SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC TOÁN LỚP 4 VÀ LỚP 5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC & MẦM NON
--------------------------------------------

DƯƠNG NGỌC ĐOAN

SUY LUẬN TRONG DẠY - HỌC TOÁN
LỚP 4 VÀ LỚP 5

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH: SƯ PHẠM GIÁO DỤC TIỂU HỌC

BÌNH ĐỊNH – 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC & MẦM NON
--------------------------------------------

SUY LUẬN TRONG DẠY - HỌC TOÁN
LỚP 4 VÀ LỚP 5

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH: SƯ PHẠM GIÁO DỤC TIỂU HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Th.S Tô Văn Dung
Sinh viên thực hiện

: Dương Ngọc Đoan

Lớp

: SP Giáo dục tiểu học K34A1

BÌNH ĐỊNH – 2015


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Ai cũng biết rằng tất cả các ngôi nhà được xây dựng lên phải bắt đầu từ

nền móng, móng nhà có vững chắc thì ngôi nhà mới bền vững. Trong hệ
thống giáo dục, bậc học được ví như nền móng của “ngôi nhà” đó là bậc tiểu
học. Tiểu học là bậc học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cơ bản và thiết yếu chuẩn
bị cho sự phát triển toàn diện của con người. Trong đó, toán học có vị trí hết
sức quan trọng, đặc biệt ở tiểu học.
Với lứa tuổi Tiểu học, tư duy của các em chuyển dần từ trực quan hành
động đến tư duy trừu tượng. Tư duy của học sinh Tiểu học còn mang tính cụ
thể, gắn liền với thực tế, ít có khả năng khái quát. Trong khi đó, Toán là môn
học có tính trừu tượng và khái quát cao, không dễ gì lĩnh hội tức thì được.
Điều này gây trở ngại trong quá trình tiếp cận toán học của các em. Nên việc
giúp các em nhận thức được kiến thức toán học mang tính nền móng, làm tiền
đề cho việc phát triển năng lực học toán sau này, để giúp các em biết phân
tích, suy luận và giải quyết các tình huống dù đơn giản xảy ra trong học tập và
trong cuộc sống.
Muốn các em có phương pháp học và cách trình bày bài toán cần giải thì

trước hết người dạy phải có hiểu biết nhất định về suy luận, am hiểu về việc
vận dụng chúng trong chương trình toán ở Tiểu học, để từ đó tìm cách thích
hợp mà truyền đạt cho học sinh mình dạy. Có như thế, các em mới có phương
pháp tiếp thu vấn đề được tốt nhất.
Trong dạy học toán ở Tiểu học có nhiều phương pháp khác nhau như
phương pháp thay thế, phương pháp suy luận, phương pháp thử chọn, …
Mỗi phương pháp đều mang tính riêng biệt giúp học sinh có những thao tác
kỹ năng cơ bản nhất trong việc làm toán. Mặt khác, nội dung toán học rất
rộng, cách giải toán cũng phong phú. Khi giải các bài toán học sinh còn gặp
nhiều lúng túng, mơ hồ và sai lầm; không tìm ra hướng giải quyết và thường
bị nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác; học sinh giải toán thiếu suy luận,
4


không mang tính toán học, thiếu mạch lạc, làm cho việc giải toán trở nên
phức tạp. Vì vậy chúng ta cần có phương pháp giúp các em suy luận, phân
tích và vận dụng chúng vào việc học cũng như giải quyết các vấn đề đơn giản
trong cuộc sống.
Xuất phát từ những lí do trên và nhằm để nâng cao chất lượng giảng dạy
môn Toán trong trường Tiểu học, tôi chọn đề tài “Suy luận trong dạy - học
toán lớp 4 và lớp 5”.
2.

