BÀI TOÁN VỀ XÁC XUẤT_LÊ VĂN TUẤN

MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

01. BÀI TOÁN XÁC SUẤT PHẦN 1.
GV: LÊ VĂN TUẤN-MOONACADEMY.VN
TẠI LIỆU GỒM 4 PHẦN:
PHẦN 1: BÀI TOÁN 1 HỘP KHÔNG CHỨA YẾU TỐ SẮP XẾP.
PHẦN 2: BÀI TOÁN 2 HỘP, 3 HỘP ……….1000000 HỘP.
PHẦN 3: BÀI TOÁN SẮP XẾP.
PHẦN 4: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT.
I. BÀI TOÁN 1 HỘP KHÔNG CHỨA YẾU TỐ SẮP XẾP.
BÀI TOÁN: Cho một hộp gồm n phần tử. Chọn ra k phần tử. Tính xác suất để k phần tử được chọn thoã
mãn điều kiện A.

Tính xác suất bằng định nghĩa xác suất: P  A .

Bƣớc 1: Tính  . Chọn ra k phần tử có:   Cnk .
Bƣơc 2: Gọi A là biến cố “…….”. Tính A .
Bƣớc 3: Suy ra xác suất cần tìm của bài toán p 

A


.

Chú ý 1 : Nếu để tính A ta phải chia ra nhiều trường hợp để tính toán thì sẽ sử dụng quy tắc cộng.
Nếu không chia trường hợp ta phải sử dụng quy tắc nhân.
Công thức 1 : Tổ hợp:Có n vậtt khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự
được chọn. Mỗi cách chọn như vậy được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu Cnk .
Công thức 2 : Hoán vị: Có n vật khác nhau , sắp xếp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp xếp được gọi là

1 hoán vị của n phần tử. Theo quy tắc nhân, vị trí thứ nhất có Cn1  n cách sắp xếp vị trí thứ 2
có Cn11  n  1 cách sắp , vị trí thứ 3 còn Cn12  n  2 cách sắp xếp …. và vị trí cuối cùng còn C11  1 cách

sắp xếp ( do còn lại 1 vật ). Vậy số hoán vị của n phần từ được kí hiệu là Pn  n!  n.  n  1 n  2  ....2.1 .
Công thức 3 : Chỉnh hợp: Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1 ≤ k ≤ n), sắp xếp vào k chỗ
khác nhau. Mỗi cách chọn rồi sắp xếp như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Vị trí thứ
nhất có Cn1  n cách chọn ( do có n vật ) vị trí thứ 2 có Cn11  n  1 cách sắp ( do còn n  1 vật ), vị trí thứ 3
còn Cn12  n  2 cách sắp xếp ( do còn n  2 vật )… và vị trí thứ k còn Cn1 k 1  n   k  1 cách sắp xếp (
do còn lại n   k  1 vật ). Vậy theo QTN số cách chọn là: Ank  n  n  1 .  n  2  ...  n  k  1 

n!
.
 n  k !

Chú ý 2 : Mọi bài toán đều có thể quy về Cnk để tính toán.
PHẦN 1 : BÀI TOÁN CƠ BẢN KHÔNG CHIA TRƢỜNG HỢP
Câu 1[THPT Nguyễn Công Trứ]: Một bình đựng 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu
nhiên từ bình ra 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được 3 viên bi có đủ ba màu.
Lời giải:
Số phần tử của không gian mẫu (số kết quả có thể xảy ra) : C93
Số các chọn ba viên bi có đủ ba màu : C41 .C31.C21  24 .
24 2
 .
Do đó xác suất cần tính là p 
84 7
Câu 2 [ THPT- Ngô Sỹ Liên ]: Để chuẩn bị cho Lễ kỷ niệm 70 năm thành lập của một trường THPT, nhà
trường cần lập một đội tình nguyện viên gồm 40 em học sinh thông qua đơn đăng ký. Qua đăng ký có 150
em học sinh muốn tham gia đội tình nguyện viên, biết rằng trong 150 em đó có 60 em có học lực giỏi. Để
đảm bảo công bằng nhà trường quyết định chọn ngẫu nhiên 40 học sinh từ 150 học sinh nói trên. Tính xác
suất để trong số 40 em học sinh được chọn có đúng 80% học sinh có học lực giỏi.

MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

Lời giải:
Gọi A là biến cố ngẫu nhiên: "Chọn được 80% học sinh có học lực giỏi".
40
Chọn ngẫu nhiên 40 em học sinh từ 150 em học sinh có   C150
Chọn được 80% học sinh có học lực giỏi, tức là chọn được 32 em. Chọn 32 em trong 60
32
em có học lực giỏi có C60
cách.
8
32
C60
Chọn 8 em còn lại trong 90 em có cách.Khi đó: A  C90
8
32
C90
.C60
40
C150
Câu 3:[Chuyên Vĩnh Phúc lần 3-2016] Cho tập hợp E  1; 2; 3; 4; 5; 6 và M là tập tất cả các số gồm
hai chữ số phân biệt thuộc E . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M . Tính xác suất để tổng hai chữ số của số đó
lớn hơn 7.
Lời giải:
1
2

 30
Số phần tử của tập M là A6  30 . Lấy ra một số ta có:   C30

Theo công thức tính xác suất, ta tính được: p A 

 Các số có tổng hai chữ số lớn hơn 7 gồm 26,62,35,53,36,63,45,54, 46,64,56,65
C121 2
Có 12 số như vậy . Suy ra xác suất cần tìm là : p  1  .
C30 5
Câu 4: Cho S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 6. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
Lời giải:
Số các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập trên là: A53  60 số.
Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Bộ 3 các số có tổng chia hết cho 3 là:
1;2;3 ; 1;2;6  ;  2;3;4  ;  2;4;6  . Từ 4 bộ số nay ta lập được tổng cộng: 4.3!  24 số:
Gọi X là biến cố: „ chọn ra 1 số thuộc S để số đó chia hết cho 3”
1
C24
2
Ta có: p X  1  .
C30 5
Câu 5: Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 1cm, 3cm, 5cm, 7cm và 9cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng
trong nằm đoạn thẳng trên, tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác.
Lời giải:
3
Lấy ra ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng có: C5 cách.

Các bộ 3 đoạn thẳng tạo thành một tam giác là:  3;5;7  ;  3;7;9  ;  5;7;9  .
Gọi X là biến cố: „ chọn ra 3 đoạn thẳng lấy ra tạo thành 1 tam giác‟
C1 3

Ta có xác suất cần tìm của bài toán là: p X  33  .
C5 10
Câu 6: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 3 tấm
thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Lời giải:
8
Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ có:   C20
cách.
Trong 20 tấm thẻ có 10 tấm mang số chẵn, 10 tấm mang số lẻ và 2 tấm mang số chia hết cho 10.
Chọn ra 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 có C21 cách.
Khi đó chọn ra 8 tấm thẻ có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ
mang số chia hết cho 10 có: C21.C84 .C103  16800 .
16800 560

Vậy xác suất cần tìm của bài toán là: p 
.
8
C20
4199
BÀI TOÁN CHIA TRƢỜNG HỢP ( SỬ DỤNG QUY TẮC CỘNG )
Câu 1[ Phù Cừ-Hƣng Yên]: Tổ 1 lớp 12A1 có 12 học sinh gồm có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ,
trong đó AN là tổ trưởng còn HOA là tổ phó. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong tổ để tham gia hoạt động
tập thể của trường nhân dịp ngày thành lập Đoàn 26 tháng 3. Tính xác suất để sao cho nhóm học sinh được


MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ trong đó phải nhất thiết có bạn AN hoặc bạn HOA nhưng không

có cả hai (AN là học sinh nam, HOA là học sinh nữ)
Lời giải:
Mỗi cách chọn nhóm 5 học sinh từ 12 học sinh là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy không
gian mẫu Ω gồm: C125  792 phần tử.Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn có 3 học sinh nam và 2 học
sinh nữ trong đó phải nhất thiết có bạn AN hoặc bạn HOA nhưng không có cả hai”
TH1: Chọn được nhóm gồm 3 học sinh nam, 2 học sinh nữ trong đó có bạn AN và không có bạn HOA có:
1.C62 .C42  90 cách.
TH2: Chọn được nhóm gồm 3 học sinh nam, 2 học sinh nữ trong đó có bạn HOA và không có bạn AN có
1.C63 .C41  80 cách.
170
Như vậy p 
là giá trị cần tìm.
792
Câu 2[ Quỳnh Lƣu 3]: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.
Lời giải:
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi  là không gian mẫu.
4
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có   C24
cách lấy
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C102 C81C61  2160 cách
1
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C10
C82C61  1680 cách
1
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: C10
C81C62  1200 cách
5040
Do đó A  5040 . Vậy, xác suất biến cố A là p A 

