Tóm tắt kiến thức nhị thức newton

QUY TẮC ĐẾM
1) Quy tắc cộng :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện
tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng
kia là : m + n cách.
2) Quy tắc nhân :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi
tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện
tượng 2 là : m × n cách
3) Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276).
– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết
cho 4 (ví dụ : 1300, 2512)
– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5.
– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết
cho 8 (ví dụ : 15000, 2016)
– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835).
– Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
– Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0.
HOÁN VỊ
1. Giai thừa
Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số
nguyên liên tiếp từ 1 đến n.
n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n
Vì tiện lợi, người ta qui ước :
0! = 1
Từ định nghĩa, ta có :

n(n − 1)...(n − r + 1) =

n!
(n − r )!

và

(n – 1) !n = n !

2. Hoán vị
Có n vật khác nhau, sắp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp được gọi là 1 hoán
vị của n phần tử.
Theo qui tắc nhân, chỗ thứ nhất có n cách sắp (do có n vật), chỗ thứ nhì có n –
1 cách sắp (do còn n – 1 vật), chỗ thứ ba có n – 2 cách sắp (do còn n – 2 vật), …, chỗ
thứ n có 1 cách sắp (do còn 1 vật).
Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là :
Pn = n(n – 1)(n – 2)… × 1 = n!

Trang 1


CHỈNH HỢP
Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1 ≤ k ≤ n), sắp vào k chỗ khác
nhau. Mỗi cách chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn, . . .,
chỗ thứ k có [n – (k – 1)] cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là:
n x (n-1) x (n-2) x . . . x (n – k + 1) =

n!
( n − k )!

Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

Ank ,

ta có:

Ank =

n!
(n − k )!
TỔ HỢP
Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự
chọn. Mỗi cách chọn như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ta thấy mỗi tổ
hợp chập k của n phần tử tạo ra được P k = k! chỉnh hợp chập k của n phần tử. Do đó,

Ank
n!
=
nếu ký hiệu C là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có: C =
k! k!(n − k )!
k
n

k
n

Tính chất:

C nk = C nn −k
Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1

Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2 n
NHỊ THỨC NEWTON
1/ Nhị thức Newton có dạng
( a + b ) n = C 0n a n + C1n a n −1b + C 2n a n − 2 b 2 + ....... + C kn a n − k b k + ...... + C nna−1 a.b n −1 + C nn b n
n

=

∑C a
k =0

k

n

n−k

bk

(n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)

Các tính chất của nhị thức NewTon
Trang 2


Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1
Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)n là n
k n−k k
Số hạng thứ (k + 1) là C n a b
k n−k k

(iv) Số hạng bất kỳ trong khai triển (a + b)n là C n a b
2/ Tam giác Pascal
k
Các hệ số C n của lũy thừa (a + b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, . . . được sắp thành
từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal:
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10

5
1
Các tính chất của tam giác Pascal
Cn0 = Cnn = 1 các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1
(i)
(i)
(ii)
(iii)

(ii)

Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) Các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau

k
k +1
k +1
(iii) Cn + C n = C n +1 (0 ≤ k ≤ n – 1): Tổng hai số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng
số hạng ở giữa hai số hạng đó ở hàng dưới
0
1
n
n
n
(iv) Cn + C n + ...C n = (1 + 1) = 2
Chú ý:
(1 + x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x 3 + ... + Cnn x n

0
1
2

3
n
n
Khi x = 1 thì C n + C n + C n + C n + ... + C n = 2

(1 − x) n = C n0 − Cn1 x + C n2 x 2 − Cn3 x 3 + ... + (−1) n C nn x n
0
1
2
3
n
n
Khi x = 1 thì C n − C n + C n − C n + ... + (−1) C n = 0

Và
(1 + x) n + (1 − x) n = 2(Cn0 + C n2 x 2 + Cn4 x 4 + ...)

