Giúp học sinh lớp 10 rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

I.
Bổ ú

ú
– THCN – Thi HSG

-

,c
m
Trong

k

.
:
.

n
ổ

.
ổ

.
ổ
ổ

h

.

:

-

n
10.

–

-

.

II. GIẢI QUYẾ
1. CƠ

Bổ ú
ú

.
ổ
.

.

,
.
,
.

2. THỰC TRẠ G CỦA VẤ ĐỀ

1


B
10. Tuy nhiên, t
.
:
AB

A  B, A  B

nêu n

.

ú.

12, khi
ú

ú

.
ổ

.

ú

.
,
.
3. MỘT Ố GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆ

A.

:
ổ
.

1/

: f ( x)  g ( x) :
1: G

: 2 x  1  3x  1
:
,
1
3x  1  0  x   . Khi
3

nên ta ch

.

1

1

x


 x0

3
x

1

0


 x
3
4
pt  

 
3 
2
x
4
2
x

1

(
3

x

1
)
2


9 x  4 x  0
 x  0, x  
9


9


 g ( x)  0
: * f ( x)  g ( x)  
: f ( x)  0 )
2
 f ( x)  g ( x)

: t  2x 1
: x  4  1  x  1  2x .

2:
:

4  x 

1

(*).
2

2


pt  x  4  1  2x  1  x  x  4  1  2x  2 (1  2x)(1  x)  1  x
1

2x 1  0

 x
 2 x  1  (1  2 x)(1  x)  


2  x  0.
2
2
(2 x  1)  (1  2 x)(1  x)
2 x  7 x  0

(*) ta

=0
1 x

:
.
p
2/

:

.

f ( x )  g ( x) :
 g ( x)  0

f ( x)  g ( x)   f ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)


: 2 x 2  6 x  1  x  2 (1)

3:
:

x2
x2


x2  0



3

7
3


7
3

7
3 7

 x 
Vx 
 x 
Vx 
(1)   2 x 2  6 x  1  0
2
2
2
2


2 x 2  6 x  1  ( x  2) 2
2

1

x

3

x

2
x


3

0




3 7
 x  3.
2

3/

:

B

3 7
 x3
2

f ( x)  g ( x) :
  f ( x)  0
 
g ( x)  0
f ( x)  g ( x)   
 g ( x)  0

2

 f ( x)  g ( x)

4:

bpt:

2( x 2  16)
7x
 x 3 
x 3
x 3

:

- 2004)

x4


 x 2  16  0


2
2
10  2 x  0

bpt  2( x  16)  x  3  7  x  2( x  16)  10  2 x 

10  2 x  0
 2

2
2( x  16)  (10  2 x)
x5


 x  10  34
10  34  x  5

B

x  10  34

3


: 2x  6x2  1  x  1

5:

x 1  0
x  1
x  1




 2
2
2
2

2
2
2
2 x  6 x  1  ( x  1)
 6 x  1  x  1 6 x  1  ( x  1)

i: pt  

 x  1
x  0
 4

2
x  2
x  4x  0

: x( x  1)  x( x  2)  2 x 2 .

6:
:

 x  2
 x  1 (*) .

 x  0

Pt  2 x 2  x  2 x 2 ( x  1)( x  2)  4 x 2  2 x 2 ( x 2  x  2)  x(2 x  1)
x  0
9
 4 x 2 ( x 2  x  2)  x 2 (2 x  1) 2  x 2 8 x  9  0  

x


8

(*)).

:
1)

:
*

.

* x  1  pt  x  1  x  2  2 x  2 x 2  x  2  2 x  1
 4x2  4x  8  4x2  4x  1  x 

9
8

)

* x  2  pt   x(1  x)   x( x  2)  2 ( x)( x)
 1  x   x  2  2  x  2 x 2  x  2  2 x  1  x 

9
8

=

9
8

)

k
a, b  0 .

ab  a . b!

a, b  0

ab   a .  b .

: 3 x 1  3 x  2  3 2x  3 .