.
10626
Câu 3: Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một trường phổ thông có
4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi
học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh
trên. Tính xác suất để trong 5 em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và
học sinh khối 12.
Lời giải
Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là C85 = 56 cách
Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau
+) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: C21 .C21 .C43 cách

+) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C21 .C22 .C42 cách
+) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C22 .C21 .C42 cách
+) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: C22 .C22 .C41 cách
Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là: 44 cách
44 11
Vậy xác suất cần tính là: p 

56 14
Câu 4: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ,5 quả cầu màu xanh và quả 7 cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng
lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và
không quá hai quả cầu màu vàng.
Lời giải:
4
Số phần tử của không gian mẫu là   C16  1820 .
+) Gọi A là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét
ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C41 .C53
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C41C52C71

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C41C51C72


MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

Khi đó B  740
37
.
91
Câu 5 : Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu hỏi trung bình,
20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi đựơc chọn từ 40 câu hỏi đó. Tính xác suất để
chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số
câu hỏi dễ không ít hơn 4.
Lời giải:
7
Không gian mẫu của việc tạo đề thi là :   C40
Gọi A là biến cố chọn đựợc đề thi có đủ 3 loại câu hỏi(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4.
4
1
4
5
1
Ta có: A  C40
C52C15
 C20
C51C152  C20
C51C15

Xác suất của biến cố là: p A 

A

5
1
C404 C52C151  C204 C51C152  C20
C51C15
915

1

C840
3848
Câu 6: Trường THPT Hương Khê có 28 học sinh công tác Đoàn thanh niên xuất sắc trong đó có 8 học
sinh khối 10 gồm 4 nam và 4 nữ; 9 học sinh khối 11 gồm 3 nam và 6 nữ; 11 học sinh khối 12 gồm 8 nam
và 3 nữ. Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 28 học sinh nói trên để giao lưu với đoàn viên trường
bạn nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đoàn. Tính xác xuất để trong 4 học sinh được chọn có mặt học sinh
nam thuộc cả ba khối.
Lời giải:
Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 28 học sinh  Có C284 (cách)

Xác suất cần tìm là: pA 



4
 20475
Số phần tử không gian mẫu là:   C28
Gọi biến cố A: “ Trong 4 học sinh được chọn có mặt học sinh nam thuộc cả ba

khối” . Ta có các trường hợp sau:
TH1: Gồm 2 học sinh nam khối 10, 1 học sinh nam khối 11,1 học sinh nam khối 12 có: C42C31C81  144 cách.

TH2: Gồm 1 học sinh nam khối 10, 2 học sinh nam khối 11,1 học sinh nam khối 12 có: C41C32C81  96 cách
TH3:Gồm1 học sinh nam khối 10, 1 học sinh nam khối 11, 2 học sinh nam khối 12 có: C41C31C82  336 cách.
TH4: Gồm 1 học sinh nam khối 10, 1 học sinh nam khối 11,1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ.có:
1
C41C31C81C13
 1248 cách
Vậy A  144  96  336 1248 1824
1824
20475
Câu 7: [ Vĩnh Phúc lần 1] Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2
học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm học.
Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A.
Lời giải:
Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 
Số phần tử của không gian mẫu là: C95  126
Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và
có ít nhất 2 học sinh lớp 12A”.
Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :
+ 2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C
+ 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C
+ 3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C42C31C22  C42C32C21  C43C31C21  78 .
78 13
 .
Vậy xác suất cần tìm là: p 
126 21
Câu 8: [ THPT QG 2015]: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3

đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các

Vậy: Xác suất của biến cố A là P(A) 


MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y
tế cơ sở được chọn.
Lời giải:
3
Có tất cả 5  20  25 đội. Chọn 3 đội từ 25 đội này có C25
 2300 cách    2300.
Gọi A là biến cố “ Có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn ”
.
 TH1. Có 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.
2
Chọn 2 đội từ 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở có C20
 190 cách.
Chọn 1 đội từ 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố có C51  5 cách.
Theo quy tắc nhân thì có 190.5  950 cách thỏa mãn bài toán.
 TH2. Có 3 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn
3
Chọn 3 đội từ 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở có C20
 1140 cách.
Tóm lại, theo quy tắc cộng thì có 950  1140  2090 cách thỏa mãn bài toán  A  2090.
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

A




2090 209

.
2300 230

PHẦN 2: BÀI TOÁN 2 HỘP.
BÀI TOÁN: Cho 2 hộp, hộp một gồm n phần tử, hộp 2 gồm m phần tử. Chọn ra k phần từ hộp 1 và i phần
tử từ hộp 2. Tính xác suất để k+i phần tử được chọn ra thoã mãn điều kiện A.
Bƣớc 1: Tính  . Chọn ra k phần tử có:   Cnk .Cmi .
Bƣơc 2: Gọi A là biến cố “…….”. Tính A .
Bƣớc 3: Suy ra xác suất cần tìm của bài toán p 

A

.

Câu 1: Để tăng thêm thu nhập ngoài công việc dạy học anh Tuấn Gà có nuôi 2 hồ cá mỗi hồ có 100 con
cá, nhưng do nước trong 2 hồ bị nhiễm chất thải hoá học nên hồ cá thứ nhất có 70 con cá bị bệnh và hồ cá
thứ 2 có 50 con cá bị bệnh. Anh Tuấn quyết định vớt ngẫu nhiên từ mỗi hồ lên 2 con cá để kiểm tra bệnh
của chúng. Tính xác suất để 4 con cá vớt lên có 2 con cá bị bệnh.
Lời giải:
2
2
.C100
Tính  . Anh Tuấn vớt từ mỗi hồ lên 2 con cá ta có:   C100

Gọi A là biến cố: “ Anh Tuấn vớt được 4 con cá trong đó có 2 con cá bị bệnh”
1
1
1
1
TH1: Vớt từ mỗi hồ lên 1 con cá bị bệnh và 1 con cá khoẻ mạnh có: C70
trường hợp.
.C30
.C50
.C50
TH2: Vớt từ hồ thứ nhất 2 con cá bị bệnh hồ thứ 2 vớt được 2 con cá khoẻ mạnh có: C702 .C502
TH3: Vớt từ hồ thứ nhất 2 con cá khoẻ mạnh và hồ thứ 2 được 2 con cá bị bệnh có: C302 .C502
1
1
1
1
C70
.C30
.C50
.C50
 C702 .C502  C302 .C502 259

.
2
2
C100
.C100
726
Câu 2: Trong đợt tham quan thực tế khu di tích Nguyễn Du, Đoàn trường THPT Nghèn cử 30 đoàn viên
xuất sắc của 3 khối tham gia. Khối 12 có 6 nam và 4 nữ, khối 11 có 5 nam và 5 nữ, khối 10 có 4 nam và 6

nữ. Chọn mỗi khối 1 đoàn viên làm nhóm trưởng, tính xác suất để trong 3 em làm nhóm trưởng có cả nam
và nữ.
Lời giải:
1
1
1
Số phần tử của không gian mẫu là: C10C10C10  1000
Gọi A là biến cố đã cho thì ” Số học sinh được chọn chỉ có nam hoặc nữ”
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C61C51C41  C41C51C61  240
240
6
19
Xác suất của biến cố A là pA 

 pA  .
1000 25
25
Câu 3: Để kiểm tra chất lượng vệ sinh an toàn thực phẩm từ một lô hàng Cam được nhập khẩu gồm 3
thùng Cam trong đó Thùng thứ nhất có 10 quả Cam ( gồm 6 quả tốt và 4 quả hỏng ), Thùng thứ hai có 8
quả Cam ( gồm 5 quả tốt và 3 quả hỏng ) và Thùng thứ 3 có 6 quả Cam ( gồm 4 quả tốt và 2 quả

Vậy pA 


MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

hỏng).Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi thùng 2 quả Cam. Tính xác suất để 6 quả Cam được chọn ra có ít
nhất một quả tốt.