(1 + x) n − (1 − x) n = 2(Cn1 + C n3 x 3 + C n5 x 5 + ...)
PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
IPHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU
1/ Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó,
mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.
2/ Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian
mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω
II- BIẾN CỐ
Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Trang 3

Tập ∅ được gọi là biến cố không thể . Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc
chắn.
III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
Tập Ω \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B.
Nếu A ∩B=∅ thì ta nói A và B xung khắc.
Chú ý
A∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra .
A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra . Biến cố A∩B còn được kí
hiệu A.B
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nao cùng xảy ra.
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Định nghĩa
Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả
n (A)
đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
n ( Ω)
n (A)
Vậy P(A) =
n (Ω )
Chú ý
n(A) là số phần tử của A
n( Ω ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1/ Định lí
a/ P(∅) =0, P( Ω )=1

b/ 0 ≤P(A)≤1, với mọi biến cố A
c/ Nếu A và B xung khắc thì P( A ∪ B ) = P(A)+P(B)
Hệ quả
Với mọi biến cố A, ta có P( A) = 1 − P( A)
III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

Trang 4


Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và
không bắt đầu bởi 123.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác
nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách
cùng môn được xếp kề nhau?
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau,
mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học
sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp
sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với
nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập
được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải
khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.

2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và
6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số
thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt
(chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên
các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ
số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
9. (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E
vào một chiếc ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10. (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao
nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1.
Trang 5


11. (ĐHQG HN khối B 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số
gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau
trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn

lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2
thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách
trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh
nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
khác nhau nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các
chữ số đã cho ta có thể lập được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một.
15. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí
nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học
và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số
có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10
nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu

số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các
chữ số của mỗi số là một số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có
kích thước đôi một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo
các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng
sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau.

Trang 6


22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ
các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số
khác có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số
sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số
sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày,
cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người
thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có
bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong
3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh
giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên
bi xanh xếp cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia
hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30. (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao
nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em,
trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em
để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
32. (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được
bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3
lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.
33. (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh
nam phải đứng liền nhau.
34. (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và
4 nam.
1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và
mỗi nhóm có số nữ như nhau.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 4.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không
có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

Trang 7

37. (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo
cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn?
38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8
trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người
sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ
số đôi một khác nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể
thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không
đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp
thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng
xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được
bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ
số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần,
chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
45. (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi
một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A là một hợp có 20 phần tử.

1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4,
5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345.
48. (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra
5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
49. (ĐH Y HN 2001)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao
nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?

Trang 8


50. (ĐH khối D dự bị 1 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em,
trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có
bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất
một em được chọn.
51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số
là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số
cuối một đơn vị.
53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần

chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy?
54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói
trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác
có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu
số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao
nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
59. (ĐH khối B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5
câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập
được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có
đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
60. (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3
tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm
đó phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số
1, 5.

Trang 9


64. (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học
sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học
sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh
khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối
A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số,
trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số
còn lại phân biệt?
67. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả
các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d 1, d2 song song với nhau.
Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 cho 8 điểm phân
biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ
18 điểm đã cho.
Phần II. BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON
k
k+2
k +1
+ C14
= 2C14
1. (CĐSP TPHCM 1999) Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: C14
6

7
8
9
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) Tính tổng: C10
10
k
trong đó Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử.
3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Tìm các số nguyên dương x thoả:

C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 − 14x

4. (ĐH Bách khoa HN 1999) Tính tổng:
S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn
trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.
+1
1001
≤ C1000
5. (ĐHQG HN khối A 2000) Chứng minh rằng: Ck2001 + Ck2001
2001 + C2001
(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)
6. (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu
thức sau:
17

 1


4

+ x3 ÷
3 2
÷
 x


,x≠0

7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình:

1 2
6
A2x − Ax2 ≤ .C3x + 10
2
x
n

8. (ĐHSP HN khối A 2000) Trong khai triển nhị thức

28 

−
 x3 x + x 15 ÷

÷



, hãy tìm số hạng

không phụ thuộc vào x, biết rằng Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79
9. (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x 2 +
1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax 12 trong khai triển
đó.
Trang 10


1
2

1
3

Tính tổng: S = Cn0 + C1n + Cn2 + ... +

10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)

