skkn hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên

PHẦN 1: PHẦN LÝ LỊCH
- Họ và tên tác giả: Bùi Đăng Thương
- Chức vụ: Hiệu trưởng
- Đơn vị công tác: Trường THCS Phù Cừ, huyện Phù Cừ, tỉnh Hưng Yên
- Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên

- 1 -


PHẦN 2: NỘI DUNG
A- MỞ ĐẦU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Theo phương pháp truyền thống, các bài tập ở nhà thường chỉ đơn thuần
khuyến khích học sinh ghi nhớ kiến thức. Làm thế nào để học sinh phát huy được
năng lực sáng tạo, khả năng nghiên cứu cũng như những đam mê của của mình về
một lĩnh vực khoa học nào đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh
những tài liệu đó viết chung cho nhiều đối tượng học sinh. Các tài liệu thường viết
dưới dạng chuyên đề với cách viết là: đưa ra các ví dụ và lời giải sau đó là bài tập
áp dụng mà không trình bày được tài sao lại tư duy như thế ? Tại sao lại định
hướng được lời giải như thế ? Lối viết này đòi hỏi người học phải có một trình độ
nhất định về nghiên cứu, đây là vấn đề khó đối với học sinh trung học cơ sở. Để
khắc phục những hạn chế trên tôi đã viết các chuyên đề Toán theo hướng chuyên
đề. Cùng với việc phân dạng bài tập là các ví dụ điển hình.

ới m i ví dụ điểm

hình tôi đều trình bày luận điểm tại sao lại tư duy như thế? để dẫn tới lời giải.
Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu và triển khai các đề tài về
hướng dẫn học sinh tự học một số chủ đề toán học. Tiếp tục hướng nghiên cứu này
tôi đăng ký nghiên cứu và viết về “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên
tập số nguyên”. Đề tài đã được triển khai tại trường THCS Phù Cừ và được Hội

đ ng khoa học trường đánh giá cao trong năm học vừa qua.
2 Đ
T

: “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”

* Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình
học tập môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hướng dẫn học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học
Phép chia trên tập số nguyên . Tập trung chủ yếu nghiên cứu về bài toán chia hết
và chia có dư của biểu thức một biến và một số ứng dụng của phép chia trên tập số
nguyên.

- 2 -


* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở
trường THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, phương pháp và kỹ
thuật dạy học tích cực, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCS Phù Cừ.
II- PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1- Cơ sở lý l ậ
Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.
1.1 D y ọ

í

ự l

ì?

Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ
những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của người học."Tích cực" trong phương pháp dạy học - tích cực
được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ
động chứ không dùng theo nghĩa trái với tiêu cực.
Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận
thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học
chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Học tích cự chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương tác
đề tài chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri thức
hơn là việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trường
học tập tích cực, giáo viên là người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không
phải là người “đọc chính tả” cho học sinh chép!
1 2 Đặ

r

ơ bả

ủa d y- ọ

í

ự

a. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
b. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc.
c. Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi.
d. Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
e. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.

f. Dạy và học chú trọng đến sự quan tâm hứng thú của học sinh, nhu cầu và
lợi ích của xã hội.
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án
Việt-Bỉ- nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
- 3 -


Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc
trưng là Khám phá và Khai phá , có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ người nào
4. Học bất kỳ nguồn nào
(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong
chương trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
Trên cơ sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận về phương pháp và kĩ
thuật dạy học tích cực, đề tài tập trung giải pháp làm thế nào đề thực hiện được
Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy - Học coi trọng
hướng dẫn tìm tòi .
2. Cơ sở

ự

ễ

Bản thân tôi được giảng dạy tại trường THCS Phù Cừ- trường chất lượng
cao của huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn
toán. Đây là điều kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về
ĐMPPDH. Trong những năm học gần đây tôi đã triển khai đề tài cấp trường, cấp
huyện về vấn đề ĐMPPDH , phương pháp và kỹ thuật dạy-học tích cực. Đối với bộ

môn Toán tôi tập trung nghiên cứu và triển khai các đề tài trong các tình huống
điển hình đó là Phương pháp dạy học trong tình huống tổ chức hoạt động DạyHọc định lý, tính chất ở môn Toán được xếp loại B cấp Tỉnh năm 2010, nghiên
cứu về Dạy học tích cực trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học tiết ôn tập
ở môn Toán được xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong các năm học 2011-2012
và 2012-2013 tôi đã nghiên cứu đề tài Hướng dẫn học sinh tự học một số bất đẳng
thức quen thuộc và Hướng dẫn học sinh tự học bài toán cực trị hình học

đều

được xếp loại C cấp tỉnh. Năm học này, tôi tiếp tục hướng nghiên cứu về hướng
dẫn học sinh tự học một số chuyên đề khó trong toán số học cho đối tượng là học
sinh khá, giỏi. Các chuyên đề này giúp cho học sinh rất nhiều trong việc phát triển
tư duy Toán, có điều kiện để sáng tạo đ ng thời giúp cho các em có điều kiện hoạt
động độc lập và xây dựng con đường học tập cho riêng mình.
- 4 -


Xác định được vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản
thân tôi luôn cố gắng tìm tòi lời giải của bài toán “Làm thế nào khuyến khích và
giúp đỡ học sinh của mình tự học?”. Một trong những đáp án của bài toán
trên là viết những tài liệu với giọng văn như những lời tâm sự hướng tới sự đ ng
cảm với học trò của mình đó là Tại sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy? chứ
không phải Thầy giải bài tập đó em có hiểu không? . Tài liệu tôi viết dành tặng
cho học sinh của mình tôi thường chọn những vấn đề toán học gần gũi với các em,
đặc biệt là phù hợp với đối tượng học sinh. Trong phạm vi của kinh nghiệm dạy
học này tôi chuyển tải đề tài Hướng dẫn học sinh tự học một số bài toán về chia
trên tập số nguyên” một chủ đề kiến thức toán học tương đối khó đối với học sinh
và cũng là tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài của năm học trước. Tôi viết dành cho
học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9.
3. Cá b ệ