Lời giải:
Chọn ngẫu nhiên 6 quả Cam từ 3 Thùng Cam có:   C102 C82C62
Gọi A là biến cố 6 quả Cam được chọn ra có ít nhất một quả tốt.
Ta có: A là biến cố: 6 quả Cam được chọn ra không có quả tốt
C42C32C22 1049
2
2
2
Ta có: A  C4 .C3 .C2  pA  1  p A  1  2 2 2 
.
C10C8 C6 1050
Câu 4: Hợp và Vương là 2 bạn rất thích chơi bi mỗi bạn có 2 hộp bi, hộp bi của bạn Hợp có 7 viên bi đỏ
và 7 viên bi vàng, hộp bi của Vương có 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Mỗi bạn lấy ra ngẫu nhiên và đồng
thời từ hộp của mình 2 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi Hợp lấy ra có ít nhất một viên bi cùng màu với bi
của Vương lấy ra từ hộp.
Câu 5:[ĐH_B_2013] Có 2 chiếc hộp đựng bi . Hộp thứ nhất đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng , hộp thứ
2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi
lấy ra cùng màu.
Câu 6: Trong dịp 26/3, Đoàn trường của một trường THPT chọn ngẫu nhiên 6 đoàn viên xuất sắc thuộc
ba khối 10,11,12 , mỗi khối gồm 2 đoàn viên xuất sắc để tuyên dương. Biết khối 10 có 4 đoàn viên xuất sắc
trong đó có 2 nam và 2 nữ, khối 11 có 5 đoàn viên xuất sắc trong đó có 2 nam và 3 nữ., khối 12 có 6 đoàn
viên xuất sắc trong đó có 3 nam và 3 nữ. Tính xác suất để 6 đoàn viên được chọn chỉ có nam hoặc nữ.
Câu 7: [ Đề minh hoạ-2015] Hai thí sinh A và B cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa
cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau , được đựng trong 10 phong bì dán kín , có hình
thức giống hệt nhau , mỗi phong bị đựng 1 câu hỏi ; thí sịnh chọn 3 phong bì để xác định câu hỏi của mình.
Biết rằng bộ 10 câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất để 3 phong bì A chọn và 3 viên bị B
chọn là giống nhau
BÀI TOÁN SỐ 3: CHỌN TỪ 1 HỘP VÀ SẮP XẾP.
Xét bài toán: Cho một hộp gồm n phần tử. Đem n phần tử từ hộp trên và sắp xếp theo 1 tính chất nào đó (
sắp xếp vào các vị trí nào đó ?, các bảng đấu nào đó, sắp xếp lên toa tàu, sắp xếp thành nhiều đội khác

nhau…..). Tính xác suất để thoã mãn điều kiện A.
Câu 1: Trong giải bóng đá nữ của trường THPT Lương Ngọc Quyến có 12 đội tham gia, Trong đó có hai
đội của hai lớp 12A6 và 10A3. Ban tổ chức giải tiến hành bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng A
và B, mỗi bảng 6 đội. Tính xác suất để hai đội 12A6 là 10A3 ở cùng một bảng.
Lời giải:
Gọi X là biến cố “ hai đội 12A6 và 10A3 ở cùng một bảng”
Số cách chia 12 đội thành hai bảng, mỗi bảng có 6 đội là:   C126 C66  924
Số cách chia 12 đội thành hai bảng, mỗi bảng có 6 đội, hai đội 12A6 và 10A3 ở cùng một
bảng là:
-Bước 1: Chọn bảng: Hai đội cùng bảng A hoặc B: có 2 cách
Bước 2: Sắp xếp các đội còn lại vào bảng.
- Chọn 4 đội còn lại vào cùng với bảng của hai đội: có C104 cách
- Chọn 6 đội còn lại cho bảng còn lại: có C66 cách
Suy ra X  2C104 .C66  420 cách.
420

924
Câu 2: Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn
lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 1 5 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức
chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng
cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Câu 3: Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có ba quầy. Tính xác suất để 3 người cùng
đến quầy thứ nhất.
Đ/s: 0,273.
Lời giải:
Gọi X là biến cố : „có 3 người cùng đến quầy thứ nhất‟ .