7:

pt  2 x  3  33 ( x 1)( x  2) (3 x  1  3 x  2 )  2 x  3

3 x  1  3 x  2  3 2 x  3
 3 ( x  1)( x  2) (3 x  1  3 x  2 )  0  
(*)
3 ( x  1)( x  2)( 2 x  3)  0


3
 x  1; x  2; x  .
2

4


:
a)

:
2 x  3  33 ( x  1)( x  2) (3 x  1  3 x  2 )  2 x  3  3 ( x  1)( x  2)(2 x  3)  0 ? .

.
.
pt sau:
3

1  x  3 1  x  1  2  33 1  x 2 (3 1  x  3 1  x )  1  3 1  x 2  1  x  0.

.
a 3 b  3 c
(a  b)3  a 3  b3  3ab(a  b)

b

t:



3

t

a 3 b 3 c
.
3
a

b

c

3
a
.
b
.
c

0

3

:

.
: a) x 2  x  7  7 (1)

8:

b) 4 x  1  3x  2 

x3
(2)
5

:
a) pt  x  ( x  7)  ( x  x  7)  0  ( x  x  7 )( x  x  7  1)  0
2


1  29
 x  7  x
x




2 .

x

7

x

1

 x2
x

: x2

1 29
.
2

b) pt  5( 4 x  1  3x  2 )  (4 x  1)  (3x  2)
 5( 4 x  1  3x  2 )  ( 4 x  1  3x  2 ).( 4 x  1  3x  2 )

 ( 4 x  1  3 x  2 )( 4 x  1  3 x  2  5)  0

 4 x  1  3x  2  0

x2
 4 x  1  3x  2  0

:*

:
 y2  x  7
nh:  2
x  y  7

y  x7

: ( y  x)( y  x  1)  0 .
* D

(1)

.

: x2  x  a  a .

5


*

:

(2)   4 x  1  3  3x  2  2 

x2

5



x2


4
3
x

2

3
4x  1  1
1


 (*)

 ( 4 x  1  3)( 3x  2  2) 5

4( x  2)

4x 1  3

 

3( x  2)
x2

5
3x  2  2



2
3

(*) < 0 (do x  )

9:

.

:

x2
 x  4 (1)
a)
(1  1  x ) 2

b) ( x 2  3x) 2 x 2  3x  2  0 (2)

:
)

x  1 .

ú

*

.

 0  1 x 1  0

*

:

x 2 (1  1  x ) 2
 x  4  (1  x  1) 2  x  4  x  1  3  x  8 .
2
2
(1  1  x ) .(1  1  x )

: T  [1;8)
)

:
1
2

ú

TH 1: 2 x 2  3x  2  0  x  2 V x   , k

.

2 x 2  3 x  2  0
1
1



x   Vx  2
x



TH 2: BPT   2
2
2.
 x3
 x  3x  0
 x  0Vx  3


1
2

o : T  (; ]  {2}  [3;) .
:
*

g
.

*
.

c
.
10:

:
2 x 2  mx  3  x  1

.

6


:

x  1


pt   2
.
 x  (m  2) x  4  0(*)

)

P

:

2  m  m 2  4m  8
2  m  m 2  4m  8
x1 
 0; x2 
0.
2
2
 (*)

 1

m4

 x2  1  4  m  m 2  4m  8  
 m  2.
2
2
(4  m)  m  4m  8

m2

.

B.

:
1: F (n f ( x ))  0 ,
t  0)

r

: t  n f ( x)
(t

un

 x.
af ( x)  b f ( x)  c  0.

:

1:

:

a) x2  x 2  11  31

b) ( x  5)(2  x)  3 x 2  3x
:

a)

: t  x 2  11, t  0

:

t 2  t  42  0  t  6  x 2  11  6  x  5.

: t  x 2  3x , t  0

b) pt  x 2  3x  3 x 2  3x  10  0
t 2  3t  10  0  t  5 

2:

x 2  3 x  5  x 2  3 x  25  0  x 

:
 3  109
.
2

: x2  2x  2m 5  2x  x2  m2 .

m

:
: t  5  2 x  x 2  6  ( x  1) 2  t  [0;6]

x2  2x  5  t 2 .