Lịch sử nghiên cứu
Phương pháp luận về Suy luận đã có từ rất lâu và được áp dụng vào mọi

ngành, mọi nơi trong cuộc sống, trong đó có toán học. Suy luận trong dạy học
toán ở Tiểu học cũng được nhiều người nghiên cứu, đăng tải rải rác trong một
số tạp chí chuyên ngành Giáo dục tiểu học, song cũng chưa được hệ thống và
cũng không ít giáo viên chưa được nghe hay đọc đến vấn đề đó. Vì thế tôi

muốn tìm hiểu và nghiên cứu thêm và hệ thống lại nhằm giúp cho bản thân và
mọi người có một tài liệu để vận dụng được phần nào vào công tác dạy học
của mình.
Từ khi xuất hiện đến nay suy luận và việc vận dụng suy luận vào nhiều
ngành khoa học nói chung và vào việc dạy học nói riêng cũng đã được không
ít người quan tâm, nghiên cứu. Một số trong các công trình nghiên cứu đó là:
1. Trần Diên Hiển - Tô Văn Dung, Toán và PPDH toán ở tiểu học, Nxb
Giáo dục, 2006.
2. Phạm Đình Thực, 100 câu hỏi và đáp về việc dạy học toán ở tiểu học,
Nxb Giáo dục, 2003.
3. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản về suy luận và các dạng suy luận.
Cụ thể là xây dựng một số bài dạy về hình thành kiến thức mới, giải quyết các
bài toán trong chương trình toán ở lớp 4 và lớp 5 nhằm nâng cao chất lượng
dạy và học môn toán ở Tiểu học.

5


- Nghiên cứu đề tài này cũng nhằm bổ sung, tăng cường sự hiểu biết của
bản thân về các dạng suy luận được vận dụng vào việc dạy học toán ở Tiểu
học, cụ thể ở lớp 4, 5.
4.

Đối tượng nghiên cứu

5.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Các kiểu suy luận.

- Dạy học sử dụng suy luận ở lớp 4 và lớp 5.
Phạm vi nghiên cứu

Với thời gian và điều kiện cho phép đề tài chỉ đề cập đến một số vấn đề
về suy luận, sau đó chọn một số nội dung, một số bài toán có vận dụng các
dạng suy luận ở lớp 4 và lớp 5.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nhằm thực hiện những nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các vấn đề về suy luận.
- Việc thể hiện của suy luận, vận dụng chúng trong dạy học toán ở lớp 4 và
lớp 5.
7. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành được đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: tìm tòi, thu thập, phân tích, tổng hợp
và khái quát những nguồn tài liệu liên quan đến đề tài, làm cơ sở cho việc
nghiên cứu. Tham khảo một số sách ở thư viện, nhà sách, tài liệu tìm được
trên internet… Hệ thống các nội dung kiến thức, các dạng suy luận. Phân tích
các bước suy luận trong các bài dạy hình thành kiến thức mới, giải toán tiểu
học. Nghiên cứu để tìm hiểu về suy luận, nội dung toán lớp 4, 5 dạy học vận
dụng suy luận.
- Phương pháp phỏng vấn: Trò chuyện, tham khảo ý kiến giáo viên
hướng dẫn, một số giáo viên tiểu học và các em học sinh trong quá trình thực
tập sư phạm 2, để thu thập thông tin liên quan nhằm hổ trợ cho việc nghiên
cứu, tìm hiểu.
Việc nghiên cứu xây dựng đề tài được tiến hành theo các bước cơ bản
sau:
 Bước 1: Đọc kỹ và tìm hiểu đề tài.
 Bước 2: Lập đề cương cho đề tài nghiên cứu.
6

8.

 Bước 3: Sưu tầm các loại sách và tài liệu có liên quan để tham khảo.
 Bước 4: Tiến hành xây dựng đề tài cho đến hoàn chỉnh.
Cấu trúc đề tài

Đề tài gồm 3 phần: Mở đầu, Nội dung, Kết luận. Ngoài ra khóa luận còn
có Tài liệu tham khảo.
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận toàn bộ nội dung của đề tài được chia
thành 2 chương:
Chương 1: Những vấn đề chung về suy luận.
Chương 2: Suy luận trong dạy học toán lớp 4 và lớp 5.

7


NỘI DUNG
CHƯƠNG I

NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ SUY LUẬN
1.1.

Quy tắc suy luận
Định nghĩa
Cho A, B, C là những công thức. Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến

mệnh đề có mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng
1 cũng làm cho C nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận
từ các tiên đề A, B dẫn tới hệ quả logic C của chúng.

