Lập kế hoạch điều xe để vận chuyển hàng sao cho có hiệu quả nhất của một doanh nghiệp

BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ

LỜI MỞ ĐẦU
Toán học đã và đang phát triển rất mạnh mẽ và đã được áp dụng một cách rộng
rãi và sâu sắc vào kinh tế , vào khoa học kỹ thuật và vào hầu hết các hoạt động của con
người . Từ đó hình thành nên một ngành toán học mới là “ Toán kinh tế “ .
Toán kinh tế là một công cụ quan trọng vì nó cung cấp phương pháp luận , các
phương pháp mô hình hóa , các phương pháp tính toán tối ưu . Do đó nó không những
là công cụ để tư duy về định tính , mà còn về cả định lượng , giúp giải quyết vấn đề một
cách hiệu quả .
Việc lập kế hoạch phát triển kinh tế và việc nâng cao hiệu quả của sản xuất xã hội
là các vấn đề quan trọng của bất kỳ một quốc gia nào . Để giải quyết tốt các vấn đề đó
thì phải không ngừng hoàn thiện các phương pháp điều khiển , quản lý và đẩy mạnh tốc
độ tiến bộ khoa học kỹ thuật , thực hiện các biện pháp khoa học cơ bản .
Trong quá trình đó , điều quan trọng đầu tiên là phải xây dựng được các mô hình
toán học từ thực tiễn sản xuất và kinh doanh dịch vụ rất phong phú , đa dạng nêu nên
thành các bài toán . Sau đó tìm phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán đó .
Sử dụng các phương pháp tối ưu và các mô hình kinh tế khi xây dựng lời giải về
kế hoạch hóa và điều khiển là hướng quan trọng của sự hoàn thiện các hệ thống điều
khiển . Nhằm góp phần đẩy mạnh hoạt động về áp dụng các phương pháp tối ưu và các
mô hình toán kinh tế vào thực tiễn , cung cấp tài liệu , kiến thức cần thiết cho ngành học
của chúng em , làm sao để tối đa hóa lợi ích , tối thiểu hóa chi phí cho doanh nghiệp vận
chuyển, tính toán để nâng cao chất lượng dịch vụ tại cảng , đáp ứng yêu cầu giải phóng
tàu nhanh …
Bằng kiến thức đã học trên lớp và trong thực tiễn, em đã làm bài tập lớn với đề tài
là: “Lập kế hoạch điều xe để vận chuyển hàng sao cho có hiệu quả nhất của một doanh
nghiệp”.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 1


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ

CƠ SỞ LÍ LUẬN
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
I. Ý NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CỦA MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ TRONG
NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH KINH TẾ.
1.

Ý nghĩa của phương pháp mô hình.

Đã từ lâu, khi con người muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong tự nhiên
họ đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc
kết thành kinh nghiệm và được lưu truyền qua các thế hệ và được gọi là phương pháp
trực tiếp quan sát.
Đối với những sự việc phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu
mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt động của mình thì phương pháp trực
tiếp quan sát là chưa đủ. Trong trường hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng các nhà
khoa học hoặc là trực tiếp tác động và đối tượng hoặc sử dụng các mô hình tương tự đó
là phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và đó là phương pháp nghiên cứu
phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật.
Tuy nhiên khi nghiên cứu các hiện tượng vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp
trên thường không đem lại kết quả vì:
- Những vấn đề kinh tế là những vấn đề hết sức phức tạp – đặc biệt là những vấn
đề kinh tế đương đại – trong đó có những mối liên hệ đan xen, tiền ẩn mà không
chỉ bẳng quan sát là có thể giải thích được.Quy mô, phạm vi liên quan của những
vấn đề kinh tế

- Kinh tế - xã hội nhiều khi rất rộng và đa dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử
nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian, tiền bạc và nhiều khi có những sai
sót trong quá trình thử nghiệm.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 2


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
- Ngay cả khi có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế
thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn
với hoạt động của con người.
Vì vậy để khắc phục các nhược điểm của các phương pháp trên trong nghiên cứu các
hiện tượng, vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, trong
đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan tới hiện tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên
cứu sẽ được thay thế bởi hình ảnh của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử dụng
mô hình làm công cụ phân tích và suy luận. Phương pháp này có tên gọi là phương pháp
mô hình
Nội dung của phương pháp mô hình bao gồm:
- Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Quá trình này gọi là mô hình hóa đối
tượng.
-

Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu. Quá trình này
gọi là phân tích mô hình.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng

MSV
: 47215

Trang 3


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
2.

Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế.

a. Mô hình kinh tế.
Theo quan điểm giản đơn: mô hình của 1 đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách
quan của đối tượng, sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người
nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ,
hình vẽ … hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành.
Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung.
Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế.
b. Mô hình toán kinh tế.
Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học.
Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng
ta nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà còn về mặt định lượng thì
phương pháp suy luận thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải
quyết. Khi đó chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học. Đây chính là điểm
mạnh của các mô hình toán kinh tế.
II. CẤU TRÚC CỦA MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1.

Các biến số của mô hình.
- Biến nội sinh (biến được giải thích): là các biến mà về bản chất chúng phản ánh,

thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị
của các biến khác có trong mô hình.
- Biến ngoại sinh (biến giải thích): là các biến độc lập với các biến khác trong mô
hình, giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình.
Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến là biến nội sinh
gọi là mô hình đóng; mô hình có biến nội sinh và biến ngoại sinh gọi là mô hình mở.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 4


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
- Tham số (thông số): là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng
thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết là như vậy
của đối tượng.
2.

Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình.

Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh
tế, giữa chủ thể với nhà nước, giữa các khu vực ... tạo ra mối quan hệ giữa các biến số
liên quan. Các mối quan hệ này là sự phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong
hoạt động kinh tế. Chúng ta có thể dùng các biểu thức, các hệ thức toán học một cách
thích hợp từ đơn giản tới phức tạp để thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong mô hình.
Hệ thức thường được sử dụng phổ biến là phương trình.
Tùy thuộc và ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình,

chúng ta có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:
- Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): phương trình thể hiên mối quan hệ định
nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình.
- Phương trình hành vi: phương trình mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của
quy luật hoặc do giả định.
- Phương trình điều kiện: phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình
huống có điều kiện mà mô hình đề cập.
III. PHÂN LOẠI MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1. Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng.
- Mô hình tối ưu: mô hình phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu
hóa một hoặc một số chỉ tiêu định trước.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 5


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
- Mô hình cân bằng: là lớp mô hình xác định sự tồn tại của trạng thái cân bằng
nếu có và phân tích sự biến động của trạng thái này khi các biến ngoại sinh hay các
tham số thay đổi.
- Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: mô hình với các biến là tất định (phi
ngẫu nhiên) gọi là mô hình tất định, nếu có chứa biến ngẫu nhiên gọi là mô hình ngẫu
nhiên.
- Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng:
- Mô hình tĩnh (theo thời gian) và mô hình động.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng

MSV
: 47215

Trang 6


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
2. Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời hạn.
- Mô hình vĩ mô: mô hình mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh
tế, một khu vực kinh tế gồm một số nước.
- Mô hình vi mô: mô hình mô tả một thực thể kinh tế nhỏ, hoặc những hiện tượng
kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trọng phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết.
Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn.
IV. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TRONG NGHIÊN CỨU VÀ
PHÂN TÍCH KINH TẾ.
Để áp dụng phương pháp mô hình, trong đó sử dụng mô hình toán kinh tế làm công
cụ nghiên cứu, phân tích các vấn đề, các sự kiện kinh tế chúng ta cần thiết tiến hành các
bước sau:
a. Đặt vấn đề.
Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế cần quan
tâm, mục đích là gì, các nguồn lực có thể huy động tham gia vào nghiên cứu.
b. Mô hình hóa.
Sau khi đã xác định được mục đích yêu cầu cần nghiên cứu, chúng ta sẽ tiến hành mô
hình hóa đối tượng liên quan tới vấn đề. Quá trình mô hình hóa đối tượng gồm các công
việc:
- Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa
chúng mà ta có thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa
chọn.
- Lượng hóa các yếu tố này, coi chúng là các biến của mô hình.
- Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu là các

phương trình – mô tả quan hệ giữa các biến.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 7


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
c. Phân tích mô hình.
Sử dụng phương pháp phân tích mô hình để phân tích. Kết quả phân tích có thể được
sử dụng để hiệu chỉnh mô hình cho phù hợp với thực tiễn.
d. Giải thích kết quả.
Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải đáp cho vấn đề cần nghiên cứu.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 8


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
CHƯƠNG II: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khi xây dựng các kế hoạch sản xuất do bị hạn chế về nguồn lực nên người lập kế
hoạch buộc phải giải quyết các vấn đề có tính chất phân phối.
Khi lập kế hoạch đòi hỏi người lập kế hoạch phải cân nhắc sao cho với một năng lực
nhất định phải thực hiện nhiệm vụ một cách hiệu quả nhất. Khi cụ thể khả năng hiệu

quả thành mục tiêu thì có thể sử dụng một công cụ toán học để giải quyết, đó chính là
quy hoạch tuyến tính.
II. TRÌNH TỰ LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN
QUY HOẠCH
Bước 1:
- Phân tích thực tế sản xuất, mô hình hoá vấn đề: Vấn đề cần giải quyết là lựa chọn
các tham số quản lý (điều khiển), rồi các biến số, trên cơ sở đó xây dựng hàm
mục tiêu, rồi xây dựng các ràng buộc bằng các biểu thức toán học.
- Ý nghĩa: bước 1 sẽ quyết định sự thành công hay thất bại trong việc lập kế hoạch
sản xuất 1 cách tốt nhất.
Bước 2: Thu thập dữ liệu về: Hệ thống các thông tin về kinh tế kỹ thuật, hệ thống các
thông tin về nhiệm vụ được giao. Chuyển dần và lắp ráp vào mô hình đầu.
Bước 3: Tiến hành giải bài toán (phương pháp đúng và gần đúng). Nói chung, thuật
toán để giải bài toán tối ưu như mô hình sau:

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 9


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
Lập phương án ban đầu

Kiểm tra dấu hiệu tối ưu
và xem có tồn tại hay
không

Không

Có

Hoàn thiện phương án
ban đầu

Phương án chọn là phương án tối ưu

STOP

Bước 4: Phân tích hiệu quả của bài toán và lập kế hoạch sản xuất cụ thể.
*Kết luận: Quản lý và điểu khiển sản xuất thực tế nhiều khi là 1 nghệ thuật , trong
khi đó chính lời giải của bài toán là phương án tối ưu. Nhưng đôi khi, có những đòi hỏi
rất khắt khe mà thực tế không thể thoả mãn được. Do đó, cần phải tiến hành phân tích
lời giải tối ưu để từ đó xây dựng lời giải tổng quát. Mặt khác, nhiều khi lời giải tối ưu
còn chưa là 1 phương án sản xuất cụ thể, vì vậy cần phải gia công thêm mới có phương
án thực tiễn.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 10


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
III. BÀI TOÁN TỔNG QUÁT CỦA QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
1.

Mở đầu:

Bài toán quy hoạch tuyến tính là 1 trong những bài toán cơ bản nhất của vận trù học,
nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như tổ chức lao động, lập kế hoạch sản
xuất, điều động, đầu tứ vốn …
2. Bài toán quy hoạch tuyến tính.
a. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc.
n

Z = f(x1, x2, …………, xn) =

∑ C .x
j =1

j

→ min (1)

j

Hệ ràng buộc:
n

∑ a .x
j =1

ij

j

= bi ≥ 0(i = 1, m)(2)

x j ≥ 0∀j = 1, n(3)
Phương án của bài toán là hệ thống các giá trị bằng số của xj thỏa mãn (2) & (3).
Phương án tối ưu của bài toán là phương án thoả mãn (1), (2) & (3).
b. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc.
Là bài toán dạng chính tắc mà ở mỗi phương trình của hệ ràng buộc (2) đều tồn tại 1
ẩn với hệ số = 1 không có trong phương trình khác.
n

Z = f(x1, x2, …………, xn) =

∑C
j =1

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

j

.x j → min (1)

Trang 11


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
Hệ ràng buộc:

xi +

n

∑ a .x

j = m +1

ij

j

= bi ≥ 0(i = 1, m)(2)

x j ≥ 0vabi ≥ 0∀i, j = 1, n(3)
Phương án của bài toán là hệ thống các giá trị bằng số của xj thỏa mãn (2) & (3).
Khi đó xi là ẩn cơ sở
c. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát là bài toán thường gặp nhất.
Z = ∑C j .x j → max(min) (1’)

Điều kiện ràng buộc

∑a

ij

.x j = (≤)(≥)bi

xj ≥ 0

(i = 1, m) (2’)

∀j = 1, n

(3’)

Cj , aij : đã biết
d. Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc :
* Nếu hàm mục tiêu là :
n

f ( x) = ∑ C j x j → max
j =1

n

Thì đặt

F = − f = − ∑ C j x j → min
j =1

* Nếu trong hệ điều kiện ràng buộc tồn tại 1 aij.xj = bi nào đó mà bi < 0 thì ta nhân 2
vế của phương trình đó với (-1) .
Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 12


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
* Nếu trong hệ ràng buộc tồn tại bất phương trình:

n

∑a x
j =1

ij

j

≤; ≥ bi

thì cộng hay trừ thêm vào mỗi bất phương trình đó 1 ẩn không âm riêng biệt, và thêm
vào hàm mục tiêu ẩn đó với hệ số = 0. Ẩn này gọi là ẩn phụ.
* Nếu không có điều kiện không âm với 1 biến xj nào đó (không có điều kiện xj ≥ 0
) thì đặt xj = yj – zj trong đó yj ≥ 0; zj ≥ 0.
e. Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn tắc.
- Trước hết đưa bài toán đã cho về dạng chính tắc.
- Nếu nó chưa có dạng chuẩn tắc thì trong phương trình ràng buộc nào chưa có ẩn
riêng biệt ta thêm 1 ẩn mới với hệ số = 1, và thêm vào hàm mục tiêu ẩn đó với hệ số M
là 1 số dương lớn bao nhiêu cũng được. Ẩn đó gọi là ẩn giả.
IV. GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
1. Phương pháp đồ thị (chỉ dùng trong trường hợp bài toán có 2 biến)
Ví dụ: DN sản xuất đồ gỗ sản xuất 2 loại bàn: bàn tròn x1 và bàn chữ nhật x2.
Mỗi bàn tròn cần 2,5h lắp ghép, 3h để đánh bóng, 1h để vào thùng.
Mỗi bàn chữ nhật cần 1h lắp ghép, 3h để đánh bóng, 1h để vào thùng.
Một tuần do hạn chế về nhân lực, xưởng chỉ bố trí 20h để lắp ghép, 30h để đánh
bóng, 16h để vào thùng.
Lợi nhuận cho mỗi bàn tròn là 30.000đ và bàn chữ nhật là 40.000đ.
Tìm phương án sản xuất tối ưu để mang về cho nhà sản xuất lợi nhuận cao nhất.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 13


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
Giải:
Gọi x1, x2 là số lương bàn tròn và bàn chữ nhật cần sản xuất.
Có hàm mục tiêu: f (x) = 1000 × (30x 1 + 40x 2 ) → max

2,5x1 + x 2 ≤ 20
3x1 + 3x 2 ≤ 30
x + 2x ≤ 16
x1 , x ≥20
 1 2

§K

X2
I

20

15

II
10
III

A

8

B
5

C

D
O

5

8

X1
10

15 16

20

Nghiệm bài toán là đa giác ABCDO vì f(x) → max
Giải phương trình 2 và 3 → B (4;6)
Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 14

BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
→ f(max) = 1000 × (30 × 4 + 6 × 40) = 360.000 (đ)
2. Phương pháp bảng đơn hình
a. Nội dung của phương pháp bảng đơn hình để giải bài toán QHTT dạng chuẩn
+ Định lý: nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì phương án này phải nằm trong
tập hợp các phương án cơ bản không âm của hệ
+ Nội dung: Định lý trên mới chỉ cho biết được phạm vi tồn tại của phương án tối ưu,
chứ chưa chỉ ra cách tìm. Xuất phát từ phương án cơ bản không âm nào đó, tìm cách
thay thế nó bởi 1 phương án không âm tốt hơn, tức là hàm mục tiêu thực sự giảm đối
với bài toán min và tăng thực sự với bài toán max để cuối cùng nhận được 1 phương án
tối ưu.
+ Tiêu chuẩn tối ưu: Điều kiện cần và đủ để bài toán min có phương án cơ bản x là
tối ưu khi ∆j ≤ 0 với ∀j
+ Điều kiện để phương án mới tốt hơn phương án cũ
Nếu phương án cơ bản x có ít nhất 1 giá trị ∆ j > 0 xảy ra 2 trường hợp sau:
- a ij ≤ 0 ∀i, j → hàm mục tiêu không giới nội (f (x) → ∞ ) → bài toán vô nghiệm
- ∃ 1a ij > 0 → có thể tìm được 1 phương án mới tốt hơn phương án cũ
b.Thuật toán bảng đơn hình
- Lập bảng đơn hình
Ứng với phương án cực biên ban đầu Xo của bài toán
Gồm (m + 2) dòng, (n + 4) cột

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 15

BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
Cột 1: ứng với bước giải
xi

bi

C1

C2

...

Cm

Cm+1

...

Cn

x1

x2

...

xm

xm+1

...

xn

x1

b1

1

0

...

0

a1,m+1

...

a1n

C2

x2

b2

0

1

...

0

a2,m+1

...

a2n

0

0

...

1

am,m+1

∆1

∆2

...

∆m

∆m+1

Cm

xm

...

C1

...

I

Ci

...

Bước

bm

m

f (x 0 ) = ∑ C i b i
i =1

amn
...

∆n

Cột 2: Các hệ số của ẩn cơ sở
Cột 3: Ẩn cơ sở
Cột 4: Các hệ số tự do
Dòng 1: Ghi các C j vµ x j của hàm mục tiêu
- Trình tự tính
Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu
m

m

i =1

i =1

+ Tính f ( x0 ) = ∑ C i bi & ∆ j = ∑ aij C i − C j
+ Xảy ra 2 trường hợp
- Nếu ∀∆ j ≤ 0 → phương án đang xét là phương án tối ưu
- Nếu ∃ 1 ∆ s > 0 →

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

a i,s ≤ 0 ∀i;s → bµi to¸ n v « nghiÖm
∃ 1 a i;s > 0 → chuyÓn sang b ­ íc 2
Trang 16

BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
Bước 2: Cải tiến phương án
+ Chọn ẩn đưa vào
Gọi xs là ẩn đưa vào thì ∆ s = max ∆ j

(∆ j > 0)

→ s gọi là cột quay
+ Xác định ẩn đưa ra khỏi phương án cơ bản
Gọi xk là ẩn đưa ra khỏi hệ thống ẩn cơ sở thì x k = min

bi
a i,s

(a i,s > 0)

→ k gọi là dòng quay
+ ak,s gọi là phần tử quay
+ Lập bảng đơn hình mới
Thay xk = xs và Ck = Cs
- Đối với dòng quay: b' k =

a k,j
bk
& a' k , j =
a k ,s
a k ,s

- Đối với các dòng khác: b' i = b i −

a k,j
bk
× a i ,s & a'ij = a ij −
× a i,s
a k ,s
a k ,s

Sau đó quay lại bước 1

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 17


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN VẬN TẢI
I. BÀI TOÁN VÀ CÁC KHÁI NIỆM:
1. Bài toán:
Giả sử cần vận chuyển một loại hàng hoá từ m nơi sản xuất (trạm phát) đến n nơi tiêu
thụ (trạm thu). Lượng hàng có ở các trạm phát tương ứng là a 1, a2, ..., am. Nhu cầu thu ở
các nơi tiêu thụ là b1, b2, ..., bn. Chi phí vận chuyển hàng hoá từ điểm phát i đến điểm
thu j là Cij (Cij > 0 ∀ i, j). Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho hiệu quả nhất.
Lập bảng vận tải:

Mỗi trạm phát tương ứng với 1 dòng của bảng
Mỗi trạm thu tương ứng với 1 cột của bảng
Lượng hàng phát và thu được ghi tương ứng ở đầu dòng và cột

Bảng gồm (m x n) ô

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 18


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
n
 m


a
=
Đây là bài toán cân bằng cung, cầu  ∑ i ∑ b j  . Có mô hình bài toán:
j =1
 i =1


m

F(x) =

n

∑∑ C
i =1 j =1

ij

xij → min

n

ĐK

∑x
j =1

ij

m

∑x
i =1

ij

= ai (phát hết)

= bj

(thu đủ)

2. Các tính chất của bài toán vận tải:
_ Tính chất 1: bài toán vận tải dạng cân bằng cung cầu bao giờ cũng có phương
án tối ưu.
_ Tính chất 2: ma trận hệ số của bài toán vận tải có hạng = (m+n-1) vì vậy bài

toán vận tải gồm (m+n-1) ẩn cơs sở nên sẽ có tối đa (m+n-1) giá trị dương.
3. Khái niệm dây và vòng (chu trình):
_ Dây: là 1 tập hợp các ô sao cho 2 ô kế tiếp nhau thì cùng trên 1 vòng hoặc trên
1 cột, 3 ô thuộc tập hợp không cùng trên 1 dòng hoặc 1 cột (h.1).
_ Vòng (chu trình): là 1 dây khép kín.
_ Một phương án cơ bản là phương án có các ô chọn 1 lập thành vòng (chu trình).

H.1

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

H.2

H.3

Trang 19


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
4. Giải bài toán vận tải bằng phương pháp thế vị:
a. Bước 1: Lập phương án cơ bản ban đầu (3 phương pháp)
- Phương pháp góc Tây Bắc
Chọn ô xuất phát nằm ở phía Tây Bắc tức ô 1-1 phân vào đó 1 lượng hàng x 11 =
min(a1;b1) rồi loại đi hàng 1 hoặc cột 1 và lại tiếp tục phân vào góc Tây Bắc của bảng
còn lại, phân phối như vậy cho đến hết.
- Phương pháp chi phí nhỏ nhất
Chọn ô có chi phí nhỏ nhất phân vào đó 1 lượng hàng có thể được. Sau đó phân hàng
hoá vào ô có chi phí nhỏ nhất trong các ô còn lại. Cứ tiếp tục như vậy cho đến hết.

- Phương pháp Fogel
Trong mỗi cột và mỗi hàng chọn chi phí nhỏ nhất và nhỏ thứ hai. Lấy hiệu số của
chúng ghi vào cạnh bảng. Tìm số lớn nhất trong các hiệu số đó phân vào đó 1 lượng
hàng lớn nhất có thể được, cứ tiếp tục như vậy cho đến hết.
b. Bước 2: Xây dựng hệ thống thế vị ui và vj
Cho 1 ui bất kỳ = 0
Tính các ui và vj còn lại
vj = Cij (đã chọn) – ui (đã có) ; ui = Cij (đã chọn) – vj (đã có)
hoặc vj = ui (đã có) - Cij (đã chọn) ; ui = vj (đã có) - Cij (đã chọn)
c. Bước 3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu
Tính Δij = ui + vj – Cij (Δij = ui - vj – Cij ) của ô chưa chọn
Xảy ra 2 trường hợp:
- Nếu ∀ Δij ≤ 0 → phương án tối ưu → nghiệm
Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 20


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
- Nếu ∃ 1Δks > 0 → chuyển sang bước 4
d. Bước 4: Điều chỉnh phương án
Xác định ô điều chỉnh: ô có Δij → max (Δij >0)
Xác định lượng hàng điều chỉnh: xác định chu trình của ô điều chỉnh với những ô đã
chọn, đánh dấu (+), (-) xen kẽ nhau trên dỉnh của chu trình bắt đầu từ ô điều chỉnh. Sau
đó xác định lượng hàng điều chỉnh q = min xij với những đỉnh đánh dấu (+).
Điều chỉnh: x’ij =

xij + q với đỉnh dấu (+)

xij - q với đỉnh dấu (-)
xij với ô chọn không đánh dấu

e. Giải bài toán vận tải không cân bằng cung cầu:
m

n

i =1

j =1

Đối với các bài toán vận tải có ∑ ai ≠ ∑ b j thì gọi là bài toán không cân bằng cung
cầu. Để giải bài toán này thì phải chuyển về bài toán cân bằng cung và cầu.
m

n

i =1

j =1

- Nếu ∑ ai > ∑ b j → cung > cầu → thêm điểm thu giả B n+1 với lượng hàng
m

n

i =1

j =1

bn +1 = ∑ ai − ∑ b j với các chi phí Ci;n+1 = 0
m

n

i =1

j =1

- Nếu ∑ ai < ∑ b j → cung < cầu → thêm điểm phát giả A m+1 với lượng hàng
n

m

j =1

i =1

a m +1 = ∑ b j − ∑ ai với các chi phí Cm+1;j = 0

Sau đó giải bài toán theo phương pháp thế vị của bài toán cân bằng cung cầu.

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 21

BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
II. CÁC TRƯỜNG HỢP KHÁC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI:
1. Bài toán có hàm mục tiêu cực đại:
m

Trong bài toán vận tải có Cij là lợi nhuận → f(x) =

n

∑∑ C
i =1 j =1

ij

xij → max

Có 2 cách giải:
- Cách 1: chuyển về bài toán có hàm mục tiêu cực tiểu
- Cách 2: để nguyên Cij mà chỉ đổi chiều tiêu chuẩn xác định tối ưu
Đối với phương pháp ban đầu:
- Trong phương pháp chi phí nhỏ nhất đổi thành lớn nhất
- Phương pháp Fogel thì xét hiệu Cij lớn nhất và lớn nhì
2. Bài toán vận tải có ô cấm:
Trong thực tế có những trường hợp không thể vận chuyển hàng hoá trên 1 số tuyến
đường vì lý do nào đó những ô liên hệ giữa trạm thu và phát có tính chất như trên gọi là
những ô cấm.
Để giải bài toán này bằng phương pháp thế vị thì ta đặt chi phí ở ô cấm là M > 0 tuỳ ý
và nhanh chóng loại ô cấm bằng cách chọn ô có C ij nhỏ nhất trên dòng hoặc cột chứa ô
cấm. Sau khi các ô cấm trở thành ô loại ta mới tìm ô có chi phí nhỏ nhất.
3. Bài toán phân công công việc:

a. Mô hình tổng quát:
Có m nguồn i (i = 1, m) (nguồn i có thể là máy, người, ...)
Có n đích j ( j = 1, n) (đích j có thể là nơi đặt máy, nơi công tác, ...)

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 22


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
Chi phí từ nguồn i đến đích j là C ij. Hãy phân công sao cho mỗi 1 nguồn sẽ đáp ứng
được 1 đích với tổng chi phí là bế nhất.
b. Mô hình bài toán:
Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán vận tải vì m = n , ai =1 , bj =1
m

f(x) =

n

∑∑ C
i =1 j =1

ij

x j → min
m

ĐK

∑x
i =1

ij

n

∑x
j =1

ij

= 1 ( j = 1, n)

= 1 (i = 1, m)

xij ≥ 0

(∀i, j )

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 23


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ

BÀI TOÁN ĐIỀU XE
ĐỀ BÀI:Một doanh nghiệp có kế hoạch vận chuyển hàng từ một số trạm phát
đến một số trạm thu

. Độ dài đoạn đường vận chuyển từ

đến

là

. Doanh

nghiệp dj định sẽ điều một lượng các xe để thực hiện kế hoạch vận chuyển này. Biết
trạm

phát đi

tấn hàng, trạm thu

thu về

tấn hàng. Hãy lập kế hoạch điều xe để

vận chuyển hàng sao cho có hiệu quả nhất (sinh viên tự tìm hiểu và giả định số liệu, mặt
hàng).
1. Thông tin về hàng,trạm phát,trạm thu:

Trạm thu (
STT

Mặt hàng

Khối lượng

Trạm phát ( )
)

(T)

1

Xi Măng

Hải Phòng

Hà Nội

35

2

Gạo

Vĩnh Phúc

Thanh Hóa

82

3

Muối ăn

Hải Phòng

Hải Dương

96

4

Đường

Thanh Hóa

Hà Nội

84

5

Cát

Vĩnh Phúc

Nam Định

68

6

Thuốc Lào

Hà Nội

Vĩnh Phúc

8

7

Sắt

Nam Định

Hải Dương

66

8

Nem chua

Thanh Hóa

Nam Định

45

9

Bánh gai

Hải Dương

Hải Phòng

20

10

Thép cuộn

Hà Nội

Thanh Hóa

20

11

Hoa quả

Hải Dương

Vĩnh Phúc

35

Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 24


BÀI TẬP LỚN: TOÁN KINH TẾ
12

Quần áo

Nam Định

Hải Phòng

25

13

Gạch

Nam Định

Thanh Hóa

100

14

Giày dép

Hải Phòng

Vĩnh Phúc

55

15

Đá

Vĩnh Phúc

Hải Dương

32

16

Tôn

Vĩnh Phúc

Hà Nội

60

17

Bột mì

Thanh Hóa

Hà Nội

40

18

Bánh cáy

Hải Dương

Nam Định

35

19

Thuốc lá

Hải Dương

Thanh Hóa

5

20

Vải sợi

Hà Nội

Vĩnh Phúc

30

2. Cự ly vận chuyển từ các trạm: ( Km)

(Bj)

Hải

Hải

Vĩnh

Thanh

Nam

Phòng

Dương

Phúc

Hóa

Định

Hải Phòng

0

43

102

177

225

88

Hải Dương

43

0

57

111

187

105

Hà Nội

102

57

0

64

149

90

Vĩnh Phúc

177

111

64

0

188

168

Thanh Hóa

225

187

149

188

0

155

Nam Định

88

105

90

168

155

0

(

Hà Nội

* Xe chở hàng của doanh nghiệp là xe tải HD 360 trọng tải là 25T
- Kích thước xe:
+Dài: 12,2 m
Sinh viên : Bùi Đức Hoàng
MSV
: 47215

Trang 25