3.1 P

ơ

á

ơ bả

ế

á

a
:

1/ Phương pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mới
PPDH môn toán, quản lý và chỉ đạo của người hiệu trưởng, các văn kiện của Đảng,
nhiệm vụ năm
học, hướng dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận cho
đề tài.
2/ Nhóm phương pháp thực tiễn
Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để
rút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá ....
3.2 Kế o
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề

Hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình học

tập môn Toán với trường THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Phù Cừ trong các năm
học từ năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao g m:
- 5 -


+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Phù Cừ
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đ ng khoa học trường THCS Phù Cừ
B- NỘI DUNG
I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu Dạy học chú trọng rèn luyện
phương pháp tự học, tự đọc và Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi đối với bộ
môn Toán.
- ận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực.
-Giúp cho học sinh phát triển tư duy Toán, phát huy tính sáng tạo đ ng thời giúp
cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho
riêng mình.
II- GIẢI PHÁP
C
1 Q a

ể

ơ

I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC
ự ọ

Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được
năng lực sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình
tự giáo dục. Giáo dục phải coi trọng việc b i dưỡng năng lực tự học, tự nghiên
cứu, tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực
hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng. Như vậy, phương pháp dạy và
học cần thực hiện theo ba định hướng:
- B i dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo;
- Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng.
- Chú trọng rèn luyện phương pháp tự học là một trong những đặc trưng cơ
bản của dạy-học tích cực. Một trong những yêu cầu của dạy và học tích cực là
khuyến khích người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những
điều đã biết và đã qua trải nghiệm. G

nên đưa người học vào những tình huống

có vấn đề để các em trực tiếp quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm. Từ đó giúp HS tìm
ra những câu trả lời đúng, các đáp án chính xác nhất. Các em còn được khuyến
- 6 -


khích khai phá ra những cách giải quyết cho riêng mình và động viên trình bày
quan điểm theo từng cá nhân. Đó là nét riêng, nét mới có nhiều sáng tạo nhất. Có
như vậy bên cạnh việc chiếm lĩnh tri thức, người học còn biết làm chủ cách xây
dựng kiến thức, tạo cơ hội tốt cho tính tự chủ và óc sáng tạo nảy nở, phát triển. Có
thể so sánh nếu quá trình giáo dục là một vòng tròn thì tâm của đường tròn đó phải
là cách tổ chức các hoạt động học tập cho đối tượng người học.
Trong dạy học cần rèn cho người học phương pháp tự học. Nếu người học
có được phương pháp tự học, kỹ năng, thói quen và ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ
lòng say mê học tập, khơi dậy nội lực vốn có trong m i người học và kết quả học

tập sẽ tăng lên.
2. Tự học và nghiên cứu khoa học
2.1. Tự học
Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động trí
óc để chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng
nhưng chính những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy sinh viên tư duy để thoát
khỏi lúng túng , nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những
dấu hỏi, phát hiện vấn đề và từ đó đi đến có đề tài nghiên cứu.
2.2. Nghiên cứu khoa học
iệc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển tự học
lên đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ giữa tư
duy độc lập và tư duy sáng tạo.
3 P

ơ

ữa ọ

á
ậ

ự ọ bồ d ỡ
k oa ọ

ă

lự
ủa

ự ọ , kỹ ă

ờ

ự ọ l

ầ

ọ

Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động
rất cơ bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi,
khả năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các
hoạt động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác
trí tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất
định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa
học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau:
- 7 -


- Định hướng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4 Mộ s b ệ

á

ơ bả

ớ

dẫ

ọ s

ự ọ :

...Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến các vấn đề sau:
1- Học sinh có được tạo điều kiện sáng tạo không?
2- Học sinh có thể hoạt động đọc lập không?
3- Học sinh có được khuyến khích đưa ra những giải pháp của mình không?
4- Học sinh có thể lựa chọn các chủ đề, bài tập/nhiệm vụ khác nhau không?
5- Học sinh có được tự chủ trong các hoạt động học tập không?
6- Học sinh có được tự đánh giá không...
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án
Việt-Bỉ- nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
4.1.1- Lập kế hoạch học tập là điều cần thiết:
Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch
thì không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế
hoạch học tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. M i người, tùy vào nhu
cầu của mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi
cần, nhưng điều quan trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra.
4.1.2- Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian
Bất cứ ai cũng có 168 giờ m i tuần, nhưng có người sử dụng quỹ thời gian
đó có hiệu quả hơn người khác. Học sinh có rất nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê
tất cả công việc cho từng ngày sau đó, nếu ta thấy còn ít hơn 30 giờ m i tuần để tự
học thì ta hãy kiểm điểm lại xem tại sao mình phí thời gian như vậy.
4.1.3- Chọn địa điểm học
Ta có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc dù rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn

choviệc học. Quan trọng là nơi đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho
- 8 -


nên hãy làm cho việc lựa chọn nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen
học tập.
4.1.4- Chọn thời điểm học tập.
Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh mẫn, vào đúng khoảng
thời gian đã lên kế hoạch để học.
4.1.5- Học cho giờ lý thuyết:
Nếu học trước để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu, cần
đọc trước và ghi chú thích những điểm chưa hiểu. Nếu học sau giờ lên lớp, cần chú
ý xem lại những thông tin ghi chép được.
4.1.6- Học cho giờ thảo luận
Sử dụng khoảng thời gian ngay trước các giờ học này để luyện tập kỹ năng
phát biểu với các học viên khác (nếu cần). Điều này sẽ giúp hoàn thiện kỹ năng
phát biểu.
4.1.7- Sửa đổi kế hoạch học tập.
Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự
tính sẽ dùng quỹ thời gian của mình như thế nào, cho nên một khi kế hoạch không
hiệu quả, ta có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp có thói quen
học tốt hơn và khi đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuân theo đúng kế
hoạch học tập đã định là một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một
việc rất dễ !
4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học.
4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là ngu n tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hướng dẫn cụ thể
để đạt lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ
đắc lực cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để
học sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.

- Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ
đơn giản là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc
xong bài mới các em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học
sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- 9 -


- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà
giáo viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi
để nếu học sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh
yếu có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi chưa rõ cách giáo viên hướng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không
nên ghi lên bảng cho hs chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này
vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài
giảng không bị nhàm chán
4.2.2 Tự học qua sách bài tập, sách và tài liệu tham khảo:
- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận
dụng tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.
- iệc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT
để học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết)
để có thể tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp
học sinh có 1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án
tương tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng dẫn.
4.2.3 Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để
hs có khả năng tự phân tích tổng hợp. Muốn hiệu quả cao, giáo viên phải biết viết
các tài liệu theo hướng các chuyên đề nhằm định hướng về Tư duy và Kỹ năng cho
học sinh đ ng thời tạo ra động lực thúc đẩy học sinh nghiên cứu khoa học.

C

ơ

II-

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC
GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY

I- Đá

á
Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của học

sinh vô cùng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả nhất
thì việc kiểm tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp
phần tích cực làm chuyển biến quá trình tự học của học sinh.
- 10 -


Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phương pháp dạy học
hướng dẫn học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn
toán nói riêng còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh vẫn
đơn giản là cố gắng hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi cách
có thể), và học thuộc trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì
chỉ quen thuộc với cách kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng.
iệc kiểm tra định kỳ chỉ đơn giản là thực hiện theo phân phối chương trình, trước
khi kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy
học nên chỉ quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội
dung SGK. Một số giáo viên chưa có kỹ năng soạn bài, vẫn áp dụng một cách rập

khuôn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện,
liệt kê kiến thức theo SGK là chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn
đề… coi nhẹ rèn luyện thao tác tư duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phương
tiện dạy học nhất là các phương tiện trực quan để dạy học và tổ chức cho học sinh
nghiên cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến thức và con đường để chiếm lĩnh
kiến thức của học sinh.
Thực tế, giáo viên thường soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết
kế bài giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương
trình, hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến
lớn trong thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không
tổ chức hoạt động học tập cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt
động, không hướng dẫn được phương pháp tự học.
Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo
viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo
viên còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK.
iệc sử dụng các phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản
trong... chỉ dùng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các
tiết học thông thường hầu như "dạy chay".

- 11 -


Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện
kỹ năng tự học cũng như việc hướng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không
được chú ý làm cho chất lượng giờ dạy không cao
II. Tổ

s lệ

ra

ễ

1- Điều tra về việc tự học của học sinh
Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức độ
Lớp

Tự đọc bài mới Tự học STK sau Học

theo

tài

SGK trước khi đến bài học trên lớp

liệu của giáo

lớp

viên

9A (45hs)

1/45=2,2%

20/45=44,5%

24/45=53.3%

8A (44hs)

0/45=0%

23/44=52,3%

21/44=47,7%

8B (45hs)

1/45=2,2%

22/45=49%

22/45=48,8%

7A (48hs)

3/48=6,3%

31/48=64,6%

14/48=29,1%

7B (47hs)

2/47=4,3%

19/47=40,4%

26/47=55,3%

ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
Hầu hết học sinh không đọc bài mới trước khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy
các em có chung câu trả lời là khó, với lại hôm sau đã được Thầy dạy r i! . Có
nhiều em tự học thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do
Thầy ra thêm bài tập về nhà ở tài liệu này.
2- Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học
sinh thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh
2.1 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Em có thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không?
nguyên nhân?(em có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em”
Mẫu phiếu:
1* Không thích
Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải
b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó

- 12 -


c) Do tài liệu có nhiều ch không có trong SGK.
2* Thích
Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải
b) Do tài liệu có sẵn hướng dẫn giải
c) Do có nhiều vấn đề mở rộng
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
1. ấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
Có 55% phiếu có chọn

không thích – trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn

lý do b) và 14% chọn lý do c)
2. ấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2

Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:

Em học được khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong
khoảng các mứ c dưới đây)
a) Khoảng 5-10%

b) Khoảng 10-15%

c) Khoảng 20-30%

d) Khoảng 40-50%

e) Khoảng 60-80%

f) Khoảng 85-100%

Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phương án

a

b

c

d

e

f

Số lượng

9

14

20

34

53

22

ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả
tài liệu g m bài tập của thầy có hướng dẫn giải.
*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời
giải, với loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên
chiếm phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, được các em
đón nhận nhiều.