Xác suất xảy ra biến cố X là: p X 

MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

8 người bước ngẫu nhiên vao 3 quầy có:   38 cách.
Chọn ra 3 người bất kỳ vào quầy số 1 có C83 cách.
5 người còn lại vào bất kỳ 2 quầy còn lại có: 25 cách.
C 3 .25 1792
Ta có: pX  8 8 
 0.273 .
3
6561
Câu 4: Tại một kì thi SEA Games, môn bóng đá nam có 10 đội bóng tham dự (trong đó có đội Việt Nam
và đội Thái Lan). Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia 10 đội bóng nói trên thành 2 bảng A và B, mỗi
bảng 5 đội. Tính xác suất để đội Việt Nam và đội Thái Lan ở cùng một bảng
Câu 5 Chuẩn bị cho tết Ất Mùi 2015 một đội thanh niên tình nguyện của trường THPT Nghèn gồm 9 học
sinh trong đó có 3 học sinh nữ chia thành 3 tổ đều nhau làm công tác vệ sinh môi trường tại nghĩa trang liệt
sỹ huyện Can Lộc. Hãy tính xác suất để mỗi tổ có đúng một học sinh nữ.
Câu 6 : Giải bóng đá vô địch Đông Nam Á (AFF cup) được diễn ra tại Myanmar và Philippines có 11 đội
tham dự, trong đó có 2 đội hạt giống (loại I) là Việt Nam và Thái Lan , 3 đội loại II là Singapore, Malaysia
và Indonesia, còn lại là các đội loại III. Ban tổ chức chia các đội thành 2 bảng, bảng A gồm 6 đội bóng và
bảng B gồm 5 đội bóng sao cho mỗi bảng có 1 đội hạt giống và ít nhất một đội loại II. Tính xác suất để đội
tuyển Việt Nam nằm ở Bảng B và chỉ có một đội loại 2 là Singapore.
Lời giải :
Tính  .
TH1: Bảng A gồm 1 đội loại I và 1 đội loại II, 4 đội loại III, còn lại thuộc bảng B có: C21 .C31.C64  90 .
TH2: Bảng A gồm 1 đội loại I và 2 đội loại II, 3 đội loại III, còn lại thuộc bảng B có: C21 .C32 .C63  120 .
Vậy   90  120  210 .
Tính A . Gọi A là biến cố: “ Đội tuyến VN nằm ở bảng B và chỉ có 1 đội loại II là Singapore”
Ta có: A  1.1.C53 .

10
1
 .
210 21
Câu 7 : Chương trình Táo Quân năm 2016 (Gặp nhau cuối năm) có một trò chơi tên là Vòng quay kỳ diệu
dành cho các Táo tương tự như trò chơi truyền hình Chiếc nón kỳ diệu trên kênh VTV3. Chiếc nón
có hình tròn được chia đều thành các ô hình quạt, trong đó có 10 ô có tên “Tham nhũng”, 4 ô có tên
“Trong sạch” và 2 ô có tên “Phần thưởng”. Có 4 Táo (Kinh tế, Xã hội, Giáo dục và Tinh thần) cùng
tham gia trò chơi này, mỗi Táo chỉ được quay ngẫu nhiên một lần. Tính xác suất để cả 4 Táo đều
quay vào ô “Trong sạch”
Lời giải :
Số phần tử của không gian mẫu  là n()    164

Vậy p A 

Gọi A là biến cố “Cả 4 Táo đều quay vào ô Trong sạch”. Ta có n(A)  A  44 .
1
256
Câu 8 : Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của
Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác
suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau.
Lời giải :
Tính số cách chọn 3 bảng, mỗi bảng 4 đội:   C124 C84C44
Gọi A là biến cố “ Chọn 3 bảng, mỗi bảng 4 đội trong đó có đúng 1 đội Việt Nam”.
Tính n(A):
Bƣớc 1: Chọn 1 trong 3 đội Việt Nam: có 3 cách, rồi chọn 3 trong 9 đội nước ngoài: có C93 .C31