Ta kí hiệu là hoặc A, B |= C
Từ định nghĩa ta dễ dàng thấy rằng để chứng minh là một quy tắc suy
luận ta chỉ cần lập bảng giá trị chân lí đối với các công thức A, B, C. Trong
đó chỉ ra rằng mỗi khi A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 thì C cũng nhận giá trị
chân lí bằng 1.
Dưới đây là những quy tắc suy luận thường được vận dụng trong suy
luận toán học:
(1)
(2)
(3)

(Quy tắc suy luận Modus ponens)
(Quy tắc kết luận ngược Modus Lollens)
(Quy tắc suy luận bắc cầu)

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

(10)
(11)
(12)
(13)

(Quy tắc phản đảo)

(14)

(15)
8


(16)

(Quy tắc chứng minh phản chứng)

(17)
(18)
(19)
(20)
Ví dụ 1.1
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận
Sau đó nêu ví dụ minh họa về vận dụng quy tắc đó trong suy luận toán
học.
Ta có bảng giá trị chân lí sau:
p
1
1
1
1
0
0
0
0
Nhìn vào bảng

q
r

p⇒q
q⇒r
p⇒r
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0

1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
trên ta thấy mỗi khi p ⇒ q và q ⇒ r nhận giá trị chân lí

bằng 1 thì p ⇒ r cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
Vậy ta có quy tắc suy luận (quy tắc suy luận bắc cầu)
Nếu ta chọn
- “p ⇒ q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 3”
- “q ⇒ r” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia
hết cho 3”
Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hết cho 9 thì tổng
các chữ số của nó chia hết cho 3”.
Ví dụ 1.2
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận sau

9


Ta lập bảng giá trị chân lí

p
1
1
0
0

q
1
0
1
0

p⇒q
1
0
1
1

Nhìn vào bảng trên ta thấy mỗi khi p ⇒ q và p nhận giá trị chân lí bằng 1
thì q cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
Vậy ta có quy tắc suy luận (quy tắc suy luận Modus ponens)
Ta đã biết “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho
3”
Số 126 chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của 126 chia hết cho 3.
1.2.

Các kiểu suy luận
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết.

Những mệnh đề đã có gọi là tiền đề, một mệnh đề mới được rút ra gọi là kết

luận của suy luận.
Hai kiểu suy luận thường gặp là suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy
diễn) và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí)
1.2.1. Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy
tắc suy luận tổng quát (của lôgic mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các
tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng hay có thể nói suy luận diễn
dịch luôn cho kết quả đúng nếu nó xuất phát từ tiền đề đúng.
Trong lôgic vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của lôgic mệnh đề ta
thường gặp và vận dụng hai quy tắc vận dụng dưới đây:
1)

(1)

Có nghĩa là nếu P(x) đúng với mọi x X và a X thì P(a) là mệnh đề đúng.
10


(2)

2)

Có nghĩa là nếu P(x) ⇒ Q(x) đúng với mọi x X và P(a) đúng thì Q(a) cũng
là mệnh đề đúng.
Ví dụ 1.3
Muốn chứng tỏ 643512 chia hết cho 3, học sinh có thể suy luận làm như
sau:
-

Ta biết quy tắc chung: “Các số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì

-

nó chia hết cho 3”.
Áp dụng vào trường hợp cụ thể số 643512 có tổng các chữ số chia hết cho 3
thì nó chia hết cho 3.
Vậy 643512 chia hết cho 3.
Ví dụ 1.4
Nếu tứ giác là hình bình hành thì hai cặp cạnh đối diện song song và
bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình bình hành

-

Vậy cạnh AB song song với cạnh DC, cạnh AD song song với BC
AB = DC và AD = BC
Trong 2 ví dụ nêu trên, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc
suy luận (1), (2) vừa nêu trên. Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng.
Ví dụ 1.5
615 chia hết cho 3.
615 chia hết cho 5.

