Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

MỤC LỤC

Trang
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
A . Lý do chọn đề tài

2

B . Phạm vi nghiên cứu đề tài

2

PHÂN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A . Cơ sở lý luận

3

B . Thực trạng vấn đề

4

C . Một số giải pháp

6

I . Bài toán 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

6

II . Bài toán 2 : Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

9

III . Bài toán 3 : Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
IV . Bài toán 4 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
D . Kiểm nghiệm :

13
15
20

PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
A . Kết luận

21

B . Kiến nghị

21

1


PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
A . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
- Từ đầu lớp 11 trở về trước : Học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn là
các hình trong phẳng . Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản
ánh trung thành hình dạng và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy.
Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Đến
chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh

trung thành các quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau, … của các
đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn đối với học sinh .
- Sau khi giới thiệu 2 quan hệ: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc
trong không gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra hai khái niệm quan
trọng là “Khoảng cách” và “Góc” trong đó các bài toán liên quan đến hai khái
niệm này được khai thác rất nhiều trong các kỳ thi như thi Đại học, Cao đẳng,
thi học sinh giỏi. Ngoài ra việc giải quyết được các bài toán về khoảng cách còn
giúp ta giải quyết được các bài toán về thể tích khối đa diện ở lớp 12.
- Trong bài “ Khoảng cách”: Do yêu cầu về thời lượng chương trình,
SGK hình học lớp 11 mới chỉ đưa ra các khái niệm về khoảng cách và nêu lên
mối liên hệ giữa các khái niệm đó bằng một chú ý ở cuối bài và 2 ví dụ cơ bản
về khoảng cách . Do đó, khi đứng trước một bài toán yêu cầu tính khoảng cách
học sinh thường rất bối rối. Từ đó dẫn đến học sinh có tâm lý sợ và ngại học
hình học không gian rồi âm thầm bỏ không học phần này .
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi
xin mạnh dạn đưa ra đề tài: “ Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng
cách trong hình học không gian lớp 11”. Thông qua nội dung của đề tài tôi
muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp
giải, từ dó có định hướng tốt để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách . Hy
vọng đề tài nhỏ này sẽ làm cho học sinh yêu môn hình học không gian hơn và sẽ
giúp đồng nghiệp có thêm một tư liệu tham khảo bổ ích trong qúa trình giảng
dạy của mình .
B . PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI :
Trong chương trình phổ thông để giải các bài toán về khoảng cách còn có
phương pháp “ Gán hệ trục tọa độ trong hình học không gian” sau đó sử dụng
tọa độ trong không gian để làm việc nhưng do khuôn khổ không cho phép nên
trong đề tài này tôi chỉ khai thác vấn đề dưới góc độ nghiên cứu hình học không
gian một cách thuần túy .
2

PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A . CƠ SỞ LÝ LUẬN :
- Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để
giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định
hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau . Trong dạy học, giáo
viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập
những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi
động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải
nghiệm thành công . Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm
vụ quan trọng của người giáo viên .
- Trong bài “ Khoảng cách” sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra 4
khái niệm về khoảng cách :
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song , khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau .
“Khoảng cách giữa 2 điểm A,B chính là độ dài đoạn thẳng AB”. Khái
niệm này các em đã được giới thiệu và làm việc rất nhiều ở các cấp học dưới .
Trên đây cũng là tất cả các khoảng cách có trong thực tế . Do đó nếu có được
một hệ thống phương pháp giải các bài toán
Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Bài toán 3: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau .
thì hầu hết các bài toán về khoảng cách sẽ được giải quyết
Ngoài ra trong 4 bài toán trên trừ “bài toán 1”, các bài toán đều quy về
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và có một số kiến thức thường hay sử dụng

để giải các bài toán này .
Vì vậy, tôi thấy việc đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về
khoảng cách trong hình học không gian lớp 11” là một việc rất cần thiết và bổ
ích cho việc dạy của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học
sinh .
3


B . THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ :

Trong qúa trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh
trường THPT Thiệu Hóa cũng như học sinh THPT nói chung còn rất lơ mơ về
hình học không gian. Đặc biệt khi gặp các bài toán về khoảng cách thường
không định hình được cách giải, lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm lên
đường thẳng, mặt phẳng hoặc xác định được hình chiếu nhưng lại không tính
được khoảng cách, vì không biết cách tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết
trong bài tập với yếu tố cần tìm, hoặc tìm được nhưng cách làm còn dài chưa kể
đến việc chưa biết vẽ hình hay vẽ hình sai. Mặt khác thời lượng dành cho phần
này lại ít nên học sinh không biết định hình cách làm thế nào khi đứng trước một
bài toán . Cụ thể :
Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy :
S
1. Khi gặp bài toán :
Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy
là hình vuông cạnh a . Mặt bên (SAB) là tam giác
cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng
A
D
đáy một góc  .Tính khoảng cách từ trung điểm

I
I của AB đến mặt phẳng (SCD)
* Học sinh thường không biết cách dựng
B
C
hình chiếu H của I lên mp (SDC) như thế nào từ
đó không thể tính được khoảng cách từ I đến mp (SDC)
Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O
cạnh bằng a; SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
b. Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)
* Học sinh thường lúng túng khi xác
S
định hình chiếu H1 của O lên (SBC), hình
chiếu H2 của G lên (SAC), cũng không biết
N
sử dụng tỉ số khoảng cách .
a)

d  O;  SBC  
d  A;  SBC  



H

OC 1

OA 2

G
A
D

1
 d  O;  SBC    d  A;  SBC  
2

O
B

C

4


b)

d  G;(ASC)  GN 1


d  B;(ASC)  BN 3
1
 d  G;(ASC)   d  B;(ASC) 
3

để đưa việc tính khoảng cách cần tìm về việc tính một số khoảng cách đơn giản
hơn.
Theo tôi đến đây giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh một số quy trình
dựng hình chiếu thường gặp; quy trình dựng hình chiếu trong các trường hợp

đặc biệt để học sinh biết cách xác định các điểm H hoặc cách dùng tỷ lệ khoảng
cách để đưa việc tính các khoảng cách phức tạp về các khoảng cách đơn giản .
2 . Khi gặp bài toán :
Bài toán : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, canh SA
vuông góc với mặt đáy và SA = a . Tính khoảng cách giữa AC và SD.
* Học sinh thường loay hoay đi dựng đường vuông góc chung và gặp bế
tắc vì dựng khó. Cũng có một số học sinh biết cách đưa khoảng cách này về
khoảng cách từ AC đến mặt phẳng qua SD song song với AC để giải bằng cách:
Giải
Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ DB’//AC
 d ( AC; SD)  d ( AC;( SDB '))  d ( A;( SDB '))

Ta tính được AB’= a, SB '  SD  B ' D  a 2
Vậy SB ' D đều . Gọi I là trung điểm SB’ thì
S

a 6
, SB '  ( AID)
2
 ( AID)  ( SB ' D)
DI 

Kẻ đường cao AK của tam giác AID thì
AK là khoảng cách từ A đến (SB’D)
Ta có AI =

B'

a 2
, AD  a

2

A
D

V ì AD  ( SAB) nên AD  AI
 AK 

AI . AD
a

DI
3

B

C

* Đây cũng là lời giải mà sách bài tập trình bày. Tuy nhiên tôi thấy việc
tính khoảng cách từ A đến (SDB’) như thế này vẫn dài. Ta có thể tính
d(A;(SDB’)) theo một cách ngắn gọn hơn như sau:
Dễ dàng suy ra A.SDB’ là hình chóp đều có AS, AD, AB’ đôi một
vuông góc với nhau nên d(A; (SDB’)) chính là đường cao của hình chóp hạ từ A
5


xuống mp(SDB’)

S

 d ( A;( SB ' D))  hA
1
1
1
1
1



 2  hA  a 3
2
2
2
2
hA AS
AB '
AD
3a

B'

A

Từ đây giáo viên có thể dẫn dắt tới phương
pháp tính khoảng cách bằng cách coi khoảng cách
B
đó là độ dài đường cao của 1 hình chóp . Nếu
hình chóp ấy đã biết thể tích và biết diện tích đáy thì có thể tính :
d=h=