1 n
Cn
n+1

11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Chứng minh: 2n−1C1n + 2n−1Cn2 + 2n−3 Cn3 + 2n− 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1
12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Tìm hệ số của x 31 trong khai triển của f(x) =
40

1


x + 2 ÷
x 


13. (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có:
1

A22

+

1

A32

+

1

A24

+ ... +

1

An2

=

n−1

n

14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x) 9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1
+ x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14.
Hãy tính hệ số
a9.
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ
thức sau:
1. Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n
2
4
2n
−1
+ C2n
+ ... + C2n
2. C12n + C32n + C52n + ... + C2n
= C02n + C2n
2n
16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)
2
2000
+ ... + 2001C2000
Tính tổng:
S = C02000 + 2C12000 + 3C2000
17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng:
a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Tìm max(a1, a2, …, a12).
1

2 n

18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I = ∫ x(1− x ) dx
0

N*)

(n

∈

1 0 1 1 1 2 1 3
(−1)n n
1
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
Cn =
2
4
6
8
2(n + 1)
2(n + 1)

Từ đó chứng minh rằng:

19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển của
biểu thức:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
20. (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với
xn =

An4+ 4 143
−
Pn+ 2 4Pn

(n = 1, 2, 3, …)

21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2,
ta có:
1

A22

+

1

A32

+ ... +

1

An2

=

n−1
.
n

22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Giải hệ phương trình:

y
y

2Ax + 5Cx = 90
 y
y

5Ax − 2Cx = 80

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
Trang 11


1

6
1. Tính tích phân: I = ∫ (x + 2) dx
0

2. Tính tổng: S =

6

2 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6
C6 +
C6 +
C6 +

C6 +
C6 + C6 + C6
1
2
3
4
5
6
7

24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)
n

Chứng minh rằng với mọi số x ta có: x =

1
n

2

n

∑ Ckn (2x − 1)k (n ∈ N) (*)

k =0

25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
S=

Cn0 +

1 1
1
1
1 n n
Cn.2 + Cn2 .22 + Cn3 .23 + ... +
Cn .2
2
3
4
n+1

26. (ĐH Hàng hải 2001)
2n
= 22n−1(22n + 1)
Chứng minh: C02n + C22n.32 + C42n.34 + ... + C2n
2n .3
27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta
có:
C1n.3n−1 + 2.Cn2 .3n− 2 + 3.Cn3 .3n−3 + ... + n.Cnn = n.4n–1
1

10

2 

28. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của  + x ÷ thành đa thức:
3 3 
a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R)
hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).

29. (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh
rằng

Ckn

lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá

n+1
.
2

30. (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng:
2
4
2000
C02001 + 32 C2001
+ 34 C2001
+ ... + 32000 C2001
= 22000 (22001 − 1)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:

( )

Cn2n+k .Cn2n−k ≤ Cn2n

2

32. (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức:

(2

x −1
2

+

)

−x n
23

( 2 ) + C ( 2 ) ( 2 ) + ... +
=
(2 )(2 ) +C (2 )

+ Cnn−1

Cn0

x −1
2

x −1 n
2

− x n−1
3

1
n

x −1 n−1
2

n
n

−x
3

−x n
3

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn3 = 5C1n và số hạng thứ tư
bằng 20. Tìm n và x.
33. (ĐH khối B 2002) Cho đa giác đều A 1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường
tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1, A2, …, A2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1, A2, …, A2n.
Tìm n?
34. (ĐH khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:
Cn0 + 2C1n + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243
Trang 12


35. (ĐH dự bị 2 2002) Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình:
An3 + 2Cnn− 2 ≤ 9n.
36. (ĐH dự bị 4 2002) Giả sử n là số nguyên dương và:
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho

ak −1 ak ak +1
=
=
2
9
24

.

Hãy tính

n.
37. (ĐH dự bị 6 2002) Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau:
(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.
Hãy tính hệ số a5.
38. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức
Newton của

n

 1
5
 3+ x ÷
x


, biết rằng: Cnn++14 − Cnn+3 = 7(n + 3) (n nguyên dương, x > 0).