: t 2  2mt  m2  5  0(*)  t  m  5
 (*)

t  [0; 6 ] , hay:

0  m  5  6
 5  m  6  5
.


0

m

5

6
5

m

6

5



2: m[ f ( x)  g ( x) ]  2n f ( x).g ( x)  n[ f ( x)  g ( x)]  p  0.

7


: t  f ( x)  g ( x ) .
.
: 3  x  6  x  m  (3  x)(6  x).

3:
)

m 3.

b)

.

m

:
: t  3  x  6  x  t 2  9  2 (3  x)(6  x) (*).
B

: t  m
)

(*)  3  t  3 2.

: 2 (3  x)(6  x)  9

t2  9

 t 2  2t  9  2m (1)
2

: t 2  2t  3  0  t  3

m3

o (*)

:

 x  3
(3  x)(6  x)  0  
.
 x6
t  [3;3 2 ] .

 (1)

b)
: f (t )  t 2  2t  9

t  [3;3 2 ]

f (t )

 6  f (3)  f (t )  f (3 2 )  9  6 2 , t  [3;3 2 ] .

t  [3;3 2 ]  6  2m  9  6 2 

(1)

: m [

6 2 9
;3]
2

6 2 9
 m  3.
2

.
:
Y

f ( x)  k

 k Y.

: 2 x  3  x  1  3x  2 (2 x  3)( x  1)  16

4:
:

x  1

: t  2 x  3  x  1, t  0  t 2  3x  2 (2x  3)( x  1)  4(*)
: t  t 2  20  t 2  t  20  0  t  5
Thay t  5

)

: 21  3x  2 2 x 2  5x  3

1  x  7
1  x  7



 2
2
2
441  126 x  9 x  8 x  20 x  12
 x  146 x  429  0

 x 3

.
8


3: F (n f ( x) , n g ( x) )  0

k.

f (x )

:
TH 1: g ( x)  0

.

TH 2: g ( x)  0
F1 (t )  0

p

tn

g k (x)

f ( x)
g ( x)

k.

: a. f ( x)  b.g ( x)  c. f ( x) g ( x)  0.
: 5 x3  1  2( x 2  2) .

5:
x  1 .

:

: Pt  5 ( x  1)( x 2  x  1)  2( x 2  x  1)  2( x  1)
2

: t

C

t  2

x 1
,t  0
2
x  x 1

* t2
* t

x 1
x 1
5 2
 2  0 (Do x 2  x  1  0, x).
x  x 1
x  x 1
2

: 2t 2  5t  2  0  t  1 .


2

x 1
 4  4 x 2  5x  3  0 :
x  x 1

.

2

1
x 1
1
5  37
 2
  x 2  5x  3  0  x 
2
2
x  x 1 4

: Trong nh
.C
:
: x2  2x  2x 1  3x2  4x  1.

6:
:

: a  x 2  2 x , b  2 x  1  3x 2  4 x  1  3a 2  b2 .
a  b  3a 2  b2  a 2  ab  b2  0  a 

1 5
b
2
x

x2  2x 

:
1 5
2x 1 .
2

1 5
2

.
7:

:

m

3 x  1  m x  1  24 x 2  1

:

A - 2007)

x 1

9


* x 1

 m  0.

* x  1,
: t4
3t 

4

x2 1

: 34

x 1
x 1
 m4
 2.
x 1
x 1

x 1 4
2
 1
 0  t 1
x 1
x 1

:

m
 2  3t 2  2t  m (*) .
t

 (*)

t  (0;1)

1
 3t 2  2t  1, t  (0;1)  (*)
t  (0;1)
3
1
1
1
    m  1  1  m  .
y 1  m 
3
3
3


.

.
.
.

h

:

4: a. f ( x)  g ( x). f ( x)  h( x)  0.
t

: at 2  g ( x)t  h( x)  0

f (x)

)

.
: 2(1  x) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1

8:
:
: t  x2  2x 1

t: t 2  2(1  x)t  4 x  0

'  ( x  1) 2

: t  2, t  2 x.

