. Giải phương trình:

sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x 

2
 2.
2

Bài 7. Giải phương trình:

3
1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x .
2
Bài 8. Giải phương trình:

sin xcos2 x  cos x sin 2 x  2  sin x  cos x  sin 2 x   2
 0.
sin x  cos x  sin x cos x
Bài 9. Giải phương trình:

1  2   sin x  cos x   2 sin x cos x  1 

2.

Bài 10.Giải phương trình:



sin 2 x  2 sin x  x    1 .
4


Bài 11.Giải phương trình: sin x  cos x  4 sin 2 x  1 .
Bài 12.
Giải phương trình: 5 1  sin 2 x   16  sin x  cos x   3  0 .
Bài 13.





Giải phương trình:  sin x  cos x  1 2  sin 3 x  cos3 x   1  2 sin 2 x .
Bài 14.
Giải phương trình: 2  sin 3 x  cos 3 x    sin x  cos x   sin 2 x  0 .

157
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 15.
Giải phương trình: 2  sin 3 x  cos 3 x   sin 2 x  sin x  cos x   2 2 .
Bài 16.
Giải phương trình:  sin x  cos x  1 2 sin 2 x  1   sin x  cos x  2sin 2 x  1 .

PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX

Bài 1. Giải phương trình: 2  tan x  sin x   3  cot x  cos x   5  0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với

 sin x
  cos x

2
 1  sin x   3 
 1  cos x   0
 cos x
  sin x

3 
 2
  sin x  cos x  sin x cos x  

0
 cos x sin x 

3

tan x  


2

sin x  cos x  sin x cos x  0
Bài 2. Giải phương trình: 3  cot x  cos x   5  tan x  sin x   2 .
Lời giải:
Phương trình tương đương với:

 cos x
  sin x


3
 1  cos x   5 
 1  sin x   0
 sin x
  cos x




3  cos x  sin x  sin x cos x 
sin x



5  cos x  sin x  sin x cos x 
cosx

5 
 3


  cos x  sin x  sin x cos x   0 .
 sin x cosx 
Bài 3. Giải phương trình:

2  sin x  cos x   tan x  cot x .

158
Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

0


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 (*).
Khi đó phương trình tương đương với:

2  sin x  cos x  

sin x cos x

 2 sin x cos x  sin x  cos x   sin2 x  cos2 x  1
cos x sin x

 
t 2 1


t

sin
x

cos
x

2

c
os
x



2,
2

sin
x
cos
x

Đặt
.



4 
2

Khi đó phương trình trở thành:

2 2
t  1 t  1  2t 3  2t  2  0  t  2

2







2t 2  2t  2  0  t  2




 2cos  x    2  x   k 2 , k   . thỏa mãn điều kiện (*).
4
4




Vậy phương trình có nghiệm là:  x   k 2 , k    .
4


Bài 4. Giải phương trình: cot x  tan x  sin x  cos x
Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0
Khi đó phương trình tương đương với:

cos x sin x

 sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x   0
sin x cos x



Xét sin x  cos x  0  tan x  1  x  



Xét


 k .
4

sin x  cos x  sin x cos x  0

(*),
2


1 t

t  sin x  cos x   2 cos x  x      2, 2   sin x cos x 
.
4
2

Khi đó phương trình (*) trở thành:

1 t2



t
 0  t  1  2  t  1  2   2cos  x    1  2
2
4



2 1


 cos  x   
 cos  x      k 2 .
4
4
2


159
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

đặt


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vậy phương trình có nghiệm là:



2  1 


 x    k ,     k 2 , k  , cos 
.
4
4
2 

Bài 5. Giải phương trình: 3  tan x  cot x   2  2  sin 2 x  .
Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với:
3  sin 2 x  cos 2 x 
 sin x cos x 
3

 2  2  sin 2 x 
  2  2  sin 2 x  
sin x cos x
 cos x sin x 



6
 2  2  sin 2 x   sin 2 2 x  2sin 2 x  3  0   sin 2 x  1 sin 2 x  3  0
sin 2 x

. thỏa mãn điều kiện.
Bài 6. Giải phương trình: 2 tan x  cot x  3 

2

.
sin 2 x

Lời giải:
Điều kiện: sin 2 x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với:

 tan x  cot x   tan x 

3

2
2
 sin x cos x 


  tan x  3 
sin 2 x
sin 2 x
 cos x sin x 

sin 2 x  cos2 x
2


 tan x  3 
 tan x  3  x   k , k  .
sin x cos x
sin 2 x
3

Bài 7. Giải phương trình:

1 
 1
3 2 
 12  2 3  tan x  cot x  .
2 
 sin x cos x 
Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 .