39. (ĐH khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
Cn0 +

22 − 1 1 23 − 1 2
2n+1 − 1 n
Cn +
Cn + ... +
Cn
2
3
n+1

40. (ĐH khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n–3 là hệ số của x3n–3 trong khai
triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n–3 = 26n.
41. (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
Cn2Cnn− 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100
42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều
có:
2n−1
2
4
2n
C12n + C32n + C52n + ... + C2n
= C02n + C2n
+ C2n
+ ... + C2n

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Giải phương trình: C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 – 14x
19

19
2. Chứng minh rằng: C120 + C320 + C520 + ... + C17
20 + C20 = 2
44. (CĐ khối AD 2003)
Chứng minh rằng:
P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1
45. (CĐ Giao thông II 2003) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta
đều có:
Cn0C1n...Cnn

n−1

 2n − 2 
≤
÷
 n−1 

46. (CĐ Giao thông III 2003)
1. Tính tổng: S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1nCnn (n > 2)
2. Tính tổng:

T=

Cn0 +

1 1 1 2
1 n
Cn + Cn + ... +
Cn
2

3
n+1

biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện:
Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79

47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003)
C02Cnk − 2

+ C12Cnk −−12

+ C22Cnk −−22

=

Chứng minh rằng:

Cnk

(với n, k ∈ Z+;n ≥ k + 2)
48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)
Trang 13


Giải bất phương trình: (n!)3 Cnn .Cn2n .Cn3n ≤ 720
49. (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003.
Khai triển đa thức đó dưới dạng:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003
Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.
50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: An3 + 2Cn2 = 16n
51. (CĐ Nông Lâm 2003)
1
3

15

2
3 

Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Newton của:  + x ÷ .
52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n là số nguyên dương. Từ đó chứng
minh rằng:
2n−1
1C12n + 3C32n + ... + (2n − 1)C2n
= 2C22n + 4C42n + ... + 2nC2n
2n

53. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x 2(1 –
x)]8.
54. (ĐH khối D 2004) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
Newton của:
7

1 
3
 x + 4 ÷ với x > 0
x


55. (ĐH khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:
2
2 3
3 4
2n 2n+1
C12n+1 − 2.2C2n
+1 + 3.2 C2n+1 − 4.2 C2n+1 + ... + (2n + 1).2 C2n+1 = 2005

An4+1 + 3An3
56. (ĐH khối D 2005) Tính giá trị của biểu thức: M =
(n + 1)!

biết Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149.
57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x)2n,
2n+1
trong đó n là số nguyên dương thoả mãn: C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + ... + C2n
+1 = 1024
58. (ĐH khối D 2005 dự bị 1)
Tìm k ∈ {0; 1; 2; …; 2005} sao cho Ck2005 đạt giá trị lớn nhất.
59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2P n + 6
An2 − PnAn2 = 12.
60. (ĐH khối A 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức
Newton của

n

 1
7
 4 +x ÷

x


2
n
20
−1
, biết rằng: C12n+1 + C2n
+1 + ... + C2n+1 = 2

61. (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4
phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…, n}
sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006)
Giải hệ phương trình:

1
 x
Cy : Cxy + 2 =


3

Cx : Ax = 1
y
y


24

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)
Trang 14


Tìm số tự nhiên n sao cho:

1
Cn4

−

1
Cn5

=

1
Cn6

64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)
Tính tổng S =

1.Cn0
A11

+

2.C1n
A12

+

3.Cn2
A13

+ ... +

(n + 1).Cnn
A1n+1

Cn0 + C1n + Cn2 = 211
Biết rằng:
65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x) n ta được đa
thức có dạng:
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.
66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
n

 2 1
x + 3 ÷
x 


, biết rằng: C1n + Cn3 = 13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác

0)
67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)
2
4

2n
Tìm n ∈ N sao cho: C04n+ 2 + C4n
+ 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 256

20

1

68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) Cho A =  x − 2 ÷
x 


10

1

+  x3 − ÷ . Sau khi
x


khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
69. (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:
2k
− 2 2n− 2
2n
C02n + C22n 32 + ... + C2k
+ ... + C2n
+ C2n
= 215 (216 + 1)
2n 3

2n 3
2n 3

70. (CĐ
Cn0 3n

Xây

dựng

− C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn

=

số
Cn0

+ C1n

2

2006)

Chứng

minh:

+ ... + Cnn

71. (CĐ KT Y tế 1 2005) Giải bất phương trình: 2C2x+1 + 3Ax2 − 20 < 0

72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số của x29y8 trong khai triển của (x3 – xy)15.
73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x) n ta được đa
thức có dạng:
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.

