KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2016 2017
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi gồm 01 trang
(Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 5 tháng 6 năm 2016
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức A=
2 x
x 3
x 1
x 3
3 11 x
với x 0, x 9
9x
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để có A 0
Câu 2. (2,0 điểm)
a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): y=(m21)x+2m (m là tham số) và (d2):
y=3x+4. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.
b) Cho phương trình x22(m1)x+2m5=0 (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để phương
trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: ( x 12 2mx1+2m1)(x22) 0.
Câu 3. (2,0 điểm)
2 x y 2 3
a/ Giải hệ phương trình:
2
3 x 2y 1
b/ Giải phương trình: x2+4x7=(x+4) x 2 7
Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với BAD <900. Tia phân giác góc BCD cắt đường
tròn ngoại tiếp BCD tại O (O khác C). Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường
thẳng (d) cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại M, N.
OBM
ODC
a/ Chứng minh rằng:
b/ Chứng minh OBM=ODC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp CMN
c) Gọi K là giao điểm của OC và BD; I là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. Chứng minh rằng:
2
2
ND IB IK
MB
KD 2
Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thức x, y, z dương thỏa mãn: x+y+z
x(y 1)2 y(zx 1)2 z(xy 1)
biểu thức P= 2
z (zx 1) x 2 (xy 1) y 2 (yz 1)
HẾT
3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
HƯỚNG DẪN LÀM BÀI
Câu 1. a/ Với x 0 và x 9. Ta có:
A=
=
2 x( x 3) ( x 1)( x 3) 11 x 3
( x 3)( x 3)
3x 9 x
( x 3)( x 3)
b/ Ta có: A 0
3 x( x 3)
( x 3)( x 3)
3 x
x 3
x 0
0
(do
x 3
x 3 0
3 x
x 0
x 9
x 0)
(t / m)
Vậy x =0 hoặc x > 9
Câu 2. (2,0 điểm)
m 2 1 3 m 2
a/ Ta có: (d1) // (d2)
m 2
m
2
2m
4
Vậy m=2
b/ Phương trình có hai nghiệm x1; x2 =(m1)2(2m5) 0 m24m+6 0
(m2)2+2 0 (luôn đúng với mọi m)
Do x1 là nghiệm của phương trình nên ta có: x 12 2(m1)x1+2m5 =0 x 12 2mx1+2m1=2x1+4
Do đó: ( x 12 2mx1+2m1)(x22) 0 2(x12)(x22) 0 x1x22(x1+x2)+4 0
(*)
x1 x 2 2(m 1)
. Thay vào (*), ta được:
x1 x 2 2m 5
Áp dụng định lý Viét ta có:
2m54(m1)+4 0 2m+3 0 m
Vậy m
3
2
3
2
Câu 3. (2,0 điểm)
a/ ĐKXĐ: x 0.
2
2 x y 2 3
4 x 2y 6
7 x 7
x 1
Ta có:
2
2
2
2
3
2y
1
3 x 2y 1
3 x 2y 1
3 x 2y 1
x 1
2
y 1
x 1
y 1 (t/m) Vậy (x; y)=(1; 1) ; (1; 1)
y 1
b/ Đk: x2 7
Cách 1. PT (x27)(x+4)
x 2 7 +4x=0
Đặt t= x 2 7 (đk: t 0). Phương trình trở thành: t2(x+4)t+4x=0 (t4)(tx)=0
t 4
t x
+) Với t=4
x 2 7 =4 x2=23 x=
+) Với t=x
x 0
(vô nghiệm)
x 2 7 =x 2
2
x
7
x
Vậy x=
23 (thỏa mãn)
23
Cách 2. Pt (x2+4x7)2=(x+4)2(x27)
x4+16x2+49+2(4x37x228x)=(x2+8x+16)(x27)
x4+16x2+49+2(4x37x228x)=x4+8x3+9x256x112
7x2161=0 7(x223)=0 x=
Kiểm tra lại, thấy x=
Vậy x=
23
23 thỏa mãn.
23
Cách 3. Pt x2+4x7=(x+4)( x 2 7 4) + 4x+16
2
x 23=(x+4)
2
x 23=(x+4)
( x 2 7 4)( x 2 7 4)
( x 2 7 4)
x 2 23
( x 2 7 4)
2
(x 23)(1
x 2 23
( x 2 7 4)
x 2 23
x 23
x4
x=
1 x 4 x 2 7 4(VN)
x2 7 4
Vậy x =
23
)=0
23 (thỏa mãn)
Câu 4.
a/ Ta có:
OBM
ODC ( do cùng bù với góc
OBC )
b/ Do CO là phân giác góc BCD BO=DO
(1)
Lại có:
OBM
ODC (câu a)
(2)
Vì AB// CN
N A1 , mà CMN có CO vừa là đường
M
B
I
H
1
A
2
cao, vừa là đường phân giác nên CMN cân tại N
M
N
M A1
C
K
O
(3)
Từ (1), (2), (3) OBM= ODC (cgc)
OM=OC
(4)
Vì CO là trung trực MN OM=ON
(5)
N
Từ (4) và (5) O là tâm đường tròn ngoại tiếp CMN
c) Gọi H là hình chiếu của I lên BD H là trung điểm BD
Ta có: KD2=(DHHK)2=DH2+HK22DH.HK=(ID2HI2)+(IK2IH2) 2DH.(DH-KD)
= ID2+IK2+2DH.KD2(IH2+DH2)=ID2+IK2+BD.KD2ID2=IK2ID2+BD.KD
ID2IK2=BD.KDKD2. Mà IB=ID
IB2 IK 2 ID2 IK 2 BD.KD KD2 BD
BD DK BK
1
KD2
KD2
DK
DK
DK
DK
Mặt khác: CK là phân giác của CBD
BK CB
DK CD
(1)
(2)
Do CM=CN và MB=CD nên ta có:
CM CN
CM MB CN CD
CB ND
CB ND
MB CD
MB
CD
MB CD
CD MB
Từ (1), (2) và (3) ta có:
(3)
ND IB2 IK 2
đpcm
MB
KD 2
Câu 5.
Trước hết ta có kết quả sau: Nếu m, n, p là các số thực và a, b, c là các số thực dương thì:
m 2 n 2 p 2 (m n q)2
(Bất đẳng thức Svacxơ hay hệ quả của BĐT Bunhiacopki)
a
b
c
abc
Ta có:
1 2
1 1 1 2
1
1
(y )2 (z )2 (x ) (x y z )
y
x y z
z
x
P=
(theo định lý Svacxơ)
1
1
1
1 1 1
z
x
y
xyz
x
y
z
x y z
D
P xyz
1 1 1
1
1
1
3 1 1 1
= (x ) (y ) (z ) ( )
x y z
4x
4y
4z 4 x y z
(1)
Áp dụng BĐT Cô si ta được:
(x
1
1
1
x
y
z
) (y ) (z ) 2
2
2
3
4x
4y
4z
4x
4y
4z
(2)
Áp dụng BĐT Svacxơ, ta được
3
9.2
1 1 1
9
6 (do x+y+z )
3
2
x y z xyz
1
15
Từ (1), (2) và (3) P
. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=
2
2
15
1
khi x=y=z=
Vậy Pmin=
2
2
(3)