160
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Khi đó phương trình tương đương với:
3 1  tan 2 x  1  cot 2 x   12  2 3  tan x  cot x 
 3  tan 2 x  cot 2 x  2   2 3  tan x  cot x   0



2



 3  tan x  cot x   2 3  tan x  cot x   0   tan x  cot x  3 tan x  cot x   2 3  0



Xét tan x  cot x  0  x 



Xét tan x  cot x 



k .
4
2

2 3
2 3
 tan 2 x 
tan x  1  0
3
3



 tan x  3
x   k

3
 
1 
tan x  

 x     k

3

6

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình: 4sin 2 x  3 tan 2 x  1 .
Bài 2. Giải phương trình: 1  tan x  2 2 sin x .
Bài 3. Giải phương trình: 1  3sin 2 x  2 tan x .
Bài 4. Giải phương trình: tan 2 x 1  sin 3 x   cos 3 x  1  0 .
Bài 5. Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2 x  1 .
Bài 6. Giải phương trình: sin 2 x  2 cos 2 x  4  sin x  cos x  tan x  1  0 .
Bài 7. Giải phương trình: cot 4 x  cos3 2 x  1 .
Bài 8. Giải phương trình: sin 2 x tan x  cos2 x cot x  sin 2 x  1  cot x  tan x .
Bài 9. Giải phương trình:

1  tan x
 1  sin 2 x .
1  tan x

161
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 10. Giải phương trình:

3  sin x  tan x 
tan x  sin x

 2cos x  2 .

Bài 11. Giải phương trình:  tan x  cot x  2 tan 2 x 1  cos3 x   4 sin 3x .
Bài 12. Giải phương trình: tan 2 x 

1  cos x
.
1  sin x

1  cos3 x
Bài 13. Giải phương trình: tan x 
.
1  sin 3 x
2

Bài 14. Giải phương trình:

1  tan x
 1  sin 2 x .
1  tan x

Bài 15. Giải phương trình: 1  cot 2 x 

1  cos2 x
.
sin 2 2 x

Bài 16. Giải phương trình: tan 2 x  cot x  8cos2 x .
Bài 17. Giải phương trình: tan x  cot x  2 cot 3 2 x .
Bài 18. Giải phương trình: tan x  cot x  2  sin 2 x  cos2 x  .
Bài 19. Giải phương trình: cot x  tan x  2 tan 2 x .
Bài 20. Giải phương trình: 6 tan x  5cot 3x  tan 2 x .
Bài 21. Giải phương trình: 2  cot 2 x  cot 3x   tan 2 x  cot 3 x .
Bài 22. Giải phương trình: 3 tan 3x  cot 2 x  2 tan x 

2
.
sin 4 x

Bài 23. Giải phương trình: 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

1
.
sin 2 x

Bài 24. Giải phương trình: cot x  1  2  tan x  cot x  cos x  sin x  .



sin  3 x  
4

Bài 25. Giải phương trình: 2  tan x 
.


cos  x  

4

Bài 26. Giải phương trình: 3 tan 2 x 

3  tan x  1
cos x

7

 4 2 sin  x 
4


162
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


  1.



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Các công thức biến đổi

1
sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x
2

3
sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x
4

sin 2 x 

2 tan x
1  tan 2 x
;
c
os2
x

1  tan 2 x
1  tan 2 x

Thường gặp các phương trình dạng:

a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  0
Hoặc a sin 3 x  b sin 2 x cos x  c sin x cos 2 x  d cos3 x   m sin x  n cos x   0
Phương pháp giải:
(i). Xét trường hợp cos x  0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.
(ii). Xét trường hợp cos x  0 , khi đó chia cả hai vế của phương trình thứ nhất và thứ hai lần lượt
cho cos2 x và cos3 x . Ta được các phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba với ẩn là tan x .

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình
2  sin 6 x  cos 6 x   sin x cos x
2  2sin x

 0.

Lời giải:
Điều kiện: sin x 

2
(*).
2

Khi đó phương trình tương đương với

163
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2  sin 6 x  cos 6 x   sin x cos x  0

 3
 1
 2  1  sin 2 2 x   sin 2 x  0  3sin 2 2 x  sin 2 x  4  0
 4
 2

  sin 2 x  1 3sin 2 x  4   0  sin 2 x  1  x 
Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra k lẻ suy ra x 
Vậy nghiệm của phương trình là x 


 k , k 
4


5
  2k  1  
 k 2
4
4

5
 k 2 , k .
4

Bài 2. Giải phương trình

1 11x
9x
sin 2 2 x cos 6 x  sin 2 3x  sin
sin .
2
2
2
Lời giải:

Phương trình tương đương với

1  cos4 x  cos6 x  1  cos6 x  sin

11x
9x
11x
9x
sin
 1  cos4 x cos s 6 x  sin
sin
2
2
2
2

1
1
 cos10 x  cos2 x    cosx  cos10 x   cos2 x  cos x  2  0
2
2
2
 2 cos x  cos x  3  0   cos x  1 2cos x  3  0  cos x  1  x  k 2 , k .
 1

Bài 3. Giải phương trình
5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x.