-

Vậy 615 chia hết cho 3 và 5.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận:
Ví dụ 1.6
Từ các tiền đề
-

Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

11


Ta rút ra kết luận: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia
hết cho 3”.
Ở đây các tiền đề đều là những định lí đã được chứng minh trong toán
học. Ta đã vận dụng quy tắc suy luận bắc cầu:
Ví dụ 1.7
Áp dụng tính chất giao hoán của phép cộng vào các trường hợp riêng:
Khi gặp bài toán “Điền vào chỗ trống 6 + 5 = 5 + …”
Khi gặp dãy tính “8 + 9 + 2 = ?”. Học sinh có thể đổi chỗ hai số hạng 2
và 9 cho nhau để tính nhanh hơn: 8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.
Khi gặp phép tính 4 + 9, học sinh có thể đổi chỗ hai số hạng về phép tính
9 + 4 dễ làm hơn, v.v…
Đó đều là dùng các phép suy diễn.
1.2.2. Suy luận nghe có lí
Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo
một quy tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng
để rút ra một kết luận. Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai.
Mặc dù suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất
quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ
thể có thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng
minh chặt chẽ giả thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa
học.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là:
-

Phép quy nạp không hoàn toàn.
Phép tương tự.

1.2.2.1. Phép quy nạp không hoàn toàn
Phép quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng
quát được rút ra chỉ dựa trên một số trường hợp riêng.
12


Phép quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến kết luận đúng hoặc sai.
Ví dụ 1.8
Từ các tiền đề
4x6=6x4
25 x 4 = 4 x 25
207 x 7 = 7 x 207

-

Ta rút ra kết luận: Tích của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi
thứ tự của các thừa số trong tích đó.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, các tiền
đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng.
Ví dụ 1.9
Từ các tiền đề
44 chia hết cho 4
64 chia hết cho 4
224 chia hết cho 4

-

Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 4 thì nó chia hết
cho 4.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, xuất
phát từ những tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai.
Ví dụ 1.10
Xét các trường hợp riêng: 72 chia hết cho 3; 87 chia hết cho 3; 51 chia
hết cho 3; …
Nhận xét: số 72 có: 7 + 2 = 9 chia hết cho 3; số 87 có: 8 + 7 = 15 chia hết
cho 3; số 51 có: 5 + 1 = 6 chia hết cho 3.
Ta có thể rút ra kết luận chung “Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3
thì chia hết cho 3”.
Ví dụ 1.11
Xét các trường hợp riêng: 63 chia hết cho 3; 93 chia hết cho 3; 123 chia
hết cho 3; …
Với nhận xét: Các số 63, 93, 123 đều có chữ số tận cùng là 3.
Ta rút ra kết luận chung “Các số có tận cùng là 3 đều chia hết cho 3”
13


Ta nhận thấy rằng các kết luận được rút ra trong ví dụ 1.10, ví dụ 1.11
đều đúng, nhưng kết luận chung được rút ra trong ví dụ 2 là sai.
Chúng ta đã dùng đến quy nạp không hoàn toàn. Vì vậy, trong dạy học
toán ta dùng quy nạp không hoàn toàn để tìm ra kiến thức mới nhưng không
cho phép ta dùng quy nạp để chứng minh.
Trong dạy Toán ở tiểu học phép quy nạp không hoàn toàn đóng vai trò
quan trọng. Đây là phương pháp chủ yếu nhất, đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối
với học sinh. Vì học sinh Tiểu học còn nhỏ, trình độ hiểu biết còn non nớt,
các vấn đề giảng giải đều phải qua thực nghiệm. Đặc điểm tư duy của học
sinh Tiểu học là tính cụ thể, các em có tư duy trừu tượng được thì cũng phải
dựa trên các ví dụ, những sự vật cụ thể, rõ ràng, dựa trên những kiến thức có

sẵn.
Mặc dù kết luận của phép suy luận quy nạp không hoàn toàn, không chắc
chắn đúng nhưng nó cũng giúp giải thích ở một mức độ nào đó các kiến thức
mới, tránh tình trạng bắt buộc thừa nhận kiến thức một cách hình thức. Giúp
các em tìm ra kiến thức một cách chủ động, tích cực và nắm kiến thức một
cách rõ ràng, có ý thức, chắc chắn. Có thể nói, phần lớn các tiết Toán, chúng
ta đều dùng phép quy nạp không hoàn toàn để dạy phần bài mới.
1.2.2.2. Phép tương tự
Phép tương tự là phép suy luận đi từ sự giống nhau của một số thuộc tính
nào đó của hai đối tượng để rút ra kết luận về sự giống nhau của các thuộc
tính khác của hai đối tượng đó.
Nội dung của phép tương tự:
Đối tượng A có các tính chất a, b, c, d.
Đối tượng B có các tính chất a, b, c.