D

C

3V
S

3. Khi gặp bài toán:
Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD . H là giao điểm của CN
và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính khoảng
cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a .
S
* Học sinh thường không nhận ra được
vị trí tương đối giữa DM và SC có điểm đặc
biệt là vuông góc với nhau nên loay hoay
dựng đường vuông góc chung không được .
Đưa về khoảng cách từ đường thẳng đến mặt
N
D
A
phẳng song song chứa đường còn lại, lại càng
H
khó và cũng dẫn đến bế tắc .
M
Lúc này vai trò của người giáo viên là
B
C
rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học
sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với

từng loại để được một đáp án đúng và suy luận có lôgíc để có hướng làm tốt
tránh được tình huống rối ren dễ mắc sai lầm . Trên cơ sở đó hình thành cho học
sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về khoảng cách .
C . MỘT SỐ GIẢI PHÁP :
Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp,
tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với giải pháp:
Đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học
không gian lớp 11” như sau:
I . BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
1 . Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực
hiện theo các bước sau :
6


B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vuông góc d với H thuộc d
B2 : Tính độ dài OH dựa vào hệ thức
O
lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn .
H
d
a . Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là
trung điểm của SC, AB .
i) Tính khoảng cách từ I đến CM
ii) Tính khoảng cách từ S đến CM
Giải :
i) Cách 1 :
Gọi H là hình chiếu của I lên CM suy ra IH  CM
Trong tam giác SCM ta có

M

5
a
2
5
CM  MB 2  BC 2 
a
2
SM  SA2  AM 2 

H

SC  SA  AC  3a
2

2

C

2

SC
Suy ra MSC cân tai M  MI  MS     2a
 2 

S

I

2



S

1
1
1
10
3

 2  2  IH 
a
2
2
IH
IM
SI
3a
10

Cách 2:
Gọi H là hình chiếu của I lên CM
I

 IH  CM

Vì IO//SA suy ra IO  CM  OH  CM
1a 2

2

a
3 2
6
1
1
1
20
a


 2  OH 
2
2
2
OH
OK
OC
a
20

A

1
3

M

Ta có: OK  OB 

H
B

C
A

Trong tam giác vuông IOH ta có
a
a 2
3
IH  IO 2  OH 2  ( ) 2  (
) 
a
2
10
20

Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng

D

O

M

3
a
10

D

O

K
H

B

C

7


ii)

d ( S ; CM ) SC
a 30

 2  d ( S ; CM )  2d ( I ; CM )  2 IH 
d ( I ; CM ) IC
5

Nhận xét :
1 . Ở ý i) giáo viên nên đưa thêm cách 2 để học sinh biết thêm: Trong
nhiều trường hợp để tính khoảng cách OH từ O đến d mà trong mp (O;d ) khó
tính thì có thể chọn một mặt phẳng khác chứa OH mà có nhiều yếu tố dễ tính
hơn. Thường mặt phẳng đó là mặt phẳng chứa OH và một đường thẳng khác qua
O vuông góc với d xuất hiện trong bài toán .
2 . Để tính khoảng cách từ S đến CM ở ý ii) học sinh có thể làm theo cách

ở ý i), sau đó vận dụng hệ thức lượng trong tam giác SCM từ đó suy ra khoảng
cách chính là độ dài đường cao tam giác SCM hạ từ S xuống CM . Nhưng cách
này vẫn dài . Cách giải như đáp áp thì ngắn gọn hơn . Từ đó GV đưa ra:
Chú ý:
▪ Nếu tồn tại đường thẳng a qua O, a // d thì
d (O; d ) = d (A; d ) với A thuộc d
▪ Nếu OA cắt d tại I thì sử dụng tỉ số khoảng cách
d (O; d ) OI

d ( A; d ) AI

a

A

O

▪ Một số công thức thường dùng
Định lý hàm số cosin
2

d

K

a  b  c  2bc.cos A
2

2

A

b2  a 2  c 2  2ac.cos B

O

c 2  a 2  b 2  2ab.cos C

Các công thức về diện tích
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  ab.sin C  bc.sin A  ac.sin B
2
2
2
abc
S
4R
S  pr

H

I
A

b

c
ha
B

A

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

h  b '.c '

b

c
ha

a 2  b2  c2
2
a

C

a

H

S  p  p  a  p  b  p  c 

c 2  a.c '

d

K

b 2  a.b '