- 13 -

Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp viết các
chuyên đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những
suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
2.3 Kết quả điều tra về một số chuyên đề Toán số học
2.3.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Trong môn số học, một số dạng toán cơ bản dưới đây, dạng toán nào gây cho em
khó khăn khi học nhất?. Kết quả cụ thể:
Các cấp độ

Dễ tìm

Đôi khi

Gặp rất

Không

được

gặp khó

nhiều khó

định

hướng

khăn khi

khăn khi

hướng

giải quyết

tìm được

tìm hướng

được

hướng

giải quyết

Các dạng toán điển hình

giải quyết

1- Bài toán về số lũy thừa (số

22%

75%

3%

2- Bài toán về phần nguyên

17%

80%

3%

3- Bài toán về phép chia hết

25%

65%

10%

28%

55%

17%

27%

42%

31%

chính phương, lập phương…)

và phép chia có dư

4- Bài toán về số nguyên tố,
hợp số
5-

Phương

trình

nghiệm

nguyên
2.3.2 (cùng với nội dung phiếu 2.2.1)
Một số ý kiến của em về phép chia hết và chia có dư trong các bài tập số học mà
em đã biết (về ứng dụng phép chia trên tập số nguyên trong việc giải bài toán số
học, về k năng giải toán chia trên tập số nguyên )
Đánh giá kết quả điều tra:
Đối với những kỹ năng cơ bản giải bài toán cơ bản số học thì hầu hết học
sinh gặp khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải. Đối với các bài toán liên

- 14 -


quan n phộp chia trờn tp s nguyờn cú nhiu hc sinh bit hng gii quyt. Cú
th do dng toỏn ny gn gi vi cỏc em. Nhiu HS qua phng vn cho bit mc dự
tỡm c hng i nhng khi trỡnh by li rt khú khn. Nhiu HS cho rng mỡnh
lm c chng qua l ó tng c bit trc (do c sỏch hay do thy cha r i).
i vi cõu hi 2.3.2 thỡ thu thp c khỏ nhiu ý kin.

kin tp trung nht l

ng dng ca chia ht, chia cú d trờn tp s nguyờn hu ht cỏc bi tp s m
cỏc em ó gp.
CHNG III

Formatted: Font: 14 pt

V D V PHNG PHP GII MT S BI TON V PHẫP CHIA
TRấN TP S NGUYấN
AI- Lí THUYT CHUNG
I1- P ộ

a r

1.1-

a

s

y

Cho a,b là cá c số nguyên, b 0. Ta nói a chia cho b đư ợ c thư ơng là q và dư r khi a=bq+r
vớ i q,r là cá c số nguyên và 0 r b . Khi r=0 ta nói a chia hết cho b.
Hệquả: Khi chia a cho b 0 thìsố dư có b 1 khả nă ng nhận đư ợ c một trong cá c số của
tập hợ p 0;1;2;...; b 1 .
Như vậy vớ i mỗi số tự nhiên a thìtập số nguyên Z đư ợ c "phân hoạ ch" theo a "lớ p".
Mỗi lớ p gồm cá c số nguyên chia cho a có cù ng số dư .

1.2- M s

ớ



b

a .

Formatted: Font: 14 pt, Bold

Cho a,b,c l cỏc s nguyờn. Ta cú mt s tớnh cht c bn sau:
TC2.1 Nếu aM
b và bM
c thìaM
c
TC2.2 Nếu aMb thìacMb
TC2.3 Nếu aMb và cMb thìa+cMb
TC2.4 Nếu abM
c mà (b,c)=1 thìaM
c
TC2.5 Nếu aMb ; aM
c và (b,c)=1 thìaM
bc
TC2.6 Nếu an Mp và p nguyên tố thìaMp (n N)

2- S

õ

ớ

s



ra

a s

y

M i s t nhiờn u c vit di dng tớch ca ly tha cỏc s nguyờn t. S
phõn tớch ny l duy nht.
- 15 -


Ta có a=p1n1 .p2n2 .p3n3 ....pk nk

(vớ i p1,p2 ,...pk là cá c số nguyên tố và n1,n2 ,...nk là

cá c số tự nhiên khá c 0). Ta có một số tính chất cơ bản sau:
TC3.1

b là một ư ớ c của a khi b có dạng a=p1m1 .p2m2 .p3m3 ....pk mk (vớ i m1,m2 ,...mk là

cá c số tự nhiên và 0 m1 n1; 0 m2 n2 ;...;0 mk nk )
TC3.2 Số ư ớ c của a là n1 1 n2 1 .... nk 1

TC3.3 Số a là một số lũy thừa bậc t khi t là ư ớ c chung của n1,n2 ,...nk

3-

lý Fec-ma

Cho a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thìap aMp
Hệquả: a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố và (a,p)=1 thìap1 1Mp

4- H





a l y

a

b



Ta có an bn a b an1 an2b an3b2 ... a2bn3 abn2 bn1



Hệquả: vớ i a,b nguyên và m,n là cá c số tự nhiên, a b thì
5.1 an bn M
a b

b

5.2 amn bmn an

m

n

m

5.3 a2n1 b2n1 a2n1 b

M
an bn

2n1

M
a b a b

BII- MT S BI TON C BN V PHẫP CHIA TRấN TP S
NGUYấN
I1- M s k

b

b

oỏ

a

Vớ d 1:
Chứng minh A(n)=3n4 14n3 21n2 10nM
24

Ngh nh th no?
Đ ểchứng minh A(n)M
24 ta cần chứng minh A(n)M
3 và A(n)M
8 (vì(3,8)=1)
A n có dạng là một đa thức bậc 3 đối vớ i n. Đ ểchứng minh A(n)M
3 một cá ch thông
thư ờng nhất là ta phân hoạch n theo 3 rồi thay và A(n). Tuy nhiên đểthuận lợ i cho việc xét
ta đư a A(n) vềtích nếu có thể. Ta có lời giải sau:
A(n)=n n 1 n 2 3n 5 A(n)M
3 (tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)
Lại có A(n)=n n 1 n 2 4 n n 1 n 2 n 3 3M
8
vìn n 1M
2 n n 1 n 2 4M
8 và n n 1 n 2 n 3M
8 do trong 4 số nguyên liên
tiếp có 2 số chẵn và có một số là bội 4 .