-

Ta kết luận: Đối tượng B cũng có tính chất d.
Ví dụ 1.12
Ta đã biết “Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng 2 thì chia hết cho 2”. Từ
đó, bằng phép tương tự, ta rút ra:
-

Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5. (1)
14


-

Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng 4 thì chia hết cho 4. (2)

Kết luận (1) đúng nhưng kết luận (2) không đúng.
Ví dụ 1.13
Từ định lí trong hình học phẳng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
Ta đưa ra một giả thuyết trong hình học không gian “Hai đường thẳng
trong không gian vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với
nhau”.
Đây là phép suy luận tương tự. Giả thuyết nêu ra ở đây là đúng.
Ví dụ 1.13
Cũng từ định lí nêu trong ví dụ trên ta đưa ra giả thuyết “Hai mặt phẳng
cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Giả thuyết nêu ở đây là sai.
Kết luận của phép tương tự cũng chỉ là ước đoán, không chắc chắn đúng,
cần phải kiểm tra lại. Vì vậy cần phải đề phòng học sinh lạm dụng phép tương
tự dẫn đén những sai lầm mang tính máy móc.
Chẳng hạn:
-

Khi học về phép cộng, nhận thấy 8 trăm cộng 3 trăm bằng 11 trăm và viết:

-

800 + 300 = 1100
Học sinh thường suy luận tương tự 8 trăm chia cho 2 trăm được 4 trăm và
viết: 800 : 200 = 400.
Mặc dù kết luận của phép tương tự không phải lúc nào cũng đúng nhưng
nếu giáo viên biết khéo léo vận dụng thì đó là một công cụ đắc lực trong việc
dạy Toán. Chẳng hạn:

-

Học sinh biết nhân cả tử và mẫu của một phân số với một số khác thì được

-

phân số mới bằng phân số đã cho.
Tương tự ta có thể rút ra: Khi chia cả tử và mẫu của một phân số cho một số
khác không thì ta được phân số mới bằng phân số đã cho.
 Tiểu kết chương 1
15


Chương 1 trình bày ngắn gọn định nghĩa, những quy tắc suy luận thường
được vận dụng trong suy luận toán học và các kiểu suy luận. Trong đó đề tài
nhấn mạnh phần các kiểu suy luận vì đây là nội dung cần quan tâm nhất trong
suy luận. Các nội dung của chương này được chọn lọc, sắp xếp chặt chẽ, dễ
hiểu, phù hợp với mục đích làm nổi bật ưu thế của các phép suy luận trong
dạy học toán ở Tiểu học. Đồng thời trên cơ sở lý thuyết đã được đưa ra đó sẽ
là cầu nối quan trọng để sử dụng các phép suy luận một cách thiết thực và
hiệu quả vào quá trình dạy học toán ở Tiểu học.
Vậy để biết được việc vận dụng suy luận vào trong dạy học toán tiểu
học như thế nào, cụ thể là trong dạy học toán lớp 4 và lớp 5 thì chúng ta cùng
tìm hiểu qua chương 2.

CHƯƠNG 2

SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC TOÁN
LỚP 4 VÀ LỚP 5
2.1. Suy luận trong dạy học mạch số học ở lớp 4 và lớp 5

Trong dạy học mạch số học ở Tiểu học ta vận dụng các phép suy luận
quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tương tự. Trong
đó, suy luận quy nạp được sử dụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình
dạy hình thành các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, các dấu hiệu
chia hết và trong giải toán số học.
2.1.1. Sử dụng trong quá trình dạy hình thành các quy tắc toán
Ví dụ 2.1: (Toán 4)
16