B

c'

b'
H

a.ha  b.c

C

a

8


1
1 1
 2 2
2

ha b c

b. Bài tập tự luyện
Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường
cao AB=a, BC=2a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ngoài ra còn có
SC vuông góc với BD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM=x với 0  x  a
. Tính khoảng cách từ D đến BM theo a và x. Tìm các giá trị của xđẻ khoảng
cách này có GTNN, GTLN
II . BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ điểm O đến mp (  ) ta có thể làm như sau
1 . Phương pháp 1 :
B1: Dựng OH với H là hình chiếu của O lên (  ) bằng cách:
▪ Dựng mp(P) qua O vuông góc

O
với (  ) cắt (  ) theo giao tuyến a
▪ Trong (P) dựng OH  A tại H
B2: Tính độ dài OH
a
H

a . Các ví du :
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt
bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc  .Tính khoảng cách từ
chân đường cao hình chóp đến mp(SCD)
Giải
Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH  AB  HS  (ABCD). Suy ra H
là chân đường cao hạ từ S của hình chóp .
Gọi K là trung điểm CD. Trong SHK gọi I là hình chiếu của H lên SK

Ta có CD  ( SHK )  CD  HI  HI  (SCD)
Vậy HI là khoảng cách từ H đến mp(SCD)
ˆ 
S
Ta có  SC;  ABCD    SCH
BH 2  BC 2 

5
a
2

I

Tam giác SHC vuông tại H
 SH 

a 5
tan 
2

A
D

Trong  SHK vuông với HK = a , ta có:
1
1
1
5 tan   4




2
2
2
HI
SH
HK
5a.tan 2 

H


2

B

K
C

9


 HI 

a 5 tan 
5 tan 2   4

Chú ý : Trong phương pháp 1 có
thể dựng được vô số mp(P). Trong thực
O

hành giải toán nếu mp(P) không có sẵn ta
d
thường hay chọn mp(P) như sau:
Dựng đường thẳng d qua O vuông
M
P I
góc với đường thẳng  có sẵn trong (  ),
H


cắt mp (  ) tại I. Từ I kẽ một đường thẳng
vuông góc với  cắt  tại M     MOI   ( )   MOI  . Vậy mp (MOI) là mp
(P) cần dựng
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O
cạnh bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
i) Tính khoảng cách từ trung điểm M của SC tới mặt phẳng (ABCD)
ii) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ đó suy ra khoảng cách từ O
đến mp (SBC)
iii) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp (SAC)
Giải
i) Ta có MO // SA  MO vuông góc (ABCD)
S

1
a 3
 d ( M ;( ABCD))  MO  SA 
2
2

ii) Nhận xét rằng

N

BC  AB 
  BC  (SAB)   SAB   (SBC )
BC  SA 

M

H
G
A

D

Hạ AH vuông góc với SB  AH  ( SBC )
O

 d ( A;( SBC ))  AH
B

Trong  SAB vuông tại A ta có

C

1
1
1
1
1

4
a 3
 2




AH

2
2
2
2
AH
SA
AB
3a
2
(a 3) 2 a

Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng

a 3
2

Vì AO  ( SBC ) = C nên
d ( A;( SBC )) OC 1
1
1
a 3


  d (O;( SBC ))  d ( A;( SBC ))  AH 
d ( A;( SBC )) AC 2
2
2
4

10


iii) Vì BG  ( SAC ) = N nên
d (G;( SAC )) GN 1
1

  d (G;( SAC ))  d ( B;( SAC ))
d ( B;( SAC )) BN 3
2

Ta có ( BAC )  ( SAC ), BO  AC
 d ( B;( SAC ))  BO 

a 2
2

1
a 2
 d (G;( SAC)  BO 
3
6

Nhân xét:
1 . Nếu trong bài toán đã có sẵn đường

O

H



thẳng d    thì chỉ cần dựng OH//d với H  d
2 . Nếu OA//  thì d (O;(  )) = d (A; (  ))
3 . Nếu OA cắt  tại I thì có thể sử
dụng tỉ số khoảng cách

d



O

A

H

K
A

d (O;( )) OI

d ( A;( )) AI

O
I

K

để đưa việc tính khoàng cách cần tìm về việc tính
một khoảng cách khác đơn giản hơn hoặc một khoảng cách đã biết trước đó.
b. Bài tập tự luyện:


H

Bài 1) (Bài 62-SBT). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, Aˆ  900
, BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp(SBC) và mặt đáy là 60 0.
Tính khoảng cách từ A đến mp(SCB)
Bài 2) (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với
ˆ  300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến
mp(ABC). Biết SB  2a 3 va SBC

mp(SAC) theo a
2 . Phương pháp 2:
Để tính khoảng cách từ O đến mp (  ) ta có thể coi khoảng cách từ O đến
mp (  ) là độ dài đường cao của 1 hình chóp hoặc lăng trụ
a . Các ví dụ :
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = BC = a . Cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là
trung điểm của BB’ . Tính khoảng cách từ B’ đến (AME)

11


Giải
Vì E là trung điểm của BB’
 d  B ';  AME    d ( B;( AME))

Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi một vuông góc . Khoảng cách từ
B đến (AME) bằng độ dài đường cao của hình chóp S.AME hạ từ A xuống
mp(AME). Gọi hB là đường cao hạ từ B xuống (AME)
1
1
1
1
1
1
1
7



 2
 2  2
2
2
2
2
1
hB BE
BM

BA
a
a
a2 a
2
4
a
 hB 
7
a
Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME) bằng
7

A'

B'



C'

E

B

A
M

C
Nhận xét:

Để tính khoảng cách từ B đến mp (EMA) thì có nhiều cách nhưng cách
làm như đáp án trên là tối ưu nhất . Từ đây GV đưa ra
Chú ý: Khi tính độ dài đường cao của hình chóp ta cần lưu ý :
Nếu đó là hình chóp đều thì chân đường cao trùng với trọng tâm của tam
giác đáy
Nếu đó là hình chóp có 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc

thì sử dụng công thức

1
1
1
1



2
2
2
OH
OA OB OC 2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, tam giác
ˆ  900 , BA =BC = a, AD = 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA
ˆ  BAD
ABC

= a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác
SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Giải

* Gọi I là trung điểm AD suy ra tứ giác ABCI
là hình vuông và  ICD vuông cân tại I

S

 CD  AC 
  CD ( SAC )  CD SC
CD  SA 

H

 H ; ( SCD)   HS
Ta có :
d  B; SCD  BS
Trong tam giác vuông SAB có

A

B

I

D

C

12


SH .SB  SA2 

SH .SB SA2
SH SA2 2




SB 2
SB 2
SB SB 2 3

Gọi V là thể tích hình chóp B.SCD, hB là độ dài đường cao hạ từ B xuống (SCD)
d  B;  SCD    hB 

SA.S BCD
3V

SSCD
SSCD

a2
2 a

1
2a.a 2 2
2
a 2.

1
1

1
SC.CD, S BCD  hD .BC  AB.CD)
2
2
2
2
2 a a
 d ( H ;( SCD))  hB  . 
3
3 2 3
( S SCD 

Nhận xét:
Giáo viên nên dẫn dắt học sinh đến việc tìm hình chiếu của H lên (SCD)
là khó. Từ đó hướng dẫn học sinh giải theo cách như trong đáp án. Phương pháp
này được dùng khi phương pháp 1 giải khó ra mà bài toán có nhiều yếu tố liên
quan đến thể tích, diện tích và việc tính thể tích, diện tích là có thể hoặc tính
được một cách đễ dàng .
b . Bài tập tự luyện :
Bài 1) (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính
khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC)
III . BÀI TOÁN 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song .
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
A
a
1 . Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến
(  ) với d // (  ) (hoặc khoảng cách từ (  ) đến (  )
với (  )//(  )) ta tiến hành theo các bước :

B1 : Chọn 1 điểm A trên d (hoặc điểm A
trên (  )) sao cho các khoảng cách ấy dễ tính nhất
B2 : Kết luận d (d ;( ))  d ( A;( ))
(hoặc d (( );(  ))  d ( A;(  )) )

H





A

H


̃

a . Một số ví dụ :
Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD .A’B’C’D’có tất cả các cạnh đều bằng
ˆ  BAA
ˆ '  DAA
ˆ '  600 . Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy (ABCD)
a và BAD
và (A’B’C’D’) .