Vớ d 2:
Chứng minh A(n)=n3 51n2 481n 3M
48 vớ i mọi n lẻ

- 16 -

Ngh nh th no?
Ta thây so vớ i vídụ 1 thìbiểu thức này cù ng dạ ng. Tuy nhiên hệsố của đa thức A(n) lớ n
Ta làm giảm hệsố bằng cá ch viết A(n)=B(48)+ F(n) và chứng minh F(n)M48
Ta có lời giải vắn tắt sau:
A(n)=n3 51n2 481n 3 n3 3n2 n 3 48n2 480M48 F(n) n3 3n2 n 3M48
Ta có F(n)= n 3 n 1 n 1
Vớ i n=2k+1 (k Z) ta có F(n)= 2k 2 2k 2k 2 8 k 1 k k 1
F(n)M
16 vìk k 1M
2. lạ i có F(n)M
3 vì k 1 k k 1M
3
F(n)M
16 và F(n)M
3 mà (16,3)=1 nên F(n)M48 A(n)M48

Vớ d 3:
Chứng minh A(n)=4n2 3n 5M
6 vớ i mọi n không chia hết cho 2 và cho 3

Ngh nh th no?
Ta hiu n khụng chia ht cho 2 v 3 cú ngha l nh th no? Mt phộp chia n cho
2 v 3 hay xột n chia cho 6 (BCNN(2,3)=6). Phõn hoch n theo 6 v thay vo A(n)
ta cú c li gii n gin. Tt nhiờn cng nh 2 vớ d trờn, nu ta vit A(n) theo
dng tớch s thun li hn khi thay n. Ta cú li gii sau
A(n)=4n2 3n 5 =4n2 3n 1 6 4n 1 n 1 6
vớ i n không chia hết cho 2 và cho 3 khi n phân hoạ ch theo 6 thìchỉcó 2 dạ ng
n=6k+1; n=6k+5 (k là số nguyên)
* ) Vớ i n=6k+1 thìA(n)= 24k 3 6k 2 6 8k 1 3k 1M

6
* ) Vớ i n=6k+5 thìA(n)= 4n 1 6k 6 4n 1 k 1 6M
6

T k 1:
Qua 3 vớ d trờn, chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng a thc khi
chia cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn chng minh A(n) chia ht
cho k l
1) it k thnh tớch cỏc s nguyờn ụi mt nguyờn t cựng nhau (cng hn k=a.b.c
vi a,b,c nguyờn t sỏnh ụi)
2) Chng minh A(n) chia ht cho cỏc tha s ca k trong phõn tớch trờn
3) chng minh A(n) chia ht cho s nguyờn a ta phõn hoch n theo a r i thay
vo A(n)
- 17 -


4) thun li cho vic thay n ta thng vit A(n) v dng tớch (bi khi ú bc
ca bin n s c gim i trong m i biu thc cn thay th)
Vớ d 4:
Chứng minh B(n)=11n2 122n1 M
133 vớ i n N

Ngh nh th no? Ta Ta thy dng ca biu thc B(n) l tng cỏc ly tha. Chia
cho s 133 l quỏ ln vic phõn hoch n theo 133 l khụng th. i phộp chia mt
ly tha cho mt s ta cú hai tớnh cht quan trng (nh lý Fec-ma v Hng ng
thc) ó nờu trờn. s dng hng ng thc (HT) ta cn lm xut hin hiu
hai ly tha cựng s m. Ta cú li gii sau:
B(n)=11n2 122n1 112.11n 12.122n 121.11n 12.144n 12.144n 12.11n 133.11n

B(n)M
133 vớ i n N vì12.144n 12.11n 12 144n 11n M
144 11 133

Vớ d 5:
Chứng minh B(n)=5n2 +26.5n +82n1 M
59 vớ i n N





Lời giải: ta có B(n)=25.5n +26.5n +8.64n 51.5n 8.64n 59.5n 8 64n 5n M
59
vì64 5 M
64 5 59.
n

n

Vớ d 6: Chứng minh B(n)= n 1 1Mn2 vớ i n N
n

Ngh nh th no? Ta thy nu ch s dng HT nh hai vớ d trờn thỡ ch cú th
chng minh B(n) chia ht n. Tuy nhiờn vic s dng HT cng gi ý cho ta khi
phõn tớch B(n) thnh nhõn t thỡ ngoi nhõn t n cũn nhõn t chia ht cho n. Ta cú
li gii sau:

B(n)= n 1 1 n 1 1 n 1

n

Ta có n 1
n 1

n1

n1

n 1

1 n 1

n2

n2

n 1

n1

n3

1 n 1

n 1

Vớ d 7:

Chứng minh B(n)=22 5M
7 vớ i n N.
2n

Ngh nh th no?

- 18 -

n3

.... n 1 1


1 .... n 1 1 nM
n

vì n 1 1Mn 1 1 n vớ i mọi k tự nhiê n.
Vậy B(n)Mn2 vớ i n N

n 1

.... n 1 1 (biểu thức gồm nư1 ngoặ
c đơn)

n3

k

n2

Ta cú th hiu B(n)=22 5M7 vớ i n N cú nga l B(n) chia 7 d 2. Bi toỏn tr v
2n

tỡm d ca B(n) khi chia cho 7. S dng HT an-bn l hp lý. trỏnh phc tp ta
chn b=1. i nh lý Fec-ma ta bit rng 26 1M7. Tuy nhiờn do
26 1 chia hết cho 23 1 và 22 1 nên ta kiểm tra và chọn đư ợ c 23 1M
7. Việc xét lũy thừa
bây giờ sẽ đơn giản hơn.
Vì23 1M
7 nên 22k 1M
7 vớ i mọi k N. Do vậy ta cần phân hoạch 22n theo 3 (tìm dư của
22n khi chia cho 3). Dễthấy 22n 4n 3k 1 (k N). Ta có lời giải sau:





Ta có 22n 4n 4n 1 1 =3k+1 (vớ i k N) vì4n 1M4 1 3.
3k 1

B(n) 2





5 2.8 5 2 8k 1 7M
7 vì8k 1M
81 7

k

T k 2:
Qua 3 vớ d 4,5,6 trờn õy chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng
tng cỏc ly tha khi chia cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn
chng minh B(n) chia ht cho k trong dng ny.
1) it cỏc biu thc v dng hiu cỏc ly tha cựng s m
2) S dng HT vit biu thc v dng tớch nu cú th!
3) S dng nh lý Fec-ma chn bi nh nht ca mt s cú dng hiu hai ly
tha .
Vớ d 8:
Chứng minh S(n)=16n 15n 1M
225 vớ i n N

Ngh nh th no?
Biu thc S(n) cha c ly tha v a thc.

ic s dng cỏc k nng c bn

trờn s gp khú khn i vi dng ny. Nhn xột thy S(n+1) cú th truy h i v
S(n) c nờn ta s dng chng minh kiu qui np (ta cn chng minh S(n+1) v
S(n) chia cho 225 cú cựng s d, sau ú th vi n=0). Ta cú li gii sau:
S(n)=16n 15n 1 S(n 1) 16n1 15 n 1 1





S(n 1) S(n) 16n1 15 n 1 1 16n 15n 1 16n 16 1 15 15 16n 1 M
225

vì16 1M
15. Vậy S(n+1) và S(n) chia cho 225 có cù ng số dư .
n

Mặ
t khá c S(0)=160 15.0 1 0M
225 nê n S(n) chia hết cho 225 vớ i mọi giá trịn N

- 19 -


Vớ d 9:
n

Chứng minh Sn =23 1M
3n vớ i n N *
Lời giải: Ta chứng minh bằng qui nạp
k

k

k

Giả sử bài toá n đúng vớ i n=k N * tức là Sk 22 1M
3k hay 23 1 q3k 23 q3k 1

1 2

k 1

k

Xét bài toá n vớ i n=k+1 ta có Sk 1 23 1 23





3



2

3k





k

k



1 22.3 23 1

q.3k. q.3k 1 q.3k 1 1 q.3k q2 .3k.2 3q.3k 3





q.3k.3 q2 .3k.21 q.3k 1 M
3k 1
Như vậy nếu Sk M
3k thìSk 1 M
3k 1.
1

Mặ
t khá c ta có S1 23 9M
31 đúng nên Sn M
3n vớ i mọi n N *

T k 3:
Qua cỏc vớ d 8,9 ta ó s dng phộp chng minh bng qui np. õy l phng
phỏp chng minh khỏ quen thuc. Ni dung ca bi toỏn qui np thng l Chng
minh biu thc S(n) tha món tớnh cht (T) vi cỏc giỏ tr ca n t nhiờn (n>k) sao
cho n chia cho q d r tc l n=m.q+r. Bi toỏn s cú c hi lm c bng qui np
nu nh ta vit c S(n+r) theo S(n).
II2- M s b

oỏ l

q a



ộ

a r

s

y

2.1- Tỡm s d khi chia mt ly tha cho mt s nguyờn
Vớ d 10: Tìm số dư khi chia 3100 cho 8? cho 7? cho 56
Ngh nh th no?
õy l phộp chia mt ly tha cho mt s t nhiờn. Mt s k nng c bn c
vn dng nh tiu kt 2.
Bi gii:

- 20 -


* ) Ta có 32 1M
8. á p dụng hệquả 5.2 ta có 3100 1 350.2 1M
32 1M
8. Vậy 3100 chia 8 dư 1
Theo định lý Fecưma ta có 36 1M
7. Ta cần viết 3100 theo 36k đểsử dụng hệquả 5.1

* ) Ta có 3100 34.396 34 396 1 34. V ì396 1 36.16 1M
36 1M
7 và 34 81 chia 7
có dư 4 nên 3

100

chia cho 7 dư 4.

* ) Đ ểtìm dư của 3100 khi chia cho 56 ta xuất phá t từ việc tìm dư 3100 khi chia cho 7 và 8
(vì56=7.8 và (7,8)=1)
Giả sử 3100 56k r vớ i 0 r 56 (k,r là cá c số tự nhiên). Vì3100 chia cho 7 dư 4 và chia
cho 8 dư 1 nên r chia cho 7 dư 4 và chia cho 8 dư 1. Vớ i 0 r 56 và n N ta có r=25.
Vậy 3100 chia cho 56 có dư là 25.
Cá ch khá c. Theo kết quả 3100 chia cho 7 dư 4 và chia cho 8 dư 1 ta có
3100 =7x+4=8y+1 (x,y nguyên) 7x 21 8y 24 7 x 3 8 y 3 .
x 3 8m
Vì(7,8)=1 nên
vớ i m Z x 8m 3 3100 7 8m 3 4 56m 25
y

3

7m

3100 chia cho 56 có dư 25.

Vớ d 11:
102

Tìm dư của 1247 khi chia cho 11
Nghĩnhư thế nào? Trư ớ c hết ta làm giảm cơ số của lũy thừa trong phép chia.
102

Ta có 124n 3n M
124 3 121M
11 vớ i mọi n N. Do vậy đểtìm dư 1247
7102

ta tìm dư của 3

khi chia cho 11

khi chia cho 11.

Theo định lý Fecưma thì310 1M
11. Vì310 1M
35 1 và 32 1 nên ta kiểm tra thêm
102

35 1 và 32 1 khi chia cho11. Ta đư ợ c 35 1M
11 vìthếta viết 37

theo 35. muốn

thếta phân hoạch 7102 theo 5. Tư ơng tự như trên ta có lời giải sau:
Lời giải:

Ta có 7102 72.7100 49 74.25 1 49 chia cho 5 dư 4 vì 74.25 1 M
74 1M
5

7102 5k 4 (k N).









Ta có 37 35k 4 34.35k 34 35k 1 34 chia cho 11 dư 4 vì 35k 1 M
35 1M
11
102

7102

và 3 81 chia cho 11 dư 4. Vậy 124
4

T k 4:

- 21 -

khi chia cho 11 có dư 4.


kt

* ) Đ ểtìm dư của một lũy thừa tầng dạ ng x m khi chia cho một số p nào đó ta sử dụng
một kỹ thuật tạ m gọi là "hạ tầng". Bằng định lý Fecưma ta tìm đư ợ c a đểxa 1Mp như
t

vậy ta cần tìm dư của mk theo a. Tiếp tục kỹ thuật trên ta lần lư ợ t hạ cá c tầng của
lũy thừa trở vềbài toá n cơ bản tìm dư của lũy thừa khi chia cho một số tự nhiên.

*) Bi toỏn tỡm ch s hng n v, hng chc, hng trm ca mt s chớnh l
tỡm d ca s ú khi chia cho 10 ( chia 2 v 5); chia cho 100 (chia 4 v 25); .
2.2- C

b

k ụ

a

o

s nguyờn

Vớ d 12
a) Chứng minh 3n 1 170 không chia hết cho 289 vớ i n N
2

b) Chứng minh n2 3n 5 không chia hết cho 121vớ i n N
Lời giải:
a) Nếu 3n+1M
17 mà 17 nguyên tố nên 3n 1 M
289 mà 170 không chia hết cho 289
2

3n 1 170 không chia hết cho 289 vớ i n N
2

Nếu 3n+1không chia hết cho 17 thì 3n 1 170 không chia hết cho 17
2

3n 1 170 không chia hết cho 289 vớ i n N
2

b) Vì(4,121)=1 nên n2 3n 5 không chia hết cho 121vớ i n N





4 n2 3n 5 không chia hết cho 121vớ i n N

Ta có 4 n2 3n 5 4n2 12n 20 2n 3 11
2

Tư ơng tự câu a ta chứng minh đư ợ c 2n 3 11 không chia hết cho 121.
2

T k 5:
Đ ểchứng minh S không chia hết cho pk (p là một số nguyên tố) ta viết S dư ớ i dạ ng
S=Bk Q trong đó QMp như ng Q không chia hết cho pk . Nếu gặ
p khó khă n khi viết theo
một lũy thừa ta có thểchọn thêm một hệsố m vớ i điều kiện (m,p)=1 và xét m.S khi
chia cho pk .

2.3- C

s l

s

Vớ d 13: Chứng minh Sn 19.8n 17 là một hợ p số vớ i mọi n N
Ngh nh th no?

- 22 -

Suy ngh thụng thng nht l ta chng minh Sn chia ht cho mt s no ú.
tỡm hiu ta s dng qui np khụng hon ton bng cỏch ln lt th n=0; 1;
2;3;4 tỡm ra qui lut.
Ta chỉquan tâm đến ư ớ c nguyên tố của Sn 19.8n 17
S0 36 có ư ớ c nguyên tố 3, 2
S1 169 có ư ớ c nguyên tố 13
S2 1233 có cá c ư ớ c nguyên tố 3, 137
S3 9745 có cá c ư ớ c nguyên tố 5....
S4 77841 có cá c ư ớ c nguyên tố 3
.....
Ta thử một qui luật n chia 4 dư 0 hoặ
c 2 thìSn M
3
n chia cho 4 dư 1 thìSn M
13
n chia 4 dư 3 thìSn M
5

Ta cú li gii sau:
Sn 19.8n 17





* ) Vớ i n=2k (k N) ta có Sn 19.64k 17 19 64k 1 36M
3 vì64k 1M
64 1M
3
mà Sn 3 nên Sn là hợ p số vớ i mọi n=2k (k N)

*) Vớ i n=4k+1 (k N) ta có Sn 19.84k1 17 13.84k 1 13 6.8.84k 4









13.84k1 13 48 84k 1 52M
13 vì 84k 1 M
84 1M
13
mà Sn 13 nên Sn là hợ p số vớ i mọi n=4k +1(k N)
* ) Vớ i n=4k+3 (k N) ta có Sn 19.84k 3 17 20.84k 3 17 84k 3









20.84k 3 17 83 83. 84k 1 M
5 vì 84k 1 M
84 1M
5

mà Sn 5 nên Sn là hợ p số vớ i mọi n=4k+3 (k N).

2.4- C

s nguyờn k ụ

l

Vậy Sn là hợ p số vớ i mọi n N

s l y

a

Cú nhiu cỏch chng minh mt s t nhiờn x khụng phi l ly tha bc n ca
mt s t nhiờn b. Mt cỏch c s dng nhiu l cn c s phõn hoch ca b n
theo mt s nguyờn no ú. Chng hn khụng cú s chớnh phng chia 3 d 2
vớ d s 4444 (cú 2003 ch s 4) khụng phi s chớnh phng vỡ s ny khi chia
cho 3 cú d 2 (tng cỏc ch s ca nú l 2003.4=3.2003+2003 chia 3 d 2). Thụng

- 23 -


thng tỡm c cn c phõn hoch ta chn phộp qui np khụng hon ton
qua cỏc vớ d c th tỡm ra qui lut.
Vớ d 14
Chứng minh Sn 13n.2 7n.5 26 không thểlà số chính phư ơng vớ i mọi n N

Ngh nh th no?
S dng qui np khụng hon ton bng cỏch thay ln lt n=0, 1, 2,.. ta u thy S n

chia ht cho 3 nhng khụng chia ht cho 9. Ta cú 133-1 v 73-1 u chia ht cho 9
nờn ta phõn hoch theo 3.
Li gii:
Giả sử n chia cho 3 dư r ta có n=3k+r vớ i r 0;1;2 và k N
Sn 13n.2 7n.5 26 =133k r .2 73k r.5 26









2.13r 133k 1 5.7r 73k 1 2.13r 5.7r 26.