Trang 15


ĐÁP ÁN PHẦN TỐN TỔ HỢP
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.

X ⊂ A

X = { 1} ∪ Y
1∈ X ⇔ 
Y ⊂ { 3,4,5,6,7,8}
2 ∉ X


.

Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}
Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64.
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.
2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau lấy từ A.
* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123

* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n
• Tính m: Lập một số chẵn a5a4a3a2a1 gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2,
a3, a4, a5 ∈ A, có nghóa là:
Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} → có 4 cách
Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A → có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách
Do đó: m = 4.840 = 3360.
• Tính n: Lập một số chẵn 123a2a1 bắt đầu bởi 123; a1,a2∈ A; a1 ≠ a2
Lấy a1 từ {4,6,8} → có 3 cách
Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} → có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách
Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán: 2! cách
Nhóm sách Văn: 4! cách
Nhóm sách Anh: 6! cách
Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.

Trang 16


3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B
B A B A B A
B A B A B A
A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các

em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để
ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất
trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh
trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,
v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e ∈
{0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng 0bcde . Có 3 cách chọn e, và A36 cách chọn b,
c, d từ X \ {0,e}. Vậy có 3. A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde .
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.
2. n = abcde
* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vò trí cho
1. Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {1}: có A74
cách.
Như thế: có 3. A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.
* Xem các số hình thức 0bcde . Có 2 cách chọn vò trí cho 1. Chọn chữ
số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A36 .
Như thế: có 2. A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde .
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
4

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C15
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C24C15C16 = 180
Trang 17


* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có C14C52C16 = 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có C14C15C62 = 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =
645.
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
1.
* Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2
số chẵn là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ
ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}.
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)

d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

Trang 18


1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có
9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp
các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vò trí tuỳ ý trong 9 vò trí (5 vò trí còn lại đương
nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần).
Vậy: có tất cả

A94 =

9!
5!

= 6.7.8.9 = 3024 số.

9. (ĐH Hàng hải 1999)
1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.
Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
10. (HV BCVT 1999)
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:
6
5
A10
− A10
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:
A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:
A69 − A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có A34 khả năng chọn 3 chữ số cuối.
⇒ Có 4. A34 = 4.4! = 96 số.
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có A34 = 24 số

Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có
A32 = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là A69 = 60480
2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Trang 19


6
A12
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
= 665280
5
A6 .7 = 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
A64 .A82 = 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
A36 .A39 = 60480
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:
2
4
.C30
* 2 nữ, 4 nam →

có C15
cách
3
3
hoặc * 3 nữ, 3 nam →
có C15 .C30 cách
4
2
.C30
hoặc * 4 nữ, 2 nam →
có C15
cách
5
1
hoặc * 5 nữ, 1 nam →
có C15 .C30 cách
6
hoặc * 6 nữ
→
có C15
cách
2
4
3
3
4
2
5
6
Vậy: có C15 .C30 + C15 .C30 + C15 .C30 + C15 .C130 + C15

cách
6
2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: C45 .
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:
abc0 hoặc abc2 hoặc abc4
* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
⇒ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách
chọn c.
⇒ Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4
Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5 .
* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b.
⇒ Có 5.4 = 20 số
* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b.
⇒ Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó
{a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
→ có 4 số
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vò của 3 phần
tử → có 3! = 6 số.
Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.
15. (ĐH Y HN 2000)

Trang 20

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí
nam là: C15 .C13 .C14 = 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: C13 .C42 = 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: C32 .C14 = 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5
1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có A54 = 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có A52 cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có A34 = 24 cách.
Vậy có A52 . A34 = 480 số.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
2
3
.C10
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có C10
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
3
2
.C10
* 3 nam và 2 nữ: có C10
= 5400 cách
4
1
* 4 nam và 1 nữ: có C10 .C10 = 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.

18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các
số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại
này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục
7 cách chọn chữ số hàng đơn vò
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.
Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có
mặt đủ các chữ số 2, 3, 4.
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a1a2a3a4 . Có hai khả năng:
1. Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a 5 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} và
lập được 5 số có 5 chữ số a1a2a3a4a5 với tổng các chữ số là một số lẻ.
2. . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} và
lập được 5 số có 5 chữ số a1a2a3a4a5 với tổng các chữ số là một số lẻ.

Trang 21


Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này
lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có
tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số
lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1. Có: C52 cách chọn ra 2 viện bi đỏ.
4
C13
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.

2
4
Vậy có: C5 . C13
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có C39 .C35 cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có C92 .C52.C24 cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có C19.C15 .C44 cách
Vậy có tất cả: C39 .C35 + C92 .C52.C24 + C19.C15 .C44 = 3045 cách.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn → có 5!5! cách
2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô
điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2
ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6.
Vậy có tất cả có: 8.7.6.5. C24 .1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 là 9.105 số
Với mỗi số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập được 5 số có 7 chữ số
a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng các chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào
nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8,
9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cách
sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số các số cần tìm là:

C59 =

9!
5!4!

25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Có tất cả: C39 .C62 = C94 .C52 = C92 .C74 = 1260 cách
26. (ĐH GTVT 2000)
Có 2 khả năng:
Trang 22

= 126.


2
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có C12 .C18
* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có C22 .C118
2
Vậy số chọn là: C12 .C18
+ C22 .C118 = 324 cách.
27. (HV Quân y 2000)
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác
nhau nên số cách xếp là A37 .
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống
nhau nên số cách xếp là C34 .
Vậy số cách xếp khác nhau là: A37 . C34 = 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh
đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ với

nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các
viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:
u1 = 100017, 100035, …, un = 999999
với công sai d = 18. Do đó:
un = u1 + (n – 1)d ⇔ 999999 = 100017 + (n – 1).18 ⇔ n = 50000
Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x = a1a2a3a4a5a6
Từ giả thiết ⇒ a1 ∈ {5,6,7,8,9}, a6 ∈ {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1. a1 lẻ:
* a1 có 6 cách chọn
* a6 có 4 cách chọn
* sau khi chọn a1, a6, cần chọn a2a3a4a5 , mỗi cách chọn ứng với một
chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4. A84 = 40320 số
2. a1 chẵn:
* a1 có 2 cách chọn
* a6 có 5 cách chọn
* a2a3a4a5 có A84 cách chọn

Trang 23

Vậy khả năng thứ hai có: 2.5. A84 = 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0,
1, 2, 3, 4, 5 là: 5. A35 = 300
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:
A54 = 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam: có C39 cách
Chọn 2 em nữ:
có C62 cách
Vậy có: C39 . C62 = 1260 cách.
32. (ĐH An ninh khối D 2001)
Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:
Thế thì:

Trang 24


* Có 6 cách chọn vò trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chọn vò trí cho số chữ 0 ta còn C36 = 20 cách chọn vò trí
cho 3 chữ số 4.
* Sau khi đã chọn vò trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách
chọn cho 3 chữ số còn lại.
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vò trí mà thôi thì số cách
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.

Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam ⇒ số cách chia là: C36 .C24 = 120
2.
* Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: C56 = 6
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:
C64 .C14 = 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A = a1a2a3a4a5a6 .
+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2,
3, 5, 6, 7. Vậy có A57 = 2520 số.
+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a 1. Vì số 4 phải có
đúng một trong 5 vò trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vò trí khác
(không có chữ số 4) sẽ chỉ còn A64 số khác nhau. Vậy trường hợp này
có 6.5. A64 = 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
• Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a ∈ {1,2,3,..,9}⇒
có 9 số
+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
* a111 với a ∈ {2,3,4, …,9} ⇒ có 8 số
* 1b11 với b ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
* 11c1 với c ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
Trang 25