Xác suất cần tính là : p A 

Bƣớc 2: Còn lại 8 đội (6 đội nước ngoài và 2 đội VN): Chọn 1 trong 2 đội VN: C63 .C21

Bƣớc 3 : Còn lại 4 đội (3 nước ngoài và 1 VN): có C33 .C11 cách
16
Số cách chọn là : p A 
55


MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

Câu 9 : [Chuyên Vinh Lần 1 -2015]. Nhân dịp kỷ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam, trường THPT X tuyển
chọn được 24 tiết mục văn nghệ tiêu biểu, trong số đó lớp 11A có 2 tiết mục để công diễn trong toàn
trường. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai buổi công diễn, mỗi buổi 12 tiết mục. Tính
xác suất để 2 tiết mục của lớp 11A được biểu diễn trong cùng một buổi.
Câu 10 Giải bóng đá do Đoàn trường THPT Hà Huy Tập tổ chức có 16 đội tham gia, trong đó khối 10 có
5 đội bóng, khối 11 có 5 đội bóng và khối 12 có 6 đội bóng được bắt thăm ngẫu nhiên để chia làm 4
bảng đấu A, B, C, D, mỗi bảng đấu có đúng 4 đội bóng đá. Tính xác suất để ở bảng A có đúng 2 đội
bóng khối 10 và 2 đội bóng khối 11.
Lời giải :
4
4
4 4
Ta có :   C16C12C8 C4 cách
Gọi A là biến cố mà bảng A có đúng 2 đội bóng khối 10 và 2 đội bóng khối 11.
5
Ta có : A  C52C52C124 C84C44 suy ra p  .
91
PHẦN 4: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT.
Câu 1: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là 0, 7 . Xạ thủ
B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là 0,9 . Tính xác suất để mục

tiêu không trúng đạn.
Lời giải:
Gọi X là biến cố: “ Mục tiêu không trúng đạn‟‟.
Gọi Ai là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ i ta có: P( Ai )  0,3
Gọi A  A1  A2 là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn P( A)  P( A1 ).P( A2 )  0,32
Tương tự B  B1  B2  B3 là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn P( B)  P( B1 ).P( B2 ) P( B3 )  0,13
Do A, B là 2 biến cố độc lập do vậy A  B là biến cố mục tiêu không trúng đạn
9
Ta có: P  X   P  A  B   P  A .P  B  
100000
Câu 2: a) Một lớp có 40 học sinh trong đó có: 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý và 5 học sinh
giỏi cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác xuất để học sinh đó học giỏi Toán hoặc giỏi
Lý.
b) Hai người A và B cùng bắn 1 con chim. Xác suất của A bắn trúng là 0,7 của 2 người cùng bắn trúng là
0,42 và của con chim bị bắn trúng là 0,88. Tính xác suất để B bắn trúng.
Lời giải:
a) Gọi A là biến cố: “ học sinh đó giỏi Toán” và B là biến cố: “ học sinh đó giỏi Lý”
Ta có: AB là biến cố học sinh giỏi cả Toán và Lý và A  B là biến cố học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Lý.
15 3
10 1
5 1
Ta có: P  A 
 ; P  B 
 ; P  AB  

40 8
40 4
40 8
1
Vậy P  A  B   P  A   P B   P AB   .

2
b) Gọi A là biến cố A bắn trúng và B là biến cố B bắn trúng thì A  B là biến cố cả 2 người cùng bắn
trúng và A  B là biến cố con chim bị bắn trúng
Ta có: P  A  B   P  A  P  B   P  A  B   0,88  0,7  P  B   0, 42  P  B   0,6
Câu 3: a) Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác xuất để người công nhân
phải can thiệp máy dệt A trong một giời là 0,15 và máy dệt B trong cùng một giờ là 0,2. Tính xác xuất để
người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ.
b) Xác xuất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,4. Tính xác xuất để trong 3 lần bắn người xạ thụ bắn trúng bia
đúng một lần.
Lời giải:
a) Ta có: A là biến cố “ máy dệt A hỏng ‟‟ và B là biến cố „ máy dệt B hỏng‟
Ta có: p A  1  p  A  0,85 và p B  1  p  B   0,8 .