Khi dạy quy tắc nhân một số với một tổng, thông qua ví dụ so sánh giá
trị của biểu thức a x (b + c) và a x b + a x c trong bảng sau:
a
4
7
25
b
5
15
17
c
2
12
23
a x (b + c)
4 x (5 + 2) = 28
7 x (15 + 12) = 189
25 x (17 + 23) = 1000
a x b + a x c 4 x 5 + 4 x 2 = 28 7 x 15 + 7 x 12 = 189 25 x 17 + 25 x 23 = 1000
Học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a x (b + c) và a x b + a x c luôn luôn

bằng nhau”, ta viết:
a x (b + c) = a x b + a x c
Rồi rút ra quy tắc nhân một số với một tổng: Khi nhân một số với một
tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại
với nhau.
Quá trình phân tích tổng hợp để rút ra kết luận trên đây ta vận dụng phép
suy luận quy nạp không hoàn toàn mà trong đó tiền đề là các ví dụ trong bảng
còn kết luận là quy tắc nhân một số với một tổng nêu trên.
Tương tự như trên, suy luận quy nạp cũng được vận dụng để dạy quy tắc
nhân một số với một hiệu.
Ví dụ 2.2: (Toán 4)
Thông qua ví dụ so sánh giá trị của biểu thức a x (b – c) và a x b – a x c
trong bảng sau:
a
b
c
a x (b – c)
axb–axc

3
3
25
7
7
23
5
3
17
3 x (7 – 5) = 6
3 x (7 – 3) = 12

25 x (23 – 17) = 150
3 x7 – 3 x 5 = 6 3 x 7 – 3 x 3= 12 25 x 23 – 25 x 17 = 150

Học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a x (b – c) và a x b – a x c luôn luôn
bằng nhau”, ta viết:
a x (b – c) = a x b – a x c

17


Rồi rút ra quy tắc nhân một số với một hiệu: Khi nhân một số với một
hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả
cho nhau.
Ví dụ 2.3: (Toán 4)
Khi dạy quy tắc chia một tổng cho một số, thông qua ví dụ tính và so
sánh giá trị của hai biểu thức:
(35 + 21) : 7 và 35 : 7 + 21 : 7
Học sinh lần lượt tính và so sánh giá trị hai biểu thức:
(35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8
35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8
Vậy rút ra nhận xét:
(35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7
Từ đó rút ra quy tắc chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho
một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia
từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.
Quy trình suy luận trên đây ta đã sử dụng phép suy luận quy nạp không
hoàn toàn mà trong đó tiền đề là ví dụ còn kết luận là quy tắc chia một tổng
cho một số.
Ví dụ 2.4: (Toán 4)
Khi dạy quy tắc chia một tích cho một số, thông qua các ví dụ:

a)

Tính và so sánh giá trị của các biểu thức:

(9 x 15) : 3

9 x (15 : 3)

(9 : 3) x 15

Ta có: (9 x 15) : 3 = 135 : 3 = 45
9 x (15 : 3) = 9 x 5 = 45
(9 : 3) x 15 = 3 x 15 = 45
Vậy:
b)

(9 x 15) : 3 = 9 x (15 : 3) = (9 : 3) x15.

Tính và so sánh giá trị của hai biểu thức:
(7 x 15) : 3 và 7 x (15 : 3)

Ta có: (7 x 15 ) : 3 = 105 : 3 = 35
18


7 x ( 15 : 3) = 7 x 5 = 35
Vậy:

(7 x 15 ) : 3 = 7 x (15 : 3)

Nhận xét: Ta không tính (7 : 3) x 15, vì 7 không chia hết cho 3.
Từ đó rút ra quy tắc chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa
số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi
nhân kết quả với thừa số kia.
Trong quá trình phân tích tổng hợp để rút ra kết luận trên đây ta đã dùng
phép suy luận quy nạp không hoàn toàn mà trong đó tiền đề là các ví dụ, còn
kết luận là quy tắc chia một tích cho một số.
Ở phần luyện tập áp dụng phương pháp suy diễn. Giáo viên cho học sinh
vận dụng quy tắc chung vừa học vào các trường hợp riêng để giải các bài tập
cụ thể. Chẳng hạn:
Bài toán 2.1: SGK4/Tr66/2a : Tính bằng hai cách
36 x (7 + 3);

207 x (2 + 6)