Lời giải:

Điều kiện cos x  0.
Khi đó phương trình tương đương với

5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x  5sin x  2  31  sin x 

 5sin x  2  3 1  sin x 

sin 2 x
cos2 x

sin 2 x
3sin 2 x

5sin
x

2

1  sin 2 x
1  sin x

164
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
  5sin x  2 1  sin x   3sin 2 x  2 sin 2 x  3sin x  2  0



x   k 2

1
6

  2sin x  1 sin x  2   0  sin x   
, k  .
2
 x  5  k 2

6

Bài 4. Giải phương trình:

4sin3 x  3cos3 x  3sin x  sin 2 x cos x  0 .
Lời giải:
Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình.
Xét cos x  0 , khi đó chia cả hai vế của phương trình cho cos3 x ta được phương trình:
4 tan 3 x  3  3 tan x 1  tan 2 x   tan 2 x  0
 tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  3  0   tan x  1  tan 2 x  3  0



 x  4  k
 tan x  1


, k 
 x     k
 tan x   3

3
Bài 5. Giải phương trình:

sin x sin 2 x  sin 3x  6 cos3 x .

Lời giải:
Phương trình tương đương với:

2sin 2 x cos x  3sin x  4sin3 x  6cos3 x  0
Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình.
Xét cos x  0 , khi đó chia hai vế của phương trình cho cos3 x ta được phương trình
2 tan 2 x  3 tan x 1  tan 2 x   4 tan 3 x  6  0
 tan 3 x  2 tan 2 x  3 tan x  6  0   tan x  2  tan 2 x  3  0

165
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 x    k
 tan x  2  tan 


, k  .


x



k

tan
x



3

3

Bài 6. Giải phương trình:

1  3sin 2 x  2 tan x .
Lời giải:
Phương trình tương đương với:

1  3.

2 tan x
 2 tan x  2 tan3 x  tan 2 x  4 tan x  1  0
2
1  tan x

 tan x  1
  tan x  1  2 tan x  3 tan x  1  0  
 tan x  3  17

4
2

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình: cos3 x  4sin3 x  3cos x sin 2 x  sin x  0 .





Bài 2. Giải phương trình: sin 3  x    3sin 3  x    cos x  sin 2 x .
6
3


Bài 3. Giải phương trình :

sin 3 x  cos3 x
 cos2 x .
2 cos x  sin x

Bài 4. Giải phương trình: sin xcos2 x  6 cos x 1  2 cos 2 x  .
Bài 5. Giải phương trình:

2  cos3 x  2 sin 3 x 
2 sin x  3cos x

 sin 2 x .

Bài 6. Giải phương trình: sin x  cos x  4sin 2 x  0 .
Bài 7. Giải phương trình: sin 2 x  tan x  1  3sin x  cos x  sin x   3 .
Bài 8. Giải phương trình:



2 sin 3  x    2sin x .

4


166
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


8cos3  x    cos3x
3

Bài 9. Giải phương trình:
0.
1
cos x 
2



sin 3  x    2 sin x
4

Bài 10. Giải phương trình:
0.
sin x  cos x
Bài 11. Giải phương trình: 6sin x  2 cos3 x 

5sin 4 x cos x
.
2cos 2 x



 2

sin  3x    cos 
 3x 
6

 3
  sin x  3 cos x
Bài 12. Giải phương trình:




cos  2 x    sin  2 x  
6
3



BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Các công thức sử dụng :

i. sin a  sin b  2sin

a b
ab
cos
.
2
2

ii. sin a  sin b  2sin

a b
ab
cos
.
2
2

iii. cos a  cos b  2cos

ab
ab
cos
.
2
2

iv. cos a  cos b  2sin

a b
a b

sin
.
2
2

Lưu ý :Các thừa số chung

1  sin 2 x; cos2 x;1  tan x;1  cot x có thừa số chung là sin x  cos x .
1  sin 2 x; cos2 x;1  tan x;1  cot x có thừa số chung là sin x  cos x .

167
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam