Bài tập về cực trị của hàm số

BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho
y = x 3 − mx 2 + 2(m + 1) x − 1
a) Hàm số
đạt cực trị tại x=-1.
4
2
2
y = − 2 x − mx − 2m
x= 2
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm
x 2 + mx + 1
y=
x+m
c) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm x=2
1 3
y = x − (7 m + 1) x 2 + 16 x − m
3
Bài 2: Cho hàm số
. Xác định m để:
a) Hàm số có cực đại và cực tiểu
(1; +∞)
b) Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 thuộc
y = x 3 − mx 2 + (m + 36) x − 5
Bài 3: Cho hàm số
. Xác định m để
a) Hàm số không có cực trị
x1 − x2 = 4 2
b) Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 và

2 x 2 + mx + 2m − 1
y=
x +1
Bài 4: Cho hàm số
. Xác định m để:
a) Hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Hàm số có các điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn: -2y = x 4 + 2mx 2 + 2
Bài 5: Cho hàm số
. Xác định m để hàm số:
a) Có ba cực trị
b) Có một cực trị
c) Không có cực trị
y = 2 x 4 − mx 2 + 1
Bài 6: Cho hàm số
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
các đỉnh của:
a) Một tam giác đều
b) Một tam giác vuông
3
2
y = x + mx − x
Bài 7: Cho hàm số
a) CMR hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m
b) Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng
(d): y=-2x.
3x 2 − x + 1
y=
x +1
Bài 8: Cho hàm số

. Chứng minh hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.

x < m + 4 − x2

Bài 9: Xác định m để bất phương trình
vô nghiệm
3
3
sin x = m + cos x
Bài 10: Xác định m để phương trình
có nghiệm.
4
2
y = x − 2mx + m − 1
Bài 11: Cho hàm số
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba điểm cực trị của đồ thị hàm
số là các đỉnh của một tam giác:


a) Có diện tích bằng 4
b) Vuông cân
c) Đều
3
2
y = 2 x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + 1
Bài 12: Cho hàm số
. Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng
y = x+2
nhau qua đường thẳng

.
3
2
y = x − 3x − mx + 2
Bài 13: Cho hàm số
.
a) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu trong khoảng (0;2)
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ, CT của ĐTHS cách đều đường thẳng
y=x-1.
1
1
y = (m + 1) x 4 + (2m − 3) x 2 +
4
2
Bài 14: Cho hàm số
. Xác định m sao cho hàm số
a) Có một cực trị và đó là cực đại
b) Có ba cực trị
c) Có ba cực trị, trong đó có đúng một cực trị thuộc khoảng (-2;2)
π
3π
x = − ,x =
y = a sin 2 x + b cos 3 x + 2
3
4
Bài 15: Tìm a,b để hàm số
đạt cực trị tại các điểm
y = (ax + 2) 3 x + b (a ≠ 0)
Bài 16: Cho hàm số
. Tìm a, b biết hàm số đạt cực trị tại x=1 và cắt trục hoành

tại điểm có hoành độ x=-2.
y = −2 x + k x 2 + 1
Bài 17: Cho hàm số

. Tìm k để hàm số có cực trị
y = − x + mx + ( m − 1) x + m3 − m 2
3

2

2

Bài 18: Cho hàm số
a) Tìm m để hàm số có hai cực trị. CMR khi đó đường thẳng qua các điểm CT không bao giờ qua
gốc tọa độ.
b) Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn tâm O,
131
40
bán kính
x 2 − (3m + 2) x + m + 4
y=
x −1
Bài 19: Cho hàm số
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ, CT thẳng hàng với điểm M(-2;1)
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và trung điểm của đoạn nối hai điểm CĐ, CT cách gốc O
một khoảng bằng 3.
x 2 − (5m − 2) x + 2m + 1
y=
x −1
Bài 20: Cho hàm số

. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
2 5
hai điểm cực trị nhỏ hơn
.
ax + b
y= 2
x + x +1
Bài 21: Cho hàm số
a) CMR với mọi a,b không đồng thời bằng 0 thì hàm số luôn có CĐ, CT.
b) Tìm a và b biết hàm số đạt CĐ tại x=2 và đồ thị hàm số qua điểm M(1;1).
x2 + 2x + a − 3
y=
x +1
Bài 22: Cho hàm số
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT và các điểm CĐ, CT :
a) Cách đều trục hoành


b) Nằm về hai phía của đường thẳng (d): 2x+y-1=0.
y = 2 x3 + 3(2 − m) x 2 − 12mx + 1
Bài 23: Cho hàm số
.
a) CMR với mọi m khác -2 , hàm số ln ln có CĐ, CT. Tìm tập hợp các điểm CĐ của ĐTHS.
b) Tìm những điểm CĐ của ĐTHS trên đường thẳng y=3x-1
2− x + x+2 = m
Bài 24: Xác định m để phương trình
có nghiệm
mx ≤ x − 2 + 1
Bài 25: Xác định m để bất phương trình
có nghiệm.

Bài 26: Tìm m để hàm số :
≠0
a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu.
ĐS : m
m 3
4
x − 2 x 2 + (3m + 1) x − 1
− < m <1; m ≠ 0
3
3
b) y =
có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS :
x 2 − mx + 2
x −1
c) y =
có cực đại và cực tiểu.
ĐS : m < 3
d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị.
ĐS : m > 0
e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2
ĐS : m = 1
f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1
ĐS : m = 1
g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2
ĐS : m = 7/2
2
x + mx + 1
x+m
h) y =
đạt cực đại tại x = 2

ĐS : m = -3
2
x − mx + m − 1
x +1
k) y =
đạt cực tiểu tại x = 1
2
x + 2x
x −1
Bài 27: Cho hàm số y =
(1)
a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

2: Đònh m để y=

(

BÀI TẬP

) (

)

x − 3mx + 3 m − 1 x − m 2 − 1
3

2

2

đạt cực đại tại x=1.

4

x
− ax 2 + b
2

3: Cho hàm số y=
. Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại x=1
4. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu.
y=

1)

1 3
x + mx 2 + (12 − m) x + 2
3

2)

y=

3)

Đ S: m < -4, m > 3

y = x − 2mx + 1
3

2

m 3
x − 2 x 2 + (3m + 1) x − 1
3

ĐS:
−

ĐS:

m≠0

4
< m <1
3


y=

m 3
x + 3mx 2 − (m − 1) x + 3
3

y=

x − mx + 2
x −1

y=

x + 2x + m
x+2

y=

mx + x + m
x+m

4)

5)
6)

7)

m<0,m>

ĐS:

1
10

2

ĐS: m < 3

2

ĐS: m > 0

2

ĐS: m < 0, m >

− x 2 + mx − m 2
y=
x−m

1
2

≠0

8)
ĐS: m
5. Tìm m để hàm số:
1) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị.
ĐS: m > 0
4
2
2) y = x – (m + 1)x – 1 có 1 cực trị
ĐS : m < - 1
4
2
3) y = mx + (m – 1)x + 1 – 2m có 3 cực trị
ĐS : 0 < m < 1
6. Tìm m để hàm số:
1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2

ĐS : m = 1
1
y = mx 3 + (m − 2) x 2 + (2 − m) x + 2
3
2)
đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3
3
2
3) y = x – mx – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1
ĐS : m = 3
3
2
4) y = x + (m + 1)x + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
x 2 + a (1 − a ) x − a 3 + 1
y=
x+a
7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số
luôn có cực đại
và cực tiểu.
)- CỰC TRỊ HÀM BẬC 3
Xác định cực trị hàm số
BT1
Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu
1)
1
y = .x 3 + mx 2 + (m + 6). x − ( 2m + 1)
3
2)

y = (m + 2). x 3 + 3 x 2 + m.x − 5

BT2(HVNgân Hàng TPHCM 2001)
CMR với mọi m hàm số sau luôn dạt cực
trị tại x1; x2 với x1 –x2 không phụ thuộc m
y = 2.x 3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m.( m + 1) x + 1


BT3
Tìm m để hàm số sau luôn đạt cực trị tại
x1; x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 không phụ thuộc m
1
y = .x 3 + (m − 2) x 2 + (5m + 4). x + m 2 + 1
3

) có CĐ và CT . CMR khi đó đường thẳng đi qua
CĐ, CT luôn di qua một điểm cố định
BT12
Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại
x1; x2 thoả mãn
x12 + x 22 = 1

BT4(CĐSP TPHCM 1999)
Tìm m để
y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x + m

y=

4 3
.x − 2(1 − sin a ) x 2 − (1 + cos 2a ). x + 1
3

đạt cực tiểu tại x = 2
BT5(ĐH Huế 1998)
Tìm m để
y = x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2

BT13
Cho hàm số
1
1
3

y = .x 3 − (sin a + cos a ) x 2 +  sin 2a .x
3
2
4


đạt cực tiểu tại x = 2
BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)
Tìm m để
y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1) x − 1

1)Tìm a để hàm số luôn đồng biến
2)Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn

không có cực trị
Phương trình đường thẳng đi qua cực đại cực
tiểu
BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)

Cho hàm số
y = 2.x 3 − 3(3m + 1) x 2 + 12.( m 2 + m) x + 1

BT14

Tìm m để hàm số có CĐ,CT .Viết phương trình
đường thẳng đi qua CĐ,CT
BT8(HVKT Mật mã 1999)
Cho hàm số
y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 2(m 2 + 7m + 2) x − 2m( m + 2)
Tìm m để hàm số có CĐ,CT .Viết phương trình
đường thẳng đi qua CĐ,CT
BT9
Tìm m để
có CĐ,CT
f ( x ) = x 3 − 3mx 2 + 4m 3
đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
BT10(ĐH Dược HN 2000)
Tìm m để
f ( x ) = 2 x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + 1
3

2

có

CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2
BT11(ĐHQG TPHCM 2000)
Cho (Cm) :
Tìm m để (Cm

y = mx 3 − 3mx 2 + (2m + 1) x + 3 − m

x12 + x 22 = x1 + x 2

Tìm m để hàm số
y = x3 −

3m 2
x +m
2

Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đường
thẳng y = x
5)- CỰC TRỊ HÀM BẬC 4
BT1
Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà
không có cực đại
y = x 4 + 8m.x 3 + 3(2m + 1) x 2 − 4
BT2
CMR hàm số

f ( x) = x 4 − x 3 − 5 x 2 + 1

Có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol
BT3
Cho (Cm) :
y = f ( x) = 3 x 4 + 4mx 3 + 6mx 2 + 24mx + 1
Biện luận theo m số lượng Cực đại, cực tiểu của
(Cm)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại

x0 ∈ [ − 2;2]
BT3


):

Cho (Cm) :

m

Cho (C
y = f ( x) =

1 4
3
.x − 2 x 3 + (m + 2) x 2 − (m + 6). x + 1
4
2

Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị
của (Cm)
BT4(ĐH Cảnh sát 2000)
Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà
không có cực đại
1
3
y = x 4 − mx 2 +
4
2

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)
Tìm m để
có
f ( x) = mx 4 + (m − 1) x 2 + (1 − 2m)
đung một cực trị
6)- CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC BẬC 2
/ BẬC 1
6.1-Sự tồn tại cực trị- đường thẳng
đi qua CĐ,CT
BT1
Tìm m để các hàm số sau có cực trị
y=

x 2 + 2m 2 x + m 2
x +1

y=

x 2 + (m + 2) x − m
x +1

x 2 + 2mx − m
y=
x+m

y=

x + (m − 1) x − m
x +1

y=

mx 2 + (m + 1) x + 1
mx + 2

Tìm m để hàm số có CĐ, CT
Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT
BT3 (ĐH Dân lập Bình Dương 2001)
Cho (Cm) :
x 2 + (m + 2) x + 3m + 2
y=
x +1
Tìm m để hàm số trên có CĐ, CT
BT4
Tìm a để
có CĐ ,
x 2 + 2 x. cos a + 1
y=
x + 2. sin a
CT
BT5
Tìm a để
y=

x . cos a + x + sin a. cos a + sin a
x + cos a
2

2

có CĐ ,

CT
BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)
Viết phương trình đường thẳng đi qua
CĐ,CT của :
x 2 + mx − 8
y=
x−m
BT7

(ĐH SPHN 1999)

2

− x 2 + mx − m 2
y=
x−m

(CĐ SPHN 1999)

(ĐH Y Thái Bình 1999 )
2m 2 x 2 + (2 − m 2 )( mx + 1)
y=
mx + 1

(ĐH Thái Nguyên 2000)
BT2 (ĐH TCKT 1999)

Cho (Cm) :

(m + 1) x 2 − 2mx − (m 3 − m 2 − 2)
y=
x−m

(m#-1)

Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại các điểm
thuộc ( 0 ; 2 )
BT8
Tìm a,b,c để
có cực trị
ax 2 + bx + c
y=
x−2
bằng 1 khi x=1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị
vuông góc với đường
1− x
y=
2
6.2-Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt
phẳng toạ độ
BT9 (ĐH Đà Nẵng 2000)


Cho hàm số (Cm) :
y=

x + mx − m − 1
x +1

Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm quỹ tích
của điểm cực trị (Cm)
BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)
Cho hàm số (Cm) :
x 2 − mx − 2m − 2
y=
x −1
Tìm m để hàm số có cực trị. CMR các
điểm cực trị của (Cm) luôn nằm trên một Parabol
cố định
BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)
Cho hàm số (Cm) :
x 2 + mx − 2m − 4
y=
x+2
Tìm m để hàm số có CĐ,CT. Tìm quỹ tích
của điểm CĐ
BT12
Cho hàm số (Cm) :
2
x + m(m 2 − 1) x − m 4 + 1
y=
x−m
CMR: trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy
nhất một điểm vừa là điểm CĐ của đồ thị ứng với
m nào đó đồng thời vừa là điểm CT ứng với giá trị
khác của m
6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cực tiểu
BT13
Tìm m để

có CĐ,CT và
2
2 x − 3x + m
y=
x−m

y CD − y CT > 8
BT14
Tìm m để

(m − 1) x + x + 2
y=
( m + 1) x + 2
2

( y CD − y CT )( m + 1) + 8 = 0
BT15 (ĐHSP1 HN 2001)

Tìm m để

2

y=

x + 2mx + 2
x +1
2

có CĐ,CT và

khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng
x + y + 2=0 là bằng nhau
BT16
Tìm m để

x 2 + (m + 2) x + +3m + 2
y=
x+2

có

CĐ,CT đồng thời thoả mãn
2
2
y CD
+ y CT
>

1
2

6.4-Vị trí tương đối của các điểm CĐ - CT
BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)
Cho :
x 2 + (2m + 3) x + m 2 + 4m
y=
x+m
Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT18 (ĐH QG 1999)
Cho :

x2 + x + m
y=
x +1
Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2
phía đối với trục Oy
BT19 (ĐH Công Đoàn 1997)
Cho hàm số :
(m#0)
2
x − mx + m
y=
x−m
Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT20 (ĐH Thương Mại 1995)
Cho hàm số :
x 2 − mx + 2m − 1
y=
x −1

có CĐ,CT và

Tìm m để CĐ,CT về 2 phía đối với trục
Ox
BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)
Cho hàm số :
x 2 + (m + 1) x − m + 1
y=
x−m
Tìm m để hàm số có CĐ,CT và YCĐ. YCT
>0

BT22


Tìm m để :
y=
cùng dấu
BT23
Tìm m để :
y=

x − mx + 5 − m
x−m
2

x + mx − m
x −1
2

có CĐ,CT

có CĐ,CT

nằm về 2 phía của đường thẳng x-2y-1=0
BT24
Tìm m để :
có một cực
2mx 2 + (4m 2 + 1) x + 2m + 32m 3
y=
x + 2m
trị thuộc góc (II) và một cực trị thuộc góc (IV)

trên mặt phẳng toạ độ
BT25
Tìm m để :
có một cực trị
x 2 − (m + 1) x + 4m 2 − 4m − 2
y=
x − m +1

1)Viết phương trình đường thẳng đi qua
CĐ,CT của
(m>1)
2 x 2 + 3x − 1
y= 2
x − 4 x + 5m
2)Viết phương trình đường thẳng đi qua
CĐ,CT của
− x 2 − 2x + 5
y= 2
3x + 2 x − m
3)Tìm a,b để

BT1
Lập bảng biến thiên và tìm cực trị
y=

2x 2 + x − 1
x2 − x +1

8)- CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI VÀ HÀM VÔ TỶ

BT1
Tìm cực trị hàm số sau

1
 
5

y=

5
4

BT3

khi x= - 3

x − mx + 2n
x 2 − 2x + 1

x 2 − 4 x +3

= m4 − m2 +1

có 4 nghiệm phân biệt
BT3 (ĐH Kinh Tế 1997)
Cho
f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 72 x + 90

Maxf ( x)·
   

x∈[ − 5; 5 ]

BT4
Tìm m để phương trình

− 3 x 2 + 10 x − 8
y=
2x 2 − 8x + 6

2

y = − 2 x 2 + 3x + 5

BT2 (ĐH Ngoại Thương 1998)
Tìm m để phương trình

Tìm

x 2 + 3x − 4
y= 2
x −x−2

BT2
Tìm m,n để

có đúng một cực

trị và là cực tiểu

thuộc góc (I) và một cực trị thuộc góc (III) trên

mặt phẳng toạ độ
7)- CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC BẬC 2
/ BẬC 2

ax + b
y= 2
x + x +1

1
 
2
đạt cực đại bằng

x3 −6 x 2 +9 x −2

= m2 − m
có 6 nghiệm phân biệt

BT5
Tìm m để phương trình
2. x 2 − 5 x + 4 = x 2 − 5 x + m
có 4 nghiệm phân biệt
BT6
Tìm cực trị hàm số sau


1)

BT2

y = 2x + 3 + − x − 4x + 5
2

Tìm a để hàm số
đạt CĐ tại

2)

1
y = a. sin x + . sin 3 x
3

y = x2 + x +1 + x2 − x +1
BT7
1)Tìm a để hàm số

có
y = −2 x + a x + 1
2

cực tiểu
2)Tìm a để hàm số
có cực đại

y = ( x + 1).e

y = −2 x + 2 + a x 2 − 4 x + 5
3)

2)

y = 3 x + 10 − x 2
3)
y = 3 x 3 − 3x
4)

y = x.

1− x
1+ x

9)- CỰC TRỊ HÀM LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ MŨ,LÔGARIT
BT1
Tìm cực trị hàm số
cos x
y=
− 2 cot g .x
sin 3 x
y = cos 2 x − cos x + 1
1
1
y = 1 + cos x + . cos 2 x + . cos 3x
2
3
y=

sin x − 2
sin x + 1

y = cos x(1 + sin x )

y = sin 3 x + cos 3 x

π
3

BT3
Tìm cực trị hàm số
1)
2
y = ( x + 1) .e x
2)

BT8
Lập bảng biến thiên và tìm cực trị hàm số sau
1)
y = 1 − 3x + 5 x 2 + 2

x=

y = e x . ln x

4)
y=

5)

x2 − x
x +1

lg x
x

 −x1 
1
e
2 + sin 
y =  
x

0

(Khi x#0)
khi x = 0