Giải:
36 x (7 + 3)
Cách 1: 36 x (7 + 3) = 36 x 10 = 360.
Cách 2: 36 x (7 + 3) = 36 x 7 + 36 x 3 = 252 + 108.
207 x (2 + 6)
Cách 1: 207 x (2 + 6) = 207 x 8 = 1656.
Cách 2: 207 x (2 + 6) = 207 x 2 + 207 x 6 = 414 + 1242 =1656.
Bài toán 2.2: SGK4/Tr68/2a
Áp dụng tính chất nhân một số với một hiệu để tính (theo mẫu):
Mẫu:

26 x 9 = 26 x (10 – 1)
= 26 x 10 – 26 x 1
= 260 – 26 = 234

47 x 9

24 x 99

Giải:
47 x 9 = 47 x (10 – 1)

24 x 99 = 24 x (100 – 1)
19


= 47 x 10 – 47 x 1

= 24 x 100 – 24 x 1

= 470 – 47 = 423

= 2400 – 24 = 2376

Bài toán 2.3: SGK4/Tr79/2
Tính bằng cách thuận tiện nhất: (25 x 36) : 9
Giải:
(25 x 36) : 9 = 25 x (36 : 9)
= 25 x 4 = 100
Bài toán 2.4: [12]/Tr22/5 : Tìm số tự nhiên x biết: x x + x = 756
Giải:
Theo quy tắc “một số nhân một tổng”, từ đầu bài ta có:
x (x + 1) = 756
Vì 19 x 20 = 380 < 756 < 930 = 30 x 31 nên x phải là số gồm hai chữ số
có chữ số hàng chục là 2. (1)

Vì x (x + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 6 nên để
tìm x ta xét bảng các chữ số tận cùng của x, x + 1 và x (x + 1):
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x+1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
x (x + 1)
0
2
6
2
0

0
2
6
2
0
Từ bảng trên ta thấy để x (x + 1) tận cùng là 6 thì x phải có tận cùng là
2, hoặc 7.
Kết hợp với (1) ta thấy x chỉ có thể là 21 hoặc 27. Lần lượt thử:
21 x 22 = 462 khác 756 (loại)
27 x 28 = 756 (chọn)
Ta có x = 27.
Thử lại: 27 x 27 + 27 = 756
Đáp số: x = 27
Trong các bài tập trên ta đã vận dụng các quy tắc đã được học để giải bài
tập. Đó là sử dụng phép suy diễn.
Ví dụ 2.5: (Toán 4)
Khi dạy quy tắc so sánh các số tự nhiên
20


Thông qua các ví dụ

a)

100 > 99
999 < 1000
Cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc:
Trong hai số tự nhiên:
-

Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.
Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn.
b) Thông qua các ví dụ
29869 < 30005
25136 > 23894
Cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc:

-

Nếu hai số có số chữ số bằng nhau thì so sánh từng cặp chữ số ở cùng một
hàng kể từ trái sang phải, số nào có chữ số đầu tiên lớn hơn thì lớn hơn.
c) Thông qua các ví dụ
1234 = 1234
39680 = 39680
Cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc:

-

Nếu hai số có tất cả các cặp chữ số ở từng hàng đều bằng nhau thì hai số đó
bằng nhau.
Trong mỗi bước trên đây, chúng ta đã vận dụng phép suy luận không
hoàn toàn, trong đó tiền đề là các ví dụ được xét và kết luận là các quy tắc so
sánh được rút ra.
Bài toán 2.5: SGK4/Tr22/1
>
<
=

?

1234 … 999

35784 … 35790

8754 … 87540

92510 … 92410

39680 … 39000 + 680

17600 … 17000 + 600

1234 > 999

35784 < 35790

8754 < 87540

92510 > 92410

39680 = 39000 + 680

17600 = 17000 + 600

Giải:

Bài toán 2.6: SGK4/Tr22/3
21

Viết các số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:
1942; 1978; 1952; 1984.
1890; 1945; 1969; 1954.
Giải:
a) 1984; 1978; 1952; 1942.
b) 1969; 1954; 1945; 1890.
a)
b)

Bài toán 2.7: [9]/Tr7/21
Thay các chữ số a, b bằng các chữ số thích hợp.
•
•

< 31087
> 62872

Giải:
•
•

Ta thay a bằng chữ số 0 để có: 30256 < 31087
Ta thay b bằng chữ số 9 để có: 62953 > 62872

Bài toán 2.8: [9]/Tr7/25
Điền dấu (>, <, =) thích hợp vào ô trống:
(a + 6) x 11

+

Giải:
Ta có:

(a + 6) x 11

= a x 11 + 6 x 11
= + 66

+
?

H - 2.1

= ( + a) + ( + 6)
= ( + a) + (60 + 6)
= + 66

Nên ta có: (a + 6) x 11 = +
Ở các bài toán trên ta cũng đã vận dụng phép suy diễn.
Ví dụ 2.6 (Toán 4)
Khi dạy quy tắc cộng phân số, thông qua bài toán: “Có một băng giấy,
bạn Nam tô màu băng giấy, sau đó Nam tô màu tiếp băng giấy. Hỏi bạn
Nam đã tô màu bao nhiêu phần của băng giấy?

22


Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh biết phải thực
hiện phép tính: +
H - 2.2 Ta có: + = =

Từ đó rút ra quy tắc: “Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai
tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số”.
Ở đây ta đã sử dụng phép suy luận quy nạp không hoàn toàn.
Tương tự như trên, suy luận quy nạp cũng được vận dụng để dạy quy tắc
trừ phân số.
Ví dụ 2.7: (Toán 4)
Thông qua bài toán: “Từ băng giấy màu, lấy băng giấy để cắt chữ. Hỏi
còn lại bao nhiêu phần của băng giấy?”

Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh biết phải thực
hiện phép tính: –
Ta có:

–

= =

Rồi rút ra quy tắc: “Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của
phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số”.
Bài toán 2.9: SGK4/Tr131/1
Tính:
a) – b) –

c) –
23


Giải:
a)
b)

c)

– = = =1
– = =
– = =

Bài toán 2.10: SGK5/Tr10/1
Tính:
a) + b) –
Giải:
a) + = + = =
b) – = – = =
Bài toán 2.11: [9]/Tr17/104
Tính rồi so sánh giá trị của hai biểu thức sau:
–(+)

– –

Giải:
Ta chọn mẫu số chung là 18:
•

•

–(+)= –(+)
= –
=
– – = – –
= –
=

Ta thấy giá trị của hai biểu thức bằng nhau
Vậy: – ( + ) = – –
Ở các bài toán trên ta cũng đã vận dụng phép suy diễn.
Ví dụ 2.8: (Toán 5)
Để hình thành phép cộng hai số thập phân cho học sinh, giáo viên đưa ra
một bài toán thực tế: “Đường gấp khúc ABC có đoạn thẳng AB dài 1,84m và
đoạn BC dài 2,45m. Hỏi đường gấp khúc đó dài bao nhiêu mét?”
2,45m

1,84m

24

C

A

B


Sau khi đưa ra ví dụ, giáo viên sẽ giúp học sinh nêu lại bài toán. Từ đó,
học sinh sẽ nêu được phép tính cộng hai số thập phân là: 1,84m + 2,45m
Tiếp tục, ta hướng dẫn học sinh thực hiện phép tính cộng hai số thập
phân bằng cách chuyển về phép cộng hai số tự nhiên. Ta thực hiện như sau:
Ta có: 1,84m = 184cm
2,45m = 245cm
Khi đó, thay vì phải lấy 1,84m + 2,45m, ta sẽ thực hiện phép cộng:
184cm + 245cm. Đây là phép cộng hai số tự nhiên. Học sinh dễ dàng thực
hiện được: 184 + 245 = 429 (cm)

Sau đó chuyển đổi đơn vị đo: 429cm = 4,29m
Giáo viên định hướng cho học sinh: Khi có các đơn vị đo đi kèm (m,
cm,...) thì ta có thể chuyển đổi đơn vị đo để thực hiện.
Đối với các số lớn hơn hoặc không có đơn vị đo đi kèm ta phải thực hiện
theo quy tắc. Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện (xây dựng kĩ thuật tính)
theo 2 bước:
+ Bước 1: Đặt tính: như đặt tính với số tự nhiên
+

1,84
2,45

+ Bước 2: Tính
Thực hiện như cộng các số tự nhiên

Sau đó, viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các số hạng:
Giáo viên cho học sinh tự nêu cách cộng hai số thập phân. Để củng cố,
giáo viên cho học sinh làm ví dụ thứ 2:

25