13


Giải:

Từ giả thiết suy ra các tam giác
A’AD, BAD, A’AB là các tam giác đều.
Suy ra tứ diện A’ABD là tứ diện đều.
Khi đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD)
chính là trọng tâm H của  ABD đều.
Suy ra khoảng cách giữa mp(ABCD) và
mp(A’B’C’D’) chính là độ dài A’H.
2

a 3
2a
 
3
 3 

Ta có: A ' H 2  AA '2  AH 2  a 2  
Vậy A’H = A ' H 

A'
D'
B'
C'

A

D

2

B

H

O
C

a 6
3

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có SA = a 6 và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Đáy ABCD là lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường
kính AD = 2a. Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC)
Giải
Vì tứ giác ABCD là nửa lục giác đều đường kính AD
 DA//BC  AD// (SBC)
S
 d ( AD;( SBC))  d ( A;( SBC))

Hạ AK vuông góc với BC ta được
BC  AK 
  BC   SAK    SAK    SBC 
BC  AS 

H

A

Hạ AG vuông góc với SK suy ra AG   SBC 
 d  A;  SBC    AG

D

B

K

C

Do ABCD là nửa lục giác đều đường kính AD = 2a
 AK  BI 

a 3
2

1
1
1
1

 2

2
2
AG
SA
AK
a 6



 AG 

2
a
3



1

2

3

 2
2
2a
a 3


 2 

A

O

I
D

K

B

C

14


Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC) bằng

2
a
3

Nhận xét: Để giải được “bài toán 2”, học sinh cần nắm vững cách giải
“bài toán 1” kết hợp với cách chọn điểm A hợp lý . Trong ví dụ 2 cơ sở để chọn
điểm A là vì giả thiết cho SA vuông góc với mp(ABCD) từ đó ta suy ra SA
vuông góc với BC đó là yếu tố thuận lợi cho việc dựng hình chiếu A lên
mp(SBC)
b . Bài tập tự luyện :
Bài 1). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều Cạnh a, mặt
bên (SBC) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, SA, AC.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC)
IV . BÀI TOÁN 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Để tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau
a và b ta có thể lựa chọn theo các phương pháp sau :
1 . Phương pháp 1 :
B1 : Dựng đường vuông góc chung bằng cách
▪ Dựng theo quy trình trong sách giáo khoa
▪ Nếu a  b thì chỉ cần dựng mp(P) chứa b,

vuông với a tại I. Trong mặt phẳng (P) hạ

a

J

I

b

P
a

b
P

J

I

IJ  b  J  b  . Suy ra IJ là đường vuông góc chung

B2 : Tính độ dài đoạn vuông góc chung IJ
a . Một số ví dụ:
Ví dụ 1 : Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh
a, Â = 600 . Góc của đường chéo A’C’ và mặt phẳng đáy bằng 600. Tìm đường
vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó
Giải
Ta có BB '/ /( A ' AB) và BO  ( A ' AC ) với
O là tâm của hình thoi ABCD. Kẽ OI//AA’ và

IJ//BO thì dễ dàng chứng minh được IJ là
đường vuông góc chung của BB’ và A’C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và
A’C chính là BO . Mặt khác BO =

a
.
2

A'

D'

B'

C'
I

J

A

D
O

B

60
C

15


Vậy d ( BB '; A ' C ) 

a
2

Chú ý: Cần phân biệt 2 khái niệm “tính khoảng cách” và “dựng đường
vuông góc chung”. “Dựng đường vuông góc chung” là bắt buộc phải dựng
đường thẳng cắt và vuông góc với cả 2 đường thằng (Quy trình như trong SGK).
Còn “tính khoảng cách” thì có thể không cần dựng đường vuông góc chung mà
có thể tính thông qua một khoảng cách khác bằng khoảng cách đó.
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. H là giao điểm của CN
và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH= a 3 . Tính khoảng
cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a
Giải

S

Trong mặt phẳng (ABCD) ta có
ADM  DCN (c.g .c )

 Dˆ1  Cˆ1  Dˆ 2  Cˆ1  Dˆ 2  Dˆ1  900
ˆ  900  DM  CN
 DHC

K
N

DM  SH

D

 DM   SHC 

H
M

Hạ HK  SC( K  SC ) . Suy ra HK là đoạn
vuông góc chung của DM và SC. Trong
tam giác vuông DNC ta có
HC.NC  DC 2  HC 