* t  2  x2  2 x  1  2  x2  2 x  5  0  x  1  6.
x0

2
3x  2 x  1  0

* t  2 x  x 2  2 x  1  2 x  

.

: x  1 6 .
:
.
.

10


: 1  1  x2  2x2 .

9:
.

.
1  x2  a2

1  x  1

:
.

:
x  cos t , t  [0;  ]

x  1.

:

1  1  cos 2 t  2 cos 2 t  2 sin 2 t  sin t  1  0  sin t 

1
(do sin t  0).
2

3
2

: x  cos t   1  sin 2 t  

.

:
u ( x)  a

u ( x)  a sin t , t  [ 

 

; ]
2 2

u ( x)  a cos t , t  [0;  ] .



u( x)  [0; a]

u ( x)  a sin 2 t , t  [0; ].
2

: x 3  (1  x 2 )3  x 2(1  x 2 )

10:

x  1.

:
: x  cos t , t  [0;  ]

:

cos 3 t  sin 3 t  2 cos t sin t  (sin t  cos t )(1  sin t cos t )  2 sin t. cos t

 u (1 

u 2 1
u 2 1
)  2.
 u 3  2u 2  3u  2  0 ( u  sin t  cos t , u  2 )
2
2

 (u  2 )(u 2  2 2u  1)  0  u  2 V u   2  1 .





4

4

* u  2  cos(t  )  1  t 

 x  cos


4



2
.
2



x  1 2
2
2
1  x  (1  2  x)

* u  1  2  x  1  x2  1  2  


x  1 2
1 2  2  2

 2
x

2

 x  (1  2 ) x  1  2  0

.

:
11


V

2
x  x2 
3
0  x 1

: 1

11:

x  1  x (1)

.
.
.
2

 2


(1)  1 
x  x2  
 3




x  1 x



2

 1

4
4
x  x2  (x  x2 )  1  2 x  x2
3
9

 x  x2  0
 x  0Vx  1
 2( x  x )  3 x  x  0  x  x 2 x  x  3  0  
3
2
 xx 
 VN
2


2

2

2





2

= 1.


x  x2 

x  1 x



2

x  1 x

x  x2
 1  2 x  x2

)

t  x  1 x

t 1
2
2

: 1

t  1
t 2 1
 t  t 2  3t  2  0  
3
t  2

 x  1 x  1
2 x  x 2  0
x  0


VN
 x  1  x  2
x 1


:

x  1 x

t

.
(*).
:

 x   1 x
2

2

 x 1 x  1

.
: sin 2   cos 2   1 .

:

 
2
: x  sin t , t  0; 
 2

x  0;1 ).

:
2
1  sin t. cos t  sin t  cos t  3((1  sin t )  (1  sin t )(1  sin t ) (2 sin t  3)  0
3
sin t  1  x  1
x 1



x 1



2
3 1  sin t  (3  2 sin t ) 1  sin t
sin t (4 sin t  6 sin t  8)  0
x  0

12


,
.
.
T

Ả GHI

CỨ

Bổ ú
g

–

2

10

, tôi
,

ú
thêm

m
2

Riêng
em

.
t

-C

. Ngoài ra,
ổ

và HSG;

,
12

m
.
ỹ
:

2

9

2 2

9

;

–
:

L

5

8

ổ

5

8
ỷ

ỷ

ỷ

2009 - 2010

10C

38

7

18 %

20

53 %

11

29 %

2010 - 2011

12C

36

10

27,8%

20

55,6%

6

16,7%

2011- 2012

12A

28

11

39,3 %

14

50 %

3

10,7%

13


Ế

III.

U

:
Bổ ú

.

ú

,

.
.

,

.
IV.

XU
ú
tôi

:

-

10

.

-

chu

2

k

-C

.

5

Hà Trung

P ạ

4

2

2

H yB

14

V.
1/
2/ B
3/
4/
5/

I I U

Ả
-

ổ

-

.
.

-

.
-

-

.

- ũ

-

-L

15


VI.

-----I
II
1
2
3
4
III
IV
V
VI

ổ

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