Ta có 133k 1 M
133 1M
9 và 73k 1 M
73 1M
9.
Xét Q 2.13r 5.7r 26. Lần lư ợ t thay r 0;1;2 vào Q ta thấy QM

3 như ng Q không
chia hết cho 9 Sn chia hết cho 3 như ng không chia hết cho 9.
Do vậy Sn không thểlà số chính phư ơng vớ i mọi n N.

2.5- S d

ộ

a ro







rỡ



y

Nhn xột:
Nguyờn tc c bn gii phng trỡnh nghim nguyờn g m 2 bc chn
v th ( chn tp nghim cú th nhn v th cỏc giỏ tr ú vo phng trỡnh)
chn c tp hp cỏc giỏ tr cú 2 k nng c bn ú l dựng bt ng thc v

Formatted: Font: 14 pt, Underline
Formatted: Indent: First line: 0.5"
Formatted: Font: Times New Roman, 14 pt

Formatted: Font: Times New Roman, 14 pt
Formatted: Font: Times New Roman, 14 pt
Formatted: Font: Times New Roman, 14 pt

chia ht. c trng c bn s dng chn bng bt ng thc l hai v khụng
cựng tng gim (v trỏi tng thỡ v phi gim) hoc nu cựng tng gim thỡ mt v
tng chm cũn v kia tng nhanh . ớ d phng trỡnh xy =x+y+ vi x,y, l
cỏc s dng. Mc dự khi tng cỏc giỏ tr x,y,z thỡ 2 v cựng tng nhng rừ rng
tớch 3 s nguyờn dng s tng nhanh hn rt nhiu so vi tng 3 s nờn xy ra
bng nhau thỡ tp cỏc s x,y, s b chn li mt thi im no ú!
Vớ d 15

- 24 -

Tìm n đểA= n.2n 1 chia hết cho 3

Formatted: Font: Times New Roman, 14 pt


Ngh nh th no?
ng thc.

i nhn xột trờn ta thy bi toỏn khụng th chn c bng bt

Formatted: MTDisplayEquation

S dng qui np khụng hon ton ta s tỡm c qui lut phõn hoch

n.
Lời giải:

* ) Vớ i n=2k (k N) ta có A=n.4k 1 2k 4k 1 2k 1M
3 2k 1M
3 (vì4k 1M4 1 3)
3k k 1M
3 k 3q 1 n 6q 2 vớ i q N.





* ) Vớ i n=2k+1 (k N) ta có A=n.22k 1 1 2n 4k 1 2n 1M
3 2n 1M
3
2 2k 1 1M
3 4k 3M
3 kM
3 n 6q 1 vớ i q N
Vậy n 6q 1 hoặ
c n 6q 2 vớ i q N.
Vớ d 16: Giải phư ơng trình 7z 1 2x.3y vớ i x,y,z là cá c số tự nhiên

Ngh nh th no?
Bng nhn xột trờn ta thy khụng th chn c bng bt ng thc.
Quan sỏt thy v phi ca phng trỡnh l mt s chia ht cho 6 vi nhng
giỏ tr x,y nguyờn dng. Bi toỏn tr v tỡm d ca ly tha ca 7 khi chia cho 6.

Ta cú li gii sau:





7z 1 7z 1 2 chia cho 6 dư 2 2x.3y chia cho 6 dư 2.
Vớ i x>0 và y>0 thì2x.3y M
6 x 0 và y>0 không là nghiệm của phư ơng trình
Thử vơíx=y=0 ta đư ợ c kết quả phư ơng trình vô nghiệm
Vớ d 17: Tìm x,y là cá c số tự nhiên thỏa mã n 5x 1 2y

Ngh nh th no?
S dng qui np khụng hon ton ta thy ngoi nghim (x,y)=(1;2) ra khú cú
th tỡm c nghim khỏc. iu ny hng ta ti vic chng minh phng trỡnh vụ
nghim khi x>1. Ta hiu bi toỏn theo ngha no?
* 1) 5x 1 2y là biểu diễn lũy thừa của 5 theo lũy thừa của 2??
* 2) 5x 1 là một lũy thừa của 2?
* 3) 5x 1 chia hết cho 2? 4? 8? 16?...
....
Tớ i đây bằng qui nạ p không hoàn toàn thìta tìm đư ợ c qui luật vềchia hết. Đ ây là cơ
sở đểta chứng minh phư ơng trình vô nghiệm
Lời giải:

Nếu x M
2 thì5x 1 52q 1 25q 1M
25 1M
3 2y M
3 vô lý

Nếu x=2k+1 5x 1 52k 1 1 5. 25k 1 4 chia 8 dư 4 2y chia 8 dư 4
y 2 vìnếu y>2 thì2 M
8. Ta có 5 1 22 x 1
Vậy phư ơng trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;2)
y

x

Vớ d 18: Giải phư ơng trình sau trên tập số tự nhiên:
- 25 -

2x 3y 1

Formatted: Indent: First line: 0.5"