C

B

A

2

H
M

1
1
1

19
2 3



 HK 
a
2
2
2
2
HK
HS
HC
12a
19

1
B

2 3
a
Vậy khoảng cách từ DM đến SC bằng
19

D
1

2

DC
2a

NC
5

N

C

Chú ý: Khi tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cần lưu ý:
Kiểm tra xem 2 đường thẳng có vuông góc với nhau không. Nếu có thì
nên sử dụng phương pháp 1
b . Bài tập tự luyện :
Bài 1) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm AB. Dựng IS

16


vuông góc với mp(ABCD) và SI 

a 3
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các
2

cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp
AB và SD
SA và BD
NP và AC
MN và AP

A
I
2 . Phương pháp 2 : Để tính khoảng cách giữa 2
a
đường thẳng a,b chéo nhau ta có thể:
b
▪ Quy d(a; b) về d(a; (  )), với (  ) là mặt
J

phẳng chứa b, song song với a
▪ Quy d(a; b) về d ((  ); (  )) với (  ), (  ) là

I

a



2 mặt phẳng song song với nhau lần lượt chứa 2
đường thẳng a và b

b
J



a . Một số ví du
Ví dụ 1 : Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’
Giải

Ta có :
CD '  ( ACD ')


BC '  ( A ' BC ')   d  CD '; BC '  d   ACD ' ;  A ' BC '  
( ACD ') / /( A ' BC ') 
A

Mặt khác, gọi G, G’ lần lượt là giao của
DB’ với mp(ACD’) và mp(A’B’C’).
Ta có DG=GG’=G’B’

B

D

C
G

Dể dàng chứng minh được DB '  ( ACD ')
 d (CD '; BC ') 

DB ' a 3

3
3

A'

G'

B'

Ví dụ 2 : Cho hình chóp tứ giác đều
C'
S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E D'
là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC
Giải
Gọi P là trung điểm của SA
1
2

Suy ra MP / / AD / / NC và MP  NC  AD
17


 d ( MN ; AC )  d ( MN ;( SAC))  d ( N ;( SAC)) 

1
d ( B;( SAC))
2

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

S

 BO  ( SAC)

E

a 2
2
1
a 2
 d ( MN ; AC )  BO 
2
4
 d ( B;( SAC))  BO 

Vậy khoảng cách từ MN đến AC =

P
M

A

D
O

a 2
4

B

N

C

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O
cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với (ABCD) . Tính khoảng cách giữa 2

đường thẳng
i) SC và AD
ii) SB và AC
Giải
i) Nhận thấy AB / / BC  AD / /( SBC)
S

 d ( AD; SC)  d ( AD;( SBC))  d ( A;( SBC ))

Gọi M là hình chiếu của A xuống SB
 d ( A;( SBC)  AM 

a 2
2

Vậy khoảng cách giữa SC và AD bằng

M

a 2
2

A
D

D'
O

ii) Từ B kẽ Bx song song AC cắt AD tại D’
 d ( SB; AC)  d ( AC ;(SBD '))  d ( A;( SBD '))

B

C

Dễ thấy hình chóp A.SBD’ là hình chóp đều có AS, AD’,AB đôi một vuông góc
 d ( A;(SBD '))  hA với

 hA 

1
1
1
1



2
2
2
hA AB
AS
AD '2

a
3

Vậy khoảng cách từ AC đến SB bằng

a

3

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b,
CB = a, cạnh SA = h vuông góc với đáy . Gọi D là trung điểm của AB . Tính
i) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD
ii) Khoảng cách giữa BC và SD
18


Giải
i) Từ D kẽ Dx // AC
 d ( AC ; SD)  d ( AC ;( S , Dx)) = d ( A;( S , Dx))

Trong mp (ABC) vẽ AE // CB với E thuộc Dx
 DE  EA
DE  SA  DE  ( SEA)

S

Hạ AH vuông góc với SE  AH   SDE 
 d ( A;  S , Dx )  d ( A;(SDE))  AH

Trong tam giác vuông SAE có AE 
 AH 



AS . AE
AS 2  AE 2



h.