 

 

Vì A và B độc lập nên ta có X là biến cố người công nhân không phải cản thiệp máy nào trong một giờ thì
P  X   P A.B  0,85.0,8  0,68.

 


MOONACADEMT-HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH-LÊ VĂN TUẤN

WWW.MOON.VN

b) Gọi X là biến cố: “ xạ thủ không bắn trúng bia‟‟
Gọi Ai là biến cố “ Xạ thủ bắn trúng bia lần thứ i‟‟ như vậy Ai là biến cố xạ thủ không bắn trúng lần thứ i.

 
Khi đó ta có: P  X   P  A  A  A   P  A  A  A   P  A  A  A   0, 42
Ta có P  Ai   0, 4; P Ai  0,6 .
1

2

3

1

2

3

1

2

3

Câu 4: Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiên một bi,rồi lấy một
viên bi nữa. Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi xanh.
Lời giải:
+) Gọi X là biến cố “ Lần thứ 2 lấy được bi xanh”
Ta xét: Không gian mẫu là:   8.7  56
+) Gọi A là biến cố “ lần thứ nhất lấy được bi đỏ và lần thứ 2 lấy được bi xanh”
3.5
Ta có : P  A 
56

5.4
+) Gọi A là biến cố “cả 2 lần đều lấy được bi xanh” ta có: P  B  
.
56
5
Khi đó P  X   P  A  P  B   .
8
Câu 5: Một bình có 5 bi trắng và 4 bi đỏ. Ta lần lượt lấy một bi 3 lần liên tiếp theo quy luật: Nếu bi lấy
được là bi đỏ thì bỏ lại vào bình và lấy được bi trắng thì không bỏ lại vào bình‟‟. Gọi Ai là biến cố “ Lấy
được bi trắng trong lần thứ i”.
a) Tính A1; A2 ; A3
b) Tính xác xuất lấy được chỉ một bi trắng trong cả 3 lần lấy.
c) Biết rằng chỉ lấy được đúng một bi trắng. Tính xác suất để lấy được bi trắng này trong lần lấy thứ 3.
Lời giải:
a) A1 là lấy được bi trắng trong lần thứ nhất như vậy lần thứ 2 và thứ 3 lấy được bi đỏ.
5 4 4 5
Ta có: P  A1   . .  .
9 8 8 36
4 5 4 10
4 4 5 80
Tương tự như vậy ta có: P  A2   . .  ; P  A3   . . 
9 9 8 81
9 9 9 729
b) Gọi X là biến cố : “ chỉ lấy được 1 bi trắng trong 3 lần lấy”
1085
Ta có P  X   P  A1   P  A2   P  A3  
.
2916
c) Đề bài cho đã biết rằng sẽ lấy được đúng một bi trắng như vậy không gian mẫu bây giờ sẽ là biến cố là
X : “ chỉ lấy được 1 bi trắng trong 3 lần lấy”

Gọi Y là biến cố lấy được bi trắng trong lần lấy thứ 3, khi đó lần 1 và lần 2 sẽ lấy được bi đỏ
4 4 5
. .
54
9
Ta có : P Y   9 9 
P  X  217
Câu 6 :Một hộp bi có chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Người ta tiến hành lấy liên tiếp từ hộp ra 3 viên
bi một cách ngẫu nhiên theo quy tắc: Nếu lấy được bi đỏ thì trả lại bi này vào hộp còn nếu lấy được bi
xanh thì không trả lại bi này vào hộp. Tính xác suất để lấy được đúng một bi xanh trong 3 lần lấy.
Lời giải:
Gọi A1; A2 ; A3 lần lượt là các biến cố lấy được đúng một bi xanh trong lần lấy thứ nhất, thứ 2 và thứ 3.
5 3 3 45
3 5 3 45
3 3 5 45
Ta có: p A1  . . 
; p A2  . . 
; pA3  . . 
.
8 7 7 392
8 8 7 448
8 8 8 512
Do A1; A2 ; A3 là các biến cố đôi một xung khắc nên gọi A là biến cố lấy được đúng một bi xanh trong 3 lần
7605
lấy ta có: A  A1  A2  A3  p A  p A1  p A2  p A3 
.
25088