H

a
2

E
K

a
2

D
B

A

1 2
a  4h 2
2

C

a.h
a 2  4h 2
ah

Vậy khoảng cách giữa AC và DS là

a  4h 2
2

ii) Gọi I là trung điểm của AC. Suy ra CB//ID
 d (CB; SD)  d (CB;( SID))  d (C;( SID))  d ( A;( SID))

Gọi K là hình chiếu của A lên SI. Ta có:
AK  BC  AK  ID 
  AK   SID 
AK  SI 
 d  A;  SID    AK 

AS . AI
AS  AI
2

2



Vậy khoảng cách giữa BC và SD bằng

b
.h
2
1
4h 2  b 2
2



b.h
4h 2  b 2

bh
4h 2  b 2

Nhận xét
1 . Các bài toán trên có nhiều cách giải nhưng tôi chỉ trình bày ở đây cách
giải mà qua nghiên cứu và giải tôi thấy là tối ưu nhất .
2 . Sở dĩ trong phần này tôi trình bày nhiều ví dụ hơn vì để giải được bài
toán 4 theo phương pháp 2 thì học sinh cần phải : Nắm vững các cách giải các
bài toán đã nêu trước đó, tổng hợp được các phương pháp giải trong mỗi tình
huống khác nhau, linh hoạt trong cách sử dụng các phương pháp, cách làm bài.
19


b . Bài tập tự luyện :
Bài 1) (Bài 39 đề thi Đại học khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng
vuông góc vói mp(ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM, song
song với BC, cắt AC tại N. Biết Góc giữa (SBC), (ABC) bằng 600. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AC và SN theo a
D . KIỂM NGHIỆM :
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy lớp 11 được
học sinh đồng tình và đạt kết qủa. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có
hưỡng dẫn kỹ, các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 11

sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì kết qủa qua các bài kiểm tra
thử như sau :
Lớp

Điểm 8 trở lên
Số
Tỷ lệ
lượng
7
15%

Điểm từ 5 đến 7 Điểm dưới 5
Số
Tỷ lệ
Số
Tỷ lệ
lượng
lượng
20
42,5%
20
42,5%

Năm
học
2012

11M

Tổng

số
47

2011

11I

40

7

17,5%

20

50%

13

32,5%

2011

11A

49

20

40,8%

20

40,8%

9

18,4%

20


PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
A . KẾT LUẬN :
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt qúa trình
giảng dạy tại trường THPT Thiệu Hóa. Trong quá trình kiểm nghiệm, tôi thấy
các phương pháp có hiệu qủa tương đối tốt.
Khoảng cách là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp
11 nói riêng và bậc THPT nói chung . Nhưng đối với học sinh lại là một mảng
tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy, cô giáo quan tâm . Vì vậy theo tôi
khi dạy phần hình học không gian, giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách
giải tương ứng để học sinh nắm được bài toán tốt hơn .
Mặc dù đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, song chắc chắn không thể tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế. Vì vậy, tôi rất mong được sự quan tâm của tất
các các đồng nghiệp để bổ sung và góp ý cho đề tài của tôi dược hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
B . KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT :
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu, sách tham khảo đổi mới để chúng tôi có thể nghiên cứu,
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .

- Nhà trường nên phổ biến rộng rãi các SKKN, các đề tài nghiên cứu khoa
học của giáo viên hàng năm để GV có thêm nguồn tài liệu tham khảo, đồng thời
có thể bổ sung, góp ý làm cho SKKN, đề tài được hoàn chỉnh hơn .
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất
lượng học tập .
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỜNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác

Lê Anh Niên
Lê Thị Thùy Dung

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Sách giáo khoa hình học 11

- Nhà xuấtbản giáodục

+ Sách hướng dẫn giảng dạy

- Nhà xuất bản giáo dục

+ Sách bài tập hình học lớp 11

- Nhà xuất bản giáo dục

+ Taì liệu tập huấn sách giáo khoa

- Nhà xuất bản giáo dục

+ Các bài giảng luyện thi môn toán

- Nhà xuất bản giáo dục

( TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất )
+ Học và ôn tập toán hình học 11

- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

(TG: Lê Bich Ngọc (chủ biên), Lê Hồng Đức)
+ Báo Toán học tuổi trẻ

- Nhà xuất bản giáo dục

+ Các đề thi đại học các năm trước .

22